第5章相似矩陣及二次型

1、線性代數(shù)5 51 1 向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積、長度及正交性第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5 53 3 相似矩陣相似矩陣5 52 2 方陣的特征與特征向量方陣的特征與特征向量5 55 5 二次型及其標準型二次型及其標準型5 54 4 對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化5 56 6 用配方法化二次型為標準型用配方法化二次型為標準型5 56 6 正定二次型正定二次型第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5-1 5-1 向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積 定義定義 設有設有n維向量維向量令令1 1、內(nèi)積、內(nèi)積1122,nnxy

2、xyxyxy1122 , nnx yx yxx yy 稱為向量稱為向量 與與 的的內(nèi)積。內(nèi)積。 , x y xy第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型說明說明 , Tx yx y 內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，若內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，若 、 都是都是列向量時，內(nèi)積可用矩陣相乘表示：列向量時，內(nèi)積可用矩陣相乘表示：xy2 2、內(nèi)積的運算性質(zhì)、內(nèi)積的運算性質(zhì) , )(1 ,x yy x , (, 2)x yy x , (3), , xy zx zy z ,(4)0 x x ，且當，且當 時，時， , 0 xOx x 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型二、向量的長度二、向

3、量的長度 定義定義 令令22212 , nxx xxxx x 稱為向量稱為向量 的長度（或范數(shù)）。的長度（或范數(shù)）。x向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：（1 1）非負性非負性：（2 2）齊次性齊次性：（3 3）三角不等式：三角不等式：0 x xxxyxy第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型單位向量單位向量當當 時，稱時，稱 為為單位向量。單位向量。x1x 向量間的夾角向量間的夾角 , arccosx yxy 當當 時時 0,0 xy稱為向量稱為向量 與與 的的夾角夾角。xy , arccosx yxyxy 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型三、正交向量組三、

4、正交向量組1 1、向量正交的定義、向量正交的定義當當 時，稱為向量時，稱為向量 與與 正交正交。xy , 0 x y 顯然顯然 若若 則則 與任何向量都正交與任何向量都正交。xOx、正交向量組的概念、正交向量組的概念若一若一非零向量組非零向量組中的向量中的向量兩兩正交兩兩正交，則稱該向量組為，則稱該向量組為正交向量組正交向量組。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型、正交向量組的性質(zhì)、正交向量組的性質(zhì) 定理定理5-15-1 若若n維向量維向量 是一組兩兩正交的非零是一組兩兩正交的非零向量向量 則則 線性無關(guān)線性無關(guān)。12,ra aa 12,ra aa 注意：注意：此定理反之不一定成立此

5、定理反之不一定成立 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 解解 例例5-15-1 已知已知3 3維向量空間維向量空間R3 3中兩個向量中兩個向量 正交，試求一個非零向量正交，試求一個非零向量 ，使，使 兩兩正交兩兩正交 。12111 ,211aa 3a123,a a a 3123(,)ax xx設設 ，則，則 應滿足應滿足3a130,Ta a 230Ta a 即即 應滿足齊次線性方程組應滿足齊次線性方程組3a1231110121xxx第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型r由于由于111121101010齊次線性方程組的通解：齊次線性方程組的通解：101xc3101a第五章第

6、五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型、向量空間的正交基和規(guī)范正交基、向量空間的正交基和規(guī)范正交基 若若 是向量空間是向量空間V的一個基，且的一個基，且 是兩兩正交的非零向量組，則稱是兩兩正交的非零向量組，則稱 是向量空間是向量空間V的的正交基正交基。raaa,21raaa,21raaa,21 設設 是向量空間是向量空間V 的一個基，如果的一個基，如果 兩兩正交兩兩正交，且都是，且都是單位向量單位向量，則稱，則稱是向量空間是向量空間V的一個的一個規(guī)范正交基規(guī)范正交基。reee,21)(nRV reee,21reee,21規(guī)范正交基規(guī)范正交基正交基正交基第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二

7、次型.212100,212100,002121,0021214321eeee例如：例如：向量在規(guī)范正交基中的坐標向量在規(guī)范正交基中的坐標 若若 是是V的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基 那么那么V中任一向量中任一向量 應能由應能由 線性表示線性表示 并且并且reee,21reee,21arreeea2211 其中其中1 1、2 2、r 是是 在規(guī)范正交基中坐標：在規(guī)范正交基中坐標：a,iTiieaae第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5 5、施密特正交化方法施密特正交化方法設設 是向量空間是向量空間V中的一個基中的一個基 取向量組（取向量組（正交化正交化） raaa,2111ab11

