海岸工程教學(xué)專用-波浪理論

1、- 前進水波中的壓力分布前進水波中的壓力分布在拉格朗日積分式（在拉格朗日積分式（7-）中忽略）中忽略v2/2項可得項可得pgzt (7-34)cosh ()cos()cosh pgk zhakxtgzkh將（將（7-15）代入上式得）代入上式得有限水深相對壓強有限水深相對壓強：式中式中acos(kx-t)為波面方程。為波面方程。cosh ()cosh k zhpzkh適于適于z0 (7-35)因此因此cosh ()cosh pk zhkkh定義壓力反應(yīng)系數(shù)定義壓力反應(yīng)系數(shù)ppkz方程方程（-35）簡化為：簡化為： (7-36)方程（方程（7-35）或）或 (7-36)只適于只適于 z z0 的

2、區(qū)域的區(qū)域討論：討論： 當當z1時時（-35）對于的正值無效。因）對于的正值無效。因小振幅波的近似，即自由面條件（動力學(xué)條件）小振幅波的近似，即自由面條件（動力學(xué)條件）式（式（7-11）中用）中用=代替了代替了=上式第一項為波動壓強，第二項為靜水壓強。上式第一項為波動壓強，第二項為靜水壓強。 1. 當當z 1時（初始時（初始平面以下所有深度）平面以下所有深度） kp 1pkp2.當時當時(7-37)壓力分布與取正值的靜水壓力分布規(guī)律相符壓力分布與取正值的靜水壓力分布規(guī)律相符 3.當時當時1cosh pkkhcosh phkh(7-38)即底部的靜水壓力為即底部的靜水壓力為/ 在波谷下（在波谷下

3、（為負為負): 底部壓力大于靜水壓力底部壓力大于靜水壓力 cosh hhkh因為因為（739）在波峰下（在波峰下（為正為正):底部壓力小于靜水壓力底部壓力小于靜水壓力 若已知水平面以下某處的壓強，可以反過來若已知水平面以下某處的壓強，可以反過來預(yù)測波高。預(yù)測波高。 底部壓強隨時間和位置的變化將引起流體底部壓強隨時間和位置的變化將引起流體在砂床這類疏松介質(zhì)中的流動。實際流體中會在砂床這類疏松介質(zhì)中的流動。實際流體中會引起波能的粘性耗散。引起波能的粘性耗散。co sh hhkh(7-40)- -波群與波群速波群與波群速波群波群(Wave Group )：多種不同頻率的波疊加在：多種不同頻率的波疊加

4、在 一起形成的波。一起形成的波。1sin()akxt2sin()ak xt設(shè)設(shè)和和為兩個簡諧波為：為兩個簡諧波為：12sin() sin()akxtkxt而而kk，a, T相同，相同，2 cos()sin()2222k kk kaxtxt （741）迭加后得迭加后得合成波合成波:因因，上式可近似為，上式可近似為使合成波列具有波長使合成波列具有波長/，周期，周期/和波速（相速度）和波速（相速度）/；2 cos(sin()22kxtkkaxt(7-42)合成波由兩部分組成：合成波由兩部分組成：sin(kx-t) : 負責(zé)調(diào)制合成波的波長與周期負責(zé)調(diào)制合成波的波長與周期振幅調(diào)制波具有較合成波列大得多

5、的波長和周期振幅調(diào)制波具有較合成波列大得多的波長和周期kdd k振幅調(diào)制波的傳播速度振幅調(diào)制波的傳播速度 ,與合成波列的傳播與合成波列的傳播速度速度 不相同。不相同。2 cos()22k kat : 負責(zé)調(diào)制合成波列的振幅負責(zé)調(diào)制合成波列的振幅 gdCk kdk 4 4kk波長為波長為 , 周期為周期為 , 傳播速度為傳播速度為振幅調(diào)制波振幅調(diào)制波2 cos()22k kat 的振幅的振幅在在 2a之間隨之間隨時間和空間作周期性變化。時間和空間作周期性變化。振幅調(diào)制波將合成波列分成振幅由小到大，又由振幅調(diào)制波將合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。大到小的一群。包絡(luò)線將合成波分成一個個波

