第三章固體量子理論初步

1、第三章第三章 固體量子理論初步固體量子理論初步2016年年9月月第三章第三章 固體量子理論初步固體量子理論初步允帶與禁帶允帶與禁帶3.1固體中電的傳導固體中電的傳導3.2三維擴展三維擴展3.3狀態(tài)密度函數(shù)狀態(tài)密度函數(shù)3.4統(tǒng)計力學統(tǒng)計力學3.5小結(jié)小結(jié)3.63.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶原子的能級（孤立原子中電子的狀態(tài)原子的能級（孤立原子中電子的狀態(tài)能級）能級） 電子殼層電子殼層K L M N K L M N 不同支殼層電子不同支殼層電子1s1s；2s2s，2p2p；3s3s，2p2p，3d3d； 共有化運動共有化運動3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁

2、帶電子的共有化運動電子的共有化運動原子中的電子分布在內(nèi)外許多電子殼層上，每一支殼層對應原子中的電子分布在內(nèi)外許多電子殼層上，每一支殼層對應確定的能量，確定的能量，當原子間互相接近形成晶體時當原子間互相接近形成晶體時，不同原子的內(nèi)外各，不同原子的內(nèi)外各電子層之間有一定的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最最多，內(nèi)殼電子層之間有一定的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最最多，內(nèi)殼層交疊較少層交疊較少; ; 當原子組成晶體后當原子組成晶體后，由于電子殼層間的交疊，電子不再完全，由于電子殼層間的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，它可以由一個原子轉(zhuǎn)移到相鄰的原子上去，局限在某一個原子上，它可以由一個原子轉(zhuǎn)移到相鄰的

3、原子上去，因而電子將可以在整個晶體中運動，這種運動稱為因而電子將可以在整個晶體中運動，這種運動稱為電子的共有化電子的共有化運動運動3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶原子的能級的分裂原子的能級的分裂 孤立原子的能級孤立原子的能級 4 4個原子能級的分裂個原子能級的分裂 原子的能級的分裂原子的能級的分裂 原子能級分裂為能帶原子能級分裂為能帶 3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.1 3.1.1 能帶的形成能帶的形成晶體由原子組成相互靠攏形成晶體由原子組成相互靠攏形成孤立能級展寬成為能帶孤立能級展寬成為能帶 當大量氫原子聚在一起當大量氫原子聚在一起, ,當

4、原子間距的縮小到當原子間距的縮小到r r0 0( (晶體中平衡狀態(tài)的原子間距晶體中平衡狀態(tài)的原子間距),),由泡利不相容原由泡利不相容原理理, ,任何兩個電子不會具有相同的量子數(shù)任何兩個電子不會具有相同的量子數(shù), ,因此因此, ,一一個能級分裂為一個能帶，以保證每個電子占據(jù)獨個能級分裂為一個能帶，以保證每個電子占據(jù)獨立的量子態(tài)立的量子態(tài). .能級分裂能級分裂兩個近距離氫原兩個近距離氫原子的概率密度函子的概率密度函數(shù)數(shù)獨立氫原子的概率獨立氫原子的概率密度函數(shù)密度函數(shù)r0 r0 平衡時的距離平衡時的距離3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.1 3.1.1 能帶的形成能帶的形成注意：注意：在平

5、衡狀態(tài)原子間距處，存在能量的允帶，在平衡狀態(tài)原子間距處，存在能量的允帶，而允帶中的能量仍然是分而允帶中的能量仍然是分立的立的，在晶體中，在晶體中，允帶中分立的能量狀態(tài)數(shù)與晶體中的原子數(shù)相等允帶中分立的能量狀態(tài)數(shù)與晶體中的原子數(shù)相等，由于各，由于各能量狀態(tài)差距是極小的，通常認為允帶處于準連續(xù)的能量分布。能量狀態(tài)差距是極小的，通常認為允帶處于準連續(xù)的能量分布。 電子電子能帶結(jié)構(gòu)能帶結(jié)構(gòu)由它們所在勢場決定，因而與給成晶體的原子結(jié)構(gòu)和晶體由它們所在勢場決定，因而與給成晶體的原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，與晶體中的原子數(shù)無關(guān)；當結(jié)構(gòu)有關(guān)，與晶體中的原子數(shù)無關(guān)；當晶體中原子數(shù)增加時，只增加每個能晶體中原子數(shù)增加

6、時，只增加每個能帶中的電子態(tài)數(shù)帶中的電子態(tài)數(shù)，使能帶中子能級的密集程度增加，對能帶結(jié)構(gòu)，如允帶和，使能帶中子能級的密集程度增加，對能帶結(jié)構(gòu)，如允帶和禁帶的帶度及相對位置并無影響。禁帶的帶度及相對位置并無影響。長跑比賽長跑比賽3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.1 3.1.1 能帶的形成能帶的形成 對于多電子原子形成晶體對于多電子原子形成晶體, ,當原子間距為當原子間距為r r0 0時時, ,各不同各不同 能級分裂形成不同的能帶能級分裂形成不同的能帶, ,彼此間被禁帶隔開彼此間被禁帶隔開。 最外層電子的能級首先轉(zhuǎn)化為能帶最外層電子的能級首先轉(zhuǎn)化為能帶, ,內(nèi)層相對晚一些。內(nèi)層相對晚一些。

