第4章-給水排水管網(wǎng)模型

1、第第4章章 給水排水管網(wǎng)模型給水排水管網(wǎng)模型柯尼斯堡七橋問題柯尼斯堡七橋問題o 18世紀初在普魯士柯尼世紀初在普魯士柯尼斯堡鎮(zhèn)（今蘇聯(lián)加里寧斯堡鎮(zhèn)（今蘇聯(lián)加里寧格勒）流傳一個問題。格勒）流傳一個問題。這問題是城內(nèi)一條河的這問題是城內(nèi)一條河的兩支流繞過一個島，有兩支流繞過一個島，有七座橋橫跨這兩支流。七座橋橫跨這兩支流。問一個散步者能否走過問一個散步者能否走過每一座橋，而每座橋卻每一座橋，而每座橋卻只走過一次。只走過一次。歐拉在歐拉在1736年圓滿地解決了這一問題，證明這種方法并年圓滿地解決了這一問題，證明這種方法并不存在。他在圣彼得堡科學(xué)院發(fā)表了圖論史上第一篇重要不存在。他在圣彼得堡科學(xué)院發(fā)表

2、了圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區(qū)視為點。這樣若，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區(qū)視為點。這樣若從某點出發(fā)后最后再回到這點，則這一點的線數(shù)必須是偶從某點出發(fā)后最后再回到這點，則這一點的線數(shù)必須是偶數(shù)數(shù)。第第4章給水排水管網(wǎng)模型章給水排水管網(wǎng)模型o 4.1 給水排水管網(wǎng)模型方法給水排水管網(wǎng)模型方法 管網(wǎng)模型：將給水排水管網(wǎng)工程實體簡化和抽象為用管網(wǎng)模型：將給水排水管網(wǎng)工程實體簡化和抽象為用管段和節(jié)點兩類元素的圖形和數(shù)據(jù)表達的系統(tǒng)，稱為管段和節(jié)點兩類元素的圖形和數(shù)據(jù)表達的系統(tǒng)

3、，稱為給水排水管網(wǎng)模型。給水排水管網(wǎng)模型。 管網(wǎng)模型分類：拓撲模型、水力模型、水質(zhì)模型、運管網(wǎng)模型分類：拓撲模型、水力模型、水質(zhì)模型、運行管理模型。行管理模型。4.1.1給水排水管網(wǎng)簡化給水排水管網(wǎng)簡化o（1）簡化原則）簡化原則 1）宏觀等效原則。保持其功能，各元素之間的關(guān)系不變。）宏觀等效原則。保持其功能，各元素之間的關(guān)系不變。 2）小誤差原則。簡化模型與實際系統(tǒng)的誤差在一定允許范圍，滿）小誤差原則。簡化模型與實際系統(tǒng)的誤差在一定允許范圍，滿足工程上的要求。足工程上的要求。 （2）管線簡化方法）管線簡化方法 1）刪除次要管線，保留主干管線和干管線。）刪除次要管線，保留主干管線和干管線。 2）

4、相近交叉點合并，減少管線的數(shù)目。）相近交叉點合并，減少管線的數(shù)目。 3）刪除全開閥門，保留調(diào)節(jié)閥、減壓閥等。）刪除全開閥門，保留調(diào)節(jié)閥、減壓閥等。 4）串聯(lián)、并聯(lián)管線水力等效合并。）串聯(lián)、并聯(lián)管線水力等效合并。 5）大系統(tǒng)拆分為多個小系統(tǒng)，分別計算。）大系統(tǒng)拆分為多個小系統(tǒng)，分別計算。 （3）附屬設(shè)施簡化方法）附屬設(shè)施簡化方法 給水排水管網(wǎng)附屬設(shè)施包括泵站、調(diào)節(jié)構(gòu)筑物（水池、水塔等）給水排水管網(wǎng)附屬設(shè)施包括泵站、調(diào)節(jié)構(gòu)筑物（水池、水塔等）、消火栓、減壓閥、跌水井、雨水口、檢查井等，進行簡化的具體方、消火栓、減壓閥、跌水井、雨水口、檢查井等，進行簡化的具體方法為：法為： 1）刪除不影響全局水力特

