高中數(shù)列專題常見求和方法總結

1、專題：數(shù)列及其數(shù)列求和重點、考點精讀與點撥一、基本知識1定義：(1) .數(shù)列：按一定次序排序的一列數(shù)(2) 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等差數(shù)列(3) 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列2 通項公式與前n項和公式為等差數(shù)列： 為等比數(shù)列： （q3 常用性質為等差數(shù)列，則有（1） 從第二項起，每項是前一項與后一項的等差中項，（n>1）（2）（3） 若m+n = p+q , 則：，特殊的：若m+n=2r ,則有：（4） 若則有：（5） 若（6） 為等差數(shù)列為常

2、數(shù))（7） 仍成等差數(shù)列（8）為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列（p，q為常數(shù)）（9）若項數(shù)為偶數(shù)2n，若項數(shù)奇數(shù)2n1，（10）為等比數(shù)列，則有（1） 只有同號的兩數(shù)才存在等比中項（2）（3） 若m+n = p+q , 則：，特殊的：若m+n=2r ,則有：（4） 為等比數(shù)列，則， ，為等比數(shù)列（）（5） 等比數(shù)列中連續(xù)n項之積構成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，當時，連續(xù)項之和仍為等比數(shù)列（6）二、在數(shù)列中常見問題：1、等差數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)，（定義域為正整數(shù)集），一次項的系數(shù)為公差；等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為公差的一半，常數(shù)項為0. 證明某數(shù)列是等差（比）數(shù)列，通常

3、利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證：2、等差數(shù)列當首項a1>0且公差d<0時(遞減數(shù)列)，前n項和存在最大值。利用確定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函數(shù)的性質或圖象解）。等差數(shù)列當首項a1<0且公差d>0時（遞增數(shù)列），前n項和存在最小值。3、遇到數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系的問題應利用4、滿足的數(shù)列，求通項用累加（消項）法，如：已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ；滿足的數(shù)列，求通項用累乘（消項）法，如：已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=an, 求an ； 三、數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：必須記住幾個常見數(shù)列前n項和 等

4、差數(shù)列：；等比數(shù)列： ； (2)分組求和：如：求1+1,的前n項和可進行分組即：前面是等比數(shù)列，后面是等差數(shù)列，分別求和（注：） (3)裂項法：如 ，求Sn ，常用的裂項，； (4)錯位相減法：其特點是cn=anbn 其中an是等差，bn是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1 注意討論x， (5)倒序求和：等差數(shù)列的求和公式就是用這種方法推導出來的。如求證：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n1) Cnn=(n+1)2n 名題歸類例釋錯位相減法：例1 求和例2 求數(shù)例1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1，(a1)的前n項和解：因 Sn=13a5a27a3(2n1

5、)an-1， (1) (1)×a得aSn=a3a25a3(2n3)an-1(2n1)an，（2）兩式相減得 (1a)Sn=12a2a22a32an-1(2n1)an =2(1aa2a3an-1)(2n1)an-1 =所以:例3已知數(shù)列的首項，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列的前項和解：（） ， ， 又， 數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列（）由（）知，即，設， 則，由得 ，又數(shù)列的前項和 例4：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=2，a1+ a2+ a3=12，令bn= anxn(xR)，求數(shù)列bn的前n項和公式。裂項相消法：例1 求和：解：， 例2：數(shù)列an通項公式是，若前n項的和為10，求項數(shù)。例3：求和分部求和法：例1 已知等差數(shù)列的首項為1，前10項的和為145，求解：首先由則例2已知數(shù)列的通項公式為，求其前n項和Sn例3：1，1+2，1+2+3，1+2+3+n；例4：倒序相加法：例1 sin21°+ sin22°+ sin23°+ sin288°+ sin289°的值例2 設數(shù)列是公差為，且