[研究生入學(xué)考試]201年專業(yè)碩士金融碩士數(shù)學(xué)部分

1、.第一篇 應(yīng)試指導(dǎo)第一節(jié) 最新真題2011年經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分真題二數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2.5分，共25分）21.設(shè)則，（ ）A. B. C. D. 22.不定積分（ ）A. B. C. D. 23.函數(shù)，那么（ ）A. 為的極大值點(diǎn) B. 為的極小值點(diǎn) C. 為的極大值點(diǎn) D. 為的極小值點(diǎn)24.設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有，且，則在內(nèi)（ ）A. 單調(diào)增加，圖像上凹 B. 單調(diào)增加，圖像下凹 C. 單調(diào)減少，圖像上凹 D. 單調(diào)減少，圖像下凹25.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分在幾何上表示（ ）A. 曲邊梯形的面積 B. 梯形的面積 C. 曲邊三角形的面積 D. 三角形的面

2、積26設(shè)和均為階矩陣，是大于的整數(shù)，則必有（ ）A. B. C. D. 27.設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組可由向量組線性表示，則必有（ ）A. 線性相關(guān) B. 線性無(wú)關(guān) C. D. 28.若線性方程組無(wú)解，則=（ ）A. B. C. D. 29.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若，則參數(shù)（ ）A. B. C. D. 30.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 三數(shù)學(xué)計(jì)算題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）31.求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。32.計(jì)算定積分。33.設(shè)，且，求。34.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求和。35.已知某函數(shù)的需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大。36.

3、 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量的概率密度。37. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從泊松分布，求期望。38.求齊次線性方程組的全部解（要求用基礎(chǔ)解系表示）。39.確定為何值時(shí) ，矩陣可逆，并求逆矩陣。第二節(jié) 真題解析二數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）21.設(shè)則，（ ）A. B. C. D. 【答案】：D【考點(diǎn)分析】：本題考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。【解析】：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，故選D。22.不定積分（ ）A. B. C. D. 【答案】：B【考點(diǎn)分析】：本題考查不定積分計(jì)算的第一類換元法（湊微分法）?！窘馕觥浚焊鶕?jù)換元法，令，則原積分變?yōu)?，故，故選B。23.函數(shù)，

4、那么（ ）A. 為的極大值點(diǎn) B. 為的極小值點(diǎn) C. 為的極大值點(diǎn) D. 為的極小值點(diǎn)【答案】：B【考點(diǎn)分析】：本題考查函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系?！窘馕觥浚焊鶕?jù)極值點(diǎn)的判別定理 ,本題中，由得兩個(gè)駐點(diǎn)或，由知，為的極小值點(diǎn)。在處，由于，可知不為的極值點(diǎn)。故選B。24.設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有，且，則在內(nèi)（ ）A. 單調(diào)增加，圖像上凹 B. 單調(diào)增加，圖像下凹 C. 單調(diào)減少，圖像上凹 D. 單調(diào)減少，圖像下凹【答案】：C【考點(diǎn)分析】：本題考查函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系?！窘馕觥浚焊鶕?jù)單調(diào)性定理， ，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少；根據(jù)函數(shù)凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，故函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)。故選C。25.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

5、，則定積分在幾何上表示（ ）A. 曲邊梯形的面積 B. 梯形的面積 C. 曲邊三角形的面積 D. 三角形的面積【答案】：C【考點(diǎn)分析】：本題考查定積分的幾何意義以及分部積分法。【解析】：由分部積分法可知：=。結(jié)合右圖及定積分的幾何意義可知：表示途中矩形的面積，而積分則表示圖中曲邊梯形的面積。由此可知，表示圖中曲邊三角形（陰影部分）的面積。故選C。26設(shè)和均為階矩陣，是大于的整數(shù)，則必有（ ）A. B. C. D. 【答案】：C【考點(diǎn)分析】：本題考查矩陣及行列式的運(yùn)算法則。【解析】：由轉(zhuǎn)置及矩陣乘法的運(yùn)算法則可知：，故A錯(cuò)誤；一般來(lái)說(shuō)，矩陣乘法不滿足交換律，也即不一定成立，不一定等于，可知B錯(cuò)誤

6、；在行列式的運(yùn)算法則中，一般也不成立，可知D錯(cuò)誤；行列式的運(yùn)算法則可知，故選C。27.設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組可由向量組線性表示，則必有（ ）A. 線性相關(guān) B. 線性無(wú)關(guān) C. D. 【答案】：C【考點(diǎn)分析】：本題考查向量的線性表出和線性相關(guān)性?！窘馕觥浚河啥ɡ砜芍喝粝蛄拷M可以由向量組線性表出，且線性無(wú)關(guān)，則有。故選C。28.若線性方程組無(wú)解，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】：A【考點(diǎn)分析】：本題考查線性方程組有解的條件?！窘馕觥浚簩?duì)增廣矩陣做初等行變換得。由于線性方程組無(wú)解，可知最后一個(gè)方程必為矛盾方程，可知。故選A。29.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若，則參數(shù)（ ）A. B.