8、12122,bbbabab111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab容易驗證容易驗證 兩兩正交兩兩正交 且且 與與 等價等價 raaa,21rbbb,21rbbb,21第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型把把 單位化單位化 即得即得V的一個規(guī)范正交基：的一個規(guī)范正交基：rbbb,21,111bbe,222bberrrbbe,第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-25-2設設 試用施密特正交化過程把其規(guī)范正交化。試用施密特正交化過程把其規(guī)范正交化。 014,131,121 321aaa 解解 正交化正交化 11121ba111212

9、2,bbbabab1216413111135132333121122 , ,b ab ababbb bb b 2021113512162014第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型將其單位化將其單位化 121661111bbe111331222bbe101221333bbe 即為所求。即為所求。321,eee第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 例例5-35-3 解解 即即應應滿滿足足方方程程, 0,132xaaaT110,101210321xxx其基礎(chǔ)解系為：其基礎(chǔ)解系為：第五章第五

10、章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求。亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求。亦即取12a1112123,a于是得于是得其中其中, 2, , 1,122,1012a.12121101211103a第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換1 1、正交矩陣、正交矩陣 定義定義 如果如果n階矩陣階矩陣A滿足：滿足： ATA E (即即A 1 AT) 那么稱那么稱A為為正交矩陣正交矩陣 簡稱簡稱正交陣正交陣。（1）方陣方陣A為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是A的列的列( (行行) )向量向量都是單位向量都是單位向量 且

11、兩兩正交且兩兩正交。（2）n階正交陣階正交陣A的的n個列個列( (行行) )向量構(gòu)成向量空間向量構(gòu)成向量空間Rn的一的一個規(guī)范正交基個規(guī)范正交基。v重要結(jié)論：重要結(jié)論：第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型v正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) (1)(1)若若A為正交陣為正交陣 則則A 1 AT也是正交陣也是正交陣 且且|A| 1 (2)(2)若若A和和B都是正交陣都是正交陣 則則AB也正交陣也正交陣 例例5-45-4證明下列矩陣是正交陣證明下列矩陣是正交陣1111222211112222110022110022P 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型2 2、正交變換、正交變換 定

12、義定義若若P為正交矩陣為正交矩陣 則線性變換則線性變換 稱為稱為正交變換正交變換。 xPy性質(zhì)性質(zhì) 正交變換保持向量的長度不變。即正交變換保持向量的長度不變。即xxxxPPxyyyTTTT則有則有為為正正交交變變換換若若xPy 這說明這說明 經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換線段的長度保持不變線段的長度保持不變( (從而三角形的形狀從而三角形的形狀保持不變保持不變) ) 這是正交變換的優(yōu)良特性這是正交變換的優(yōu)良特性。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5-2 5-2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念一、特征值與特征向量的概念Axx則稱則稱 為方陣為方陣A的的特

13、征值特征值 為為A 的對應于特征值的對應于特征值 的的特征向量特征向量 x說明說明1 1、特征向量特征向量 ，僅對方陣才有，僅對方陣才有特征值特征值問題。問題。xO 2 2、n階方陣階方陣A的特征值，就是使齊次線性方程組的特征值，就是使齊次線性方程組 有非零解的有非零解的值，即滿足方程值，即滿足方程 的的都是矩陣都是矩陣A的的特征值特征值。()0AE x0AE 定義定義 設設A是是n階矩陣階矩陣 如果存在數(shù)如果存在數(shù) 和和n維非零向量維非零向量 滿足：滿足：x第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型0AE1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa3 3、 稱為以稱為以為未知

14、數(shù)的一元為未知數(shù)的一元n次次方程組方程組 為為A的的特征方程特征方程。0AE 記記 ，它是，它是的的n次多項式，稱其為方陣次多項式，稱其為方陣A的的特征多項式特征多項式。( )fAE第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型二、特征值與特征向量的求法二、特征值與特征向量的求法求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：EA0 xEAi1、計算計算A的特征多項式：的特征多項式：2、求特征方程求特征方程A- - E=0的全部根的全部根 1， 2， ， n即為即為A的全部特征值的全部特征值3、對于特征值對于特征值 i ，求齊次方程組，求齊次方程組的的非零解解非零解解，就是對應特征