5、性的設(shè)施，如全開的閘閥、排氣閥、）刪除不影響全局水力特性的設(shè)施，如全開的閘閥、排氣閥、泄水閥、消火栓等。泄水閥、消火栓等。 2）將同一處的多個相同設(shè)施合并，如同一處的多個水量調(diào)節(jié)設(shè)）將同一處的多個相同設(shè)施合并，如同一處的多個水量調(diào)節(jié)設(shè)施（清水池、水塔、均和調(diào)節(jié)池等）合并，并聯(lián)或串聯(lián)工作的水泵或施（清水池、水塔、均和調(diào)節(jié)池等）合并，并聯(lián)或串聯(lián)工作的水泵或泵站合并等。泵站合并等。管網(wǎng)圖簡化管網(wǎng)圖簡化4.1.2給水排水管網(wǎng)模型元素給水排水管網(wǎng)模型元素給水排水管網(wǎng)經(jīng)過簡化成為僅由管段和節(jié)點兩類元素組成的管網(wǎng)模型，管段給水排水管網(wǎng)經(jīng)過簡化成為僅由管段和節(jié)點兩類元素組成的管網(wǎng)模型，管段與節(jié)點相互關(guān)聯(lián)，即管

6、段的兩端為節(jié)點，節(jié)點之間通過管段連通。與節(jié)點相互關(guān)聯(lián)，即管段的兩端為節(jié)點，節(jié)點之間通過管段連通。（1）管段）管段 管段是管線和泵站等簡化后的抽象形式，它只能輸送水量，管段中間不管段是管線和泵站等簡化后的抽象形式，它只能輸送水量，管段中間不允許有流量輸入或輸出，但水流經(jīng)管段后可產(chǎn)生能量改變。允許有流量輸入或輸出，但水流經(jīng)管段后可產(chǎn)生能量改變。 當(dāng)管線中間有較大的集中流量時，無論是流出或流入，應(yīng)在集中流量點當(dāng)管線中間有較大的集中流量時，無論是流出或流入，應(yīng)在集中流量點處設(shè)置節(jié)點，避免造成較大的水力計算誤差。處設(shè)置節(jié)點，避免造成較大的水力計算誤差。 泵站、減壓閥、跌水井、非全開閥門等則應(yīng)設(shè)于管段上，

7、因為它們的功泵站、減壓閥、跌水井、非全開閥門等則應(yīng)設(shè)于管段上，因為它們的功能與管段類似，只引起水的能量變化而沒有流量的增加或者損失。能與管段類似，只引起水的能量變化而沒有流量的增加或者損失。（2）節(jié)點）節(jié)點 節(jié)點是管線交叉點、端點或大流量出入點的抽象形式。節(jié)點只能傳遞能節(jié)點是管線交叉點、端點或大流量出入點的抽象形式。節(jié)點只能傳遞能量，不能改變能量，但節(jié)點可以有流量的輸入或輸出。量，不能改變能量，但節(jié)點可以有流量的輸入或輸出。4.1.2給水排水管網(wǎng)模型元素（續(xù)）給水排水管網(wǎng)模型元素（續(xù)）（3）管段和節(jié)點的屬性管段和節(jié)點的屬性包括構(gòu)造屬性、拓撲屬性和水力）管段和節(jié)點的屬性管段和節(jié)點的屬性包括構(gòu)造屬

8、性、拓撲屬性和水力屬性三個方面。構(gòu)造屬性是拓撲屬性和水力屬性的基礎(chǔ)，水力屬性是管段和屬性三個方面。構(gòu)造屬性是拓撲屬性和水力屬性的基礎(chǔ)，水力屬性是管段和節(jié)點在系統(tǒng)中的水力特征的表現(xiàn)，拓撲屬性是管段與節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。節(jié)點在系統(tǒng)中的水力特征的表現(xiàn)，拓撲屬性是管段與節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。管段屬性管段屬性: 管段構(gòu)造屬性：管段構(gòu)造屬性：1）管段長度；）管段長度；2）管段直徑；）管段直徑；3）管段粗糙系數(shù)。）管段粗糙系數(shù)。 管段拓撲屬性：管段拓撲屬性：1）管段方向；）管段方向；2）起端節(jié)點，簡稱起點；）起端節(jié)點，簡稱起點；3）終端節(jié)點，）終端節(jié)點，簡稱終點。簡稱終點。 管段水力屬性：管段水力屬性：1）管

