上海初一數(shù)學(xué)絕對(duì)值難題解析

1、2016上海初一數(shù)學(xué)絕對(duì)值難題解析絕對(duì)值是初一數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它的概念本身不難，但卻經(jīng)常拿來(lái)出一些難題，考驗(yàn)的是學(xué)生對(duì)基本概念的理解程度和基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力。絕對(duì)值有兩個(gè)意義：（1）代數(shù)意義：非負(fù)數(shù)（包括零）的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。即|a|a（當(dāng)a0） , |a|a （當(dāng)a0）（2）幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。靈活應(yīng)用絕對(duì)值的基本性質(zhì)：（1）|a|0；（2）|ab|a|·|b|；（3）|a/b|a|/|b|(b0)（4）|a|b| |ab|a|b|；（5）|a|b| |ab|a|b|；思考：|ab|a|b|，在什么條件下成立

2、？|ab|a|b|，在什么條件下成立？常用解題方法：（1）化簡(jiǎn)絕對(duì)值：分類討論思想（即取絕對(duì)值的數(shù)為非負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況）（2）運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)形結(jié)合思想，如絕對(duì)值最值問題等。（3）零點(diǎn)分段法：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡(jiǎn)、綜合。例題解析：第一類：考察對(duì)絕對(duì)值代數(shù)意義的理解和分類討論思想的運(yùn)用1、在數(shù)軸上表示a、b兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)如圖所示，并且已知表示c的點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，請(qǐng)化簡(jiǎn)下列式子：（1）|ab|cb|解：a0，b0 ab0c0，b0 cb0故，原式（ba）(bc) ca（2）|ac|ac|解：a0，c0 ac要分類討論，ac0      當(dāng)ac0時(shí)，a

3、c，原式（ac）(ac)2a當(dāng)ac0時(shí)，ac，原式（ca）(ac)2c2、 設(shè)x1，化簡(jiǎn)2|2|x2| 。解：x1 x20原式2|2（2x）|2|x|2x3、設(shè)3a4，化簡(jiǎn)|a3|a6| 。解：3a4 a30，a60原式（a3）(a6) 34、 已知|ab|ab，則以下說法：（1）a一定不是負(fù)數(shù)；（2）b可能是負(fù)數(shù)；哪個(gè)是正確的？答：當(dāng)ab0時(shí)，ab，|ab|ab，由已知|ab|ab，得abab，解得b0，這時(shí)a0；當(dāng)ab0時(shí)，ab，|ab|ba，由已知|ab|ab，得baab，解得a0，這時(shí)b0；綜上所述，（1）是正確的。第二類：考察對(duì)絕對(duì)值基本性質(zhì)的運(yùn)用5、 

4、已知2011|x1|2012|y1|0，求xy2012的值？解：|x1|0，|y1|0  2011|x1|2012|y1|0又已知2011|x1|2012|y1|0，|x1|0, |y1|0x1，y1，原式11201220126、設(shè)a、b同時(shí)滿足：(1)|a2b|b1|b1(2) |a4|0那么ab等于多少？解：|a2b|0，|b1|0  |a2b|b1|b10 （1）式|a2b|b1b1 ，得|a2b|0，即a2b |a4|0   a40，a4 a2b   b2 ，ab4×287、設(shè)a、b、c為非零有理

5、數(shù)，且|a|a0，|ab|ab，|c|c0,請(qǐng)化簡(jiǎn)：|b|ab|cb|ac| 。解：|a|a0，a0 a0|ab|ab0 ，b0，a0  b0，ab0|c|c0，c0 c0 ，cb0，ac0原式b（ab）（cb）cab8、滿足|ab|ab1的非負(fù)整數(shù)（a，b）共有幾對(duì)？解：a，b都是非負(fù)整數(shù) |ab|也是非負(fù)整數(shù)，ab也是非負(fù)整數(shù)要滿足|ab|ab1，必須|ab|1，ab0 或者|ab|0，ab1分類討論：當(dāng)|ab|1，ab0時(shí)，a0，b1 或者 a1，b0 有兩對(duì)（a，b）的取值；當(dāng)|ab|0，ab1時(shí)，a1，b1有一對(duì)（a，b）的取值；綜上所述，（a，b）共有3對(duì)取值滿

6、足題意。9、已知a、b、c、d是有理數(shù)，|ab|9，|cd|16，且|abcd|25，求|ba|dc|的值？分析：此題咋一看無(wú)從下手，但是如果把a(bǔ)b和cd分別看作一個(gè)整體，并且運(yùn)用絕對(duì)值基本性質(zhì)：|xy|x|y|即可快速解出。解：設(shè)xab，ycd，則|abcd|x-y|x|y|x|9，|y|16 |x|y|25 ,|x-y|x|y|25已知|x-y|25  |x|9，|y|16|ba|dc|x|y|x|y|9167第三類：多個(gè)絕對(duì)值化簡(jiǎn)，運(yùn)用零點(diǎn)分段法，分類討論 以上這種分類討論化簡(jiǎn)方法就叫做零點(diǎn)分段法，其步驟是：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡(jiǎn)、綜合。根據(jù)以上材料解決下

