第五章離散傅里葉變換

1、Digital Signal Processing q四類時域信號 連續(xù)周期信號 連續(xù)非周期信號 離散非周期信號 離散周期信號 Digital Signal Processing q四類時域信號的傅里葉分析 連續(xù)非周期信號的傅里葉分析（Fourier Transform ，FT） dttx )(dtetxeXjXtjj)()()(dejXtxtj)(21)(Digital Signal Processing 連續(xù)周期信號的傅里葉分析（Fourier Series，FS） 002( ),0, 1, 2,.,jntpnnpxtC ent ,.2, 1, 0,)(100ndtetxtCpttjnpp

2、n離散非周期信號的傅里葉分析DTFT njnenxjX)()(dtejXnxnj20)(21)(Digital Signal Processing 離散周期信號的傅里葉分析（Discrete Fourier Series ，DFS） 2( )( ),jknNNNkxnXk en nknNjNNkenxkX,)()(2四類時域信號傅里時分析比較 Digital Signal Processing q有限長序列的傅里葉變換數值分析有限長序列信號 1,.,1 , 0),(NnnxDTFT變換 頻域抽樣數值化 2 , 0,)()()(10NnjnnjnenxenxjX10221,.,1 , 0,)()

3、()(NnknMjkMMkenxjXkXDigital Signal Processing q頻域采樣定理(頻域循環(huán)采樣) 102,)()(NnknMjMkenxkX22211100022110011( )( )( )1( )()MMNjkijknjkiNNNMMkknNMjknjkiNNnkrxiXk ex n eeMMx neex irMM M=N時，重建序列是原有限長序列的周期延拓MN時，重建序列是原有限長序列補M-N個零后的周期延拓MN時，頻域采樣只能恢復的時域值，此時無法從重建序列完全恢復原有限長序列Digital Signal Processing qDFTDFT變換變換DFT變換

4、分析有限長序列頻譜時，頻域采樣長度M等于N DFT變換的實質是將有限長序列隱含成周期離散序列 101: ( )( ),0,1,.,1NknkIDFT x nX k WnNN101:( )( ),0,1,.,1NknnDFT X kx n WkNN2jNWeDigital Signal Processing 例-2-2已知，用DFT變換計算 、并繪出其幅頻特性。對補502個零后，再次繪出其幅頻特性 ( )12,11,10,9,8,7,6,5,4,3x n Digital Signal Processing qDFT性質性質 Digital Signal Processing q信號特性的傅里葉變

5、換Digital Signal Processing q非周期信號的FT和DTFT分析FT分析dtetxjXtj)()(0tsnnTjTenxjXs0)()(DTFT分析0( )()()( )j nsnx tx nTX jx n e 數字角頻率和模擬角頻率的對應關系 0.5,2ss Digital Signal Processing q非周期信號采樣中的矛盾時域緊支集非周期信號頻域緊支集非周期信號據傅里分析，時域緊支集非周期信號頻域無限，采樣過程必然會導致頻譜混疊失真據傅里分析，頻域緊支集非周期信號時域無限，采樣過程必然需要產生截斷誤差非周期信號的頻譜分析必須在時域截斷或頻域混疊之間選擇。不可

6、能用數值方法精確分析其頻譜結論Digital Signal Processing q非周期信號的DFT分析（選擇時域截斷）0),(nnx( ),0,1,.,1Nxn nN210( )( )NjknNNnX kxn esskfNkfNkkNk2Digital Signal Processing 例5-4-1已知某模擬信號由1.5KHz，2.5KHz和3KHz三個頻率分量組成，采樣頻率，試求由DFT分析能夠區(qū)分三個頻率分量的最小采樣長度 y = fft(x,N) 6 . 615 . 210minffNs205 . 2310minffNsDigital Signal Processing 例5-4-

7、1原采樣序列統(tǒng)一補零至長度等于1024點后再次計算其DFT頻譜 050010001500200025003000350040004500500000.20.40.60.811.21.41.6Frequency(Hz)MagnitudeN=10N=20Digital Signal Processing q頻譜泄漏和加窗算法 例5-4-3已知信號 ，采樣頻率 ，采樣長度N=128。試用DFT變換分析信號幅度譜 ( )cos(2100 )x ttKHZfs10Digital Signal Processing 頻譜泄漏的原因 0),(nnxa)()()(nwnxnxanotherNnnw, 01,.