9、段流量；）管段流量；2）管段流速；）管段流速；3）管段揚程，能量增加值；）管段揚程，能量增加值；4）管段摩阻；）管段摩阻；5）管段壓降。）管段壓降。節(jié)點屬性節(jié)點屬性: 節(jié)點構(gòu)造屬性：節(jié)點構(gòu)造屬性：1）節(jié)點高程；）節(jié)點高程；2）節(jié)點位置（）節(jié)點位置（x,y）。）。 節(jié)點拓撲屬性：節(jié)點拓撲屬性：1）與節(jié)點關(guān)聯(lián)的管段及其方向；）與節(jié)點關(guān)聯(lián)的管段及其方向；2）節(jié)點的度，即與節(jié)）節(jié)點的度，即與節(jié)點關(guān)聯(lián)的管段數(shù)。點關(guān)聯(lián)的管段數(shù)。 節(jié)點水力屬性：節(jié)點水力屬性：1）節(jié)點流量；）節(jié)點流量；2）節(jié)點水頭，對于非滿流，節(jié)點水頭即）節(jié)點水頭，對于非滿流，節(jié)點水頭即管渠內(nèi)水面高程；管渠內(nèi)水面高程；3）自由水頭。）自由水

10、頭。4.1.3管網(wǎng)模型的標識管網(wǎng)模型的標識將給水排水管網(wǎng)優(yōu)化和將給水排水管網(wǎng)優(yōu)化和抽象為管網(wǎng)模型后，應(yīng)抽象為管網(wǎng)模型后，應(yīng)該對其進行標識，以便該對其進行標識，以便于以后的分析和計算。于以后的分析和計算。標識的內(nèi)容包括：節(jié)點標識的內(nèi)容包括：節(jié)點與管段的命名或編號；與管段的命名或編號；管段方向與節(jié)點流量的管段方向與節(jié)點流量的方向與設(shè)定。方向與設(shè)定。（1）節(jié)點和管段編號節(jié)點和管段命名。）節(jié)點和管段編號節(jié)點和管段命名。 節(jié)點編號：（節(jié)點編號：（1），（），（2），（），（3），），； 管段編號：管段編號：1，2，3，。（2）管段方向設(shè)定）管段方向設(shè)定 管段的一些屬性具有方向性，如流量、流速、壓降等，方

11、向與管段的管段的一些屬性具有方向性，如流量、流速、壓降等，方向與管段的設(shè)定方向相同，總是從起點指向終點。設(shè)定方向相同，總是從起點指向終點。 管段設(shè)定方向不一定等于管段中水的流向，如果實際流向與設(shè)定方向管段設(shè)定方向不一定等于管段中水的流向，如果實際流向與設(shè)定方向不一致，則采用負值表示。不一致，則采用負值表示。（3）節(jié)點流量方向設(shè)定節(jié)點流量的方向，總是假定以流出節(jié)點為正，在管）節(jié)點流量方向設(shè)定節(jié)點流量的方向，總是假定以流出節(jié)點為正，在管網(wǎng)模型中通常以一個離開節(jié)點的箭頭標示。如果節(jié)點流量實際上為流入節(jié)點，網(wǎng)模型中通常以一個離開節(jié)點的箭頭標示。如果節(jié)點流量實際上為流入節(jié)點，則認為節(jié)點流量為負值。如給水

12、管網(wǎng)的水源供水節(jié)點，或排水管網(wǎng)中的大多則認為節(jié)點流量為負值。如給水管網(wǎng)的水源供水節(jié)點，或排水管網(wǎng)中的大多數(shù)節(jié)點，它們的節(jié)點流量都為負。數(shù)節(jié)點，它們的節(jié)點流量都為負。4.2 管網(wǎng)模型的拓撲特性管網(wǎng)模型的拓撲特性拓撲學(xué)拓撲學(xué)(topology)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。拓些性質(zhì)的學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。拓撲英文名是撲英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，最早指研究地形、地貌相類似的有關(guān)，直譯是地志學(xué)，最早指研究地形、地貌相類

13、似的有關(guān)學(xué)科。學(xué)科。公元公元1858年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（年，德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，17901868）和約翰）和約翰李斯李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可的性質(zhì)。普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為遍整

14、個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶莫比烏斯帶”。（也就是說，。（也就是說，它的曲面只有一個）它的曲面只有一個）莫比烏斯帶是一種拓展圖形，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形莫比烏斯帶是一種拓展圖形，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產(chǎn)下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產(chǎn)生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做之間存在著

