材料力學第7章-彎曲剛度課件

1、返回返回返回總目錄返回總目錄 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，中性軸相互轉過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的這一曲線稱為梁的撓度曲線撓度曲線（deflection curve）。）。 根據(jù)上一章所得到的結果，根據(jù)上一章所得到的結果，彈性范圍內的撓度曲線在一點彈性范圍內的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列彎矩、彎曲剛度之間存在下列關系：關系： EIM1橫截面形心處的鉛垂位移，稱為橫截面形心處的鉛垂位移，稱為

2、撓度撓度（deflection），用），用w表示；表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度，變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度，稱為轉角（稱為轉角（slope），用），用 表示；表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移軸向位移或或水平位移水平位移（horizontal displacement），用），用u表示。表示。 在小變形情形下，上述位移中，水平位移在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度與撓度w相相比為高階小量，故通常不予考慮。比為高階小量，故通常不予考慮。 在在Oxw坐標系中，撓度與轉角存坐標系中，撓度與轉角存在下

3、列關系：在下列關系： 在小變形條件下，撓度曲線較為在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有tanddxwxwddw w（x），稱為撓度方程（），稱為撓度方程（deflection equation）。）。 機械傳動機構中的齒輪軸，當變形過大時機械傳動機構中的齒輪軸，當變形過大時(圖中虛線所示圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產生較大的，兩齒輪的嚙合處將產生較大的撓度和轉角，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，撓度和轉角，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。以致不能正常工作。 同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉動同時，還會加大齒輪磨損

4、，同時將在轉動的過程中產生很大的噪聲。的過程中產生很大的噪聲。 此外，當軸的變形很大時，軸在支承處也此外，當軸的變形很大時，軸在支承處也將產生較大的轉角，從而使軸和軸承的磨損大將產生較大的轉角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。大增加，降低軸和軸承的使用壽命。 返回返回返回總目錄返回總目錄EIM123222dd1dd1xwxw2d1dwx22322dd1d1dwxwxEIMxw22ddEIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw, 采用向下的采用向下的w坐標系，有坐標系，有EIMxw22ddEIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCx

5、xxEIxMwlldd梁的彎曲撓度與轉角梁的彎曲撓度與轉角方程，以及最大撓度和最大轉方程，以及最大撓度和最大轉角。角。 左端固定、右端自左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為布載荷集度為q ，梁的彎曲剛，梁的彎曲剛度為度為EI 、長度為、長度為l。q、EI 、l均已知。均已知。 建立建立Oxw坐標系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分坐標系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。無需分段。 從坐標為從坐標為x的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束的

6、任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側平衡時，建立的彎矩方程比較復雜，所以力，考慮截面左側平衡時，建立的彎矩方程比較復雜，所以考慮右側部分的平衡，得到彎矩方程：考慮右側部分的平衡，得到彎矩方程： 21( )02M xq lxxl x21( )02M xq lxxl 將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得 212EIwMq lx 積分后，得到積分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d

7、00dwxx， =33,624qlCqlD 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉角均為最大值。轉角均為最大值。 于是，將于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉角方程，得，分別代入撓度方程與轉角方程，得到：到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI加力點加力點B的撓度和的撓度和支承支承A、C處的轉角。處的轉角。簡支梁受力如簡支梁受力如圖所示。圖所

8、示。FP、EI、l均為已均為已知。知。 因為因為B處作用有集中力處作用有集中力FP，所以需要分為，所以需要分為AB和和BC兩段兩段建立彎矩方程。建立彎矩方程。 首先，應用靜力學方法求得首先，應用靜力學方法求得梁在支承梁在支承A、C二處的約束力分別二處的約束力分別如圖中所示。如圖中所示。 在圖示坐標系中，為確定梁在在圖示坐標系中，為確定梁在0l/4范圍內各截面上的范圍內各截面上的彎矩，只需要考慮左端彎矩，只需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4；而確定梁在；而確定梁在l/4l范圍內各截面上的彎矩，則需要考慮左端范圍內各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4和荷載和荷載