6、群。包絡(luò)線將合成波分成一個個波群。群波的長度為：群波的長度為：2k合成波列稱為合成波列稱為波群（波群（wave group) 合成波列具有兩個速度合成波列具有兩個速度: 相速度相速度C群速度群速度Cg合成波列以相對速度合成波列以相對速度(C-Cg)進入振幅調(diào)制波的進入振幅調(diào)制波的節(jié)點節(jié)點, 振幅從零逐漸加大到振幅從零逐漸加大到2a,又逐漸減小到零。又逐漸減小到零。 群速度：群速度：振幅調(diào)制波的傳播速度為這一群波的振幅調(diào)制波的傳播速度為這一群波的 前進速度。前進速度。振幅調(diào)制波以群速度振幅調(diào)制波以群速度C Cg g傳播傳播Cg等于波能的傳遞速度（待續(xù)）等于波能的傳遞速度（待續(xù)）群速度：群速度：(

7、)gdddCCCkCkdkdkdk(7-43)2tanh gCkhk由由(7-23)式式 兩邊對兩邊對k求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：22222tanh cosh coshdCghgghCCkhdkkkhkkkhk212 c o s h2d Cg hCd kCkk hk所以：所以：222111(1)2co sh22co shgg hCg hCCCCkhCkh上述結(jié)果代入（上述結(jié)果代入（-）式：）式：利用利用(-3)以及以及sinh2x = 2sinhx coshx，202LLh適用于適用于2gCC 深水波深水波:(7-45)20sinh2khkh（因為（因為 ）波群速為單獨水波前進速度之半波群速為單獨水波前

8、進速度之半12(1)2sinh2gkhCCkh上式簡化成上式簡化成:(7-44)21sinh 2khkh極淺水波極淺水波 ( 因因 ):12(1)2sinh2gkhCCCghkh (7-46) 波群速與單獨水波前進速度相等波群速與單獨水波前進速度相等- - 船船 波波Kelvin計算了以等速計算了以等速U前進的壓力點的興波情前進的壓力點的興波情況況, 波系見下圖波系見下圖, 圖中為波峰線。圖中為波峰線。22/LUg橫波波長橫波波長 : (7-47)橫波和散波互相干擾并隨同壓力點一起前進。橫波和散波互相干擾并隨同壓力點一起前進。 船首、船尾形成前、后駐點。駐點處流體船首、船尾形成前、后駐點。駐點

9、處流體的動能轉(zhuǎn)變成壓能的動能轉(zhuǎn)變成壓能, 該處壓力升高該處壓力升高,可認為該可認為該點的造波作用與壓力點相同。點的造波作用與壓力點相同。 船舶航行首尾各有一船舶航行首尾各有一Kelvin波系見下圖：波系見下圖：船舶所遭受的興波阻力與首、尾兩個橫波系船舶所遭受的興波阻力與首、尾兩個橫波系之之間的干擾有很大關(guān)系。間的干擾有很大關(guān)系。興波阻力系數(shù)曲線上的興波阻力系數(shù)曲線上的“峰峰”和和“谷谷”就是這就是這一干擾的結(jié)果一干擾的結(jié)果, 見下圖：見下圖： 設(shè)計船舶時設(shè)計船舶時,應(yīng)使在設(shè)計航速時船舶處于應(yīng)使在設(shè)計航速時船舶處于興波阻力系數(shù)興波阻力系數(shù)“谷點谷點”的位置的位置,有利干擾興波。有利干擾興波。-

10、-波能的傳遞及興波阻力波能的傳遞及興波阻力水波運動是流體動能與勢能之間的平衡結(jié)果，討水波運動是流體動能與勢能之間的平衡結(jié)果，討論波能的傳遞與興波阻力的研究很有關(guān)系。論波能的傳遞與興波阻力的研究很有關(guān)系。1. 波浪的總能量為動能與勢能之和，動能與波浪的總能量為動能與勢能之和，動能與 勢能相等。勢能相等。2.波能與波幅的平方成正比，與水深無關(guān)。波能與波幅的平方成正比，與水深無關(guān)。3. 波能的傳播速度就是群速度。波能的傳播速度就是群速度。結(jié)論：結(jié)論：2201cos ()2Lgakxt dx2000122LLLIIdmg hdxggdx對于余弦波，一個波長的對于余弦波，一個波長的勢能勢能為：為：221

