計算機(jī)控制系統(tǒng)第四章1ppt課件

1、第4章 基于狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計方法基于狀態(tài)空間模型設(shè)計控制系統(tǒng)方法： 1、極點(diǎn)配置方法*-設(shè)計控制規(guī)律 設(shè)計觀測器 2、最優(yōu)設(shè)計方法-最優(yōu)控制和最優(yōu)估計，即LQGLinear Quadratic Gaussian設(shè)計問題。 *設(shè)計方法基本思路：目的極點(diǎn)）模型設(shè)計4.1 連續(xù)控制對象模型的離散化一、不帶延時的連續(xù)控制對象模型的離散化)()()()()(tCxtytButAxtx （1）設(shè)連續(xù)控制對象的模型可用如下的狀態(tài)方程描述：其中設(shè) x 為 n 維狀態(tài)向量，u 為 m 維控制向量，y 為 r 維輸出向量。設(shè)在連續(xù)的對象前面有零階保持器，即TktkTkutu) 1( )()(（2）將控制

2、對象與保持器一起進(jìn)行離散化處理，得到離散系統(tǒng)模型。對式1求解：BuAxx兩邊同乘 ，得到AteBueAxxeAtAt)(由于)()(txedtdAxxeAtAt于是BuetxedtdAtAt)(兩邊積分，有：ttAAttdBuedxedd00)()(其中)()( )()( )(00000txetxexexeddxeddAtAtttAttAAtt因此，有：ttAAtAtdBuetxetxe00)()()(0兩邊同乘 ，有：tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(Ate（3）令 ，由2式，得TktkTt) 1( ,0TkkTTkTAATkBudekxekx)1()()()() 1

3、(（4）令 ，（4式化為：)()() 1(kGukFxkx（5）TkTt其中TAtATdtBeGeF0 ,（6）式1中，輸出方程的離散形式為：)()(kCxky（7）故連續(xù)模型等效離散狀態(tài)方程是：)()()()() 1(kCxkykGuxFxkx（8）二、包含延時的連續(xù)控制對象模型的離散化)()()()()(tCxtytButAxtx（1）設(shè)連續(xù)控制對象的模型為：其中設(shè) x 為 n 維狀態(tài)向量，u 為 m 維控制向量，y 為 r 維輸出向量， 是控制作用的延遲時間即：各控制量延時時間相等）。0 0 lTmmlT含義：延遲時間不一定是采樣周期的整數(shù)倍。設(shè)的整數(shù)TktkTkutu) 1( )()(

4、（2）零階保持器：式1解為：（3）上式中，令 ，那么設(shè) ，并將2式代入，有tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(TktkTt) 1( ,0TkkTTkTAATdBuekxekx)1()()()() 1(（4）T0 ,TkTTAATTAATdmlTTkTBuekxedTkTBuekxekx00)()( )()() 1(（5）（一當(dāng) 時：)()()(lkulTkTuTlTkTu0m)()( )()() 1( 0lkGukFxlkBudekxekxTAATutK-lK-l+1T（6）) 1()( ) 1()()()(21kukxlkukxlkukxlnnn寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：令增廣狀態(tài)

5、令)( )()()(1kxkxkxkxlnn那么6式變?yōu)椋?()() 1(kuGkxFkx（7）其中000000000000IIGFFIG000（8）( )( )( )y kCx kCx k式1中的輸出方程離散化為：（9）其中0CC 于是，有(1)( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx k（10）m0Tm0（二當(dāng) 時：0m由5式：TAATdmlTTkTBuekxekx0)()() 1(當(dāng) 時，) 1()()(lkuTlTkTumTlTkTuutK-lK-l+1Tk-l+2TmTmT0當(dāng) 時，)()()(lkulTkTumTlTkTuutK-lK-l+1Tk-l+2) 1()(

