質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)(理論力學(xué)課件)課件

1、 一、研究對(duì)象一、研究對(duì)象 動(dòng)力學(xué)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。 在在靜力學(xué)靜力學(xué)中，我們分析了作用與物體的力，并研中，我們分析了作用與物體的力，并研究了物體在力系作用下的平衡問題，但沒有研究物體究了物體在力系作用下的平衡問題，但沒有研究物體在不平衡力系的作用下將如何運(yùn)動(dòng)。在不平衡力系的作用下將如何運(yùn)動(dòng)。 在在運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們僅從幾何方面分析了物體的運(yùn)中，我們僅從幾何方面分析了物體的運(yùn)動(dòng)，而不涉及所作用的力。動(dòng)，而不涉及所作用的力。 在在運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們僅從幾何方面分析了物體的中，我們僅從幾何方面分析了物體的運(yùn)動(dòng)，而不涉及所作用的力。運(yùn)動(dòng)

2、，而不涉及所作用的力。 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)則對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行全面的分析，則對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行全面的分析，研究作用于物體上的力與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建研究作用于物體上的力與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，建立物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。立物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。（研究運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體研究運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體。）。） 動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是與生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系動(dòng)力學(xué)的形成與發(fā)展是與生產(chǎn)的發(fā)展密切聯(lián)系的。特別是在現(xiàn)代工業(yè)和科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，的。特別是在現(xiàn)代工業(yè)和科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。對(duì)動(dòng)力學(xué)提出了更加復(fù)雜的課題。1 1、動(dòng)力學(xué)是解決工程實(shí)際問題的強(qiáng)有力的工具；

3、、動(dòng)力學(xué)是解決工程實(shí)際問題的強(qiáng)有力的工具；2 2、動(dòng)力學(xué)是推動(dòng)工程技術(shù)向前發(fā)展的重要基礎(chǔ)。、動(dòng)力學(xué)是推動(dòng)工程技術(shù)向前發(fā)展的重要基礎(chǔ)。舉例：舉例：機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性分析、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力分析等機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性分析、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力分析等需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。在土木工程中對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)在土木工程中對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。如高層結(jié)構(gòu)受風(fēng)載及地震的影響；的理論基礎(chǔ)。如高層結(jié)構(gòu)受風(fēng)載及地震的影響；又如廠房內(nèi)有汽錘、吊車等，吊車剎車時(shí)引起吊又如廠房內(nèi)有汽錘、吊車等，吊車剎車時(shí)引起吊車梁及柱的振動(dòng)。車梁及柱的振動(dòng)。舉例：舉例：在機(jī)械工程中對(duì)高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)

4、械的動(dòng)力分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的在機(jī)械工程中對(duì)高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力分析需要應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)。理論基礎(chǔ)。 比如高速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子，若重心不在轉(zhuǎn)軸上（由誤差引起），比如高速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子，若重心不在轉(zhuǎn)軸上（由誤差引起），轉(zhuǎn)速很高時(shí)將引起軸承破壞（此問題在制造和安裝中都不容轉(zhuǎn)速很高時(shí)將引起軸承破壞（此問題在制造和安裝中都不容易克服）。在動(dòng)力學(xué)有關(guān)章節(jié)將進(jìn)一步介紹。易克服）。在動(dòng)力學(xué)有關(guān)章節(jié)將進(jìn)一步介紹。l在宇宙飛行及火箭推進(jìn)技術(shù)研制中都需要用到動(dòng)在宇宙飛行及火箭推進(jìn)技術(shù)研制中都需要用到動(dòng)力學(xué)的基本理論。力學(xué)的基本理論。l第二宇宙速度就是第二宇宙速度就是理論指導(dǎo)實(shí)踐理論指導(dǎo)實(shí)踐的最典型的例子。的最典型的例子。在

5、上世紀(jì)在上世紀(jì)5050年代，第二宇宙速度早已在理論上得到年代，第二宇宙速度早已在理論上得到承認(rèn)，但也有人（指理論力學(xué)專家）不相信。承認(rèn)，但也有人（指理論力學(xué)專家）不相信。l 19611961年前蘇聯(lián)宇宙飛船發(fā)射成功，證明了這一年前蘇聯(lián)宇宙飛船發(fā)射成功，證明了這一理論，充分說明了理論指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐的重要意義。理論，充分說明了理論指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐的重要意義。研究動(dòng)力學(xué)的方法主要有兩種：研究動(dòng)力學(xué)的方法主要有兩種：1、矢量動(dòng)力學(xué)矢量動(dòng)力學(xué)(vectorial dynamics) 主要以矢量形式建立一般質(zhì)點(diǎn)系的受力和運(yùn)動(dòng)主要以矢量形式建立一般質(zhì)點(diǎn)系的受力和運(yùn)動(dòng)量基本概念，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和由它作為推演依量基本