8、,1 , 0, 1)(20)()()(djWjXjXa)5 . 0sin()5 . 0sin()()(NWXk1+1k1Digital Signal Processing DFT變換中窗函數的要求旁瓣衰減大，高頻衰減快的窗函數有利于減小截斷過程中產生的頻譜泄漏問題。理想窗函數是單位沖激 幅度比例頻率間距窗函數必須具備的特性小大一般小小主瓣窄大大阻帶衰減大大小阻帶衰減大，采樣長度N大Digital Signal Processing DFT變換中加窗長度minsfNKf例5-4-4 已知模擬信號由三個幅值為1的正弦信號組成，頻率分別為1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采樣頻率10KHZ，試用DF

9、T變換計算用矩形窗和漢明窗對信號截斷、采樣長度N=40時的信號頻譜。01000200030004000500000.20.40.60.811.21.4frequency(Hz)MagnitudeboxcarhammingDigital Signal Processing 例5-4-4 已知模擬信號由三個幅值為1的正弦信號組成，頻率分別為1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采樣頻率10KHZ，試用DFT變換計算用矩形窗和漢明窗對信號截斷、N=80時的信號頻譜。Digital Signal Processing 例5-4-5已知信號中50Hz的頻率分量幅值為311，46Hz頻率分量的幅值為1.57，

10、采樣頻率8KHZ。要求46Hz信號的幅度分析精度不小于5%，試問： 選擇何種類型窗函數較合適？ 采樣長度N應為多少？允許最大泄漏 DB80%531155. 1lg20Blackman窗第3個旁瓣衰減：（-58-18*3）=-112dB min()8000(33)12005046sfNKMf020406080100-100-80-60-40-20020406080100frequency(Hz)Magnitude(dB)Digital Signal Processing 只要滿足特定的采樣條件，或者對DFT變換進行適當修正，完全可以用DFT變換精確分析其幅度譜，甚至相位譜 q連續(xù)周期信號的采樣或

11、截斷 同步采樣：采樣持續(xù)時間與信號周期成整數倍 非同步采樣：采樣持續(xù)時間與信號周期不成整數倍 DFT變換隱含對被采樣信號周期延拓，同步采樣后應用DFT變換等效于對信號無限采樣，可精確分析周期信號頻譜Digital Signal Processing 例5-5-1已知周期信號 ，采樣頻率8KHZ 。試用DFT變換分別計算采樣持續(xù)時間 時信號的頻譜 )2 . 0100cos()(ttxStStpp03. 0,02. 0210200400600800100000.20.40.60.81Magnitude0200400600800100000.050.10.150.20.25Phase(Normali

12、zed by pi)0200400600800100000.20.40.60.8Nomalized frequency (/pi)Magnitude0200400600800100000.511.52Nomalized frequency (/pi)Phase(Normalized by pi)t=0.02st=0.02st=0.03st=0.03sDigital Signal Processing q硬件同步采樣技術 整形鑒相器低通濾波壓控振蕩N倍分頻Digital Signal Processing q軟件同步技術 第1步：非同步采樣1,.,1 , 0),(1MnnTxs第2步：估計信號周