6、)( )() 1()() 1(0lkuGlkuGkFxlkBudelkBudekxekxbaTmAmAAT所以，有（11）其中mAbTmAaATBdeGBdeGeF0（12）上式說明， 的求解最終歸結(jié)為計算矩陣指數(shù)及其積分。若令：tAAtBdetGetF0)( ,)(則式12可以寫成：)()()()(000)(mGBdeGmTGmFBdeeBdeBdeGTFeFmAbTmmTAmAmTmAAaAT)( m令baGGF、（13）通過增廣矩陣將11式寫成標(biāo)準(zhǔn)離散狀態(tài)方程的形式：（1l = 1時：式11變?yōu)椋?() 1()() 1(kuGkuGkFxkxba（14）令) 1()(1kukxn那么)(

7、)()(00) 1() 1(11kuIGkxkxGFkxkxbnan（15）上式中令：IGGGFFkxkxxban ,00 ,) 1() 1(1同時令：0CC 則標(biāo)準(zhǔn)離散狀態(tài)方程為：(1)( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx k（16）（2l 1時：令) 1()( ) 1()()()(21kukxlkukxlkukxlnnn得到標(biāo)準(zhǔn)離散狀態(tài)方程如式16），即(1)( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx k其中0000000000000IIGGFFba)()()()(1kxkxkxkxlnnIG0000CC （17）三、矩陣指數(shù)及其積分的計算TAtATdtB

8、eGeF0 ,1、拉氏變換法可以證明：11()AteLsIA因此，求F、G的步驟如下：（1求得 的逆矩陣（2取其拉氏反變換，獲得（3求 F 和 G)(AsI 1)( AsIAte( )01( )ttyx求離散狀態(tài)控制模型。解：離散狀態(tài)空間表示為)()()()() 1(kCxkykGuxFxkxTAtATdtBeGeF0 ,10 ,01 ,0101CBA101( )( )( )100ttt xxu采用拉氏變換法計算矩陣F和G：111001()111(1)sssIAsss s110TTATeeeF00110101001111tTTTTAttTTeeeGe dtBdteTeTTe 2、冪級數(shù)計算法

9、Ate的冪指數(shù)形式為 ! 3! 23322tAtAAtIeAt令 ! 4! 3! 2433220TATAATITdteHTAt于是223322302!3! 2!3! ATTAtA TA TFeIATATA TIA ITIAe dtIAH4.2 按極點(diǎn)配置設(shè)計控制規(guī)律圖 11、 ，為調(diào)節(jié)系統(tǒng)2、 ，為跟蹤系統(tǒng)0)(kr0)(kr首先研究調(diào)節(jié)系統(tǒng)，然后引入?yún)⒖驾斎雛(k)，研究跟蹤系統(tǒng)。D(z)G(z)r(k)y(k)圖 1u(k)控制對象控制規(guī)律y(k)圖 2u(k)x(k)控制對象觀測器y(k)圖 3u(k)控制規(guī)律控制器)( kx設(shè)控制規(guī)律反饋的是實(shí)際對象的全部狀態(tài)，而不是重構(gòu)的狀態(tài)。)()

10、() 1(kGukFxkxmnRuRx ,控制對象的狀態(tài)方程為：（1）其中設(shè)控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋，即)()(kLxku問題：設(shè)計反饋控制規(guī)律 L，以使得閉環(huán)系統(tǒng)具有所需得極點(diǎn)配置。（2）)()() 1(kxGLFkx0GLFzI將2式代入1式，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（3）閉環(huán)系統(tǒng)得特征方程為：（4） 設(shè)給定所需要的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 ，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:), 2 , 1(nii0 )()()(1121nnnnczzzzzz（5）于是，有)(zGLFzIc（6） 上式展開，通過比較 z 的同次冪的系數(shù)，可以得到 n 個代數(shù)方程：（1對于單輸入系統(tǒng)，可以得到L的唯一解；（2對于多輸入系統(tǒng)m

11、1），反饋系數(shù)陣L共有mn個未知數(shù)，而總共 只有n個方程，因此需要附加其他限制條件如輸出解耦、干擾解 耦等），才能完全確定控制規(guī)律L。 可以證明，對于任意極點(diǎn)配置，L具有唯一解的充分必要條件是控制對象完全能控，即nGFFGGrankn1（7）物理意義： 只有當(dāng)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，才能通過適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)放置到任意指定的位置上。問題：（1如何根據(jù)對系統(tǒng)性能的要求來合適地給定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。（2如何計算L。問題1的解決：1由s平面給出極點(diǎn)，由 求出Z平面中的極點(diǎn)。), 2 , 1(niezTsii2將所有極點(diǎn)放置在原點(diǎn)，即令 ，從而變成最小拍控制。nczz )(3對于二