6、概念，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和由它作為推演依據(jù)得出的動(dòng)力學(xué)規(guī)律所組成部分稱為矢量動(dòng)力學(xué)。據(jù)得出的動(dòng)力學(xué)規(guī)律所組成部分稱為矢量動(dòng)力學(xué)。 牛頓運(yùn)動(dòng)定律和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理是矢量牛頓運(yùn)動(dòng)定律和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理是矢量動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容。動(dòng)力學(xué)的主要內(nèi)容。2 2、分析動(dòng)力學(xué)、分析動(dòng)力學(xué)（analytical dynamics） 一般以標(biāo)量形式的功和能等作為一般質(zhì)點(diǎn)系的一般以標(biāo)量形式的功和能等作為一般質(zhì)點(diǎn)系的基本概念，以力學(xué)的變分原理為基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)基本概念，以力學(xué)的變分原理為基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法得出動(dòng)力學(xué)方程稱為分析動(dòng)力學(xué)分析方法得出動(dòng)力學(xué)方程稱為分析動(dòng)力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)系普遍定理質(zhì)點(diǎn)系普遍定理牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)

7、動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾- -拉格朗日原理拉格朗日原理（動(dòng)力學(xué)普遍方程）（動(dòng)力學(xué)普遍方程）拉格朗日方程拉格朗日方程受約束質(zhì)點(diǎn)（系）受約束質(zhì)點(diǎn)（系）自由質(zhì)點(diǎn)自由質(zhì)點(diǎn)慣性系慣性系非慣性系非慣性系質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系四、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系四、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系（動(dòng)力學(xué)中物體的抽象模型為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系）（動(dòng)力學(xué)中物體的抽象模型為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系）1 1、質(zhì)點(diǎn)：、質(zhì)點(diǎn)： 大小和形狀可以忽略不計(jì)且具有質(zhì)量的物體稱為質(zhì)點(diǎn)。大小和形狀可以忽略不計(jì)且具有質(zhì)量的物體稱為質(zhì)點(diǎn)。 例如，在研究人

8、造地球衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星的形狀和大例如，在研究人造地球衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星的形狀和大小對(duì)所研究的問題沒有什麼影響，可以忽略不計(jì)，因此，可小對(duì)所研究的問題沒有什麼影響，可以忽略不計(jì)，因此，可將衛(wèi)星抽象為一個(gè)質(zhì)量集中在重心的質(zhì)點(diǎn)。將衛(wèi)星抽象為一個(gè)質(zhì)量集中在重心的質(zhì)點(diǎn)。 剛體作平動(dòng)時(shí)，因剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，也剛體作平動(dòng)時(shí)，因剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，也可以不考慮該剛體的形狀和大小，而將它抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來可以不考慮該剛體的形狀和大小，而將它抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來研究。研究。 2 2、質(zhì)點(diǎn)系：、質(zhì)點(diǎn)系： 如果物體的形狀和大小在所研究的問題中不可忽略，則如果物體的形狀和大小在所研究的問題中不可忽略，

9、則物體應(yīng)抽象為質(zhì)點(diǎn)系。物體應(yīng)抽象為質(zhì)點(diǎn)系。 剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情況。其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情況。其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱為不變的質(zhì)點(diǎn)系。距離保持不變，也稱為不變的質(zhì)點(diǎn)系。自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。 非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。 質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。 所謂質(zhì)點(diǎn)系是由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的所謂質(zhì)點(diǎn)系是由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。常見的固體、流體、由幾個(gè)物體組成的機(jī)構(gòu)，以及太系統(tǒng)。常見的固體、流體、由幾個(gè)物體組成的機(jī)構(gòu)，以及太陽系等等都是質(zhì)點(diǎn)系。陽系等

10、等都是質(zhì)點(diǎn)系。五、動(dòng)力學(xué)的基本定律五、動(dòng)力學(xué)的基本定律 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓（公質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓（公元元1642164217271727年）在總結(jié)前人、特別是伽利略研究成果的年）在總結(jié)前人、特別是伽利略研究成果的基礎(chǔ)上提出來的稱為牛頓三定律。基礎(chǔ)上提出來的稱為牛頓三定律。 第一定律（慣性定律）第一定律（慣性定律） 受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。 不受力作用的質(zhì)點(diǎn)（包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn)），不不受力作用的質(zhì)點(diǎn)（包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn)），不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度（是處