15、值，就是對應特征值 i 的特征向量。的特征向量。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-55-5求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 3113A 解解 的的特特征征多多項項式式為為A3113)2)(4(. 4, 221的特征值為的特征值為所以所以A0)2(,21xEA對對應應的的特特征征向向量量應應滿滿足足時時當當11 1p方程的基礎(chǔ)解系為：方程的基礎(chǔ)解系為：)0(,21111kpk對對應應的的全全部部特特征征向向量量為為時時第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型0)4(,42xEA對對應應的的特特征征向向量量應應滿滿足足時時當當11 2p方程的基礎(chǔ)解

16、系為：方程的基礎(chǔ)解系為：)0(,42222kpk對對應應的的全全部部特特征征向向量量為為時時第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-65-6求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 201034011A 解解 的的特特征征多多項項式式為為A201034011EA2)1)(2(1, 2321的的特特征征值值為為A由由解解方方程程時時當當. 0)2(,21xEA0010140132EA000010001r第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系100 1p的的全全部部特特征征值值是是對對應應于于2)0(1111kpk由由解解方方程程時時當當.

17、 0)(,132xEA101024012EA000210101r得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系121 2p)0(:122232kpk的的全全部部特特征征值值對對應應于于第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-75-7求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 314020112A 解解 314020112EA2)2)(1(2, 1321的特征值為的特征值為A111030414AE101010000r當當 。由。由 11,()0AE x解解方方程程111(0)k p k 對應對應1 1=1=1的全部特征值為：的全部特征值為：第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型4112

18、000411AE411000000r當當 。由。由 232,(2)0AE x解解方方程程得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系：2.011,014 pp 223323(,0)不全為k pk pkk對應對應2 2= =3 3=2=2的全部特征值為：的全部特征值為：第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型三、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 若若是矩陣是矩陣A的特征值，則的特征值，則(1) (1) m是矩陣是矩陣Am的特征值的特征值(m是正整數(shù)）是正整數(shù)）(2)(2)若若A可逆，則可逆，則 -1-1是是A-1-1特征值特征值(3) (3) ()是是 (A)的特征值的特征值,其中

19、其中2012( )mmAaa Aa Aa A2012( )mmaaaa 是是矩陣多項式矩陣多項式是是多項式多項式第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型121122(1)nnnaaa12(2)nA 性質(zhì)性質(zhì)2 2、設設n階方陣階方陣A的特征值為的特征值為1，2，n，則，則 例例 設矩陣設矩陣 則則A的特征值為的特征值為( )( )110101011A (A) 1,0,11,0,1 (B)1,1,2;1,1,2; (C) -1,1,2; -1,1,2; (D)-1,1,1-1,1,1第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-95-9設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為1

20、1 2 求求|A* 3A 2E| 解解 因為因為A的特征值全不為的特征值全不為0 0 知知A可逆可逆 故故A* |A|A 1 而而|A| 1 2 32 所以所以2A 1 3A 2E A* 3A 2E 把上式記作把上式記作 (A) 故故 (A)的特征值為的特征值為 有有 ( )2 1 3 2 (1)1 ( 1)3 (2) 3 9 ( 1)( 3) 3 于是于是 |A* 3A 2E| 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 性質(zhì)性質(zhì)3 3 定理定理5-25-2設設 1 2 m是方陣是方陣A的的m個不同特征值個不同特征值 是對應的特征向量是對應的特征向量 則則 線性無關(guān)線性無關(guān)。mppp,2

21、1mppp,21 說明：說明：矩陣矩陣A不同特征值對應的特征向量之間線性無關(guān)；不同特征值對應的特征向量之間線性無關(guān)； 例例5-105-10設設 1和和 2是方陣是方陣A兩兩個不同特征值個不同特征值 對應的特對應的特征向量為征向量為 和和 證明證明 不是不是A的特征向量的特征向量。21pp21pp第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5-3 5-3 相似矩陣相似矩陣一、相似矩陣與相似變換的概念一、相似矩陣與相似變換的概念 定義定義 設設A B都是都是n階矩陣階矩陣 若有可逆矩陣若有可逆矩陣P 使使P 1AP B則稱則稱B是是A的的相似矩陣相似矩陣 或說矩陣或說矩陣A與與B相似相似。 對對