7、外層先分裂外層先分裂允帶和禁帶允帶和禁帶3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.1 3.1.1 能帶的形成能帶的形成實際晶體中能帶的分裂（以硅晶體為例）：實際晶體中能帶的分裂（以硅晶體為例）：1.1.隨原子間距的減小，隨原子間距的減小，3s3s和和3p3p態(tài)互相作用發(fā)生交疊。態(tài)互相作用發(fā)生交疊。2.2.在平衡狀態(tài)原子間距位置產(chǎn)生能帶分裂，其中四個量子態(tài)處于較低能帶，另在平衡狀態(tài)原子間距位置產(chǎn)生能帶分裂，其中四個量子態(tài)處于較低能帶，另 外四個量子態(tài)處于較高能帶。外四個量子態(tài)處于較高能帶。3.3.較底能帶（較底能帶（價帶價帶）的）的所有狀態(tài)都是滿的所有狀態(tài)都是滿的，較高能帶（，較高能帶（導帶導

8、帶）的）的所有狀態(tài)都是所有狀態(tài)都是 空的空的。4.4.價帶頂和導帶低之間的帶隙能量價帶頂和導帶低之間的帶隙能量E Eg g為禁帶寬度。為禁帶寬度。獨立硅原子的示意圖，獨立硅原子的示意圖， 3s3s和和3p3p態(tài)分裂為允帶和禁帶態(tài)分裂為允帶和禁帶允帶允帶禁帶禁帶能帶的基本概念能帶的基本概念n 能帶（能帶（energy bandenergy band）包括允帶和禁帶。）包括允帶和禁帶。n 允帶（允帶（allowed bandallowed band）：允許電子能量存在的能量范圍。）：允許電子能量存在的能量范圍。n 禁帶（禁帶（forbidden bandforbidden band）：不允許電子存

9、在的能量范圍。）：不允許電子存在的能量范圍。n 允帶又分為空帶、滿帶、導帶、價帶。允帶又分為空帶、滿帶、導帶、價帶。n 空帶（空帶（empty bandempty band）：不被電子占據(jù)的允帶。）：不被電子占據(jù)的允帶。n 滿帶（滿帶（filled bandfilled band）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)。）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)。導帶（導帶（conduction bandconduction band）：）：有電子能夠參與導電的能帶，但半導體材料價有電子能夠參與導電的能帶，但半導體材料價電子形成的高能級能帶通常稱為導帶。電子形成的高能級能帶通常稱為導帶。價帶（價

10、帶（valence bandvalence band）: :由價電子形成的能帶，但半導體材料價電子形成的由價電子形成的能帶，但半導體材料價電子形成的低能級能帶通常稱為價帶。低能級能帶通常稱為價帶。導帶底導帶底Ec:Ec:導帶電子的最低能量導帶電子的最低能量 價帶頂價帶頂Ev:Ev:價帶電子的最高能量價帶電子的最高能量 禁帶寬度禁帶寬度 Eg:Eg=Ec-EvEg:Eg=Ec-Ev一定溫度下半導體的能帶示意圖一定溫度下半導體的能帶示意圖 3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.2 3.1.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型獨立獨立的單原子勢函數(shù)的單原子勢函數(shù)近距近距原子交疊的勢函數(shù)原子交

11、疊的勢函數(shù)一維一維單晶單晶的最終勢函數(shù)的最終勢函數(shù)3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.2 3.1.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型布洛赫定理布洛赫定理: :所有周期性變化的勢能函數(shù)的單電子波函數(shù)形式一定為所有周期性變化的勢能函數(shù)的單電子波函數(shù)形式一定為: :其中其中k k為運動常量為運動常量,u(x),u(x)是以是以(a+b)(a+b)為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)克龍尼克克龍尼克潘納模型的一維周期性勢函數(shù)潘納模型的一維周期性勢函數(shù)jkxexux)()(3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶 薛定諤方程及其解的形式薛定諤方程及其解的形式 2220( )()( )( )( )( )2V

12、xV xsadxV xxExmdx( )( )( )()ikxkkkkxux euxuxna布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)3.1 3.1 允帶與禁帶允帶與禁帶3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶 3.1.23.1.2克龍尼克潘納模型克龍尼克潘納模型得到得到sincoscosaPakaa20222 mV bamEP對自由粒子有：對自由粒子有：00Vk時，波數(shù)3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.33.1.3 k k空間能帶圖空間能帶圖 自由粒子的自由粒子的E-kE-k關(guān)系關(guān)系P P為粒子的動量，為粒子的動量，p p與與k k為線形關(guān)系為線形關(guān)系mP2E/(2m)PPk由粒子性有由粒子性有又由德布羅意關(guān)系