7、列問題：（1）  化簡(jiǎn)：2|x2|x4|（2）  求|x1|4|x1|的最大值。解：（1）令x20，x40，分別求得零點(diǎn)值：x2，x-4，分區(qū)段討論：當(dāng)x-4時(shí)，原式2（x2）（x4）x8當(dāng)-4x2時(shí)，原式2（x2）（x4）3x當(dāng)x2時(shí)，原式2（x2）（x4）x8綜上討論，原式（略)（2）   使用“零點(diǎn)分段法”將代數(shù)式簡(jiǎn)化，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出最大值，再加以比較，從中選出最大值。令x10，x10，分別求得零點(diǎn)值：x1，x-1，分區(qū)段討論：當(dāng)x-1時(shí)，原式（x1）4（x1）3x5 ，當(dāng)x=-1時(shí)，取到最大值等于2；當(dāng)-1x1時(shí)，原

8、式（x1）4（x1）5x3，此時(shí)無(wú)最大值；當(dāng)x1時(shí)，原式（x1）4（x1）3x3，此時(shí)無(wú)最大值。綜上討論，當(dāng)x=-1時(shí)，原式可以取到最大值等于2。11、若2x|45x|13x|4的值恒為常數(shù)，則此常數(shù)的值為多少？解：我們知道，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的絕對(duì)值相等，利用這條性質(zhì)，可以把絕對(duì)值內(nèi)帶x的項(xiàng)的符號(hào)由負(fù)號(hào)都變成正號(hào)，以便于區(qū)段內(nèi)判斷正負(fù)關(guān)系。即原式2x|5x4|3x1|4令5x40，3x10，分別求得零點(diǎn)值：x4/5 , x1/3，分區(qū)段討論：當(dāng)x1/3時(shí)，原式2x（5x4）（3x1）46x9，此時(shí)不是恒值；當(dāng)1/3x4/5時(shí)，原式2x（5x4）（3x1）47，此時(shí)恒為常數(shù)7；當(dāng)x4/5

9、時(shí)，原式2x（5x4）（3x1）410x1，此時(shí)也不是恒值。綜上所述，若原式恒為常數(shù)，則此常數(shù)等于7 。12、若|a|a1，|x|2ax，且|x1|x5|2|xm|的最小值是7，則m等于多少？解：當(dāng)a0時(shí)，|a|aa1,得到01矛盾  a0，|a|aa1，解得a1/2。|x|2axx，即x的絕對(duì)值等于它的相反數(shù) x0令x10，x50，xm0，分別求得零點(diǎn)值：x1，x5，xmx0 要對(duì)m進(jìn)行分類討論，以確定分段區(qū)間：（1）   若m0，則x取值范圍分成x1和1x0當(dāng)x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1時(shí)取到最小值82m當(dāng)1x0，原式（x1

10、）（x5）2（xm）2x62m， x0時(shí)取到最小值62m所以當(dāng)m0時(shí)，最小值是62m，令62m7，得m0.5，符合題意（2）   若1m0，則x取值范圍分成x1和1xm和mx0當(dāng)x1，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， x1時(shí)取到最小值82m, 因?yàn)?m0，所以最小值6當(dāng)1xm，原式（x1）（x5）2（xm）2x62m， xm時(shí)取到最小值6所以當(dāng)1m0時(shí)，最小值是6，和題意不符。（3）   若m1，則x取值范圍分成xm和mx1和1x0當(dāng)xm，原式（x1）（x5）2（xm）4x42m， xm時(shí)取到最小值42m當(dāng)mx1，原式（x1）（x5）2（xm）

11、42m，這時(shí)為恒值42m當(dāng)1x0，原式（x1）（x5）2（xm）2x2m6，無(wú)最小值所以當(dāng)m1時(shí)，最小值是42m，令42m 7，得m1.5，符合題意綜上所述，m0.5或1.5 。第四類：運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義解題1、x的絕對(duì)值的幾何意義是在數(shù)軸上表示 x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即|x|=|x0|x1|的幾何意義是在數(shù)軸上表示 x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)的距離，|x2|的幾何意義是在數(shù)軸上表示 x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離，|ab|的幾何意義是在數(shù)軸上表示 a的點(diǎn)到表示b的點(diǎn)的距離。2、設(shè)A和B是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，X是數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，我們研究下，當(dāng)X在什么位置時(shí)，X到A點(diǎn)和B點(diǎn)的距離之和最小？很顯然，當(dāng)X點(diǎn)在A點(diǎn)和B點(diǎn)之間時(shí)，X點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，最小值即為A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離。當(dāng)再增加一個(gè)C點(diǎn)時(shí)，如何求動(dòng)點(diǎn)X到三個(gè)點(diǎn)的距離之和的最小值呢。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X點(diǎn)在中間的點(diǎn)即C點(diǎn)時(shí)，它到