11、1224Lgaga L(7-48)2201()2LzzhTvvd z d x動能動能 ：2201()() 2Lhdzdxxz : 一個波長內(nèi)由自由表面、底面及兩側(cè)面組一個波長內(nèi)由自由表面、底面及兩側(cè)面組成的閉邊界線成的閉邊界線.12sTd sn利用利用Green公式，將面積分公式，將面積分(單位寬度的體積分單位寬度的體積分)變?yōu)榫€積分變?yōu)榫€積分:(7-49)為邊界外法線為邊界外法線,左右垂直側(cè)面上積分路線相反，積分互相抵消。左右垂直側(cè)面上積分路線相反，積分互相抵消。水底水底:0nz（-49）式中只剩下沿自由表面）式中只剩下沿自由表面OAB的積分的積分對于微振幅波，對于微振幅波， 取值近似由取值

12、近似由=代替代替=z001()2LzTdxz因此因此(7-50) cosh ()sin()cosh agk zhkxtkh由式由式（7-26）sinh ()sin()cosh agkk zhkxtzkh0sin()zagkxt(7-51)0tanh sin()sin()zagkkhkxtakxtz(7-52)因因gk tanh kh, 則則將將（7-51），（7-52）代入代入（-50）：22000()sin ()22lLzTdxa gkxt dxz2011co s 2 ()22Lagkxtd x201sin 2()44LLagxkxt214Tg aL所以所以(7-53)比較（比較（7-48）

13、和（）和（7-53）得）得 進行波動能與勢能相等進行波動能與勢能相等一個波長的波總能量為一個波長的波總能量為(7-54)212E II Tga L 2012EEgaL單位長度波浪的總能量：單位長度波浪的總能量：在一個周期時間內(nèi)，通過軸傳播的能量等于在一個周期時間內(nèi)，通過軸傳播的能量等于壓力對軸所做的功，即：壓力對軸所做的功，即：波能傳遞波能傳遞結(jié)論：波能的傳播速度就是群速度結(jié)論：波能的傳播速度就是群速度證明：證明：00TxhWdzpv dt(7-55)由（由（7-26）式得）式得cosh ()sin()cosh agk zhkxtkh（7-56）cosh ()cos()cosh xkagk z

14、hvkxtxkh所以所以（7-57 ）pgzt 由（由（-34）式得）式得當當const. 這時這時gz為常數(shù)，為常數(shù)， 隨時間變化隨時間變化t能量傳播，只與能量傳播，只與 有關(guān)有關(guān) t 由（由（7-56）式有：）式有：cosh ()cos()cosh k zhagkxttkh(7-58)將式（將式（7-57）和（）和（7-58）代入（）代入（7-55）：）：2220220cosh()cos ()coshThg a kk zhWdzkxt dxkh20cos ()2TTkxt dt因為因為22022cosh()2coshhg a kTWk zh dzkhz軸處，軸處，x=0所以所以22022c

15、 o sh()2c o shhgak TWkzh d zk h02sinh22cosh()(1)2sinh2hkhkhk z h dzkkh積分積分 222sinh 22(1)2cosh4sinh 2g a kTkhkhWkhkkh所以所以212(1)22sin h 2CkhTg akhEL單位長度波能單位長度波能gC群速群速gWECTL(7-59)所以所以表明：單位時間通過軸的能量，等于單位表明：單位時間通過軸的能量，等于單位長度波能乘上群速度，即長度波能乘上群速度，即波能傳遞速度等于波能傳遞速度等于群速度群速度。興波阻力興波阻力 船舶在水面航行，興起波浪，一部分波能由船船舶在水面航行，興起

16、波浪，一部分波能由船舶提供，這就是舶提供，這就是興波阻力。興波阻力。船舶遭受的阻力有：粘性阻力和興波阻力，興船舶遭受的阻力有：粘性阻力和興波阻力，興波阻力是理想流體作用于船舶上的壓差力。波阻力是理想流體作用于船舶上的壓差力。船到波隨，船波船到波隨，船波波速波速就就等于船速等于船速22112(1)222sinh 2wCkhga VtgatR Vtkh02(1)2sinh 2CkhEtkh時間內(nèi)船后新增波浪長度由老波以波群速傳來時間內(nèi)船后新增波浪長度由老波以波群速傳來一部分能量一部分能量由于由于=，故，故 另一部分由船舶克服興波阻力做功而提供另一部分由船舶克服興波阻力做功而提供wR Vt則能量平衡