13、期第3步：二次采樣，得到同步數據第4步：應用DFT算法分析同步數據的頻譜)(2snTxDigital Signal Processing 第2步：估計信號周期（過零比較）Digital Signal Processing 第3步：二次采樣，得到同步數據Digital Signal Processing q插值DFT變換頻域觀察連續(xù)周期信號的截斷 單頻率信號矩形截斷序列DTFT頻譜的頻域采樣： k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a) (同步采樣) (b) (非同步采樣)5 . 0sin()5 . 0sin()()(NWXDigital Signal Processing 簡諧（單頻率

14、）連續(xù)周期信號的插值DFT變換 )2(111)(tfjaeAtx1,.,1 , 0),()()(NnnwnTxnxRsa11()211()()()2NjjjjaRRX eXeW edWe12sin(/2)()( ),( )sin(/2)NjjRRRNW eWeWN 1111()2(),2/jjasXeeff k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a) (同步采樣) (b) (非同步采樣)Digital Signal Processing 數字頻率肯定在k1和k1+1之間。可以根據窗函數的增益特性和 值精確估計出實際信號頻率 )(1kX) 1(1kX簡諧（單頻率）連續(xù)周期信號的插值DFT

15、變換 )/sin()sin(12)()(1111121NNNkkWeXRNkjNNNkkWeXRNkj/ )1 (sin()sin(12)(1()(111112)1(1NkjNkjeXeX22)1(111)(/)(1111ptkf/ )(111)sin(/ )()(11211NkjeXANNeXangleNkj/ ) 1()(1211Digital Signal Processing q多諧周期信號的插值DFT變換第1步：應用加窗法消除各頻率分量之間的相互泄漏 第2步：尋找加窗頻譜中各個譜峰第3步：應用單頻率信號的插值DFT算法估計該譜峰的精確頻率值，幅度和相位注意求解方法與矩形窗的插值DFT

16、算法不同Digital Signal Processing 例，假定含間諧波的電網信號為：71)2cos()(mmmmtmfAtxm1 (間諧波)2 (基波)3 (間諧波)4 (間諧波)5 (諧波)6 (諧波)7 (諧波)頻率（HZ）25.050.0165.0270.0350.0400.0450.0幅值（伏）0.006*3103100.002*3100.003*3100.04*3100.005*3100.05*310初相（度）10.05.020.0120.0150.0210.0260.0Digital Signal Processing 第1步：應用Hanning窗截斷消除各頻率分量之間的相互

17、泄漏 0100200300400500-100-50050100Frequency(HZ)x(f)0100200300400500-100-50050100Frequency(HZ)x(f)圖5-5-6(a)加矩形窗后的信號頻譜圖5-5-6(a)加漢寧窗后的信號頻譜Digital Signal Processing 第2步：Hanning窗單頻率DFT插值計算公式NkjHNkjHmmmeXeX22)1()(/)(mmm112)sin()1 (2)(22mmmNkjHmmeXApmmmtkf/ )(NNeXanglemNkjHmm/ ) 1()(2Digital Signal Processin

18、g 第3步：幅度估計結果諧波（次）諧波（次）設定值設定值普通普通FFT算法算法 插值插值FFT算法算法估計值估計值估計偏差估計偏差(%) 估計值估計值估計偏差估計偏差(%)1310.0272.4-12.15 309.8-0.071821.555.034225.3 1.5580.534239.309.3210.226 9.3140.150341.241.80545.54 1.239-0.0576515.512.75-17.72 15.510.031260.931.32041.97 0.9320.166576.206.4724.382 6.2280.452580.621.245100.9 0.62

19、0-0.003193.102.252-27.35 3.1060.1904Digital Signal Processing 第3步：相位估計結果 諧波諧波（次）（次）設定值設定值普通普通FFT算法算法 插值插值FFT算法算法估計值估計值估計偏差估計偏差(%) 估計值估計值估計偏差估計偏差(%)15.0174.23384 4.919-1.6143210.0299.22892 9.476-5.2381320.088.52342.6 19.74-1.08194120.0100.5-16.27 119.6-0.29885150.084.79-43.47 149.6-0.27016210.0199.4-