帶間躍遷的量子力學處理

1、13. 6 帶間躍遷的量子力學處理帶間躍遷的量子力學處理 v基礎(chǔ)：含時間的微擾理論基礎(chǔ)：含時間的微擾理論體系體系（微擾）（微擾）有效質(zhì)量近似有效質(zhì)量近似(EMA)絕熱近似，絕熱近似，單電子近似單電子近似 吸收光譜及所有光吸收光譜及所有光學函數(shù)的量子力學的學函數(shù)的量子力學的表達；表達； 動量選擇定則動量選擇定則 布里淵區(qū)臨界點及布里淵區(qū)臨界點及其在光躍遷中的作用；其在光躍遷中的作用； 電偶極與電四極躍電偶極與電四極躍遷選擇定則遷選擇定則給出：給出：光光2相互作用哈密頓量相互作用哈密頓量v輻射場輻射場(光場光場) 矢量勢矢量勢 標量勢標量勢 v哈密頓量哈密頓量電子動量電子動量:在光場作用下為在光場

2、作用下為 相互作用哈密頓量相互作用哈密頓量(. )(. )0i t k rit k rAA a ee (1)1( , ).NIiiieHHA r t Pm AAEtt 2222(1)(2)01()( )2( )22IIHpeAU rmpeeU rA PAmmmHHH 注釋：注釋：PeA 其中利用橫波條件其中利用橫波條件和和 0A P AA PiA 3躍遷幾率躍遷幾率v躍遷幾率躍遷幾率積分形式積分形式微分形式微分形式(黃金法則）黃金法則）波函數(shù)，單電子近似波函數(shù)，單電子近似220,2()()()i fffiieWAa MEKE Km *,()fiik ri ff Ki Ka Mea Pd 22(

3、 )IWf Hig 22()IfiWf HiEE EfEi吸收吸收EfEi發(fā)射發(fā)射g( )為終態(tài)態(tài)密度為終態(tài)態(tài)密度“-”代表光吸收代表光吸收 “+”代表光發(fā)射代表光發(fā)射“+”代表代表光光吸收吸收 “-”代表代表光光發(fā)射發(fā)射含時微擾項為含時微擾項為( , )( )i tIIHr tHr e （空間指數(shù)因子）（空間指數(shù)因子）（時間指數(shù)因子）（時間指數(shù)因子）4v討論：布洛赫函數(shù)的周期性與動量守恒定律討論：布洛赫函數(shù)的周期性與動量守恒定律ffiiiKrf KfiK ri Kieu Kreu K r*,(, )(, ) 晶體中的電子波函數(shù)：布洛赫函數(shù)晶體中的電子波函數(shù)：布洛赫函數(shù)其中周期性函數(shù)其中周期性

4、函數(shù)u K rTu K r(,)(, ) 偶極躍遷矩陣元滿足平移對稱性，即要求下式保持不變偶極躍遷矩陣元滿足平移對稱性，即要求下式保持不變i ffia MiKkKT,exp () 所以所以fiKkK0 或或fiKKKk(0)光光子子：對應(yīng)直接躍遷（豎直躍遷）。對應(yīng)直接躍遷（豎直躍遷）。5直接躍遷吸收譜的量子力學計算直接躍遷吸收譜的量子力學計算v單位時間、單位體積中的躍遷數(shù)單位時間、單位體積中的躍遷數(shù)v介電函數(shù)虛部的量子力學表示介電函數(shù)虛部的量子力學表示 其它光學響應(yīng)函數(shù)的量子力學表示其它光學響應(yīng)函數(shù)的量子力學表示 220,3,22()()()(2 )V CCVV CBZedKZAa MEKEK

5、m 2232320000( )( )2( )iiiZEEAA 22,3,02( )()()()(2 )iV CCVV CBZea MEKEKm V CrV CCVBZCVa MKedkmEKEKEKEK22,23,0222()22( )1(2 ) ()()1()() / 對對K求和求和對對S求和求和對對V和和C求和求和6聯(lián)合態(tài)密度和臨界點聯(lián)合態(tài)密度和臨界點v聯(lián)合態(tài)密度聯(lián)合態(tài)密度v臨界點方程臨界點方程布區(qū)高對稱點布區(qū)高對稱點 KEC(K) = KEV(K)=0 布區(qū)高對稱線布區(qū)高對稱線 KEc(K)KEv(K)=0 V CCVBZdKJEKEK,32()()(2 ) cvV CKCVEEdsJE