15、一一對應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲變換。4.2 管網(wǎng)模型的拓撲特性管網(wǎng)模型的拓撲特性 管網(wǎng)模型用于描述、模擬或表達給水排水管網(wǎng)的拓撲特性和水力特性。管網(wǎng)模型用于描述、模擬或表達給水排水管網(wǎng)的拓撲特性和水力特性。管網(wǎng)模型的拓撲特性即為節(jié)點與管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系（圖論方法）。其分析方法管網(wǎng)模型的拓撲特性即為節(jié)點與管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系（圖論方法）。其分析方法采用數(shù)學(xué)中的圖論方法。采用數(shù)學(xué)中的圖論方法。4.2.14.2.1管網(wǎng)圖的基本概念管網(wǎng)圖的基本概念圖論（圖論（Graph Theory）：數(shù)學(xué)分支，用于表達和研究事物之間關(guān)聯(lián)關(guān)系，）：數(shù)學(xué)分支，用于表達和研究事物之間關(guān)聯(lián)關(guān)系

16、，其方法是將一個系統(tǒng)抽象為由點和邊兩類元素構(gòu)成的圖，點表示事物，邊表其方法是將一個系統(tǒng)抽象為由點和邊兩類元素構(gòu)成的圖，點表示事物，邊表示事物之間的聯(lián)系。示事物之間的聯(lián)系。圖論應(yīng)用：具有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的系統(tǒng)分析和計算，如物流組織、交通運輸、圖論應(yīng)用：具有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的系統(tǒng)分析和計算，如物流組織、交通運輸、工程規(guī)劃等問題。工程規(guī)劃等問題。管網(wǎng)圖論：用圖論方法分析和計算給水排水管網(wǎng)模型，管網(wǎng)中的節(jié)點和管段管網(wǎng)圖論：用圖論方法分析和計算給水排水管網(wǎng)模型，管網(wǎng)中的節(jié)點和管段分別與圖論中的點和邊相對應(yīng)，構(gòu)成管網(wǎng)的構(gòu)造元素，作為管網(wǎng)的主要研究分別與圖論中的點和邊相對應(yīng)，構(gòu)成管網(wǎng)的構(gòu)造元素，作為管網(wǎng)的主要研究對

17、象。對象。（1）管網(wǎng)圖的表示方法）管網(wǎng)圖的表示方法1）幾何表示法：在平面上畫上點，表示節(jié)點，在相聯(lián)系的節(jié)點之間畫上直）幾何表示法：在平面上畫上點，表示節(jié)點，在相聯(lián)系的節(jié)點之間畫上直線段或曲線段表示管段，所構(gòu)成的圖形表示一個管網(wǎng)圖。改變點的位置或改線段或曲線段表示管段，所構(gòu)成的圖形表示一個管網(wǎng)圖。改變點的位置或改變線段的長度與形狀等，均不改變管網(wǎng)圖。變線段的長度與形狀等，均不改變管網(wǎng)圖。枝狀管網(wǎng)示意圖枝狀管網(wǎng)示意圖環(huán)狀管網(wǎng)示意圖環(huán)狀管網(wǎng)示意圖2）圖的集合表示節(jié)點集合：）圖的集合表示節(jié)點集合：V=v1,v2,v3,vn；管段集合：；管段集合：E=e1,e2,e3,em；記為；記為G(V,E)。管段

18、。管段ek=(vi,vj)與節(jié)點與節(jié)點vi或或vj相相互關(guān)聯(lián)，節(jié)點互關(guān)聯(lián)，節(jié)點vi與與vj為相鄰節(jié)點。為相鄰節(jié)點。例：如枝狀管網(wǎng)示意圖所示管網(wǎng)圖例：如枝狀管網(wǎng)示意圖所示管網(wǎng)圖G(V,E) ，節(jié)點集合：節(jié)點集合：V1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)；管段集合：管段集合：E=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7) ,(8,3) , (9,10) ,(10,5) ,(11,12) ,(12,10)。圖的節(jié)點數(shù)為圖的節(jié)點數(shù)為N(G)=12，管段數(shù)，管段數(shù)M(G)=11。關(guān)聯(lián)集：與節(jié)點關(guān)聯(lián)集：與節(jié)點v相關(guān)聯(lián)的管段組成的集合稱為節(jié)點相關(guān)聯(lián)的管段組成的集合