11、于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度（包括大小和方向包括大小和方向）不變，這種性質(zhì)稱為慣性。第一定律闡述了物體作慣性運(yùn)動(dòng)不變，這種性質(zhì)稱為慣性。第一定律闡述了物體作慣性運(yùn)動(dòng)的條件，故又稱為慣性定律。的條件，故又稱為慣性定律。 第二定律第二定律: : 力與加速度之間的關(guān)系的定律力與加速度之間的關(guān)系的定律1 1、定律、定律 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同，即加速度的方向與力的方向相同，即 ma = F (11-1)式式(11-1)(11-1)是第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方是第二定律的數(shù)學(xué)

12、表達(dá)式，它是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。程，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，式當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，式(11-1)(11-1)中的中的F 應(yīng)為此匯應(yīng)為此匯交力系的合力。交力系的合力。 式式(11-1)(11-1)表明，質(zhì)點(diǎn)在力的作用下必有確定的加速度，表明，質(zhì)點(diǎn)在力的作用下必有確定的加速度，使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。 第二定律第二定律: :力與加速度之間的關(guān)系的定律力與加速度之間的關(guān)系的定律2 2、n個(gè)力同時(shí)作用時(shí)個(gè)力同時(shí)作用時(shí)(11-1)ma =F 質(zhì)量大的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量大的質(zhì)點(diǎn)加速度小

13、，加速度小， 質(zhì)量小的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量小的質(zhì)點(diǎn)加速度大。加速度大。這說明質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，這說明質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。量。對(duì)于相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，作用力大，其加速度也大；如用大小對(duì)于相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，作用力大，其加速度也大；如用大小相等的力作用于質(zhì)量不同的質(zhì)點(diǎn)上，則相等的力作用于質(zhì)量不同的質(zhì)點(diǎn)上，則 (11-1)ma = F3 3、第二定律與第一定律的聯(lián)系、第二定律與第一定律的聯(lián)系 (11-1) 當(dāng)當(dāng)F=0 0時(shí)，時(shí)，a=0 0，則，則m v=ct 一般質(zhì)量一般質(zhì)量m為常量

14、，故為常量，故v=ct（大小、方向都不變）即當(dāng)（大小、方向都不變）即當(dāng)F=0時(shí)，物體作勻速直線（慣性運(yùn)動(dòng)），第二定律變成了第一時(shí)，物體作勻速直線（慣性運(yùn)動(dòng)），第二定律變成了第一定律，顯然第二定律也只能適合于慣性參考系。定律，顯然第二定律也只能適合于慣性參考系。ma = F在地球表面，任何物體都受到重力在地球表面，任何物體都受到重力G G的作用。在重力作用下的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。根據(jù)第二定律有表示。根據(jù)第二定律有 G=mg 或或 m=G/ /g 式中的式中的G和和g分別是物體所受的重力和重力加速度的大小，分別是物體所受的重力和重力

15、加速度的大小，根據(jù)國際計(jì)量委員會(huì)規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，重力加速度的數(shù)值為根據(jù)國際計(jì)量委員會(huì)規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，重力加速度的數(shù)值為9.80665m/ /s，一般取，一般取9.80m/ /s。實(shí)際在不同的地區(qū)，實(shí)際在不同的地區(qū)，g的數(shù)值有些微小的差別。的數(shù)值有些微小的差別。第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。 這一定理就是靜力學(xué)的公理四，它不僅適用于平衡的物體，這一定理就是靜力學(xué)的公理四，它不僅適用于平衡

16、的物體，而且也適用于任何運(yùn)動(dòng)的物體。而且也適用于任何運(yùn)動(dòng)的物體。 在動(dòng)力學(xué)問題中，這一定律仍然是分析兩個(gè)物體相互作用在動(dòng)力學(xué)問題中，這一定律仍然是分析兩個(gè)物體相互作用關(guān)系的依據(jù)。關(guān)系的依據(jù)。22上述三個(gè)定律適用的參考系稱為慣性參考系慣性參考系。 今后，如無特別說明，我們?nèi)∨c地球固連的坐標(biāo)系為慣性參考系； 以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力古典力學(xué)學(xué)。在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。在國際單位制（在國際單位制（SI）中，）中， 長