7、C. D. 【答案】：D【考點(diǎn)分析】：本題考查常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)字特征。【解析】：,因?yàn)?所以,代入得。選D。30.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】：C【考點(diǎn)分析】：本題考查隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥浚骸９蔬xC。三數(shù)學(xué)計(jì)算題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）31.求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。【考點(diǎn)分析】：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值的計(jì)算。【解析】：， 由得到單調(diào)增區(qū)間為由得到單調(diào)減區(qū)間為由得到駐點(diǎn)又，故是極大值點(diǎn)；是極小值點(diǎn)。32.計(jì)算定積分?！究键c(diǎn)分析】：本題考查不定積分的計(jì)算。【解析】：33.設(shè)，且，求?！究键c(diǎn)分析】：本題考查原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

8、的概念以及不定積分的計(jì)算。【解析】：，故，又，得C=2，故34.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求和。【考點(diǎn)分析】：本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)。【解析】：對(duì)方程等號(hào)兩邊同時(shí)關(guān)于x求偏導(dǎo)得 ， 整理得到同理得 35.已知某函數(shù)的需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大。【考點(diǎn)分析】：本題考查導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用以及函數(shù)最值的計(jì)算?！窘馕觥浚骸笆找?需求價(jià)格“，故本題中的收益為。而利潤(rùn)=收益成本，故本題中的利潤(rùn)為。求導(dǎo)可得，令可得。又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。可知當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大。36. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量的概率密度。【考點(diǎn)分析】：本題考查連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)以及概率密度的概念?！窘馕觥浚?7. 設(shè)隨機(jī)變

9、量服從正態(tài)分布，服從泊松分布，求期望。【考點(diǎn)分析】：本題考查隨機(jī)變量數(shù)字特征的性質(zhì)以及常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)字特征。【解析】：由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可知。由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知；由于隨機(jī)變量服從泊松分布，可知。故。38.求齊次線性方程組的全部解（要求用基礎(chǔ)解系表示）?！究键c(diǎn)分析】：本題考查齊次線性方程組通解的計(jì)算及基礎(chǔ)解系的概念?！窘馕觥浚簩?duì)系數(shù)矩陣作初等行變換得，故此方程組的基礎(chǔ)解系含解向量的個(gè)數(shù)為選為自由未知數(shù)。令 可求得 可求得 是此方程組的基礎(chǔ)解系。故齊次線性方程組的通解為，其中。39.確定為何值時(shí) ，矩陣可逆，并求逆矩陣?！究键c(diǎn)分析】：本題考查矩陣可逆的充要條件和逆矩陣的計(jì)算?！窘馕觥浚?/p>

10、由可逆知，故可知當(dāng)時(shí)，可逆。下面利用初等行變換計(jì)算矩陣的逆矩陣： 故第三節(jié) 大綱解析一試卷結(jié)構(gòu)選擇題10題，每題2.5分；解答題9題，每題5分。二考試內(nèi)容1.微積分部分一元函數(shù)的微分、積分；多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性和極值。2.概率論部分分布和分布函數(shù)；常見(jiàn)分布；期望值和方差。3.線性代數(shù)部分線性方程組；向量的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)；矩陣的基本運(yùn)算。三試題特點(diǎn)及能力要求2011年經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分的試題主要呈現(xiàn)出如下幾個(gè)特點(diǎn)：1.難度較低，以考查基本概念和基本計(jì)算為主相對(duì)于普碩的數(shù)學(xué)三，經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合的數(shù)學(xué)從內(nèi)容的廣度和深度上都較低，主要考查考生對(duì)基本概念的理解和對(duì)基本運(yùn)算和基本方法的

11、掌握情況，試題的靈活性和綜合性不高。考生在復(fù)習(xí)時(shí)一定要牢記這一點(diǎn)，不要追求難度，而要踏踏實(shí)實(shí)打好基礎(chǔ)，并進(jìn)行足量的訓(xùn)練，才能拿到理想的分?jǐn)?shù)的。2.考題分布比較均勻，不存在明顯的偏重考試大綱上有提及的考點(diǎn)在試卷上均有所體現(xiàn)，除對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查相對(duì)較多以外，不存在明顯的傾向。因?yàn)樵囶}難度較低，所以試卷必然要求考點(diǎn)分布相對(duì)較廣，以保持適當(dāng)?shù)膮^(qū)分度。這就要求考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候一定要全面而細(xì)致，不要存在僥幸心理，扎扎實(shí)實(shí)掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、攻克每一個(gè)考點(diǎn)，才能順利取得高分。3.注重對(duì)基本定理、基本公式的識(shí)記考卷上有相當(dāng)比重的試題是可以直接從課本上的定理及公式中找到答案的，說(shuō)明考試對(duì)考生對(duì)公式定理的記憶的

12、要求較高。高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論中的公式定理都比較多，給考生的記憶造成了障礙。因此考生在復(fù)習(xí)時(shí)一定要注意對(duì)基本公式定理的總結(jié)、歸類，再結(jié)合適量的練習(xí)，以求熟練掌握。4.命題依據(jù)考試大綱，但不局限于大綱經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合的考試大綱比較簡(jiǎn)略，只給出了考試的大致范圍，沒(méi)有完全限定考試內(nèi)容?？荚囍袝?huì)出現(xiàn)一些大綱上沒(méi)有指出，但在整個(gè)邏輯知識(shí)體系內(nèi)部的考點(diǎn)。請(qǐng)看如下例證：【2011年經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合選擇題第4題】24.設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有，且，則在內(nèi)（ ）A. 單調(diào)增加，圖像上凹 B. 單調(diào)增加，圖像下凹 C. 單調(diào)減少，圖像上凹 D. 單調(diào)減少，圖像下凹【考點(diǎn)評(píng)析】：本題考查函數(shù)凹凸性，但考試大綱上并沒(méi)有出

13、現(xiàn)函數(shù)的凹凸性，只要求了函數(shù)的單調(diào)性和極值。這是因?yàn)楹瘮?shù)的凹凸性實(shí)質(zhì)上是其導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)凹凸性是掌握函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)在要求。【2011年經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合選擇題第10題】30.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【考點(diǎn)評(píng)析】：本題要用到利用分布函數(shù)計(jì)算概率的公式，需要計(jì)算函數(shù)的左極限，但考試大綱上并沒(méi)有出現(xiàn)極限。這是因?yàn)檎莆諛O限是學(xué)習(xí)整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基本要求，沒(méi)有極限就無(wú)法正確理解后面的導(dǎo)數(shù)與積分?！?011年經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合解答題第9題】39. 確定為何值時(shí) ，矩陣可逆，并求逆矩陣?！究键c(diǎn)評(píng)析】：需要計(jì)算矩陣的行列式，但考試大綱上并沒(méi)有出現(xiàn)行列式。這是因?yàn)樾辛惺绞钦麄€(gè)線性代