19、稱為節(jié)點v的關(guān)聯(lián)集，記為的關(guān)聯(lián)集，記為S(v)，表達節(jié)點與管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系。如環(huán)狀網(wǎng)示意圖所示圖中，各節(jié)點關(guān)聯(lián)集為：表達節(jié)點與管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系。如環(huán)狀網(wǎng)示意圖所示圖中，各節(jié)點關(guān)聯(lián)集為：S1=1、S2=1,2,4、S3=2,3,5、S4=3,6、S5=4,7、S6=5,7,8、S7=6,8。（2）有向圖）有向圖在管網(wǎng)圖在管網(wǎng)圖G(V,E)中，管段中，管段ek=(vi,vj)E的兩個節(jié)點的兩個節(jié)點viV和和vjV有序，有序，即即ek=(vi,vj) (vj,vi)，圖，圖G為有向圖，節(jié)點為有向圖，節(jié)點vi稱為起點，節(jié)點稱為起點，節(jié)點vj稱為終稱為終點。點。圖中：圖中：V1,2,3,4,5,6,7,8,

20、9,10,11,12；E=(12),(23),(34),(45),(56),(67),(83) ,(910) ,(105) ,(1112) ,(1210)。起點集合，記為起點集合，記為F：F=1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12；終點集合，記為終點集合，記為T：T=2,3,4,5,6,7,3,10,5,12,10。（3）管網(wǎng)圖的連通性）管網(wǎng)圖的連通性 連通圖和非連通圖：若圖連通圖和非連通圖：若圖G(V,E)中任意兩個頂點均通過一系列邊及頂中任意兩個頂點均通過一系列邊及頂點相連通，即從一個頂點出發(fā)，經(jīng)過一系列相關(guān)聯(lián)的邊和頂點，可以到達其點相連通，即從一個頂點出發(fā)，經(jīng)過一系列相關(guān)聯(lián)的邊

21、和頂點，可以到達其余任一頂點，則稱圖余任一頂點，則稱圖G為連通圖，否則稱圖為連通圖，否則稱圖G為非連通圖。為非連通圖。 一個非連通圖一個非連通圖G(V,E)總可以分為若干個連通圖，稱為圖總可以分為若干個連通圖，稱為圖G的連通分支，的連通分支，記為記為P。顯然，對于連通圖。顯然，對于連通圖G，P=1。如下圖所示為非連通圖，且。如下圖所示為非連通圖，且P=3。管網(wǎng)圖一般都是連通圖，但有時為了進行特定的分析處理，可能刪除一些管網(wǎng)圖一般都是連通圖，但有時為了進行特定的分析處理，可能刪除一些管段，成為非連通圖。管段，成為非連通圖。連通圖連通圖非連通圖非連通圖4.2.2 環(huán)狀管網(wǎng)與樹狀管網(wǎng)環(huán)狀管網(wǎng)與樹狀管

22、網(wǎng)（1）路徑與回路：）路徑與回路：圖圖G(V,E)中，從節(jié)點中，從節(jié)點v0到到vk的一個節(jié)點與管段交替的有限非零序的一個節(jié)點與管段交替的有限非零序v0e1v1e1ekvk, ，稱為行走，如果行走不含重復(fù)的節(jié)點，稱為路徑。管段，稱為行走，如果行走不含重復(fù)的節(jié)點，稱為路徑。管段數(shù)數(shù)k為路徑的長度，為路徑的長度，v0與與vk分別為路徑的起點和終點。分別為路徑的起點和終點。如所示圖中，從起點如所示圖中，從起點1到終點到終點7的一條路徑為的一條路徑為R1,7=1,4,7,8。在管網(wǎng)圖在管網(wǎng)圖G(V,E)中，起點與終點重合的的路徑稱為回路，在管網(wǎng)中稱為環(huán)，中，起點與終點重合的的路徑稱為回路，在管網(wǎng)中稱為環(huán)