22、A進行運算進行運算P 1AP稱為對稱為對A進行進行相似變換相似變換 可逆可逆矩陣矩陣P稱稱為把為把A變成變成B的相似變換矩陣的相似變換矩陣。 注：注：相似矩陣一定是等價矩陣相似矩陣一定是等價矩陣。等價矩陣具有相同的秩，而。等價矩陣具有相同的秩，而相似矩陣不僅具有相同的秩，而且具有相同的行列式和特征值。相似矩陣不僅具有相同的秩，而且具有相同的行列式和特征值。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 定理定理5-35-3 若若n階矩陣階矩陣A與與B相似相似 則則A與與B具有相同的特征值具有相同的特征值。 推論推論11若若n階矩陣階矩陣A與與B相似相似 則則|A| = |B| 。 推論推論22

23、若若n階矩陣階矩陣A與一個對角矩陣與一個對角矩陣diag( 1 2 n) 相似相似 則則 1 2 n即是即是A的的n個特征值個特征值。說明說明(1)(1)推論推論2 2為求矩陣特征值提供了新的方法；為求矩陣特征值提供了新的方法；(2)(2)若若n階矩陣階矩陣A與對角矩陣相似，則稱矩陣與對角矩陣相似，則稱矩陣A可對角化?？蓪腔?。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型二、利用相似變換將方陣對角化二、利用相似變換將方陣對角化使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣對對, PAn)(1對角陣對角陣APP.對對角角化化就就稱稱為為把把方方陣陣 A 定理定理44n階矩陣階矩陣A可對角化的

24、充分必要條件是：可對角化的充分必要條件是：什么樣的矩陣什么樣的矩陣A可對角化？如何對角化？下面的定理給出回答。可對角化？如何對角化？下面的定理給出回答。 A有有n個個線性無關(guān)線性無關(guān)的特征向量。的特征向量。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型證明證明,1為為對對角角陣陣使使假假設設存存在在可可逆逆陣陣APPP.,21npppPP用用其其列列向向量量表表示示為為把把 nnnppppppA212121,即即.,2211nnppp,1PAPAPP得得由由第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型121122,nnnAp ApApppp., 2 , 1nippAiii于于是是有有., 的

25、的特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA,.nPAPP這 個特征向量即可構(gòu)成矩陣使12,.npppP又由于線性無關(guān) 所以 可逆,即A與對角矩陣相似，因此可對角化命題得證。命題得證。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 推論推論 如果如果n階矩陣階矩陣A的的n個特征值個特征值互不相等互不相等 則則A一定可以對角一定可以對角化化。（。（充分條件充分條件） 說明說明 如果如果A的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有n 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化

26、。但如果能找到不一定能對角化。但如果能找到n個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量， A還是能對角化還是能對角化第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型163053064AA能否對角化？若能對角化，求出可逆陣能否對角化？若能對角化，求出可逆陣P，使使為對角稱。為對角稱。 例例5-115-11設設APP1解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值為為所所以以A第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型得得方方程程組組代代入入將將0121xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121.1002得得方方程

27、程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 02 3xEA.1113第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.,321線性無關(guān)線性無關(guān)由于由于110101102, 321P令令.200010001 1APP則則有有第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型注意注意(1)(1)n階方陣階方陣A對角化：即存在可逆陣對角化：即存在可逆陣P使使nAPP211 1 2 n為為A的的n個特征值個特征值。 為為特征值特征值 i對應的特征向量，且對應的特征向量，且inppppP),( 21線線性性無無關(guān)關(guān)nppp,21第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型, ,213P若若令令111 012

28、100. 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣P的列向量和對角矩陣中特征值的的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互位置要相互對應對應(2)(2)第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型三、利用相似矩陣求矩陣多項式三、利用相似矩陣求矩陣多項式 若矩陣若矩陣A與對角陣相似。即存在可逆陣與對角陣相似。即存在可逆陣P，使使1、求矩陣乘冪、求矩陣乘冪AkAPP1knkkk21則則 Ak P kP 1其中其中n21第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型2、求、求A的多項式的多項式(A) 若矩陣若矩陣A與對角陣相似。即存在可逆陣與對角陣相似。即存在可逆陣P，使使APP1則則(A