14、數(shù)的基本運(yùn)算，在判斷矩陣可逆性以及后面判斷向量組線性相關(guān)性和線性方程組是否有解時(shí)，都會(huì)用到行列式。掌握行列式的定義及其常見(jiàn)計(jì)算方法是整個(gè)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基本要求。綜上所述，考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，要依據(jù)大綱進(jìn)行，但不可拘泥于大綱。要依據(jù)大綱所規(guī)定考點(diǎn)的內(nèi)在要求進(jìn)行學(xué)習(xí)，建立起清晰完整的知識(shí)體系?；谶@一原則，我們對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分的考點(diǎn)及要求歸納總結(jié)如下：微積分部分模塊一模塊二模塊三第一章 函數(shù)極限與連續(xù)1.函數(shù)（1）函數(shù)的三要素：定義域、解析式、值域。（2）函數(shù)的運(yùn)算：四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)。（3）函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、有界性2.極限（1）極限的定義；（2）極限的性質(zhì)：唯一性

15、、有界性、保號(hào)性；（3）極限的運(yùn)算法則：四則運(yùn)算；（4）兩個(gè)重要極限；（5）無(wú)窮小與無(wú)窮大3.連續(xù)性（1）函數(shù)連續(xù)的定義；（2）函數(shù)的間斷點(diǎn)；（3）間斷點(diǎn)的分類。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分1.可導(dǎo)性（1）函數(shù)可導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的定義；（2）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；（3）高階導(dǎo)數(shù)。2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；（3）反函數(shù)求導(dǎo)法則；（4）隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)。3.微分（1）可微的定義；（2）可微、可導(dǎo)以及連續(xù)的關(guān)系；（3）函數(shù)微分的計(jì)算。第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.單調(diào)性（1）單調(diào)性定理；（2）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的計(jì)算與證明。2.極值（1）函數(shù)極值的定義；（2）判斷函數(shù)極值的必要條件；（3）判斷

16、極值的第一充分條件和第二充分條件。3.凹凸性（1）函數(shù)凹凸性的定義；（2）函數(shù)凹凸性的判別方法；（3）拐點(diǎn)的定義；（4）拐點(diǎn)的判別定理。第四章 不定積分1.原函數(shù)（1）原函數(shù)的定義；（2）不定積分的定義與性質(zhì)；（3）基本積分公式。2.換元積分法（1）第一類換元法；（2）第二類換元法。3.分部積分法第五章 定積分1.定積分（1）定積分的定義；（2）定積分的幾何意義；（3）定積分的性質(zhì)。2.微積分基本定理（1）變限積分及其導(dǎo)數(shù)；（2）牛頓萊布尼茲公式。3.定積分的計(jì)算（1）利用牛頓萊布尼茲公式轉(zhuǎn)化為不定積分的計(jì)算；（2）借助函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算；（3）分段函數(shù)的積分。第六章 多元函數(shù)微分學(xué)1.基本

17、概念（1）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分；2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（1）四則運(yùn)算法則；（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；（3）隱函數(shù)求導(dǎo)。概率論部分模塊一模塊二模塊三第一章 隨機(jī)事件及其概率1.隨機(jī)事件（1）隨機(jī)事件的定義；（2）隨機(jī)事件的運(yùn)算：積事件、和事件、差事件；（3）隨機(jī)事件的關(guān)系：包含、相等、互斥、對(duì)立。2.概率（1）概率的定義與基本性質(zhì)；（2）條件概率與獨(dú)立性；（3）概率的重要公式：加法公式、減法公式、乘法公式。3.重要概型（1）古典概型；（2）伯努利概型。第二章 隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量的定義；（2）分布函數(shù)的定義；（3）分布函數(shù)的充要條件與重要性質(zhì)。2.離散型隨機(jī)變量（1）離散型隨機(jī)變量及其

18、分布律；（2）分布律的充要條件及重要性質(zhì)；（3）離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（4）常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量。3.連續(xù)型隨機(jī)變量（1）連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度；（2）概率密度的充要條件及重要性質(zhì)；（3）概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系。（4）常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量。第三章 數(shù)字特征1.期望與方差（1）隨機(jī)變量期望的定義及其計(jì)算公式；（2）隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（3）隨機(jī)變量的方差及其計(jì)算公式。2.重要公式（1）隨機(jī)變量的期望與方差的重要性質(zhì)；（2）常見(jiàn)隨機(jī)變量的期望與方差。線性代數(shù)部分模塊一模塊二模塊三第一章 行列式1.行列式的定義2.行列式的性質(zhì)3.行列式按行（列）展開(kāi)的定理第二章 矩陣1.矩陣（1）矩陣

19、的定義；（2）常見(jiàn)的特殊矩陣。2.矩陣的運(yùn)算（1）矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法；（2）重要的運(yùn)算法則。3.逆矩陣（1）逆矩陣的定義；（2）逆矩陣的常見(jiàn)性質(zhì)；（3）矩陣可逆的充要條件。（4）逆矩陣的計(jì)算。第三章 向量1.向量（1）向量的定義；（2）向量的運(yùn)算。2.線性相關(guān)性（1）向量組線性相關(guān)的定義；（2）向量組是否線性相關(guān)的判別方法；（3）線性相關(guān)性與齊次線性方程組的關(guān)系；（4）線性相關(guān)性的重要性質(zhì)和定理。3.線性表出（1）線性表出的定義；（2）向量組能否線性表出某一向量的判別方法。（3）線性表出與非齊次線性方程組的關(guān)系；（4）線性表出與線性相關(guān)性的重要性質(zhì)與定理。第四章 線性方程組1.線性方

