通信原理第3章(樊昌信第七版)

1、1通信原理2通信原理第第3章章 隨機過程隨機過程3第第3章章 隨機過程隨機過程l 3.3 高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）高斯隨機過程（正態(tài)隨機過程）n3.3.1 定義定義n高斯過程(正態(tài)隨機過程)：通信領(lǐng)域中最重要的一種過程，大多數(shù)噪聲都是高斯型的。n如果隨機過程 (t)的任意n維（n =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa4式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|

2、jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(5n 3.3.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)u由高斯過程的定義式可知,高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需研究它的數(shù)字特征。u廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。 若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點無關(guān)，即也是嚴平穩(wěn)的。所以，高斯過程若為廣義平穩(wěn)，則也嚴平穩(wěn)。6u如果高斯過程在不同時刻的取值是不相

3、關(guān)的，即對所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為 表明：如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。u高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。),.,;,.,(2121nnntttxxxf2kk2k 1kk()1exp22nxa),(),(),(2211nntxftxftxf7n 3.3.3 高斯隨機變量高斯隨機變量u定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：221()( )exp22xaf x8u性質(zhì)pf

4、(x)對稱于直線 x = a，即p pa表示分布中心， 稱為標準偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當a = 0和 = 1時，稱為標準化的正態(tài)分布：xafxaf( )d1f xx1( )d( )d2aaf xxf xx21( )exp22xf x9不同概率密度函數(shù)曲線()f xs1s2ss 2時，1( )1erfc22xaF x 22erfc( )1 erf( )dtxxxet 21erfc( )xxex12p用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。2/21( )d2txQ xet1( )erf

5、c22xQ xerfc( )2 ( 2 )xQx1( )1erfc122xaxaF xQ 13平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)l隨機過程通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)之上的。是對確知信號分析的推廣。l當一個系統(tǒng)的行為滿足疊加原理時，這個系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。l線性時不變系統(tǒng)可由其單位沖激響應(yīng)h(t)或其頻率響應(yīng)H(f)來表示。14確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng) ：式中 vi 輸入信號， vo 輸出信號對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：n隨機信號通過線性系統(tǒng)：隨機信號通過線性系統(tǒng)：u假設(shè)：i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機過程， a 均值， R

6、i() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度；求輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。0( )( )( )( ) ()diiv th tv thv t)f ()f ()f (0iVHV0( )( ) ()ditht 15 設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入隨機過程為i(t)，則輸出為o(t) ，則輸入與輸出可表示成卷積關(guān)系。 odiith ttht 對線性系統(tǒng)，當輸入i(t)是平穩(wěn)過程時，輸出響應(yīng)o(t)，則對輸入信號和輸出信號的統(tǒng)計關(guān)系有以下主要結(jié)論：即線性系統(tǒng)響應(yīng)等于輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積。隨機信號通過線性系統(tǒng)隨機信號通過線性系統(tǒng) 輸出過程的均值是一個常

7、數(shù)。()()( )( )=aiEtEt HHxx輊輊=臌臌000a是輸入過程的均值，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0時的頻率響應(yīng)，即直流增益。16u輸出過程輸出過程 o(t)的均值的均值 對上式兩邊取統(tǒng)計平均：得到設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。0( )( ) ()ditht 0( )( )()d( ) ()diiEtEhthEt atEtEii)()(0( )( )d(0)Etaha H172. 若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的()( )oo,R t tR11tt+=系統(tǒng)的輸出0(t)的自相關(guān)函數(shù)只與

8、時間間隔有關(guān)，與時間起點無關(guān)。18u輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是表明：輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)。由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，輸出也是平穩(wěn)的。 01101011111( ,)( )()( ) ()d( ) ()d( ) ( ) () ()d diiiiR t tEttEhththhEtt )()()(11iiiRttE0110( ,)( ) ( )()d d( )iR t thhRR 193. 線性系統(tǒng)輸出平穩(wěn)過程o(t)的功率譜密度Po(f)是輸入平穩(wěn)過程i(t)的功率譜密度Pi(f)與傳遞函數(shù)模的平方的乘積。( )

9、( )( )o iPfHfPf2H(f)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。20u輸出過程o(t)的功率譜密度對下式進行傅里葉變換：得出令 = + - ，得到即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() o11o( ,)( ) ( )()d d( )iR t thhRR oo( )( )djP fRe( ) ( )()d ddjihhRe o( )( )d( )d( )djjjiPfheheRe2oii( )( )( )( )( )( )P fHfH fP fH fP f21u輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布p如果線性

10、系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 因為從積分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這個“和” 也是高斯隨機變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。kkkkihttk)()(lim)(0000( )( ) ()ditht 223.5 窄帶隨機過程 n什么是窄帶隨機過程？ 若隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc

11、 遠離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。 窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶過程的頻譜和波形示意25n窄帶隨機過程的表示式窄帶隨機過程的表示式式中，式中，a (t) 隨機包絡(luò)，隨機包絡(luò)， (t) 隨機相位隨機相位 c 中心角頻率中心角頻率顯然，顯然， a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc26n窄帶隨機過程表示式展開窄帶隨機過程表示式展開可以展開為可以展開為式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計特性由的統(tǒng)計特性由a (t)和和 (t)

