數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)處理第2章

1、第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言引言 2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào) 傅里葉變換之間的關(guān)系 2.5序列的Z變換 2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性 習(xí)題與上機(jī)題第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言引言我們知道，信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號(hào)的傅里葉變換(Fourier Transform

2、)或拉普拉斯變換表示。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用時(shí)域離散信號(hào)（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。在頻率域，則用信號(hào)的傅里葉變換或Z變換表示。本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。該章內(nèi)容是本書(shū)也是數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義及性質(zhì)的定義及性質(zhì)時(shí)域離散信號(hào)不同于模擬信號(hào)，因此它們的傅里葉變換不相同，但都是線(xiàn)性變換，一些性質(zhì)是相同的。2.2.1時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義序列x(n)的傅里葉變換定義為（2.2.1） nnnxnxXjje )(

3、)(FT)e (第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析FT為Fourier Transform的縮寫(xiě)。FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿(mǎn)足絕對(duì)可和的條件，即滿(mǎn)足下式：（2.2.2） X(ej)的傅里葉反變換為（2.2.3） | ( )|nx n d )e (21)e (IFT)(jjXXnx第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2.2.1）和（2.2.3）式組成一對(duì)傅里葉變換公式。（2.2.2）式是傅里葉變換存在的充分必要條件，有些函數(shù)（例如周期序列）并不滿(mǎn)足（2.2.2）式，說(shuō)明它的傅里葉變換不存在，但如果引入沖激函數(shù)，其傅里葉變換也可以用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)，這部分內(nèi)容將在2.3節(jié)

4、介紹。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。解解 （2.2.4） 當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率的變化曲線(xiàn)如圖2.2.1所示。 )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRxNNNNNnNnnN第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線(xiàn) 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.2.2時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)1 FT的周期性的周期性在定義（2.2.1）式中，n取整數(shù)，因

5、此下式成立：(2.2.5) 觀(guān)察上式，得到傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，周期是2。這一特點(diǎn)不同于模擬信號(hào)的傅里葉變換。)e (e )(e )()e ()2j()2j(jjMnnMnnXnxnxX為整數(shù)第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析由FT的周期性進(jìn)一步分析得到，在=0和=2M附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在=0，2, 4, 點(diǎn)上表示x(n)信號(hào)的直流分量；離開(kāi)這些點(diǎn)愈遠(yuǎn)，其頻率愈高，但又是以2為周期，那么最高的頻率應(yīng)是=。另外要說(shuō)明的是，所謂x(n)的直流分量，是指如圖2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosm，當(dāng)=2M, M取整數(shù)時(shí)，x(n)的序列值如圖2.2.2（a）所示

6、，它代表一個(gè)不隨n變化的信號(hào)（直流信號(hào)）；當(dāng)=(2M+1)時(shí)，x(n)波形如圖2.2.2（b）所示，它代表最高頻率信號(hào)，是一種變化最快的正弦信號(hào)。由于FT的周期是2，一般只分析之間或02范圍的FT就夠了。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.2cosm 的波形第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2 線(xiàn)性線(xiàn)性設(shè)X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么(2.2.6) 式中, a，b是常數(shù)。 jj1212FT( )( )(e )(e )ax nbx naXbX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3時(shí)移與頻移時(shí)移與頻移設(shè)X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (

7、2.2.8) 0jj0FT ()e(e )mx nnX 00jj()FTe( )(e)nx nX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析4 FT的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性在學(xué)習(xí)FT的對(duì)稱(chēng)性以前，先介紹什么是共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)，以及它的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿(mǎn)足下式：（2.2.9） 則稱(chēng)xe(n)為共軛對(duì)稱(chēng)序列。為研究共軛對(duì)稱(chēng)序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示： *ee( )()x nxneerei( )( )j( )x nxnxn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到：對(duì)比上面兩公式，因左邊相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） *eerei()(

8、)j()xnxnxnerer( )()xnxneiei( )()xnxn 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析上面兩式表明共軛對(duì)稱(chēng)序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類(lèi)似地，可定義滿(mǎn)足下式的共軛反對(duì)稱(chēng)序列： （2.2.12） 將xo(n)表示成實(shí)部與虛部，如下式：*oo( )()x nxn ooroi( )( )j( )x nxnxn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共軛反對(duì)稱(chēng)序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。 oror( )()xnxn oioi( )()xnxn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.2.2】試分析x(n)=ejn的對(duì)稱(chēng)性