20、程組（1）線性方程組的定義以及基本的表示方法；2.解的判定（1）線性方程組有解的條件；（2）在有解的條件下，線性方程組的解唯一的條件。3.通解（1）齊次線性方程組解的性質(zhì)；（2）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解；（3）非齊次線性方程組解的性質(zhì)；（4）非齊次線性方程組的通解。第四節(jié) 考試預(yù)測(cè)根據(jù)2011年考試的情況以及最新的考試信息，我們對(duì)未來(lái)幾年經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分的命題方向有如下預(yù)測(cè)：1. 從考查方向上看：強(qiáng)調(diào)“三基”經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分的試題仍將以考查數(shù)學(xué)中的“三基本”為主，包括：基本概念、基本方法和基本理論。通過(guò)試題考查考生的計(jì)算能力、邏輯推理能力、抽象能力和綜合運(yùn)用能力，以計(jì)算能力和

21、邏輯推理能力為主。2.從試卷結(jié)構(gòu)上看：選擇題會(huì)有所增加，解答題會(huì)逐漸減少受限于難度，經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合的命題不會(huì)更多地強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法與技巧，而是側(cè)重于考查考生對(duì)基本概念、基本理論的理解。從這個(gè)角度來(lái)看，主要考查考生計(jì)算能力的解答題會(huì)逐漸減少，而以概念題、簡(jiǎn)單的邏輯推理推理題為主的選擇題會(huì)逐漸增多。3.從考試范圍與難度上看：內(nèi)容逐漸增多，難度逐年上調(diào)參加經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合的考生越來(lái)越多，為了保持足夠的區(qū)分度，以方便高校招生，經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分的試卷難度會(huì)逐漸上升。這一趨勢(shì)將會(huì)主要在兩個(gè)方面體現(xiàn)出來(lái)：一是考查的內(nèi)容會(huì)逐漸增加；二是試題的靈活性、綜合性也會(huì)逐漸增大。當(dāng)然，任何考試的命題都會(huì)有一定的延續(xù)性，

22、因此不會(huì)出現(xiàn)難度陡增的現(xiàn)象，只會(huì)是緩慢地逐年上升。也就是說(shuō)，2012年的試卷難度將會(huì)略高于2011年。同時(shí)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，經(jīng)濟(jì)類聯(lián)考綜合數(shù)學(xué)部分試題的難度總體還是會(huì)低于普研數(shù)學(xué)三。第二篇 考點(diǎn)精講一、高等數(shù)學(xué)部分第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)性內(nèi)容提要：1.函數(shù)實(shí)質(zhì)上是自變量與因變量之間按照一定法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的概念及各種性質(zhì)在考研數(shù)學(xué)中一般不作為直接的考點(diǎn)。但函數(shù)是微積分的基本研究對(duì)象，絕大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)都直接或間接地與函數(shù)相關(guān)，相當(dāng)大的一部分題目中也要直接或間接地用到函數(shù)的各種性質(zhì)。因此，在開(kāi)始微積分的學(xué)習(xí)之前，重溫一遍函數(shù)的主要內(nèi)容是必要的。函數(shù)部分需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容有：復(fù)合函數(shù)，分段函數(shù)的運(yùn)算

23、，反函數(shù)的概念及計(jì)算，函數(shù)的奇偶性和有界性。2.極限是這一章的主要內(nèi)容，也是整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)本章的核心任務(wù)是熟練掌握各種極限的計(jì)算方法，極限計(jì)算的方法牽涉到方方面面的理論，在后續(xù)很多章節(jié)都有涉及，總結(jié)起來(lái)主要有：利用四則運(yùn)算，利用兩個(gè)重要極限，利用等價(jià)無(wú)窮小替換，利用洛必達(dá)法則，利用變量替換，分別求左右極限，數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，利用夾逼原理等。對(duì)于極限的計(jì)算需要大量的練習(xí)，以求熟能生巧，對(duì)各種方法融會(huì)貫通。無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的概念是這一部分的另一重要內(nèi)容。它們既是對(duì)極限計(jì)算的應(yīng)用，又可以反過(guò)來(lái)幫助我們求極限。學(xué)習(xí)時(shí)，要理解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的概念及它們的關(guān)系，重點(diǎn)掌握無(wú)窮小量的比較

24、方法，理解無(wú)窮小量的高階、同階、等價(jià)的概念并能用等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算極限。3.函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，微積分中研究的函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)或僅在有限個(gè)點(diǎn)間斷的函數(shù)。對(duì)函數(shù)連續(xù)性的考查也是考研數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，考題主要集中在連續(xù)性的討論及間斷點(diǎn)的分類上。對(duì)函數(shù)連續(xù)性的考查本質(zhì)上還是考查極限的計(jì)算。第一節(jié) 函數(shù)考點(diǎn)精講一基本概念1.函數(shù)：從實(shí)數(shù)集的子集到的一個(gè)映射稱之為函數(shù)，記作，稱為自變量，為因變量。函數(shù)的三要素：定義域、解析式和值域（也作二要素：定義域、解析式，因?yàn)檫@兩者可以決定值域）。其中，定義域是自變量的取值范圍；值域是因變量的取值范圍記作。函數(shù)由其解析式和定義域唯一確定，與符號(hào)的選取無(wú)關(guān)

25、，如與是同一個(gè)函數(shù)。在沒(méi)有特別指定的情況下，函數(shù)的定義域取自然定義域，即使得函數(shù)運(yùn)算有意義的自變量的取值范圍。易知，人為指定的定義域必為自然定義域的子集。常見(jiàn)的函數(shù)的定義域如下：2.復(fù)合函數(shù)：設(shè)與為兩個(gè)函數(shù)，如果的值域包含于的定義域，則可以定義與的復(fù)合函數(shù)。類似地，還可以定義三個(gè)或更多函數(shù)的的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：）復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算滿足結(jié)合律，即（注意，復(fù)合函數(shù)不滿足交換律。例如令，則）；）如果單調(diào)性相同，則單調(diào)遞增；如果單調(diào)性相反，則單調(diào)遞減。3.反函數(shù)：函數(shù)是一個(gè)映射，如果該映射的逆映射存在，則稱該逆映射是函數(shù)的反函數(shù)，記作。反函數(shù)的性質(zhì)：）函數(shù)存在反函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)，有

