函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解題方法探尋及典例剖析 (2)

1、導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于 解法二：分離變量法： 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), 恒成立 等價(jià)于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則 (2)當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價(jià)于當(dāng)時(shí) 恒成立 變更主元法 再等價(jià)于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）-22 例2：

2、設(shè)函數(shù) （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（） 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a） 令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當(dāng)x=a時(shí)，極小值= 當(dāng)x=3a時(shí)，極大值=b. （）由|a，得：對(duì)任意的恒成立則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù) 的對(duì)稱軸 （放縮法）即定義域在對(duì)稱軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). （9分） 于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于 又第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為，（）求的值；（）當(dāng)時(shí)

3、，求的值域；（）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、參數(shù)問題例4：已知，函數(shù)（）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：. （） 是偶函數(shù)， . 此時(shí)， 令，解得：. 可知：的極大值為， 的極小值為. （）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、 當(dāng)且

4、僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，單調(diào)遞增。 2、 a-1-1單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：（II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：1、時(shí)，單調(diào)遞增 符合題意 2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、題型二：根的個(gè)數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)=即方程根的個(gè)數(shù)問題例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍； 若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時(shí)，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)時(shí)，由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即 ，

5、解得綜上，所求的取值范圍為根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過原點(diǎn)，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解：（1）的圖像過原點(diǎn)，則 ，又是的極值點(diǎn)，則 -1 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于有含的三個(gè)根，即：整理得：即：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根（計(jì)算難點(diǎn)來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分解， 恒有含的三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。題2：切線的條數(shù)問題=以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的

6、個(gè)數(shù)例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ，由聯(lián)立得：， （2）設(shè)切點(diǎn)Q，過，令，求得：，方程有三個(gè)根。需：故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)例8、解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┊?dāng)m4時(shí)，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或. 令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，），單調(diào)遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數(shù)yf (x)在（1，）有兩個(gè)極值點(diǎn),x2(m3)xm6=0的

7、根在（1，） 根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍解：（1） 當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)=0有3個(gè)根，則或，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以或而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（） 令=0,得 因?yàn)椋?因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價(jià)于， 令，則問題就是在上

8、恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是0，1.3、（根的個(gè)數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式；（）若方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 )，且= 0得 （）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由=

9、 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 當(dāng)a3時(shí)，方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根。 12分4、（根的個(gè)數(shù)問題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 解：（1） 令得 令得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為5分（2）由題得即 令 令得或 當(dāng)即時(shí)此時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)即時(shí)，,當(dāng)即時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn) 綜上可知，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)5、（簡(jiǎn)單切線問題）已知函數(shù)圖象

10、上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)（） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解： 6、（線性規(guī)劃例子）（1）已知函數(shù) () 若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (). 由, 函數(shù)在時(shí)有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 () 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為ABC的中位線, 所求

11、一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時(shí)直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題典例剖析(第五次補(bǔ)課試題及答案)【典型題剖析及訓(xùn)練】1、已知a、b為常數(shù)，且a0，函數(shù)，。（）求實(shí)數(shù)b的值；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)a1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（mM），使得對(duì)每一個(gè)tm，M，直線yt與曲線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù) m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由?！窘馕觥浚ǎ゜2

12、；（）a0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，）；（）存在m，M；m的最小值為1，M的最大值為2。2、已知函數(shù)圖象上一點(diǎn) 處的切線方程為。（1）求的值 （2）設(shè)，求證：對(duì)于任意的，有（3）若方程在 上有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）3、設(shè)函數(shù)，。 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù) 圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （4）是否存在實(shí)數(shù)t，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，

13、說明理由。【解】（1）當(dāng)時(shí)，的的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2），由已知：對(duì)，恒成立，即對(duì)恒成立。當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，所以。 （3）方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解。記，則， 令，得：，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減。所以。易求得：，。 為使方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，根據(jù)的圖象可知： 或 。故的取值范圍是。（4）設(shè)，則， ，令，得： ，。 由上表可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù) 取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。且當(dāng)時(shí)，。為使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即

14、。故存在實(shí)數(shù)t滿足題設(shè)條件，且t的取值范圍是。4、設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II) 證明：【解析】（I）。由題意知：方程有兩個(gè)根，且 則有故有 右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。 (II) 由題意有 又 消去可得 易知：關(guān)于遞減，因?yàn)?，?而， 5、已知函數(shù)， ， （） （1）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都不大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 （2）當(dāng)時(shí)，若且，證明： （3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程 （）有唯一實(shí)數(shù)解，求的值?！窘馕觥浚?）的定義域?yàn)椤Ｒ李}意，對(duì)恒成立。即恒成立。所以，而，其最大值為， 所以 （2）當(dāng)a=

15、0時(shí)，于是 。因?yàn)椋苫静坏仁娇傻茫?。故題設(shè)不等式得證。（3）【法一】當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的方程有唯一解等價(jià)于方程有唯一解。 設(shè)（）則 ，令，即，求得：。 當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)時(shí) ，遞增。 所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值 若是方程的唯一解，則有：， 即 ，顯然 而函數(shù)單調(diào)遞增，所以是方程的唯一解。 又，所以 ， 求得： 。 【法一】當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的方程有唯一解等價(jià)于方程 在上有唯一解，設(shè)，則 ，令，求得：。當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增：當(dāng)時(shí)，函數(shù) 遞減 。所以當(dāng)時(shí)，取得最大值。為使方程有唯一解，又m>0，故有：， 所以 6、設(shè)函數(shù) (I)討論的單調(diào)性；（II）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存

16、在，使得 若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（I）的定義域?yàn)?令，其判別式 當(dāng) 故上單調(diào)遞增 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛鶠椋?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因?yàn)?，所?又由(I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得7、已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：（x0）0【解析】（I） 若單調(diào)增加. 若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. （II）設(shè)函數(shù)則 當(dāng)時(shí)，即遞增，而，所以

17、.故當(dāng)時(shí)， （III）由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為，且不妨設(shè)，則 由（II）得從而， 由（I）知， 8、已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù) 和 是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，對(duì)恒成立即恒成立。即，故b的取值范圍是（2）【法一】由得：若，則由，于是和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致, 所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以要使,只有,即所以。 取，則當(dāng)時(shí), 。 因此9、已知關(guān)于x的

18、函數(shù)f(x)bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。.令g(x),記函數(shù)g(x)在區(qū)間-1、1上的最大值為M. ()如果函數(shù)f(x)在x1處有極值-，試確定b、c的值： （）若b>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2: ()若MK對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。【解析】（I） ，由在處有極值可得 解得 或 若，則，此時(shí)沒有極值；若，則。 所以當(dāng)時(shí)，有極大值， 故，即為所求。（）【法一】：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即（） （1）當(dāng)時(shí)，由（）可知； （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí) ，即10、已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 （1）用表示出b