9、。解解因?yàn)閤*(n)=ejn=x(n)滿(mǎn)足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對(duì)稱(chēng)序列，如展成實(shí)部與虛部，則得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共軛對(duì)稱(chēng)序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析一般序列可用共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)序列之和表示，即 （2.2.15） 式中，xe(n)和xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將（2.2.15）式中的n用n代替，再取共軛, 得到：（2.2.16） eo( )( )( )x nx nx n*eo()( )( )xnx nx n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2

10、.2.17） （2.2.18） 利用上面兩式，可以用x(n)分別求出xe(n)和xo(n)。 *e1( ) ( )()2x nx nxn*o1( ) ( )()2x nx nxn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于頻域函數(shù)X(ej)，也有和上面類(lèi)似的概念和結(jié)論：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）式中，Xe(ej)與Xo(ej)分別稱(chēng)為共軛對(duì)稱(chēng)部分和共軛反對(duì)稱(chēng)部分，它們滿(mǎn)足：（2.2.20）（2.2.21）j-jee(e)(e)XXjjoo(e)(e)XX 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析同樣有下面公式成立：有了上面的概念和結(jié)論，下面研究FT的對(duì)稱(chēng)性。 （2.2.22）

11、（2.2.23）jj*je1(e)(e)(e)2XXXjj*jo1(e)(e)(e)2XXX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 (1) 將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行傅里葉變換，得到:eo(e)(e)(e)jjjXXXjjerr(e )FT( )( )ennXx nx njjoii(e)FTj ( )j( )ennXx nx n式中第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。容易證明：Xe(ej)滿(mǎn)足（2.2.20）式，具有共軛對(duì)稱(chēng)性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ej) 滿(mǎn)足（2.

12、2.21）式，具有共軛反對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，它的實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 最后得到結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱(chēng)性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱(chēng)性。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2) 將序列分成共軛對(duì)稱(chēng)部分xe(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫(xiě)如下：*e1( ) ( )()2x nx nxn*o1( ) ( )()2x nx nxn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析將上面兩式分別進(jìn)行傅里葉變換，得到：因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25a） j

13、*jjjeR1FT( )(e)(e)Re(e)(e)2x nXXXXj*jjjoI1FT( )(e)(e)jIm(e)j(e)2x nXXXXjjjRI(e )(e )j(e )XXX（2.2.25b） （2.2.25c） 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2.2.25）式表示：序列x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)部分xe(n)對(duì)應(yīng)著X(ej)的實(shí)部XR(ej)，而序列x(n)的共軛反對(duì)稱(chēng)部分xo(n)對(duì)應(yīng)著X(ej)的虛部(包括j)。下面我們利用FT的對(duì)稱(chēng)性，分析實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱(chēng)性，并推導(dǎo)其偶函數(shù)he(n)和奇函數(shù)ho(n)與h(n)之間的關(guān)系。因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱(chēng)部分He(

14、ej)，共軛反對(duì)稱(chēng)部分為零。jje(e)(e)HHjj(e )(e)HH第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因此實(shí)序列的FT是共軛對(duì)稱(chēng)函數(shù), 其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為顯然， 其模的平方是偶函數(shù)，相位函數(shù)是奇函數(shù)，這和實(shí)模擬信號(hào)的FT有同樣的結(jié)論。jjRR(e)()HHejjII(e)(e)HH j22j2jRI|(e)|(e)(e)HHHjjjIRarg(e)argtan(e)/(e)HHH第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：eo( )( )( )h nh nh ne1( ) ( )()2h nh nhno1( ) ( )()2h n

15、h nhn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式，he(n)和ho(n)可用下式表示： （2.2.26） （2.2.27） e(0) 01( )( ) 021() 02hnh nh nnhnno001( )( )021() 02nh nh nnhnn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照上面兩式，實(shí)因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為 （2.2.28） （2.2.29） 式中 （2.2.30） e( )( )( )h nh n uno( )( )( )(0) ( )h nh n unhn2 0( )1 00 0nunnn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系

16、統(tǒng)的頻域分析因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實(shí)因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.27）式，ho(n)中缺少n=0點(diǎn)h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí)，要補(bǔ)充一點(diǎn)h(h)(n)信息。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。解解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：e(0)01( )( )021() 02xnx nx nnxnn02102101nanannn第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按（2.2.2