26、；）反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；）反函數(shù)與原函數(shù)的增減性相同。常見(jiàn)反函數(shù)：4.初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次復(fù)合或四則運(yùn)算得到的函數(shù)稱之為初等函數(shù)。基本初等函數(shù)包括如下五類函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：等；反三角函數(shù)：等。5.分段函數(shù)：函數(shù)在的不同取值范圍內(nèi)有不同的解析式就稱之為分段函數(shù)。常見(jiàn)的分段函數(shù)：，二基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性：如果對(duì)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)都有（或），就稱函數(shù)在上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），相應(yīng)地稱是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）。如果對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)都有（或），我們就稱函數(shù)在上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）。函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：）如果都是增函數(shù)（或減

27、函數(shù)），則也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。）如果是增函數(shù)，是減函數(shù)，則是增函數(shù)，是減函數(shù)。）如果是增函數(shù)（或減函數(shù)），如果常數(shù)，則是增函數(shù)；如果常數(shù)，則是減函數(shù)。常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間：2.函數(shù)的周期性：如果存在正數(shù)，使得對(duì)函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)都有，就稱是一個(gè)周期函數(shù)，而是的一個(gè)周期。易知如果是的一個(gè)周期，那么對(duì)任意的正整數(shù)，都是的周期。在的所有周期中，我們把其中最小的稱為最小正周期。很多時(shí)候，我們往往也把最小正周期簡(jiǎn)稱為周期。周期函數(shù)的性質(zhì)：）如果以為周期，則對(duì)任意的非零常數(shù)，仍然以為周期，以為周期。）如果都以為周期，則仍然以為周期（）。注意這時(shí)最小正周期有可能縮小，如都以為最小正周

28、期，但以為最小正周期。常見(jiàn)周期函數(shù)的周期：3.函數(shù)的奇偶性：如果對(duì)其定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)，（或），就稱是一個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。奇偶函數(shù)的性質(zhì)：）偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；）如果都是奇函數(shù)（或偶函數(shù)），則對(duì)任意的常數(shù)，仍然是奇函數(shù)（或偶函數(shù)）； ）如果奇偶性相同，則為偶函數(shù)；如果奇偶性相反，則為奇函數(shù)；）對(duì)于任意定義在對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)，、與都是偶函數(shù)；是奇函數(shù)。常見(jiàn)的奇函數(shù)：常見(jiàn)的偶函數(shù)：4.函數(shù)的有界性：設(shè)是一個(gè)函數(shù)，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)任意的一點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)有上界，并稱是函數(shù)的一個(gè)上界；如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)任意的一點(diǎn)，都有，則稱函數(shù)有下界，

29、并稱是函數(shù)的一個(gè)下界。既有上界又有下界的函數(shù)稱為有界函數(shù)，也即函數(shù)有界當(dāng)且僅當(dāng)，存在實(shí)數(shù)與，使得對(duì)定義域內(nèi)任意的一點(diǎn)，都有。注：有界函數(shù)還有一個(gè)等價(jià)的定義：存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)任意一點(diǎn)，都有。讀者可以嘗試自行證明這個(gè)結(jié)論。第二節(jié) 極限考點(diǎn)精講一基本概念1.數(shù)列極限：2.函數(shù)極限：3.左（右）極限右極限的定義類似。3.無(wú)窮?。阂?為極限的量.也即，如果，則稱時(shí)為無(wú)窮小?！咀ⅰ浚簾o(wú)窮小量的重要性質(zhì)1）.有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量；2）.有限個(gè)無(wú)窮小量的和仍為無(wú)窮小量；3）.無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量。4.無(wú)窮大：在自變量的某一過(guò)程中，函數(shù)值無(wú)限增大的量【注】：無(wú)窮大量的重要性質(zhì)1

30、）.無(wú)窮大實(shí)際上是極限不存在的情況，但極限不存在的量并不一定都是無(wú)窮大量2）.無(wú)窮大量也是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，而不是一個(gè)實(shí)際存在的數(shù)。3）.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非0的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量。5.無(wú)窮小量的比較設(shè)a.高階無(wú)窮小量與低階無(wú)窮小量：b.同階無(wú)窮小量c.等價(jià)無(wú)窮小量同階無(wú)窮小量的特殊情況，將定義中的C改為1即可，記作【注】：等價(jià)無(wú)窮小在計(jì)算極限中有重要的作用，需要記住的等價(jià)無(wú)窮小有二基本性質(zhì)1.極限的性質(zhì)四則運(yùn)算：設(shè)2數(shù)列極限的性質(zhì)及其收斂法則：a.性質(zhì)唯一性：有界性：（其逆不真）保序性：有兩個(gè)數(shù)列 若從某一項(xiàng)開(kāi)始，以后所有項(xiàng)都有，則（注：把都改為結(jié)論

31、不成立） 若有，則從某一項(xiàng)開(kāi)始，以后所有項(xiàng)都有（注：把都改為結(jié)論不成立）3.函數(shù)極限的性質(zhì)及其相關(guān)定理：a.唯一性：若存在，且有及，則。b.有界性：若存在，則存在正數(shù)，使得在內(nèi)有界c.保序性：若存在正數(shù)，對(duì)于任意滿足的都有，則 若有，存在正數(shù)，對(duì)于任意滿足的都有三重要公式與定理1.收斂準(zhǔn)則：a.夾逼定理：若存在正數(shù)，對(duì)于任意滿足的都有，且,則. 2.兩個(gè)重要極限a.b. 3.洛必達(dá)法則（型） 設(shè)滿足） ）在的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)除外）且）則有（型）設(shè)滿足）存在一個(gè)正數(shù)X,當(dāng)時(shí)有可導(dǎo)，且）則有（型）設(shè)滿足）在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)除外）且）則有（型）設(shè)滿足）存在一個(gè)正數(shù)X,當(dāng)時(shí)有可導(dǎo)，且）則有4.重要公式：