17、度、質(zhì)量和時(shí)間是基本單位，長度、質(zhì)量和時(shí)間是基本單位，分別取為分別取為 m(米）、米）、kg（千克）和（千克）和s（秒）；（秒）；六、單位制六、單位制 力的單位是導(dǎo)出單位。力的單位是導(dǎo)出單位。質(zhì)量為質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，獲得的質(zhì)點(diǎn)，獲得1m/ /s2的加速度時(shí)，的加速度時(shí)，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為1N（單位名稱：牛頓），即（單位名稱：牛頓），即 1N=1kg1m/ /s21kg質(zhì)量物體的重量為質(zhì)量物體的重量為G=mg =1kg9.8 m/ /s2 =9.8N或或 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度與作用力的關(guān)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度與作用力的關(guān)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到系。當(dāng)質(zhì)

18、點(diǎn)受到n n個(gè)力個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n作用時(shí)，式（作用時(shí)，式（11-1）應(yīng)寫為應(yīng)寫為1niim rF（11-3）m a=FOrFMV 式（式（113）是矢量形式的微分方程，在計(jì)算實(shí)際問題時(shí)，）是矢量形式的微分方程，在計(jì)算實(shí)際問題時(shí)，需要用它的投影形式。需要用它的投影形式。 設(shè)矢徑設(shè)矢徑r在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為x、y、z，力在軸上，力在軸上的投影分別為的投影分別為Fi ix、Fi iy、Fiz iz，則式（，則式（10-3）在直角坐標(biāo)軸上）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為的投影形式為111ni xini yini zim xFm yFm zF （11-4）1niim rF

19、由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知，點(diǎn)的全加速度在切線與主法線構(gòu)成的由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知，點(diǎn)的全加速度在切線與主法線構(gòu)成的密切面內(nèi)，點(diǎn)的加速度在副法線上的投影等于零，即密切面內(nèi)，點(diǎn)的加速度在副法線上的投影等于零，即av 2nva式中式中 為軌跡的曲率半徑。為軌跡的曲率半徑。0,bntaaana 式中式中和和n為軌跡切線和主法線的單位矢量。為軌跡切線和主法線的單位矢量。式中式中 Fti、Fni、Fbi 中分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線中分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線和副法線上的投影。式（和副法線上的投影。式（11-4）和（）和（11-5）是兩種常用的質(zhì)）是兩種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。1110n

20、iinnniinbiimaFmaFF于是，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影式為：于是，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影式為：1niim rF （11-5） 應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解下面兩類質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的問題:第一類第一類：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問題）已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問題）解題步驟和要點(diǎn)：解題步驟和要點(diǎn)： 正確選擇研究對(duì)象正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。 正確進(jìn)行正確進(jìn)行受力分析受力分析, , 畫出受力圖畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。 正確進(jìn)行正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。 選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)

21、動(dòng)微分方程選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。 求解未知量。求解未知量。11.3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題29 第二類：第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問題）已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問題）解題步驟如下：解題步驟如下：正確選擇研究對(duì)象正確選擇研究對(duì)象。正確進(jìn)行正確進(jìn)行受力分析受力分析，畫出受力圖，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力 （應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。正確進(jìn)行正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)

22、動(dòng)微分方程。求解未知量。求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 例例1、小球質(zhì)量為、小球質(zhì)量為m，懸掛于長為，懸掛于長為l l的細(xì)繩上，繩重不計(jì)。的細(xì)繩上，繩重不計(jì)。小球在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，在最低處的速度為小球在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，在最低處的速度為v； 擺到最高處時(shí)，繩與鉛垂線夾擺到最高處時(shí)，繩與鉛垂線夾角為角為f，如圖所示，此時(shí)小球，如圖所示，此時(shí)小球在最低與最高位置時(shí)繩的拉力。在最低與最高位置時(shí)繩的拉力。 解：解：小球作圓周運(yùn)動(dòng)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力受有重力G=mg； 繩的拉力繩的拉力T1 1。在最低處有法向加速度在最低處有法向加速度 an v2l

23、， 由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向的投影式，有由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向的投影式，有 m an m v2lT1mgm an m v2lT1mg則繩的拉力：則繩的拉力： T1mgmv2l m(gv2l) 解：小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力解：小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力G=mg； 繩的拉力繩的拉力T1 1。在最低處有法向加速度在最低處有法向加速度 an v2l ，小球在最高處角時(shí)，速度為零，法向加速度為零，小球在最高處角時(shí)，速度為零，法向加速度為零，則運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向投影式為則運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向投影式為T2mgcosf f man 0 則繩的拉力則繩的拉力 T2 mgcosf f 例例2 2 圖示半徑為圖示半徑