29、)P()P1)()()()(21n其中其中第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.)(,)(OAfAf則則的的特特征征多多項項式式是是矩矩陣陣設設定理定理證明證明.與對角矩陣相似的情形與對角矩陣相似的情形只證明只證明A使使則則有有可可逆逆矩矩陣陣與與對對角角矩矩陣陣相相似似若若,PA),(211ndiagAPP), 2 , 1(0)(,nifAii的的特特征征值值為為其其中中有有由由,1PPA)(Af.1OPOP1)(PPf11)()(PffPn第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5-4 5-4 對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化 一個一個n階方陣可以對角化的充分必要條件是具階

30、方陣可以對角化的充分必要條件是具有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 可見并非所有可見并非所有n階方陣階方陣都能對角化都能對角化。 但有一類矩陣卻例外，即所有但有一類矩陣卻例外，即所有實對稱矩陣實對稱矩陣都是都是可以對角化的可以對角化的。 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型一、對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)一、對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)說明：說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣實對稱矩陣 定理定理5-55-5對稱矩陣的特征值為對稱矩陣的特征值為實數(shù)實數(shù)。0)( xEAi 是實系數(shù)方程組是實系數(shù)方程組 由系

31、數(shù)矩陣的行列式由系數(shù)矩陣的行列式|A iE| 0知必有實知必有實的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 所以對應的所以對應的特征向量特征向量可以取可以取實向量實向量 顯然顯然 當特征值當特征值 i為實數(shù)時為實數(shù)時 齊次線性方程組齊次線性方程組第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型., 21212121正正交交與與則則若若特特征征向向量量是是對對應應的的的的兩兩個個特特征征值值是是對對稱稱矩矩陣陣設設ppppA 定理定理5-65-6證明證明11122212,AppAppA為對稱陣，即為對稱陣，即A= =AT。故有。故有11111TTTppAp11,TTTp Ap A于是于是11212122TTTp pp

32、Appp 212,Tp p 12120 Tp p 1212pp與與正正交交120Tp p 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 定理定理5-75-7設設A為為n階對稱陣階對稱陣 則必有正交陣則必有正交陣P 使使P 1AP PTAP 其中其中 是以是以A的的n個特征值為對角元的對角矩陣。個特征值為對角元的對角矩陣。該定理表明：該定理表明： 對稱矩陣對稱矩陣正交相似正交相似于對角矩陣。于對角矩陣。 推論推論 設設A為為n階對稱陣階對稱陣 是是A的特征方程的的特征方程的k重根重根 則矩則矩陣陣A- - E的秩的秩R(A- - E)=n- -k , ,從而對應特征值從而對應特征值 恰有恰有k

33、個線性個線性無關(guān)無關(guān)的特征向量的特征向量。 v說明：說明： 此性質(zhì)是此性質(zhì)是對稱矩陣所特有對稱矩陣所特有的，即的，即n階對稱陣恰好有階對稱陣恰好有n個個線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型二、對稱矩陣的對角化方法二、對稱矩陣的對角化方法根據(jù)上述結(jié)論，利用根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣正交矩陣將將對稱陣對稱陣A對角化對角化，具，具體步驟體步驟為：為：（1 1）求出求出A的全部互不相等的的全部互不相等的特征值特征值1 1, ,2 2, , ,s , ,它們的重它們的重數(shù)依次為數(shù)依次為k1 1, ,k2 2, , ,ks ( (k1 1+ +k2 2+ +

34、 +ks = =n) )。（2 2）對每個對每個ki重特征值重特征值s , ,求方程求方程 的基礎(chǔ)解系，的基礎(chǔ)解系，得得ki個線性無關(guān)的個線性無關(guān)的特征向量特征向量。再將其。再將其正交化正交化、單位化單位化，得到，得到ki個兩兩正交的單位特征向量。因個兩兩正交的單位特征向量。因 ，故總共可，故總共可得得n個兩兩正交的單位特征向量。個兩兩正交的單位特征向量。0AE x12skkkn（3 3）把這把這n個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣正交陣P，便，便有有 . .注意注意 的對角元的排列次序與的對角元的排列次序與P中列中列向量的排列次序相對應。向量的排列次序相對應。1T

35、P APPAP第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-125-12 設設 求正交陣求正交陣 P 使使P 1AP為對角陣為對角陣 011101110A 解解(1)(1)第一步第一步 求求A的特征值的特征值111111AE 212得特征值得特征值 1 2 2 3 1. . (2)(2)第二步第二步 求求A的特征向量的特征向量 對應對應 12 解方程解方程(A+2E)x 0 由由第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型2112121112AE r101011000基礎(chǔ)解系為：基礎(chǔ)解系為：1111 單位化單位化111131p對應對應 2 3 1 解方程解方程 (A E)x 0 由