12、或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計的統(tǒng)計特性確定。特性確定。0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats27討論討論均值為零均值為零的的平穩(wěn)平穩(wěn)高斯窄帶高斯窄帶過程的統(tǒng)計特性過程的統(tǒng)計特性n3.5.1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計特性的統(tǒng)計特性p數(shù)學期望：對下式求數(shù)學期望：數(shù)學期望：對下式求數(shù)學期望：得到得到 因為因為 (t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcscc

13、sin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，28p (t)的自相關(guān)函數(shù)：的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中式中因為因為 (t)是平穩(wěn)的，故有是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時間這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與無關(guān)，而僅與 有關(guān)。有關(guān)。 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?，上式仍?yīng)成立，它變?yōu)?()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEtt

14、RttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(29第第3章章 隨機過程隨機過程因與時間因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樗?，上式變?yōu)樵倭钤倭?t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄帶過程若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也必然是平穩(wěn)的。也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(cscc

15、sRRRsin)(cos)()(30p進一步分析，下兩式進一步分析，下兩式應(yīng)同時成立，故有應(yīng)同時成立，故有上式表明，上式表明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR31第第3章章 隨機過程隨機

16、過程將將代入下兩式代入下兩式得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差。具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(csR)0()0()0(scRRR222sc32p根據(jù)平穩(wěn)性，故由式根據(jù)平穩(wěn)性，故由式 得到得到因為因為 (t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機一定是高斯隨機變量，從而變量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。p根據(jù)根據(jù)可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們

17、是高斯處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此型的，因此 c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計獨立的也是統(tǒng)計獨立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時)()(,2222ttttsc時0)0(csR33u結(jié)論：結(jié)論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程 (t) ，它，它的同相分量的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一此外，在同一時刻上得到的時刻上得到的 c和和 s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。是互不相關(guān)的或統(tǒng)計獨立的。()()(

18、)( )( )cssc ()cscsEtEtEtRRxxxxxxsss輊輊輊=臌臌臌=2220000 互相關(guān)系數(shù)343.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 l正弦波加窄帶高斯噪聲是通信中常遇到的一種情況：比正弦波加窄帶高斯噪聲是通信中常遇到的一種情況：比如從帶通濾波器輸出正弦波已調(diào)信號與窄帶高斯噪聲信如從帶通濾波器輸出正弦波已調(diào)信號與窄帶高斯噪聲信號的混合。號的混合。l混合信號的數(shù)學形式混合信號的數(shù)學形式n(t)為窄帶高斯噪聲，均值為為窄帶高斯噪聲，均值為0。)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(35l正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程

19、f(t)是確知信號，是確知信號，n(t)是隨機高是隨機高斯噪聲信號：斯噪聲信號： tttzttzttzttnAttnAttnttntAtntftrccscccscccsccccossincossinsincoscossincoscos 20022tztztztztztzcsscarctan其中：其中：36l可以證明，正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)的概率密可以證明，正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)的概率密度函數(shù)為度函數(shù)為 ( )()zexp z220222102zAf zzAIsss輊驏犏=-+犏桫臌該概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，又稱該概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，又稱Rice（萊斯）（萊斯）密度函數(shù)。

20、式中為零階修正貝塞爾函數(shù)。密度函數(shù)。式中為零階修正貝塞爾函數(shù)。 37（1）當）當A=0時，只有噪聲時，只有噪聲n(t) ，即為瑞利分布；，即為瑞利分布；（2）當）當A遠大于遠大于n(t)時，即大信噪比時時，即大信噪比時 為高斯分布。為高斯分布。r(t)的相位的概率密度函數(shù)為的相位的概率密度函數(shù)為 當信噪比很大時，相位分布集中于正弦信號本身的當信噪比很大時，相位分布集中于正弦信號本身的相位附近；在信噪比很小時，接近于均勻分布。相位附近；在信噪比很小時，接近于均勻分布。02)(exp21)(22zAzzf2020)()/(),()(dffdff383.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲n白噪聲白噪聲n (

21、t)u定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即即 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度或或 單邊功率譜密度單邊功率譜密度式中式中 n0 正常數(shù)正常數(shù)u白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：反變換，得到相關(guān)函數(shù)：2)(0nfPn)(f0)(nfPn)(0 f)(2)(0nR39u白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：40u白噪聲的功率白噪聲的功率由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即或或p因此，真正因此，真正“白白”

22、的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。種理想化的噪聲形式。 p實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。p如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高高斯白噪聲斯白噪聲。p高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。 f2n)0(0dR)0(2)0(0nR41n低通白噪聲低通白噪聲u定義：如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想定義：如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想低通信道，則輸出的噪聲稱為低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲低通白噪聲。 u功率譜密度功率譜密度p由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在| f | fH內(nèi)，內(nèi)，通常把這樣的噪聲也稱為通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲帶限白噪聲。 u自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)其它02)(0HnffnfPHHHfffnR22sin)