32、a.幾種常見(jiàn)的無(wú)窮大量趨近于無(wú)窮的快慢比較：當(dāng)時(shí)，以下各函數(shù)趨近于無(wú)窮的快慢 當(dāng)時(shí)，以下各數(shù)列趨近于無(wú)窮的快慢b.常用極限四計(jì)算極限的主要方法1.利用初等變換或變量替換利用極限的四則運(yùn)算將極限變形，化為便于計(jì)算的形式?！咀ⅰ浚?.關(guān)于無(wú)窮大的運(yùn)算法則2.如果出現(xiàn)等情況，則不能直接用公式計(jì)算需要應(yīng)用后面的方法計(jì)算。2.等價(jià)無(wú)窮小替換設(shè)在時(shí)，則有?！咀ⅰ浚?.等價(jià)無(wú)窮小替換在極限計(jì)算過(guò)程中一般起輔助的作用，它和洛必達(dá)法則聯(lián)用可以簡(jiǎn)化計(jì)算。 2.只有整個(gè)式子的乘除因子才能用等價(jià)無(wú)窮小替換，有加減時(shí)不能替換。如中的不能替換為。事實(shí)上，由洛必達(dá)法則可知。3.洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是計(jì)算函數(shù)極限最常用的方法

33、，使用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)a.如果，并不代表。如由夾逼原理可知時(shí)，而，因此。而如果運(yùn)用洛必達(dá)法則的話，就會(huì)得到，而不存在。b.使用洛必達(dá)法則之前，先檢驗(yàn)是否滿足所需條件；c.多次應(yīng)用時(shí)，注意在用完之后將式子整理化簡(jiǎn)；d.與等價(jià)無(wú)窮小量結(jié)合使用通常可以簡(jiǎn)化計(jì)算；e.數(shù)列極限如果也想用洛必達(dá)法則計(jì)算的話可以通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限。f.當(dāng)極限式中有積分號(hào)時(shí)，需要用到變限積分求導(dǎo)的公式：設(shè)函數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)，則有。4.利用兩個(gè)重要極限a.推廣：b. 推廣：或c.關(guān)于冪指數(shù)的三個(gè)公式）5.利用夾逼法夾逼法實(shí)質(zhì)上是對(duì)待求極限的數(shù)列或函數(shù)進(jìn)行放大或縮小，進(jìn)行放縮的時(shí)候有兩個(gè)原則：1.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算；2.不改變極

34、限值，優(yōu)先考慮第二條。第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性考點(diǎn)精講一基本概念1.函數(shù)的連續(xù)性a.在一點(diǎn)連續(xù)：b.左（右）連續(xù)c.在區(qū)間上連續(xù)2.函數(shù)的間斷點(diǎn)（函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)）間斷點(diǎn)的分類：第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在若左右極限相等但不等于函數(shù)值，則稱之為可去間斷點(diǎn)；若左右極限不相等則稱之為跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在若左右極限中至少有一個(gè)為無(wú)窮大量，則稱之為無(wú)窮間斷點(diǎn)。二重要公式、定理1.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)a.四則運(yùn)算：設(shè)均在某區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)，都在上連續(xù)b.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)均在其定義域上連續(xù)，且有，則是上的連續(xù)函數(shù)。c.反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是它的反函數(shù)，則是上的

35、連續(xù)函數(shù)。2初等函數(shù)的連續(xù)性a.初等函數(shù)：由函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或是復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)。b.初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)都在其定義域上連續(xù)。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容提要：本章的內(nèi)容是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念和它們的各種運(yùn)算。導(dǎo)數(shù)與微分是高等數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算之一，也是考研數(shù)學(xué)中重點(diǎn)要求的內(nèi)容。本章只涉及導(dǎo)數(shù)與微分的概念和基本的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)本章最首要的任務(wù)就是理解導(dǎo)數(shù)的概念。從定義上看，導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)“型”的函數(shù)極限：，計(jì)算導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是計(jì)算該極限?？忌枰炀氄莆罩苯永枚x計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，這是本章主要的難點(diǎn)和重點(diǎn)。從幾何意義上看，導(dǎo)數(shù)是曲線切線的斜率；從物理上看，如果將函數(shù)看作某一物體的

36、位移，它的導(dǎo)數(shù)就是該物體的速度。推而廣之，物理上所有的變化率（加速度，電流強(qiáng)度，增長(zhǎng)率等）都是導(dǎo)數(shù)。由它們可以引出導(dǎo)數(shù)的幾何及物理應(yīng)用，也可以幫助我們進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。導(dǎo)數(shù)與微分、可導(dǎo)性與可微性的關(guān)系是本章的另一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的，它們是同一個(gè)問(wèn)題的兩種不同描述方式?？晌⒌亩x很直觀地表達(dá)了“以直代曲”的思想（即以近似代替）?？晌⒑涂蓪?dǎo)都比連續(xù)要強(qiáng)，即可導(dǎo)必連續(xù)。一元函數(shù)的求導(dǎo)難度不大，但需要多加練習(xí)以求熟能生巧。對(duì)于導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，反函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)的法則都是需要通過(guò)大量練習(xí)才能熟練掌握的。計(jì)算一般的高階導(dǎo)