17、7）式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。 o001( )( )021() 02nx nx nnxnn001021 02nnnanan第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.2.3例2.2.3圖第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 5 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理設(shè) y(n)=x(n)*h(n)則 Y(ej)=X(ej)H（ej） （2.2.31）證明證明( )( ) ()my nx m h nmjj(e )FT ( )( ) ()ennmYy nx m h nm 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析令k=nm，則jjj(e)( ) ( )eeknkmYh k x m

18、jj( )e( )eknkmh kx mjj(e )(e )HX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析該定理說(shuō)明，兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系。對(duì)于線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT。因此，在求系統(tǒng)的輸出信號(hào)時(shí)，可以在時(shí)域用卷積公式（1.3.7）計(jì)算，也可以在頻域按照（2.2.31）式，求出輸出的FT，再作逆FT，求出輸出信號(hào)y(n)。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析6 頻域卷積定理頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)h(n) 則(2.2.32) 證明證明 (2.2.33) jjjjj()11(e)(e)(e)(e )(e)d22YXHXH jj(e )( ) (

19、)ennYx n h njjj1( )(e )ede2nnnx nH第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析交換積分與求和的次序，得到：(2.2.34) 該定理表明，在時(shí)域兩序列相乘，轉(zhuǎn)移到頻域時(shí)服從卷積關(guān)系。 jjj()1(e )(e )( )ed2nnYHx n jj()1(e )(e)d2HX jj1(e)(e)2XH第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析7 帕斯維爾（帕斯維爾（Parseval）定理）定理（2.2.35） 22j1( )(e) d2nx nx第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明證明 2*jj1( )( )( )( )(e)ed2nnnnx nx n x nx nXjjj1(e)

20、(e)( )ed2nnXXx n2jjj11(e)(e)d(e) d22XXX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析帕斯維爾定理表明了信號(hào)時(shí)域的能量與頻域的能量關(guān)系。表2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)在分析問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中是很重要的。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式變換表示式因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M(mǎn)足（2.2.2）式絕對(duì)可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級(jí)數(shù)，引入奇異函數(shù)()，其FT可以用公式表示出來(lái)。第2章時(shí)域

21、離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析( )x n2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級(jí)數(shù)。如下:(2.3.1)為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和，即21j0( )eNknNkkx na2jemnN第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中(2.3.2) 222211111jjjj()00000( )eeeeNNNNNmnknmnk m nNNNNkknnkknx naa 21j()0 e0 Nk m nNnNkmkm第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析(2.3.2)式的證明作為練習(xí)請(qǐng)讀者自己證明。因此(2.3.3)式中，k和n

22、均取整數(shù)。因?yàn)?，l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿(mǎn)足ak=ak+lN。21j01( )e0NkmNknax nkN 22j()jeek lN nknNN2jeknN第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析( )kX kNa令 , 并將(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4)式中， 也是以N為周期的周期序列, 稱(chēng)為 的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。21j0( )( )eNknNnX kx nk ( )X k( )X k第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析用 (2.3.5) 將（2.3.4）式和（2.3.5）式重寫(xiě)如

23、下： (2.3.6) (2.3.7) 21j01( )( )eNknNkx nX kN21j0( )DFS ( )( )eNknNnX kx nx n21j01( )IDFS( )( )eNknNkx nX kX kN)(1kXN代替(2.3.1)式中的ak,得到第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2.3.6）式和（2.3.7）式稱(chēng)為一對(duì)DFS。（2.3.5）式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度為?；ǚ至康念l率是2/N，幅度是。一個(gè)周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將

24、x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。解解按照（2.3.6）式, 有(1/)( )N X k(1/)(1)N X( )x k( )x n( )x n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。 273jj8400( )( )eeknknnnX kx nj44j41 e1 ekkjj22jj88j (ee)j2jj(ee)481 ee1 eekkkkkkk3j 8sin2esin8kkk( )X k第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.1例2.3.1圖 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.3.2周期序列的

25、傅里葉變換表示式周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中，其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2，即（2.3.8） 對(duì)于時(shí)域離散信號(hào)，2/0為有理數(shù)，暫時(shí)假定其FT的形式與（2.3.8）式一樣，即是在0處的單位沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為2。但由于n取整數(shù)，下式成立： 0ja( )etXt0j()aa(j)FT( )edtXx tt02 () 0j( )enx n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析r取整數(shù)因此 的FT為 (2.3.9)(2.3.9)式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在0+2r處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照（2.2.4）式的逆變換必須存在，且唯一