36、由111111111AE r000000111第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型基礎(chǔ)解系為：基礎(chǔ)解系為：23111,001 正交化正交化22110取取3233222, 1111101122102 單位化單位化211120p311162p 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型將將 構(gòu)成構(gòu)成正交矩陣正交矩陣P：123,p pp123111326111(,)32612036Pp pp 有：有：1200010001P AP(3)(3)第三步第三步 構(gòu)成正交陣構(gòu)成正交陣P第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-135-13 設設 求求An 2112A提示提示 因因A

37、為對稱陣為對稱陣 故故A可對角化可對角化 即有可逆陣即有可逆陣P及對角陣及對角陣 從而從而An P nP 1 于是于是A P P 1 使使P 1AP 解解(1)(1) 求求A的特征值的特征值21(1)(3)12AE得得A的特征值：的特征值：121,3第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 對應對應 1 1 解方程解方程(A-E)x 0 得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系：111 單位化單位化11112p 對應對應 2 3 解方程解方程(A-3E)x 0 得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系：211單位化單位化21112p(2)(2) 求正交陣求正交陣P使使P 1AP 12111(,)112Pp p1111112

38、TPPP第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型1003 (2)(2) 求求An111112P1P AP 1AP P1nnAPP11101111103112n1 31 312 1 31 3nnnn第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型1 1、對稱矩陣的性質(zhì)：、對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)三、小結(jié) (1)(1)特征值為實數(shù)；特征值為實數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關(guān)的特征向量特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；的個數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩

39、必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值陣對角元素即為特征值2 2、利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：、利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)(1)求特征值；求特征值；(2)(2)找特征向量；找特征向量；(3)(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄空换?、單位化；量正交化、單位化?4)(4)對角化對角化第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型,111111111 A.00100100 nB思考題思考題.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BA第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型. 0,:321nnA的的特特征征值值為為思考題解答：思考題解答：11

40、1111111EA111111nnn111111111)(n0000111)(n1)(nn第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣是是實實對對稱稱矩矩陣陣又又,1PA00111nAPP1)()det( nnEB還還可可求求得得.有相同的特征值有相同的特征值與與即即AB第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型212BPP212111 BPPAPP從從而而BPAPPP121112 即即。BA相似相似與與故故,1, 02個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有對對應應特特征征值值nBn使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩陣陣,2P00n第五章第五章 相似矩

41、陣及二次型相似矩陣及二次型5-5 5-5 二次型及其標準形二次型及其標準形在解析幾何中在解析幾何中 為了便于研究二次曲線為了便于研究二次曲線ax2 bxy cy2 1的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì) 我們可以選擇適當?shù)淖鴺宋覀兛梢赃x擇適當?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換cossinsincosyxyyxx把方程化為把方程化為標準形標準形mx 2 ny 2 1 化標準形的過程就是通過變量的化標準形的過程就是通過變量的線性變換線性變換化簡一個二次化簡一個二次齊次多項式齊次多項式 使它使它只含有平方項只含有平方項 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型一、二次型及其標準形的概念一、二次型及其標準形的概念 定義定義

42、 含有含有n個變量個變量x1 x2 xn的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù) 稱為稱為二次型二次型。 22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx當當aij 是實數(shù)時，稱是實數(shù)時，稱 f 為為實二次型實二次型； 當當aij 是復數(shù)時，稱是復數(shù)時，稱 f 為為復二次型復二次型； 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型, ,如如2221122nnfk yk yk y稱為二次型的稱為二次型的標準形標準形（或（或法式法式）例如：例如：22212312313,2454f x xxx

43、xxx x為為二次型；二次型；222123123,44f x xxxxx為二次型的標準形為二次型的標準形. . 如果二次型的標準形形如如果二次型的標準形形如f y12 y22 yp2 yp 12 yn2 稱為二次型的稱為二次型的規(guī)范形規(guī)范形。第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法1 1、和號表示、和號表示22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx 令令aij aji 則則11111221()nnfx a xa xa x,1nijiji ja x x2211222