37、數(shù)時(shí)逐階計(jì)算即可。某些簡(jiǎn)單的形式可以通過(guò)特殊的方法計(jì)算出通式（即階導(dǎo)數(shù)）。第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)與微分I考點(diǎn)精講一基本概念1.導(dǎo)數(shù)的定義（1）導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，給自變量在處加上增量，相應(yīng)的得到因變量的增量。如果極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作導(dǎo)數(shù)的定義式還可以寫(xiě)成（2）左（右）導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在的左導(dǎo)數(shù)定義為右導(dǎo)數(shù)的定義類似注：回憶函數(shù)極限的定義，函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在等價(jià)于左右極限存在且相等，因此，函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件就是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。（3）函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，且在處存在右導(dǎo)數(shù)，在處存在

38、左導(dǎo)數(shù)，則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)（4）高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)如果也可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)稱為原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。n（n>2）階導(dǎo)數(shù)的定義依次類推。2.微分的定義設(shè)函數(shù)在的領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，如果因變量y的增量可以表示為其中為只與有關(guān)而與無(wú)關(guān)的常數(shù)，表示的高階無(wú)窮小量（回憶高階無(wú)窮小量的定義），則稱在處可微，并稱為在處的微分，記作或，即。二基本性質(zhì)1.函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：由定義可知，可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù)，但連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，例如。2. 可導(dǎo)與可微的關(guān)系:針對(duì)一元函數(shù)，可導(dǎo)性與可微性等價(jià)，并且有關(guān)系。3.導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算：設(shè)函數(shù)均可導(dǎo)，那么有4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)，如果在處可導(dǎo)，且在

39、對(duì)應(yīng)的處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t可以推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形。5. 反函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)處可導(dǎo)且，并令其反函數(shù)為，且所對(duì)應(yīng)的的值為，則有：為應(yīng)用方便，反函數(shù)求導(dǎo)法則可簡(jiǎn)記為 。6. 參數(shù)方程求導(dǎo)法則：設(shè)參數(shù)方程，則。7.高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式：設(shè)均有階導(dǎo)數(shù)，則有：常用的初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式 （1） （2） （3） （4） （5） 8.變上限積分求導(dǎo)：變上限積分求導(dǎo)定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)可導(dǎo)，并且。推論1：設(shè)函數(shù)，則；推論2：設(shè)函數(shù)，則；推論3：設(shè)函數(shù)，且二元函數(shù)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，則。三重要公式定理1.費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某

40、鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有，那么。注：引理中點(diǎn)的定義就是極值點(diǎn)的定義，費(fèi)馬引理的內(nèi)容可概括為函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件是在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為02.羅爾定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi) 可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即；那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。注：羅爾定理的幾何意義：條件（1）說(shuō)明曲線在和之間是連續(xù)曲線； 條件（2）說(shuō)明曲線在之間是光滑曲線條件（3）說(shuō)明曲線在端點(diǎn)和處縱坐標(biāo)相等。結(jié)論說(shuō)明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)至少有一點(diǎn)處的切線平行于軸。如下圖所示 3.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；那么在內(nèi)至少存

41、在一點(diǎn)，使得。注：拉格朗日中值定理的幾何意義：條件（1）說(shuō)明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間包括點(diǎn)和點(diǎn)是連續(xù)曲線： 條件（2）說(shuō)明曲線不包括點(diǎn)和點(diǎn)是光滑曲線。 結(jié)論說(shuō)明：曲線在，之間不包括點(diǎn)和點(diǎn)，至少有點(diǎn)處的切線與割線是平行的。如下圖所示由拉格朗日中值定理可以得到兩個(gè)推論：推論1 若在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)為常數(shù)。 推論2 若和在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，其中為一個(gè)常數(shù)。 拉格朗日中值定理實(shí)為羅爾定理的推廣，當(dāng)特殊情形，就是羅爾定理。4.柯西中值定理：如果函數(shù)和滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）對(duì)任意的，；那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。注：柯西中值定理的幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程 ，點(diǎn)，點(diǎn)曲線在上是

42、連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線。如下圖所示柯西中值定理實(shí)為拉格朗日中值定理的推廣，令，就是拉格朗日中值定理。第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)精講1.導(dǎo)數(shù)與切線設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則曲線在任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。也就是說(shuō)，曲線在處的切線方程可表示為，該點(diǎn)的法線方程可表示為。2.單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。（1）如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增。（2）如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減。（單調(diào)性定理也是中值定理的推論，考生可以嘗試自行推導(dǎo)）3.函數(shù)極值點(diǎn)及其判定方法1）.極值點(diǎn) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意的，有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小

43、值）。2）.極值點(diǎn)的判別定理a.(必要條件)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，并在處取得極值，那么。（羅爾定理的推論）b.(第一充分條件) 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，并在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值；）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極小值；）若時(shí)，符號(hào)保持不變，則則在處沒(méi)有極值；c.(第二充分條件) 設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，那么）若則在處取得極小值；）若則在處取得極大值。4.定積分比較定理：如果在區(qū)間上恒有，則有推論：如果在區(qū)間上恒有，則有； 設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則有： （積分中值定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：5.常用不等式：1）。均值不等式：；。2）。絕

44、對(duì)值不等式：。3）。柯西不等式：。4）。；。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容提要：積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在考試中占有很大的比重。一元函數(shù)積分學(xué)可分為不定積分和定積分兩部分，其中不定積分是基礎(chǔ)。從方法上講，不定積分的計(jì)算方法有湊微分法、換元法和分部積分法，考生需要通過(guò)大量練習(xí)來(lái)熟練掌握這些積分法。從函數(shù)類型上講，最基本的類型是有理函數(shù)積分法，其它特殊類型的積分（三角有理式、簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)）都是化為有理函數(shù)積分來(lái)計(jì)算的。在進(jìn)行練習(xí)時(shí)，需要有意識(shí)地進(jìn)行歸納總結(jié)以掌握各種常見(jiàn)類型函數(shù)的積分法。一元函數(shù)積分學(xué)的主體應(yīng)該是定積分，聯(lián)系不定積分和定積分的紐帶是牛頓萊布尼茲公式，它是整個(gè)微積分中最重要的公