23、，記為記為RK，k為環(huán)的編號，環(huán)的方向一般設(shè)定為為環(huán)的編號，環(huán)的方向一般設(shè)定為順時針方向為正順時針方向為正，逆時針方向逆時針方向為負為負。含有不同管段的環(huán)的集合稱為完全環(huán)，不包圍任何節(jié)點或管段的環(huán)稱。含有不同管段的環(huán)的集合稱為完全環(huán)，不包圍任何節(jié)點或管段的環(huán)稱為基本環(huán)或自然環(huán)。為基本環(huán)或自然環(huán)。如所示圖中，如所示圖中，R1=2,5,7,4、R2=2,3,6,8,7,4、R3=3,6,8,5的的集合為完全環(huán)，其中集合為完全環(huán)，其中R1、R3稱為基本環(huán)或自然環(huán)。稱為基本環(huán)或自然環(huán)。（2）環(huán)狀管網(wǎng)）環(huán)狀管網(wǎng)含有一個及以上環(huán)的管網(wǎng)稱之為環(huán)狀管網(wǎng)。對于一個環(huán)狀管網(wǎng)圖，設(shè)節(jié)點數(shù)含有一個及以上環(huán)的管網(wǎng)稱之為

24、環(huán)狀管網(wǎng)。對于一個環(huán)狀管網(wǎng)圖，設(shè)節(jié)點數(shù)為為N，管段數(shù)為，管段數(shù)為M，連通分支數(shù)為，連通分支數(shù)為P，內(nèi)環(huán)數(shù)為，內(nèi)環(huán)數(shù)為L，則它們之間存在一個固定，則它們之間存在一個固定的關(guān)系，用歐拉公式表示：的關(guān)系，用歐拉公式表示： L+N=M+P 特別地，對于一個連通的管網(wǎng)圖，歐拉公式為：特別地，對于一個連通的管網(wǎng)圖，歐拉公式為：M=L+N-1（3）樹狀管網(wǎng)無回路且連通的管網(wǎng)）樹狀管網(wǎng)無回路且連通的管網(wǎng)圖圖G(V,E)定義為樹狀管網(wǎng)，用符號定義為樹狀管網(wǎng)，用符號T(V,G)表示，組成樹狀管網(wǎng)的管段表示，組成樹狀管網(wǎng)的管段稱為樹枝。排水管網(wǎng)和小型的給水管稱為樹枝。排水管網(wǎng)和小型的給水管網(wǎng)通常采用樹狀管網(wǎng)，如圖所

25、示。網(wǎng)通常采用樹狀管網(wǎng)，如圖所示。樹狀管網(wǎng)性質(zhì)：樹狀管網(wǎng)性質(zhì)： 1）在樹狀管網(wǎng)中，任意刪除一條管段，將使管網(wǎng)圖成為非連通圖。）在樹狀管網(wǎng)中，任意刪除一條管段，將使管網(wǎng)圖成為非連通圖。 2）在樹狀管網(wǎng)中，任意兩個節(jié)點之間必然存在且僅存在一條路徑。）在樹狀管網(wǎng)中，任意兩個節(jié)點之間必然存在且僅存在一條路徑。 3）在樹狀管網(wǎng)的任意兩個不相同的節(jié)點間加上一條管段，則出現(xiàn)一個）在樹狀管網(wǎng)的任意兩個不相同的節(jié)點間加上一條管段，則出現(xiàn)一個回路。回路。 4）由于不含回路（）由于不含回路（L=0），樹狀管網(wǎng)的節(jié)點數(shù)），樹狀管網(wǎng)的節(jié)點數(shù)N與樹枝數(shù)與樹枝數(shù)M關(guān)系為：關(guān)系為：M=N-1 生成樹：如果從連通的管網(wǎng)圖生成樹

26、：如果從連通的管網(wǎng)圖G(V,E)中刪除中刪除若干條管段后，使之成為樹狀管網(wǎng)，則該樹狀若干條管段后，使之成為樹狀管網(wǎng)，則該樹狀管網(wǎng)稱為原管網(wǎng)圖管網(wǎng)稱為原管網(wǎng)圖G的生成樹。生成樹包含連的生成樹。生成樹包含連通管網(wǎng)圖的全部節(jié)點和部分管段。被保留的管通管網(wǎng)圖的全部節(jié)點和部分管段。被保留的管段稱為樹枝，被刪除的管段稱為連枝，其連枝段稱為樹枝，被刪除的管段稱為連枝，其連枝數(shù)等于環(huán)數(shù)數(shù)等于環(huán)數(shù)L。4.2.3 關(guān)聯(lián)矩陣和回路矩陣關(guān)聯(lián)矩陣和回路矩陣矩陣：在數(shù)學(xué)中，矩陣（矩陣：在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集）是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所