44、2()nnxa xaxax1122()nnnnnnnxa xax xax2ijijijijjijia x xa x xa x x第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型2 2、用矩陣表示、用矩陣表示222111222nnnfa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx11111221()nnfx a xa xa x22112222()nnxa xaxax1122()nnnnnnnxa xax xax11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xaxaxfxxxa xaxax第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩

45、陣及二次型1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxfx xxaaax11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx令令 則則 二次型可記作二次型可記作 ：其中其中A是一個對稱矩陣是一個對稱矩陣。Tfx Ax第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型對稱矩陣對稱矩陣A叫做叫做二次型二次型 f 的矩陣的矩陣。三、二次型的矩陣和秩三、二次型的矩陣和秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定

46、一個二次型這樣，地確定一個二次型這樣，二次型二次型與與對稱矩陣對稱矩陣之間存在一之間存在一一對應的關(guān)系：一對應的關(guān)系：f 也叫做也叫做對稱矩陣對稱矩陣A的二次型的二次型。對稱矩陣的秩對稱矩陣的秩就叫做就叫做二次型二次型 f 的秩的秩。 Tfx Ax第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型例例寫出二次型寫出二次型 的矩陣。的矩陣。22212312232346 fxxxx xx x解解, 3, 2, 1332211aaa, 22112 aa, 03113 aa. 33223 aa330322021A第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型四、化二次型為標準形四、化二次型為標準形1111

47、1221221122221122,nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y設設對于二次型，我們討論的主要問題是：對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形可逆的線性變換，將二次型化為標準形xPy記記P=(Pij)，則上述可逆線性變換可記為：，則上述可逆線性變換可記為：第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 ,TxPyfx Ax將代入有將其代入二次型中，使其只含平方項，即：將其代入二次型中，使其只含平方項，即：2221122nnfk yk yk yxAxfTTTyP AP yTPyA Py 定義定義 設設A和和B是

48、是n階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可逆矩陣P 使使B PTAP 則則稱矩陣稱矩陣A與與B合同合同 v合同矩陣合同矩陣 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型說明：說明： （1 1） 若若A與與B合同（即存在可逆陣合同（即存在可逆陣P，使，使B PTAP） 若若A為對稱，為對稱，則則B也為對稱陣也為對稱陣 且且R(B) R(A) （2 2）經(jīng)可逆變換經(jīng)可逆變換x Py后后 二次型二次型 f 的矩陣由的矩陣由A變?yōu)榕c變?yōu)榕cA合同的矩合同的矩陣陣PTAP 且二次型的秩不變且二次型的秩不變。（3 3）三種關(guān)系：三種關(guān)系：,BPAQ 等價關(guān)系：等價關(guān)系： P、Q可逆可逆 相似關(guān)系：相似關(guān)系：1

49、,BP AP P 可逆可逆 合同關(guān)系：合同關(guān)系：,TBP AP P可逆可逆等價等價相似相似合同合同 對稱陣對稱陣 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型分析分析 即要使即要使PTAP成為對角陣成為對角陣 因此因此 我們的主要問題就是我們的主要問題就是 對于對稱對于對稱陣陣A 尋求可逆矩陣尋求可逆矩陣P 使使PTAP為對角陣為對角陣 聯(lián)想聯(lián)想上節(jié)的知識上節(jié)的知識 任給對稱陣任給對稱陣A 總有正交陣總有正交陣P 使使P 1AP PTAP 2221122()TTTnnfx AxyP AP yk yk yk ynnnyyykkkyyy212121),(要使二次型要使二次型 f 經(jīng)可逆變換經(jīng)可逆

50、變換 變成標準形變成標準形 即即xCy第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 把此結(jié)論應用于二次型，可得如下定理：把此結(jié)論應用于二次型，可得如下定理：其中其中 1 2 n是是 f 的矩陣的矩陣A的特征值的特征值。2222211nnyyyf 定理定理5-85-8任給二次型任給二次型 總有正交變換總有正交變換 使使 f 化為標準形化為標準形)(1,jiijnjijiijaaxxafyPx 推論推論 任給任給n元二次型元二次型 總有可逆變換總有可逆變換 使使 為規(guī)范形為規(guī)范形。)()(AAxAxxfTTzCx)( zCf第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 例例5-145-14求一

