@@@微積分基礎(chǔ)(國家開放大學(xué))第1章第3節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

1、12xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 3, 0lim0yxOxy xfy 0 xxx0 xyMN00lim( )()xxf xf xMN4 00limxxfxfx 00limxxfxfx51sin,0,( )0.0,0,xxf xxxx試證函數(shù)在處連續(xù), 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知：知：.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 2,0,( )0.2,0,xxf xxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2

2、 ),0(f .0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf6:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf7,0,( )0.1,0,xxf xxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解：解：, 0)00( f, 1)00( f),00()00

3、( ff0.x 為函數(shù)的間斷點(diǎn)oxy8012,( )1.11,1,1xxf xxxxx在處的連續(xù)性oxy112xy 1xy2 , 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 為函數(shù)的間斷點(diǎn)91,0,( )0.,0,xf xxxxx在處的連續(xù)性oxy, 0)00( f,)00( f1.x 為函數(shù)的間斷點(diǎn)10.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx0.x 為間斷點(diǎn)11可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振

4、蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x1213)(lim)(lim00 xfxfxxxx142yx15. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原原式式. 1sin e解解.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 16,0( ),( )(,).,0 xexf xaf xax x 求 使在上連續(xù)解解,由初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的連續(xù)性處處在在易易知知只只要要0)( xxf,連續(xù)即可連續(xù)即可,)0(af 因因?yàn)闉?(lim)00(0 xffx )(lim0 xax ,a )(lim)00(0 xffx xxe 0lim.