6、KEK,2()() 3 3（2 2 ）d3k= ds d K = ds dE / KE(K) 在在K空間中，躍遷矩陣元可近似處理為常量，所以有空間中，躍遷矩陣元可近似處理為常量，所以有iV CV CV CV CMJMJn2,22,1( )1( ) ()()0KCVEKEK 滿足滿足 條件條件的點稱為布里淵區(qū)的臨界點的點稱為布里淵區(qū)的臨界點,或或Van Hove奇點奇點7ri( )( ) Eg8臨界點的性質(zhì)臨界點的性質(zhì)v有效質(zhì)量的各向異性：在臨界點附近展開有效質(zhì)量的各向異性：在臨界點附近展開(k0 x,k0y,k0z)yyzzxxcvxyzxyzkkkkkkEKEKEmmm22220000()(

7、)()()()2 M0 : 二次項系數(shù)皆為正數(shù)二次項系數(shù)皆為正數(shù)(極小極小);M1 : 二次項系數(shù)中二次項系數(shù)中, 兩個正兩個正, 一個負一個負(鞍點鞍點);M2 : 二次項系數(shù)中二次項系數(shù)中, 一個正一個正, 兩個負兩個負(鞍點鞍點);M3 : 二次項系數(shù)皆為負數(shù)二次項系數(shù)皆為負數(shù)(極大極大).001/2000()()()0()oBEEEEJ EBA EEEEEE 1/200000()0()()0()BA EEEEEEJ EBEEEE 一維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點附近的解析行為及圖示一維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點附近的解析行為及圖示. A=(4 /ab)h-1(mz)1/2, B為與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的

8、一個常數(shù)為與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的一個常數(shù)臨界點臨界點聯(lián)合態(tài)密度聯(lián)合態(tài)密度圖示圖示Q0極小極小 Q1極大極大9001/200()()()0()oBEEEEJ EBA EEEEEE 1/200000()0()()0()BA EEEEEEJ EBEEEE 001/2000()()()0()oBEEEEJ EBA EEEEEE 1/200000()0()()0()BA EEEEEEJ EBEEEE 臨界點臨界點聯(lián)合態(tài)密度聯(lián)合態(tài)密度圖示圖示M0極小極小 M1鞍點鞍點M2鞍點鞍點 M3極大極大三維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點附近的解析行為及圖示三維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點附近的解析行為及圖示. A= 25/2h-3(m

9、xmymz)1/2，B與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)10 00000()()0()BEEEEJ EBAEEEE 00000()()0()BAEEEEJ EBEEEE 二維體系臨界點與聯(lián)合態(tài)密度二維體系臨界點與聯(lián)合態(tài)密度. 其中其中A=(8 /c)h-2(mxmy)1/2， B為與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)為與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)臨界點臨界點聯(lián)合態(tài)密度聯(lián)合態(tài)密度圖示圖示P0極小極小 P1鞍點鞍點P2極大極大00()10()AEJ EBLnEEE 1112宇稱選擇定則宇稱選擇定則v躍遷矩陣元躍遷矩陣元取取 長波近似）長波近似） 電偶極躍遷矩陣元及選擇定則電偶極躍遷矩陣元及選擇定則ik rek r.1(1 ，*,()ik rV CCVa Mea Pd CVcvmiEEr Ka rr K d*()( ,)()( ,)0 CVr Kxr K d*( ,)( )( ,)0 CVr Kyr K d*( ,)( )( ,)0 CVr Kzr K d*( ,)( )( ,)0 其中利用其中利用baib P amb r Hamib r a0 , 即即例，對反演對稱體系，若價帶波函數(shù)為偶函數(shù)，則導帶波函數(shù)為例，對反演對稱體系，若價帶波函數(shù)為偶函數(shù)，則導帶波函數(shù)為奇函數(shù)，允許奇函數(shù)，允許偶函數(shù)，禁戒偶函數(shù)，禁戒*,()V CCVa M