9、FP。 于是，于是，AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx積分后，得積分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2為

10、積分常數(shù)，由支承處的約束條件和為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。段梁交界處的連續(xù)條件確定。 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座在支座A、C兩處撓度應為零，即兩處撓度應為零，即x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與段與BC段梁交界處的撓度和轉角必須分別相等，即段梁交界處的撓度和轉角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 212P18

11、3CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得得到梁的轉角和撓度方程為：到梁的轉角和撓度方程為： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 據(jù)此，可以算得加力點據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉

12、角的轉角分別為分別為 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉角方程以及指定截面的撓度撓度與轉角方程以及指定截面的撓度 與轉角與轉角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程返回返回返回總目錄返回總目錄簡支梁簡支梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC ；B截面的截面的轉角轉角 B。32

13、1CCCCwwww1. .將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。為三種簡單的情形。123BBBB2. .由撓度表查得由撓度表查得三三種情形種情形下下C截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉角截面的轉角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 應用疊加法，將簡單載荷應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果分別疊加作用時的結果分別疊加 將上述結果按代數(shù)值相加，將上述結果按代數(shù)值相加，分別得到梁分別得到梁C截面的撓度和支座截面的撓度和支座B處的轉角處的轉角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIql

14、iBiB3314811懸臂梁懸臂梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC和和轉角轉角 C。1. . 首先，將梁上的載荷首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形變成有表可查的情形 為了利用撓度表中關于梁為了利用撓度表中關于梁全長承受均布載荷的計算結果，全長承受均布載荷的計算結果，計算自由端計算自由端C處的撓度和轉角，處的撓度和轉角，先將均布載荷延長至梁的全長，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效為了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB段還需再加上集度段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。相同、方向相反的均布載荷。 分別畫出這兩種

15、情形下的分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關于承受均布載荷懸撓度表中關于承受均布載荷懸臂梁的計算結果，上述兩種情臂梁的計算結果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉角分別形下自由端的撓度和轉角分別為為 再將處理后的梁分解再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉各個簡單載荷引起的撓度和轉角角 兩種情形下自由端的撓度和轉兩種情形下自由端的撓度和轉角分別為角分別為再將處理后的梁分解為簡再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉角載荷引起的撓度和轉

16、角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,將簡單載荷作用的結果將簡單載荷作用的結果疊加疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487返回返回返回總目錄返回總目錄 對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉角過大會影響構對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉角過大會影響構件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產生噪聲；機床主軸的撓度過大嚙合，或增加齒輪的磨損并產生噪聲；機床主軸的撓度過大會影響加工精度；由軸承支承

17、的軸在支承處的轉角如果過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉角如果過大會增加軸承的磨損等等。會增加軸承的磨損等等。 wwmax max鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的處的許用轉角許用轉角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 B根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承以保證軸承B處的轉角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步處的轉角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算

18、。驟計算。BEIlaFB3P由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為處的轉角為 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為處的轉角為 BEIlaFB3P B根據(jù)設計要求，有根據(jù)設計要求，有 B根據(jù)設計要求，有根據(jù)設計要求，有 B其中，其中， 的單位為的單位為rad（弧度），而（弧度），而 的單位為（的單位為（）（度），）（度），考慮到單位的一致性，將有關數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑考慮到單位的一致性，將有關數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 111mmm10111m100.52063101802120643-493d返回返回返回總

19、目錄返回總目錄3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFByMBBl AMAFAyFAxFBxFByMBBl AMA 0ByBBBBFqMMBBl AMA例例 題題 5B AlFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFBwB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AM

20、AFAyFAxFBFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB返回返回返回總目錄返回總目錄二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關系。相互關系。FPABC 試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀 試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀Bl A BBBBBMqlq2 BBBBBMwqlwqww2MBFByMAFAyBl AMAFAyMBFBy0AB= 0ABA