51、個正交變換求一個正交變換 把二次型把二次型 f - -2x1x2 2x1x3+2x2x3 化為標準形?；癁闃藴市?。yPx 解解 011101110A0332211aaa12112 aa13113 aa13223 aa（2 2）求矩陣求矩陣A的特征值的特征值（1 1）寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣 111111EA)2() 1(2第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型矩陣矩陣A的特征值為的特征值為 12 2 3 1 （3 3）求矩陣求矩陣A的特征向量的特征向量 對應對應 1 - -2 解方程解方程(A+2E)x 0 得基礎(chǔ)解系：得基礎(chǔ)解系：1111提示提示 2112121112AE r

52、101011000對應對應 2 3 1 解方程解方程( (A- -E) )x=0 0，得基礎(chǔ)解系：，得基礎(chǔ)解系：111111111AE r01121013000000111第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型(4)(4)求正交矩陣求正交矩陣P將將 正交化：正交化：32,取取0112221121,2222333將將 單位化：單位化：321,111311p011212p211613p第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型將將 構(gòu)成正交矩陣：構(gòu)成正交矩陣：321,ppp62031612131612131),(321pppP使使100010002APPT(5)(5) 正交變換正交變換

53、32162031612131612131yyyyPx第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型則把二次型則把二次型f 化成化成規(guī)范形規(guī)范形：2322212yyyf若令若令33221121zyzyzy把二次型把二次型f 化成化成標準形標準形：232221zzzf第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型5-6 5-6 用配方法化二次型為標準形用配方法化二次型為標準形用用正交變換正交變換化二次型為標準形，其特點是化二次型為標準形，其特點是保持幾何形保持幾何形狀不變狀不變問題？問題？有沒有其它方法，也可以把二次型化為有沒有其它方法，也可以把二次型化為標準形？標準形？問題的回答是肯定的。下面介

54、紹一種行之有效的方問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標標準準形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例5-155-15解解32312123222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 含有平方項含有平方項 2321xxx 322322652xxxx 3223222 xxxx去掉配方后多出來的項去掉配方后多出來的項含有含有x1 1項的配方項的配方第五章第五章 相似矩陣及二次型相

55、似矩陣及二次型322322232144xxxxxxx23223212xxxxx3332232112xyxxyxxxy令令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型32312123222162252xxxxxxxxxf2221yy 把把f 化成標準形（規(guī)范形），其中變換矩陣為化成標準形（規(guī)范形），其中變換矩陣為.01,100210111CCyCx經(jīng)可逆變換經(jīng)可逆變換第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型.,622 323121并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣為規(guī)范形為規(guī)范形化二次型化二次型xxxxxx

56、f 例例5-165-1633212211 yxyyxyyx令令由于所給二次型中無平方項，所以由于所給二次型中無平方項，所以解解321321100011011yyyxxx即即,622323121xxxxxxf代代入入.8422 32312221yyyyyyf得得第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型再配方，得再配方，得.622223232231yyyyyf333223116)2(2)(2 yzyyzyyz令令333223116162216121zyzyzyzzy把把f 化成規(guī)范形：化成規(guī)范形：232221zzzf第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型所用變換矩陣為所用變換矩陣為6

57、10061212163212161006221061021100011011C.061C第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型（1 1）若二次型含有若二次型含有xi 的平方項，則先把含有的平方項，則先把含有xi 的乘積的乘積項集中，然后配方；項集中，然后配方；1 1、二次型、二次型含有平方項含有平方項情形情形（2 2）對其余的變量同樣進行配方，直到對其余的變量同樣進行配方，直到都配成平方項為止都配成平方項為止；（3 3）經(jīng)過線性變換，就得到標準形（規(guī)范形）。經(jīng)過線性變換，就得到標準形（規(guī)范形）。拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟2 2、二次型、二次型不含平方項不含平方項情形情形（1 1）若二次型中不含有平方項，但是若二次型中不含有平方項，但是 則先作則先作可逆線性變換：可逆線性變換：)(0jiaij第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型kkjijjiiyxyyxyyxjiknk, 2 , 1且且化二次型為含有平方項的二次型；化二次型為含有平方項的二次型；（2 2）再按再按1 1中（含平方項）中（含平方項）的方法配方。的方法配方。 一般，任何二次型都可用上述兩種方法，找到可逆變一般，任何二次型都可用上述兩種方法，找到可逆變換，把二次型化成標準形（或規(guī)范形）。換，把二次型化成標準形（或規(guī)范形）。第五章第五章 相似矩陣及二次