17、方程式為：則能量平衡方程式為：總能量總能量 212(1)4sinh 2wkhRgakh(7-60)20sinh2khkh對于深水對于深水214wRga則則（761）這一結(jié)論不僅適用于余弦波，其它波動同樣適用這一結(jié)論不僅適用于余弦波，其它波動同樣適用深水中船舶所遭受的興波阻力是波能的一半深水中船舶所遭受的興波阻力是波能的一半興波阻力的大小與振幅的平方成正比興波阻力的大小與振幅的平方成正比在極淺水中，波浪前進的最大速度不能超過臨在極淺水中，波浪前進的最大速度不能超過臨界速度界速度 ，ghgh若船的航行速度大于若船的航行速度大于 ，則沒有波浪可以跟隨，則沒有波浪可以跟隨它，興波阻力也就不可能產(chǎn)生。它

18、，興波阻力也就不可能產(chǎn)生。例例.1 某小船在無限深水的波浪中每分鐘搖擺某小船在無限深水的波浪中每分鐘搖擺 30次，求波長，圓頻率次，求波長，圓頻率，波數(shù)，波數(shù)， 以及波形傳播速度以及波形傳播速度解解: 船航速為零，單純由波浪引起的搖擺船航速為零，單純由波浪引起的搖擺1min2( )30Ts則周期則周期23.14(1/ ) sT圓頻率圓頻率21.006kg波數(shù)波數(shù) 26.26Lmk波長波長3.12/Cmsk波速波速例例.3 水深水深=10，自由面上有一沿軸正向，自由面上有一沿軸正向 傳播的平面小振幅波，傳播的平面小振幅波， 波長波長=30求：求：）波幅）波幅.1m時的自由面形狀時的自由面形狀;）

19、波的傳播速度；）波的傳播速度；）波幅）波幅0.1m衡位置在水平面以下衡位置在水平面以下0.5處處 流體質(zhì)點的運動軌跡；流體質(zhì)點的運動軌跡；）水平面以下）水平面以下1，2處流體的平均壓力；處流體的平均壓力；）波系的群速度。）波系的群速度。cos()akxt解解: 1）由式（）由式（7-16）220.20930kL波數(shù)波數(shù)圓頻率由（圓頻率由（-20）為）為tanh9.8 0.209tanh(0.209 10)1.381gkkh波面方程為波面方程為0.1 cos(0.2091.381 )xt1.3816.6080.209Ck）波的傳播速度）波的傳播速度(相速度相速度)）由（）由（-20）式流體質(zhì)點的

20、軌跡方程）式流體質(zhì)點的軌跡方程220022()()1xxzza0cosh()sinhak zhakh0sinh()sinhazhkh其中其中20.00869a20.00806取取 Z0=0.5m，a=0.1m，h=10m，k=0.209，得得: :4 ) 4 ) 由（由（-25）式計算壓力）式計算壓力pz在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi)的均值為零，故有：的均值為零，故有：壓力與靜壓分布相同壓力與靜壓分布相同122mmpp 故水下故水下1和和2處流體的壓力分別為處流體的壓力分別為:12(1)3.2722sinh2gkhCCkh5 )5 )由式由式(7-44)可得：可得：例例7.4 波長為波長為6.28m，在某一深度次波面的波高，在某一深度次波面的波高 減小一半，試求這一深度。減小一半，試求這一深度。所以所以 z=ln(1/2)= - 0.693m解：流體質(zhì)點得軌圓半徑為解：流體質(zhì)點得軌圓半徑為= aekz 在波面上在波面上 Z0=0, r0=a在任意水深在任意水深 = aekz 由題意由題意 r0=2a，則則= aekz ，a=2 aekz所以所以 ekz1/2K=2/ =6.28/6.28=1ekz = ez = 1/2例例7.6 設(shè)無限深水中