26、等于 ，下面進(jìn)行驗(yàn)證。按照逆變換定義，（2.2.4）式右邊00jj(2 )eenr n0jen0jj0(e )FTe2 (2 )nrXr 0jen第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析觀(guān)察圖2.3.2，在區(qū)間，只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)(0)，等式右邊為，因此得到下式：證明了（2.3.9）式確實(shí)是的FT，前面的暫時(shí)假定是正確的。jjj011(e)ed2 (2 )ed22nnrXr 0jen00jjjj1e(e)edIFT(e)2nnXX0jen第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.2的FT 0jen第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次諧波為，類(lèi)

27、似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為因此的FT如下式：( )x n2j( )/)eknNX kN2 ( )22rX kkrNN ( )x n1j02 ( )2(e )FT ( )2NkrX kXx nkrNN 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中，k=0, 1, 2, , N1。如果讓k在區(qū)間變化，上式可簡(jiǎn)化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里葉變換表示式。需要說(shuō)明的是，上面公式中的()表示單位沖激函數(shù)，而(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同, 因而不會(huì)引起混淆。表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。j22(e)( )kXX kkNN 21j0( )( )eNk

28、nNnX kx n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表2.3.2基本序列的傅里葉變換 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表中u(n)序列的傅里葉變換推導(dǎo)如下：令(2.3.11)(2.3.12)對(duì)(2.3.12)式進(jìn)行FT，得到: 1( )( )2x nu n1(1)(1)2x nu n( )(1)( )(1)( )x nx nu nu nnjj1(e )1 eX第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)(2.3.11)式進(jìn)行FT，得到：【例例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：其幅頻特性如圖2.3.3所示。jj(e )(e )(2 )

29、kXUk jj1(e )(2 )1 ekUk ( )X k3j j8sin( /2)(e )e4sin( /8)4kkkXkk 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.3.3例2.3.2圖第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)比圖2.3.1，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示（用帶箭頭的豎線(xiàn)表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫(huà)法。【例例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。解解將用歐拉公式展開(kāi)：按照（2.3.9）式，其FT推導(dǎo)如下：00( )cos,2/x nn( )x n00jj1( )ee

30、2nnx n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 （2.3.13） (2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為，且以2為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示。 j0(e)FTcosXn0012 (2 )(2 )2rrr 00 (2 )(2 )rrr 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖2.3.4cos0n的FT 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系傅里葉變換之間的關(guān)系時(shí)域離散信號(hào)與模擬信號(hào)是兩種不同的信號(hào)，傅里葉變換也不同，如果時(shí)域離散信號(hào)是由某模擬信號(hào)采樣得來(lái)，那么時(shí)域離散信

31、號(hào)的傅里葉變換和該模擬信號(hào)的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采樣得到的時(shí)域離散信號(hào)和模擬信號(hào)的關(guān)系，而理想采樣信號(hào)和模擬信號(hào)的關(guān)系用（1.5.2）式表示，重寫(xiě)如下:a ( )x taa ( )() ()nx tx nTtnT第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換, 得到:jaaja(j)( )ed() () edttnXx ttx nTtnTtjaj a()()ed()e()dtnnTnx nTtnTtx nTtnTtja ()enTnx nT第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析令=T，且x(n)=xa(nT

32、)，得到： （2.4.1） 或者寫(xiě)成： （2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3） ja(e)(j)TXXjas1(e)(jj)TkXXkTss22FTja12(e)(j)kkXXTT第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2.4.1）、（2.4.2）和（2.4.3）式均表示時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換和模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系。由這些關(guān)系式可以得出兩點(diǎn)結(jié)論。一點(diǎn)結(jié)論是時(shí)域離散信號(hào)的頻譜也是模擬信號(hào)的頻譜周期性延拓，周期為，因此由模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號(hào)時(shí)，同樣要滿(mǎn)足前面推導(dǎo)出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號(hào)最高頻率的2倍以上，否則也會(huì)差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在