12、階系統(tǒng)，由 和 給出阻尼系數(shù) 和無阻尼震蕩頻率 ， 再求出 ，從而得到Z平面極點(diǎn)分布。%sTnnnjs22, 114高階系統(tǒng)采用二階模型，即根據(jù)性能指標(biāo)的要求給出一對主導(dǎo)極點(diǎn)， 將其余極點(diǎn)放置在離主導(dǎo)極點(diǎn)很遠(yuǎn)的位置。5采用高階標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)模型，如 Butterworth 模型和 ITAE 模型。問題2的解決：1直接展開6式左邊行列式，通過方程兩邊z系數(shù)比較求得L中的 各個元素。2計算機(jī)輔助求解算法。對式1進(jìn)行非奇異變換：)()(kPxkx（8）使控制對象的狀態(tài)方程變成能控標(biāo)準(zhǔn)形，即)()() 1(kuGkxFkx（9）其中1110 0aaIPFPFnn100PGG（10）對于新的狀態(tài) ，式2所

13、示的控制規(guī)律為：)(kx)()(kxLku（11）其中1 LPL（12）將11式代入9式，得到)() 1(kxHkx（13）其中)()(0 0111nnnLaLaILGFH（14）則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：0)()(111LazLaznnnn（15）式15與式5比較，得到111 , ,aLaLnnn（16）其向量形式為： 1111aaaLnnnn（17）于是，反饋系數(shù)陣為：PLL （18）計算非奇異矩陣 P ：npppP21令), 2 , 1(nipi是矩陣 P 的第 i 個行向量。（19）由式10的第一個等式，有PFPF nnnnpppaaIFpFpFp2111210 0即（20）111213

14、221 nnnFppFpFppFppFp將上式展開，得到（21）將上式代入19式，得到：1111nFpFppP（22）由式10第二個等式，有1001111GFpFGpGpPGGn（23）兩邊轉(zhuǎn)置，得到10011GFFGGpn（24）于是，11 EMp其中GFFGGMEn 1100（25）（26）將式17）（22）（25代入式18），參考式10），得到 100 100 100 11111111111111111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnFFFIEMFFEMFEMEMFFIEMPPFPFEMFEMEMPFFEMFEMEMPaaaPL（27）參考26式及式5），最后

15、得到)( 10011FGFFGGLcn（28）此即為利用極點(diǎn)配置設(shè)計控制規(guī)律的計算機(jī)求解算法。1/s1/suyx 1yx2sTn1 . 0 , 6 . 3 , 5 . 0要求按調(diào)節(jié)系統(tǒng)，用極點(diǎn)配置設(shè)計方法設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律。解：（一求離散化狀態(tài)方程由圖，控制對象狀態(tài)方程為：BuAxx其中10 0010 21BAxxx離散化狀態(tài)方程為：)()() 1(kGukFxkx利用級數(shù)求和法，得到101 . 01ATeF1 . 0005. 00TAtdtBeG（二閉環(huán)系統(tǒng)特征方程S平面的兩個極點(diǎn)為：12. 38 . 1122, 1jjsnn利用 ，求得Z平面得兩個極點(diǎn)為：sTez 9 .172, 183

16、5. 0jez于是，閉環(huán)系統(tǒng)得特征方程為：7 . 06 . 1)()(221zzzzzzzc（1）（三反饋控制規(guī)律設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為：21LLL 則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：11 . 0005. 0)2005. 01 . 0( 1 . 0005. 0101 . 011001)(2112221LLzLLzLLzGLFzIzc（2）（1）（2兩式比較，得到：7 . 011 . 0005. 06 . 12005. 01 . 02112LLLL解方程組，得到5 . 3 ,1021LL于是得到5 . 310L（四利用求求解算法直接求解計算機(jī)編程求解）5 . 310 )7 . 06 . 1( 10 )( 10