24、為R的偏心輪以勻角速度的偏心輪以勻角速度w 繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板導(dǎo)板ABD沿鉛垂軌道作平動(dòng)。已知偏心距沿鉛垂軌道作平動(dòng)。已知偏心距OC=e，開始時(shí)，開始時(shí)OC沿水平線。若在導(dǎo)板頂部沿水平線。若在導(dǎo)板頂部D處放有一質(zhì)量為處放有一質(zhì)量為M的物塊。的物塊。試求：試求：（1）導(dǎo)板對(duì)物體的最大反力）導(dǎo)板對(duì)物體的最大反力 及這時(shí)偏心及這時(shí)偏心C的位置；的位置；（2）欲使物塊不離開導(dǎo)板，）欲使物塊不離開導(dǎo)板， 求角速度求角速度w的最大值。的最大值。 輪勻角速度輪勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，OC=e，開始時(shí)，開始時(shí)OC沿水平線。板頂沿水平線。板頂D處處有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為M的物塊。試求：的物塊。試求：

25、（1）最大反力及偏心）最大反力及偏心C的位置；的位置；（2）求角速度）求角速度w w的最大值。的最大值。 解：解： 先求問題（先求問題（1）。）。 取物塊取物塊M為研究對(duì)象，視為一質(zhì)點(diǎn)。為研究對(duì)象，視為一質(zhì)點(diǎn)。如果可以建立質(zhì)點(diǎn)如果可以建立質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分方程，的運(yùn)動(dòng)微分方程，易求出導(dǎo)板對(duì)質(zhì)點(diǎn)易求出導(dǎo)板對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的反力?？梢娺@的反力?？梢娺@是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類問題。是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類問題。 在任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)M受力如圖。受力如圖。將將x軸的原點(diǎn)取在固定點(diǎn)軸的原點(diǎn)取在固定點(diǎn)O上并取上并取x軸鉛垂向上為正。軸鉛垂向上為正。由式（由式（114）可得質(zhì)點(diǎn)）可得質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)微分方程為的運(yùn)動(dòng)微分方

26、程為mxFG 由于物塊由于物塊M放在導(dǎo)板上，導(dǎo)板作平放在導(dǎo)板上，導(dǎo)板作平動(dòng)，故質(zhì)點(diǎn)動(dòng)，故質(zhì)點(diǎn)M的加速度的加速度a等于導(dǎo)板上等于導(dǎo)板上E點(diǎn)（偏心輪與導(dǎo)板的接觸點(diǎn)）的點(diǎn)（偏心輪與導(dǎo)板的接觸點(diǎn)）的加速度。加速度。質(zhì)點(diǎn)的加速度質(zhì)點(diǎn)的加速度 (2)mxFGsinExetRw2sinExxetww 由圖可知由圖可知E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為(1)將式將式(2)代入式代入式(1)，得反力，得反力 2sinFGmetww(3)由式由式(3)可知，反力可知，反力F包含兩部分：包含兩部分：第一部分為質(zhì)點(diǎn)第一部分為質(zhì)點(diǎn)M處于靜止的反力，處于靜止的反力， 稱為靜反力；稱為靜反力；第二部分是由于質(zhì)點(diǎn)第二部分是由于質(zhì)

27、點(diǎn)M具有加速度具有加速度而引起的反力，稱為附加動(dòng)反力而引起的反力，稱為附加動(dòng)反力（簡稱動(dòng)反力）（簡稱動(dòng)反力）。2sinFGmetww反力反力 (3)2sinFmetww 動(dòng)當(dāng)當(dāng)sinw wt =1時(shí)，即時(shí)，即C點(diǎn)點(diǎn)在最低位置時(shí)，反力在最低位置時(shí)，反力F達(dá)達(dá)到最大值到最大值Fmax，即，即22max()FGmem geww反力反力 2sinFGmetww(3)0)(2wegm得得 2min()Fm gewegw求問題求問題（2） 求角速度求角速度w的最大值。的最大值。由式由式(3)又可知，當(dāng)又可知，當(dāng)sinw wt=1時(shí)，即時(shí)，即C點(diǎn)在最高位置，點(diǎn)在最高位置，F(xiàn)達(dá)到最達(dá)到最小值小值Fmin，即，