45、式之一，被稱之為微積分基本定理?；谠摱ɡ恚覀兛梢杂貌欢ǚe分的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算定積分。但要注意該定理成立的條件：被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)的。廣義積分是定積分的極限，它的計(jì)算過(guò)程也就是積分過(guò)程與取極限過(guò)程的統(tǒng)一，大多數(shù)廣義積分的積分思路與定積分類似。第一節(jié) 不定積分考點(diǎn)精講一基本概念1.原函數(shù)：如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任意 都有或，則稱為在區(qū)間上的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)。注：由于只相差一個(gè)常數(shù)的兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)相等，因此如果為的原函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，仍為的原函數(shù)。2.不定積分：在區(qū)間上，函數(shù)原函數(shù)全體稱之為在區(qū)間上的不定積分，記作。其中稱為積分號(hào)，成為被

46、積表達(dá)式，稱為積分變量。注：不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算； 不定積分的計(jì)算結(jié)果是一族相差一個(gè)常數(shù)的函數(shù)，因此在最后的計(jì)算結(jié)果中一定要加上常數(shù) 3.不定積分與原函數(shù)的關(guān)系 不定積分和原函數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者是個(gè)集合，后者是該集合中的一個(gè)元素，因此。二基本性質(zhì)1設(shè)函數(shù)與的原函數(shù)存在，則或或2基本積分公式1）2）3）4）5）6）7）8）9）10）11）12）三重要公式與定理1. 第一類換元法（湊微分法）定理：設(shè)有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式應(yīng)用第一類換元法的關(guān)鍵是要把被積函數(shù)湊成的形式。2. 第二類換元法定理：設(shè)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，并且。又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法是與第一類換元法相反的思路

47、，在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)用得很頻繁，后面我們將會(huì)總結(jié)常見(jiàn)的思路3. 分部積分法由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，有，因此，移項(xiàng)可得：。這就是分部積分公式。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，該公式也可以寫(xiě)成：。運(yùn)用公式的關(guān)鍵是如何把被積函數(shù)分為和兩部分。一般來(lái)說(shuō)，選取的原則是積分容易的選為，求導(dǎo)容易的選為，兩者不能同時(shí)滿足時(shí)優(yōu)先考慮第一條。第二節(jié) 定積分考點(diǎn)精講 一基本概念1.定積分的概念1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)這樣就被分為了個(gè)子區(qū)間用表示各區(qū)間的長(zhǎng)度，再在每個(gè)區(qū)間上取一點(diǎn)，作如下和式令，如果有極限存在且與的劃分及的選取無(wú)關(guān)，則稱在區(qū)間上可積，改極限稱之為在區(qū)間上的定積分，記作其中稱為被積函數(shù)，稱為被積式，稱為積分變量

48、，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分上下限。二基本性質(zhì)1.可積性定理定理1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上可積。定理2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則在區(qū)間上可積。定理3：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則在區(qū)間上可積。2.定積分的性質(zhì)1.注：23. 4. 5. 6如果在區(qū)間上恒有，則有推論：如果在區(qū)間上恒有，則有； 設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則有： （積分中值定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：三重要公式與定理定理1：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步可得，變下限積分的導(dǎo)數(shù)積分上限為一個(gè)函數(shù)時(shí)的導(dǎo)數(shù)為：（可導(dǎo)）定理2：如果函數(shù)

49、在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)是在上的一個(gè)原函數(shù)。2)牛頓-萊布尼茲公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則四計(jì)算定積分的主要方法1.利用不定積分的計(jì)算方法1）換元法定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其值域則有注：該定理可以有正反兩個(gè)方面的應(yīng)用，分別對(duì)應(yīng)不定積分的兩種換元法。而且，定積分中換元法應(yīng)用時(shí)計(jì)算到最后無(wú)需代回，比不定積分更簡(jiǎn)單。2）分部積分法3.利用奇偶性設(shè)在區(qū)間上可積如果是偶函數(shù)，則有；如果是奇函數(shù)，則有第三節(jié) 反常積分考點(diǎn)精講 一基本概念1.無(wú)窮限反常積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在上的反常積分，記作。也就是說(shuō)。此時(shí)也稱反常積分收

50、斂，否則稱反常積分發(fā)散。同樣，當(dāng)在上連續(xù)，且極限存在時(shí)，稱此極限為函數(shù)在上的反常積分，記作。即。此時(shí)也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。最后，當(dāng)在上連續(xù)，且極限和都存在時(shí)，則稱這兩個(gè)極限值之和為函數(shù)在上的反常積分，記作，即。也就是說(shuō)當(dāng)反常積分和都收斂時(shí)收斂；當(dāng)和有一個(gè)發(fā)散時(shí)，發(fā)散。2.無(wú)界函數(shù)反常積分瑕點(diǎn)：如果函數(shù)在的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界，則稱點(diǎn)為函數(shù)的瑕點(diǎn)。反常積分：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為的瑕點(diǎn)，如果極限存在，則稱該極限為函數(shù)在上的反常積分，記作。也就是說(shuō)。此時(shí)也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。同樣，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為的瑕點(diǎn)，如果極限存在，則稱該極限為函數(shù)在上的反常積分，記作。也就是說(shuō)。此時(shí)也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。最后設(shè)函數(shù)在上除了點(diǎn)（）處處連續(xù)，如果極限與極限都存在，則稱這兩個(gè)極限值之和為函數(shù)在上的反常積分，記作，即。也就是說(shuō)當(dāng)反常積分和都收斂時(shí)收斂；當(dāng)和有一個(gè)發(fā)散時(shí)，發(fā)散。第四章 多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容提要：本章是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣，主要包括多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念以及多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用。考試中對(duì)微分學(xué)的考查多集中在多元函數(shù)中，本章所占比例很大。復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)第一項(xiàng)任務(wù)是正確理解多元函數(shù)的極限、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，同時(shí)掌握它們之間的關(guān)系。研究多元函數(shù)的一