17、211IFFFGGFFGGLc4.3 按極點(diǎn)配置設(shè)計觀測器問題的提出：不可能直接反饋系統(tǒng)的全部狀態(tài)尤其對于高階系統(tǒng)）。解決的方法： 找到一種算法，利用輸入量及其可量測得輸出量來重構(gòu)系統(tǒng)的全部狀態(tài)（ ），讓 替代 。)( ),(kxkx)( )(kxLku)()(kLxku觀測器：根據(jù)輸出量來重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)的算法。模型F,Gu(k)y(k)( kyCx(k)()()()() 1(kCxkykGukFxkx圖1開環(huán)觀測器一、開環(huán)觀測器對象F,GC)( kx)0(x)0( x控制對象：（1）其中rmnRyRuRx , ,則開環(huán)觀測器方程為：)()( ) 1( kGukxFkx（2）（1初始條件相等，即

18、 ，則狀態(tài)重構(gòu)為：)0()0( xx)()( kxkx（2初始條件不相等，即)0()0( xx有)( )()(kxkxkx（3）（1式中第一式減去2式，有)() 1(kxFkx（4）結(jié)論：只要控制對象穩(wěn)定，即F特征值均在單位圓內(nèi)，則即使?fàn)顟B(tài)初始值 不相等，即 ，經(jīng)過一段時間，仍然有：)0( )0()0(xxx0)( )()(kxkxkx故 可以作為 x(k) 的狀態(tài)重構(gòu)。)( kx問題：（1狀態(tài)重構(gòu)誤差的動態(tài)特性取決于系數(shù)矩陣F，不能按需要進(jìn)行調(diào)整。（2F具有不穩(wěn)定的特征根時，不能采用該類型的狀態(tài)觀測器。（3即使F的特征根在單位圓內(nèi)，它也往往不具有好的動態(tài)特性。緣由：只利用了輸入量及模型參數(shù)，

19、而沒有利用可以量測到的輸出量信息。解決方法：充分利用輸入量、模型參數(shù)和輸出量信息，對開環(huán)觀測器進(jìn)行重構(gòu)。模型F,Gu(k)y(k)( kyCx(k)圖2 預(yù)報觀測器對象F,GC)( kxK+_二、預(yù)報觀測器由圖2，可以寫出觀測器方程為：)( )()()( ) 1( kxCkyKkGukxFkx（5） 上式中，（k+1時刻的狀態(tài)重構(gòu) 只利用到了kT時刻的量測量y(k)，因此稱式5為“預(yù)報觀測器”，其中K稱為觀測器增益矩陣。) 1( kx控制對象狀態(tài)方程1式與5式相減，得到狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：)( )( )()( )( )( )()()( )()( ) 1( ) 1() 1(kxKCFkxkxKC

20、kxkxFkxCkCxkkGukxFkGukFxkxkxkx（6）分析：（1狀態(tài)重構(gòu)誤差的動態(tài)特性取決于系數(shù)矩陣F-KC，而K可調(diào)；（2F具有不穩(wěn)定的特征根時，可通過適當(dāng)調(diào)整K使?fàn)顟B(tài)可以重構(gòu)。（3設(shè)計預(yù)報觀測器的關(guān)鍵在于合理選取觀測器的增益矩陣K。求預(yù)報觀測器的增益矩陣K：狀態(tài)重構(gòu)誤差的特征方程觀測器的特征方程為：0KCFzI（7）其根分布決定觀測器性能。給定觀測器特征方程的根為 ，則特征方程為：), 2 , 1(nii0 )()()(1121nnnnezzzzzz（8）于是)(zKCFzIe（9） 展開行列式，比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，則一共可以得到n個代數(shù)方程： （1對于單輸入系統(tǒng)r=1）