28、即欲使物塊不離開導(dǎo)板，必須欲使物塊不離開導(dǎo)板，必須 Fmin0 , 即即2sinFGmetww(3)以上二例都屬于動(dòng)力學(xué)第一類問題，以上二例都屬于動(dòng)力學(xué)第一類問題，求解此類問題的步驟如下：求解此類問題的步驟如下： 1、選定某質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象；、選定某質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象； 2、分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，包括主動(dòng)力和約束力；、分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，包括主動(dòng)力和約束力； 3、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的加速度；、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的加速度； 4、根據(jù)未知力的情況，選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S，列出在、根據(jù)未知力的情況，選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S，列出在 該軸上的運(yùn)動(dòng)微分方程的投影形式；該軸上的運(yùn)動(dòng)微分方程的投影形式；

29、5、求出未知的力。、求出未知的力。第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力；第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)的力； 411O2O0MAB（a)PtaFNF(b)xy解解以木箱為研究對(duì)象，作受力分析如圖所示。 例例33 如圖所示得擺動(dòng)輸送機(jī)，由曲柄帶動(dòng)貨架AB輸送木箱M，兩曲柄等長，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，設(shè)在45處由靜止開始運(yùn)動(dòng)，已知曲柄O1A的初角加速度 。如啟動(dòng)瞬時(shí)木箱不產(chǎn)生滑動(dòng)，求木箱與貨架之間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)是多少？20rad/s542由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB桿作平面曲線運(yùn)動(dòng)。 設(shè)木箱與貨架無相對(duì)滑動(dòng)，木箱的加速度應(yīng)與點(diǎn)A的加速度相

30、同，由于啟動(dòng)瞬時(shí)貨架各點(diǎn)的速度為零，故 0t02n , 0lava建立圖示坐標(biāo)系，有 t, cosxSmxFmaF根據(jù)靜滑動(dòng)摩擦力的性質(zhì)有： fFFNSPtaSFNF(b)xy1O2O0MAB（a)t atN, sinymyFmaFP43解方程組：mgFmlfFmlN0N0sincos可得：35. 0sincos00lglf 為保證木箱與貨架在啟動(dòng)瞬時(shí)不相對(duì)滑動(dòng)，所需最小的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為：35. 0maxf1O2O0MAB（a)PtaFNF(b)xyttN, cos, sinxSymxFmaFmyFmaFPfFFNStaO1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，4520rad/s5作業(yè)作

31、業(yè) 116, 8 解：以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)解：以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O， 物塊在任意坐標(biāo)物塊在任意坐標(biāo)x x處彈簧變形量為處彈簧變形量為|x|，彈簧力大小為，彈簧力大小為 F=k|x|， 指向指向O點(diǎn)，如圖。則此物塊沿點(diǎn)，如圖。則此物塊沿x x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為0m xkxxmxFkx 例例3 物塊在光滑水面并與彈簧相連，如圖所示。物塊物塊在光滑水面并與彈簧相連，如圖所示。物塊質(zhì)量為質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為，彈簧剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長變形量為。在彈簧拉長變形量為a 時(shí)釋放時(shí)釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；蚧蚱渲衅渲蠥、為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)初始條件

32、決定。為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)初始條件決定。由題意，取由題意，取xa處的時(shí)間為處的時(shí)間為t0 0，且此時(shí)有，且此時(shí)有代入式（代入式（b），有），有 令令wn n2 2k/ /m，上式化為自由振動(dòng)微上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 0 x 20( )nxxawaAcos0 0w wnAsin微分方程的解可寫為微分方程的解可寫為 xAcos(wn nt t) (b)0m xkxaAcos0 0w wn nAsin 可見此物塊做簡諧振動(dòng)，振動(dòng)中心為可見此物塊做簡諧振動(dòng)，振動(dòng)中心為O點(diǎn)，振幅為點(diǎn)，振幅為a，周期，周期 T T2 2p/ /wn n 。 wn n稱為圓頻率，稱為圓頻率， 由其標(biāo)準(zhǔn)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程（由其標(biāo)準(zhǔn)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程（a）直接決定。）直接決定。20( )nxxaw由此解出由此解出 0, , Aa代入式（代入式（b），則此），則此物塊的運(yùn)動(dòng)方程為物塊的運(yùn)動(dòng)方程為 xa coswn nt t48例例6 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m ,彈簧的剛度系數(shù)為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求：物塊的運(yùn)動(dòng)方程49 解：這是已知力(彈簧力)求運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 故為第二類動(dòng)力學(xué)問題。 以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置為原點(diǎn)建立Ox坐標(biāo)系，將物塊置于任意位置 x 0 處。 物塊在 x