空間向量數(shù)量積運算

1、空間向量數(shù)量積運算第1頁，共23頁。1.平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量 , 則叫做 的數(shù)量積，記作 , 即 a,b a b cos a,b a ba b = a b cos OABabab向量的夾角：0 Bb第2頁，共23頁。AOBababab4平面向量的夾角：babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向復(fù)習(xí)：第3頁，共23頁。2.平面向量的數(shù)量積的主要性質(zhì) 設(shè)a，b是兩個非零向量 （1）ab ab=0數(shù)量積為零是判定兩非零向量垂直的充要條件; （2）當(dāng)a與b同向時, ab=|a|b|;當(dāng)a與b反向時, ab=-|a|b|;

2、特別地， 用于計算向量的模; （3） 用于計算向量的夾角. 2a a=aa= a a 或或abcos =ab 第4頁，共23頁。3.平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）交換律:（2）對數(shù)乘的結(jié)合律:（3）分配律: a b = b a (a) b = (a b)= a (b) (a+ b) c = a c+ b c (a b)ca (b c ) 數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:第5頁，共23頁。3.1.3空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算第6頁，共23頁。 1.兩個向量的夾角的定義 如圖，已知兩個非零向量a，b.在空間任取一點O，可以作OA=a，OB=b，則角AOB叫做向量a與b的夾角，記作:a，bO

3、ABaabb第7頁，共23頁。1） 空間兩個向量的夾角的定義babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點量如圖，已知兩個非零向思考：1、a，b與b，a相等嗎？ 2、a，b與a，b相等嗎？注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.3空間向量的數(shù)量積運算第8頁，共23頁。2）兩個向量的數(shù)量積注：兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空間兩個向量，則叫做向量 的數(shù)量積，記作：即零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。第9頁，共23頁。3)空間向量的數(shù)量積性質(zhì): 對于非零向量 ，有：,ab2(1) co

4、s,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依據(jù)）（證明垂直的依據(jù)）（求向量的長度的依據(jù))第10頁，共23頁。4)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 結(jié)合律交換律）分配律）下列命題成立嗎?若 ,則若 ,則a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考: 第11頁，共23頁。1.向量a、b之間的夾角為30，且|a|3，| b |4，則ab _， a2_， (a2b)(ab)_.第12頁，共23頁。135 第13頁，共23頁。 范圍:0a，b在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角就被唯一確定了，并且a

5、，b= b，a. 如果a，b= /2，則稱a與b互相垂直，并記作ab .第14頁，共23頁。題型一利用數(shù)量積求夾角 如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA與與BC所成角的余弦值所成角的余弦值【例1】第15頁，共23頁。 2. 空間向量數(shù)量積的定義 設(shè)OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作: | a | 已知空間兩個非零向量 ， 則 叫做 的數(shù)量積，記作 , 即 a,b a b cos a,b a,b a ba b = a b cos a,b 0a,b （）第16頁，共23頁。 （1）兩個向量的數(shù)量

6、積是數(shù)量，而不是向量. （2）規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零. （3）、.aba b 仍仍是是的的模模第17頁，共23頁。 若m、n是平面內(nèi)的兩條相交直線，且lm， ln. 則l .glmn4.線面垂直的判定定理（必修2）：第18頁，共23頁。高考鏈接 1.（2006年四川卷）如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的數(shù)量積中最大的是_. 1213P P P PA.B. 1214P P P PC.D. 1215P P P P 1216P P P PA第19頁，共23頁。解析：如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，設(shè)邊長 則 P2P1P3=/6,12| P P |= a

7、，13| P P |=3a 2121333aP P ,P P = a3a=22，214P PP =2 14| P P |= 2a ，212141P P ,P P =a 2a=a2 ，12151216P P ,P P = 0 P P ,P P 0 數(shù)量積中最大的是 1213P P ,P P第20頁，共23頁。 （1）已知向量a，b滿足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，則|a + b|=_.課堂練習(xí) 1.填空 1 方法一:發(fā)現(xiàn)|a + b|2+|a b |2=2(| a |2+| b |2)帶入求得.有其他方法嗎？第21頁，共23頁。方法二:由|a b|2=| a |2 - 2ab + | b |2 帶入求得ab=-2. |a + b|2=| a |2+2ab+| b |2 得 |a+b|=1方法三:數(shù)