21、，一般情況下可以獲得唯一解；（2對于多輸入系統(tǒng)r1），共有nr個未知數(shù)，而總共只有 n個方程，故需加限制條件。對于單輸入系統(tǒng)可以證明：K具有唯一解的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀，即nCFCFCrankn1（10）物理意義： 系統(tǒng)完全能觀時，才能通過適當(dāng)選擇增益矩陣K，利用輸出量來調(diào)整各個狀態(tài)重構(gòu)跟隨實(shí)際狀態(tài)的響應(yīng)性能。問題：（1如何給定觀測器極點(diǎn)以后討論）（2如何計算增益矩陣K問題2的解決：（a根據(jù)9式，展開左邊行列式，通過比較z的同次冪的系數(shù)，求出K 的各個元素。（b計算機(jī)輔助求解算法。方程9左邊矩陣轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置后行列式不變），故9式變?yōu)椋?(zKCFzIeTTT（11）將上式與上節(jié)6式比較：)(

22、zGLFzIc上節(jié)6式)(zKCFzIeTTT)(zGLFzIcFTFGTCLTK)(zc)(ze)( 10011FGFFGGLcn由上節(jié)表達(dá)式28），即得到：)()( 10011TeTnTTTTTFCFCFCK（12）兩邊轉(zhuǎn)置，得到：100)(11neCFCFCFK（13）算法完畢。系統(tǒng)能觀解：)()()()() 1(kCxkykGukFxkx01 1 . 0005. 0 101 . 01CGF)( )()()( ) 1( kxCkyKkGukxFkx其中設(shè)計預(yù)報觀測器。預(yù)報觀測器方程為：將觀測器的極點(diǎn)配置在原點(diǎn)，那么2)(zze令21kkK于是：221122121)( )1 . 01 ()

23、2( 11 . 01 01100.111001 zzkkzkzzkkzkkzKCFzIe通過系數(shù)比較，得到增益矩陣K：10221kkK（一系數(shù)比較法（2計算機(jī)輔助求解法1021010)(12121CFCFCFCzkkKe三、現(xiàn)時觀測器 由預(yù)報觀測器方程：)( )()()( ) 1( kxCkyKkGukxFkx可知，狀態(tài)反饋 中，只包含了前一時刻的輸出量信息)( )(kxLku) 1( ky，輸出信號將不能得到及時的反饋。當(dāng)采樣周期較長時，將影響系統(tǒng)性能。為此，采用如下觀測器結(jié)構(gòu)：)1() 1() 1() 1( )()( ) 1(kxCkyKkxkxkGukxFkx（14）（15）此即為現(xiàn)時觀

24、測器方程。適用范圍：計算延時 （觀測器計算與采樣周期T相比很小時， 采用現(xiàn)時觀測器。求取增益矩陣K：狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：)( )( )()( )( )()( )()( )()( )()( ) 1() 1() 1()()( ) 1( ) 1() 1(kxKCFFkxkxKCFkxkxFkCGukxCFkCGukCFxKkGukxFkGukFxkxCkCxKkxkGukFxkxkxkx（16）特征方程為：0)(zKCFFzIe（17） 對于單輸入系統(tǒng)，K具有唯一解的充分必要條件是系統(tǒng)完全能觀，即10式成立。K 的求解方法：（一系數(shù)比較法： 將17式展開，通過z的同次冪系數(shù)比較，得到n個方程組成方程

25、組，通過解方程組求得增益矩陣K； （二計算機(jī)輔助求解算法式9與式17式相比，只是用CF代替C，故參照式13），得到：100)(12neCFCFCFFK（18）四、降階觀測器 前兩種觀測器為全階觀測器，即觀測器階數(shù)等于狀態(tài)個數(shù)。如果輸出量是狀態(tài)的一部分，則沒有必要再對它進(jìn)行重構(gòu)，只需根據(jù)能量測的部分狀態(tài)重構(gòu)不能量測的狀態(tài)，即降階觀測器。 但是，如果可量測的部分包含有嚴(yán)重的噪聲，則可采用全階觀測器重構(gòu)出全部狀態(tài)，因?yàn)橛^測器起到了濾波的作用。狀態(tài)向量為：)()()(kxkxkxba（19） 其中 表示能夠量測的部分狀態(tài)，即Y(k)； 表示重構(gòu)的部分形狀，則狀態(tài)方程為：)(kxa)(kxb)( )()() 1() 1(kuGGkxkxFFFFkxkxbababbbaabaaba（20）)()(0)(kxkxIkyba