33、s/2附近最嚴(yán)重，在數(shù)字域則是在附近最嚴(yán)重。ss22FT第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析另一點(diǎn)結(jié)論是計(jì)算模擬信號(hào)的FT可以用計(jì)算相應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)的FT得到，方法是: 首先按照采樣定理，以模擬信號(hào)最高頻率的兩倍以上頻率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣得到時(shí)域離散信號(hào)，再通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)該時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間隔T便得到模擬信號(hào)的FT，注意關(guān)系式=T。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率f=f/Fs或=/s, =/2, 因?yàn)閒、和都是無(wú)量綱量，刻度是一樣的，將f、f、的定標(biāo)值對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示。圖2.4.1表明，

34、模擬折疊頻率Fs/2對(duì)應(yīng)數(shù)字頻率；如果采樣定理滿(mǎn)足，則要求模擬最高頻率fc不能超過(guò)Fs/2；如果不滿(mǎn)足采樣定理，則會(huì)在=附近，或者f=Fs/2附近引起頻率混疊。以上幾個(gè)頻率之間的定標(biāo)關(guān)系很重要，尤其在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，經(jīng)常需要了解它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5序列的序列的Z變換變換在模擬信號(hào)系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對(duì)信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析。在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對(duì)序列進(jìn)行復(fù)頻域分析。因此Z變換

35、在數(shù)字信號(hào)處理中同樣起著很重要的作用。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.1Z變換的定義變換的定義序列x(n)的Z變換定義為 （2.5.1）式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱(chēng)為z平面。注意在定義中，對(duì)n求和是在、之間求和，可以稱(chēng)為雙邊Z變換。還有一種稱(chēng)為單邊Z變換的定義，如下式： （2.5.2）( )( )nnX zx n zdef0( )( )nnX zx n zdef第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算的結(jié)果是一樣的。本書(shū)中如不另外說(shuō)明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。（2.5.1）式Z變換存在的條件是等

36、號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z變量取值的域稱(chēng)為收斂域。一般收斂域?yàn)榄h(huán)狀域，即( )nnx n z |xxRzR第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析令z=rej，代入上式得到RxrRx，收斂域是分別以Rx和Rx為收斂半徑的兩個(gè)圓形成的環(huán)狀域(如圖 2.5.1 中所示的斜線(xiàn)部分)。 當(dāng)然，Rx可以小到零，Rx可以大到無(wú)窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.1變換的收斂域第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z

37、)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。 對(duì)比序列的傅里葉變換定義（2.2.1）式，很容易得到傅里葉變換和Z變換（ZT）之間的關(guān)系，用下式表示：( )( )( )P zX zQ z第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2.5.4） 式中, z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱(chēng)為單位圓。（2.5.4）式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓?！纠?.5.1】x(n)=u(n), 求其Z變換。解解jje(e )( )|zXX z0( )(

38、 )nnnnX zu n zz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析X(z)存在的條件是|z1|1, 因此X(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說(shuō)收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()，其傅里葉變換則可以表示出來(lái)（見(jiàn)表2.3.2）。該例同時(shí)說(shuō)明一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。11( )| 11X zzz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.2序列特性對(duì)收斂域的影響序列特性對(duì)收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一般關(guān)系，對(duì)

39、使用Z變換是很有幫助的。1 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列如序列x(n)滿(mǎn)足下式：即序列x(n)從n1到n2的序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱(chēng)為有限長(zhǎng)序列。其Z變換為12( )( )0 x nnnnx n其它第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。如果n10，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：n10, n20時(shí)，0|z|n10時(shí)，0|z|0時(shí)，0|z|21( )( )nnn nX zx n z第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2

40、.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解解 這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?z。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極、零點(diǎn)對(duì)消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ej代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果（2.2.5）式是相同的。1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zzz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2 右序列右序列右序列是指在nn1時(shí)，序列值不全為零，而在nn1時(shí)，序列值全為零的序列。 右序列的Z變換表示為第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n11，其收斂域?yàn)?|z|。第二

41、項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x|z|，Rx是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x|z|。如果是因果序列，收斂域?yàn)镽x|z|。 110( )( )( )nnnn nn nnXx n zx n zx n z1( z) =第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解解 在收斂域中必須滿(mǎn)足|az1|a|。101( )( )1nnnnnnX za u n za zaz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3 左序列左序列左序列是指在nn2時(shí)，序列值不全為零，而在nn2時(shí)，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為如果n20, z=0點(diǎn)收斂，z