27、構(gòu)成的方陣。這一概念由合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀英國世紀英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。數(shù)學(xué)家凱利首先提出。X1+2X2=52X1+X2=445122121XX4.2.3 關(guān)聯(lián)矩陣和回路矩陣關(guān)聯(lián)矩陣和回路矩陣（1）關(guān)聯(lián)矩陣）關(guān)聯(lián)矩陣-表達節(jié)點和管段的連接關(guān)系。設(shè)管網(wǎng)圖表達節(jié)點和管段的連接關(guān)系。設(shè)管網(wǎng)圖G(V,E)有有N個節(jié)點個節(jié)點和和M條管段，令：條管段，令：某給水管網(wǎng)模型某給水管網(wǎng)模型關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣關(guān)聯(lián)矩陣特征：關(guān)聯(lián)矩陣特征：1）由于矩陣中列代表管段與節(jié)點的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而每條管段僅可能有起點、終）由于矩陣中列代表管段與節(jié)點的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而每條管段僅可能有起點、終點

28、兩個端點，因此每列中非零元素個數(shù)必為點兩個端點，因此每列中非零元素個數(shù)必為2，且非零元素符號相反。，且非零元素符號相反。2）矩陣中存在大量為）矩陣中存在大量為0的元素，圖的規(guī)模越大，非零元素所占比例越小，這時的元素，圖的規(guī)模越大，非零元素所占比例越小，這時所形成的矩陣稱之為大型稀疏矩陣。所形成的矩陣稱之為大型稀疏矩陣。（2）回路矩陣）回路矩陣1）完全回路矩陣：設(shè)有）完全回路矩陣：設(shè)有N條管段的管網(wǎng)圖條管段的管網(wǎng)圖G中，所有中，所有L個含有不同管段的回個含有不同管段的回路，稱為圖路，稱為圖G的完全回路，存在回路矩陣的完全回路，存在回路矩陣完全回路矩陣完全回路矩陣官網(wǎng)圖的回路官網(wǎng)圖的回路2）基本回

29、路矩陣：）基本回路矩陣：對應(yīng)于圖對應(yīng)于圖G中一棵生成樹和其對應(yīng)的連枝所構(gòu)成的回路稱為圖中一棵生成樹和其對應(yīng)的連枝所構(gòu)成的回路稱為圖G的基本回路，的基本回路，基本回路數(shù)等于連枝數(shù)。存在基本回路矩陣基本回路數(shù)等于連枝數(shù)。存在基本回路矩陣如圖所示，對應(yīng)于連枝如圖所示，對應(yīng)于連枝7和和8的基本回路矩陣為的基本回路矩陣為管網(wǎng)圖的回路管網(wǎng)圖的回路基本回路是相互獨立的回路，亦可基本回路是相互獨立的回路，亦可稱為自然回路。稱為自然回路。3）有向圖基本回路矩陣：在有向圖中，回路矩陣的矩陣元素應(yīng)帶有方向，一）有向圖基本回路矩陣：在有向圖中，回路矩陣的矩陣元素應(yīng)帶有方向，一般用般用“1”表示正方向，用表示正方向，用

30、“-1”表示負方向。依圖中的管段方向，且規(guī)定順表示負方向。依圖中的管段方向，且規(guī)定順時針分析為正，逆時針分析為負。上述基本回路矩陣可寫成有向圖的基本回路時針分析為正，逆時針分析為負。上述基本回路矩陣可寫成有向圖的基本回路矩陣：矩陣：4.3管網(wǎng)模型的水力特性管網(wǎng)模型的水力特性4.3.1節(jié)點流量方程組節(jié)點流量方程組 在管網(wǎng)模型中，所有節(jié)點都與若干管段相關(guān)聯(lián)。根據(jù)質(zhì)量守恒規(guī)律，流在管網(wǎng)模型中，所有節(jié)點都與若干管段相關(guān)聯(lián)。根據(jù)質(zhì)量守恒規(guī)律，流入節(jié)點的流量之和應(yīng)等于流出節(jié)點的流量之和，表示為：入節(jié)點的流量之和應(yīng)等于流出節(jié)點的流量之和，表示為：式中：式中：qi管段流量；管段流量；Qj節(jié)點流量；節(jié)點流量； Sj節(jié)點關(guān)聯(lián)集；節(jié)點關(guān)聯(lián)集；N 節(jié)點總數(shù)。節(jié)點總數(shù)。 該方程稱為節(jié)點的流量連續(xù)性方程，簡