42、=點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓（半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?|z|Rx+。如果n20，則收斂域?yàn)?|z|Rx，則其收斂域?yàn)镽x|z|Rx+，是一個(gè)環(huán)狀域；如果Rx+Rx，兩個(gè)收斂域沒(méi)有交集，X(z)則沒(méi)有收斂域，因此X(z)不存在。12( )( )( )( )nnX zx n zXzXz111( )( )0 |nxnXzx n zzR20( )( ) |nxnXzx n zRz 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.5.5】x(n)=a|n|, a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解解第一部分收斂域?yàn)閨az|1，得|z|a|1; 第二部分收斂域?yàn)閨az1|a|。如果|a|1, 兩

43、部分的公共收斂域?yàn)閨a|z|a|1, 其Z變換如下式:如果|a|1，則無(wú)公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0aa；又例如在例2.5.4中，其極點(diǎn)為z=a，但x(n)是一個(gè)左序列，收斂域一定在某個(gè)圓內(nèi)，即|z|a|。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.3逆逆Z變換變換已知序列的Z變換X(z)及其收斂域，求原序列x(n)的過(guò)程稱(chēng)為求逆Z變換。計(jì)算逆Z變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開(kāi)法和冪級(jí)數(shù)法（長(zhǎng)除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開(kāi)法，重點(diǎn)放在留數(shù)法。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析式中, c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線(xiàn)，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時(shí)，直接計(jì)算圍

44、線(xiàn)積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡(jiǎn)單，用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn1。 1 用留數(shù)定理求逆用留數(shù)定理求逆Z變換變換序列的Z變換及其逆Z變換表示如下：（2.5.5） ( )( )|nxxnX zx n zRzR11( )( )d2ncx nX z zzjc第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.3圍線(xiàn)積分路徑 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果F(z)在圍線(xiàn)c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有（2.5.6） 式中, ResF(z), zk表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線(xiàn)c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理

45、有（2.5.7）11( )dRes ( ),2nkckX z zzF z zjRes ( ),()( )kkkz zF z zzzF zc第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有（2.5.8）（2.5.8）式表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒(méi)有多階極點(diǎn)，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。111dRes ( ),()( )(1)!dkNNkkz zNF z zzzF zNz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析如果F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線(xiàn)c將z平面上的極點(diǎn)分成兩部分：

46、一部分c是內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：（2.5.9） 121211Res ( ),Res ( ),NNkkkkF z zF z z 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析注意：（2.5.9）式成立的條件是F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分別是M與N階多項(xiàng)式。（2.5.9）式成立的條件是NMn+12因此要求na, 求其逆Z變換x(n)。解解為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)。顯然，F(xiàn)(z)的極點(diǎn)與n的取值有關(guān)。111c1( ) (1)d

47、z2nx nazzj111( )1nF zzaznzza第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析極點(diǎn)有兩個(gè)：z=a；當(dāng)n0時(shí)，其中z=0的極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n0時(shí)，z=0不是極點(diǎn)；n0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此，分成n0和n0兩種情況求x(n)。n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a, a2=0（n階）；所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n)。n0 時(shí)，( )Res( ), x nF z a()nz azzazana第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析n0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。 采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查（2.5.10）式是否滿(mǎn)足。 該例題中N

48、=M=1，NM=0, 所以n0時(shí)， 滿(mǎn)足（2.5.10）式，可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)，但對(duì)于F(z)，該例題中圓外沒(méi)有極點(diǎn)（見(jiàn)圖2.5.4），故na，根據(jù)前面分析的序列特性對(duì)收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n0部分一定為零，無(wú)需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析圖2.5.4例2.5.6中n|a1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是因果序列；（2） |z|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列；（3） |a|z|a1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無(wú)須求n0時(shí)的x(n)。當(dāng)n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a1，因此21

49、11( )(1)(1)naF zzazaz211()()naza za za第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )Res ( ), Res ( ),x nF z aF z a12211(1)(1)()()()(1)()()nnz az aazazzazazaaza za zannaa第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2） 收斂域?yàn)閨z|a|:這種情況原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n0情況。實(shí)際上，當(dāng)n0時(shí)，圍線(xiàn)積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。n0時(shí), 1( )Res ( ),

50、Res ( ),x nF z aF z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收斂域?yàn)閨a|z|a1|:這種情況對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。n0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a, x(n)=ResF(z), a=an第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析n0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a1， 因此x(n

51、)=ResF(z), a1=an最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2 部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常也用部分分式展開(kāi)法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項(xiàng)式是N階，分子多項(xiàng)式是M階，將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和，通過(guò)查表（參考表2.5.1）求得各部分的逆變換，再相加便得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成下式:（2.5.11） （2.5.12） 01( )NmmmA zX zAzz01( )NmmmAAX zzzzz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分

52、析觀(guān)察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點(diǎn)z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。（2.5.13） （2.5.14）求出Am系數(shù)(m=0, 1, 2, , N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。0( )Res,0X zAz( )Res,mmX zAzz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析1125( ),2|316zX zzzz【例例2.5.8】已知, 2|z|3，求逆Z變換。解解 212122( )555166(2)(3)23AAX zzzzzzzzzzz12( )( )Res,2(2)1zX zX zAzzz23( )( )Res, 3(3)1zX zX zAzzz ( )1123

53、X zzzz1111( )123X zzzz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因?yàn)槭諗坑驗(yàn)?|z|2。第二部分極點(diǎn)是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在進(jìn)行部分分式展開(kāi)時(shí)，也用到求留數(shù)問(wèn)題；求各部分分式對(duì)應(yīng)的原序列時(shí)，還要確定它的收斂域在哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見(jiàn)的序列的Z變換可參考表2.5.1。 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析表2.5.1常見(jiàn)序列的Z變換 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。1 線(xiàn)性性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)設(shè)m(n)=a

54、x(n)+by(n)a, b為常數(shù) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+則 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry時(shí)，則M(z)不存在。第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2 序列的移位性質(zhì)序列的移位性質(zhì)設(shè)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+則 （2.5.16）00ZT ()( ),|nxxx nnzX zRz R第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3 序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a為常數(shù)則 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|

55、z|a|Rx+ 因?yàn)镽x|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z證明證明（2.5.17）第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析4 序列乘以序列乘以n的的ZT設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+則 （2.5.18）證明證明d( )ZT( )|dxxX znx nzRzRz 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因此 d ( )dd( )( )dddnnnnX zx n zx nzzzz11( )( )nnnnnx n zznx n z 1ZT( )znx n d ( )ZT( )X znx nzz 第2章

56、時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析5 復(fù)共軛序列的復(fù)共軛序列的ZT性質(zhì)性質(zhì)設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+則ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）證明證明*ZT( )( ) ( )()nnx nx n zx n zn*( )()()nnx n zXz第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析6 初值定理初值定理設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 則（2.5.20）證明證明 因此(0)lim( )zxX z120( )( )(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析7 終值定理終值定理若x(n)是

57、因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則（2.5.21）證明證明因?yàn)閤(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z(1)( ) (1)( )nnzX zx nx n z第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析因?yàn)?z1)X(z)在單位圓上無(wú)極點(diǎn)，上式兩端對(duì)z=1取極限：10(1)( )lim(1)( )nnmmnmmzX zx mzx m z110lim(1)( )lim(1)( )nnznmmzX zx mx mlim (0)(1)(1)nxxx n(0)(1)(2)( )xxxx nlim (1)li

58、m ( )nnx nx n第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析終值定理也可用X(z)在z=1點(diǎn)的留數(shù)表示，因?yàn)橐虼?x()=ResX(z), 1（2.5.22）如果在單位圓上X(z)無(wú)極點(diǎn)，則x()=0。1lim(1)( )Res( ),1zzX zX z第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析8 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 設(shè)w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1則W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+Rw=maxRx, Ry第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析證明證明W(

59、z) 的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。( ) ( )( )W zZT x ny n()( ) ()( )()( )()( ) ( )nnmnmnmn Mmnx m y nm zx my nm zx m zy nm zX z Y z 第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析【例例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|1, 網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。解解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用兩種方法，一種直接求解線(xiàn)性卷積，另一種是Z變換法。（1） ( )( ) ()my nh m x nm010( ) ()1,01mmnnmma

60、u m u nmaana第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析（2） ( )( )* ( )y nh nx n111( )( ) | |11( ) ( ) | 11nH zZT a u nzaazX zZT u nzz111( )( )( ) 1(1)(1)Y zH zX zzzaz11( )d2j(1)()nczy nzzzac第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析由收斂域判定 y(n)=0n0n0時(shí)，將y(n)表示為11( )Res ( ),1Res ( ), nny nY z zY z za1111111nnaaaaa11( )( )1nay nu na第2章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析9 復(fù)卷