13、又由德布羅意關(guān)系因此因此mk22kE2m 由此可得到圖由此可得到圖3.73.7所示的所示的E-kE-k關(guān)系。隨波關(guān)系。隨波矢矢k k的連續(xù)變化自由電的連續(xù)變化自由電子能量是連續(xù)的。子能量是連續(xù)的。3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.3 K3.1.3 K空間能帶圖空間能帶圖sincoscosafaPakaa3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶3.1.3 K3.1.3 K空間能帶圖空間能帶圖coscos2cos2fakakankan22E2m3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶 3.1.3 3.1.3 簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)E0a2a3a3a2aakE0aa簡約布簡約布里淵區(qū)里淵區(qū)允帶允帶允帶允帶允

14、帶允帶禁帶禁帶禁帶禁帶3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶 3.1.3 3.1.3 簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)3.13.1允帶與禁帶允帶與禁帶 3.1.3 3.1.3 簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)（2 2）E(k)=E(k+2nE(k)=E(k+2n/a)/a)，即，即E(k)E(k)是是k k的周期性函數(shù)，周期為的周期性函數(shù)，周期為 2 2/a/a。因此在考慮能帶結(jié)構(gòu)時只需考慮。因此在考慮能帶結(jié)構(gòu)時只需考慮/ak/ak/a/a的的第一布里淵區(qū)就可以了。第一布里淵區(qū)就可以了。 推廣到二維和三維情況：推廣到二維和三維情況： 二維晶體的第一布里淵區(qū)二維晶體的第一布里淵區(qū) /a (k/a (kx x，k ky

15、 y) ) /a/a 三維晶體的第一布里淵區(qū)三維晶體的第一布里淵區(qū) /a (k/a (kx x，k ky y，k kz z)0KT0K時，一些價帶上的電子可能得到足夠的熱能，從而打破共價鍵躍入時，一些價帶上的電子可能得到足夠的熱能，從而打破共價鍵躍入導帶，價帶相應位置產(chǎn)生一個帶正電的導帶，價帶相應位置產(chǎn)生一個帶正電的“空狀態(tài)空狀態(tài)”，等效為，等效為空穴空穴。裂鍵效應裂鍵效應3.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.1 3.2.1 能帶和鍵模型能帶和鍵模型半導體中導帶和價帶的半導體中導帶和價帶的E Ek k關(guān)系圖關(guān)系圖(a)T=0K,(b)T0K(a)T=0K,(b)T0K3.2 3.

16、2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.1 3.2.1 能帶和鍵模型能帶和鍵模型不同半導體，能帶結(jié)構(gòu)不同，禁帶寬度不同半導體，能帶結(jié)構(gòu)不同，禁帶寬度EgEg不同，通常不同，通常Eg1eV Eg1eV 。在室溫在室溫T=300KT=300K，SiSi的禁帶寬度：的禁帶寬度：Eg=1.12eVEg=1.12eVGeGe ：Eg=0.67eVEg=0.67eVGaAsGaAs ：Eg=1.43eVEg=1.43eVEgEg具有負溫度系數(shù)，即具有負溫度系數(shù)，即T T越大，越大，EgEg越?。辉叫?；EgEg反應了在相同溫度下，反應了在相同溫度下，EgEg越大，電子躍遷到導帶的能力越弱。越大，電子躍遷到導

17、帶的能力越弱。如何定性解釋？如何定性解釋？3.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.2 3.2.2 漂移電流漂移電流漂移電流漂移電流：漂移是指電子在電場的作用下的定向運動，電子的定向運漂移是指電子在電場的作用下的定向運動，電子的定向運 動所產(chǎn)生的電流。動所產(chǎn)生的電流。設正電荷集，體密度為設正電荷集，體密度為N N（cmcm-3-3）, ,平均漂移速為平均漂移速為v vd d(cm/s)(cm/s)則則漂移電流密度漂移電流密度為為 qNqNv vd d A/cmA/cm2 23.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.3 3.2.3 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量晶格中運動的電子

18、，在外力和內(nèi)力作用下有：晶格中運動的電子，在外力和內(nèi)力作用下有：總總外外內(nèi)內(nèi)=ma, =ma, m m是粒子靜止的質(zhì)量。是粒子靜止的質(zhì)量。 外外=m=m* *n na, a, m m* *n n稱為電子的有效質(zhì)量。稱為電子的有效質(zhì)量。3.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導有效質(zhì)量的意義有效質(zhì)量的意義自由電子只受外力作用；半導體中的電子不僅受到外力的作用，同時自由電子只受外力作用；半導體中的電子不僅受到外力的作用，同時還受半導體內(nèi)部勢場的作用還受半導體內(nèi)部勢場的作用意義：有效質(zhì)量概括了意義：有效質(zhì)量概括了晶體內(nèi)部勢場力對電子的作用，考慮力與加速度晶體內(nèi)部勢場力對電子的作用，考慮力與加速度a

19、 a可以不考慮內(nèi)力可以不考慮內(nèi)力, , 使得研究半導體中電子的運動規(guī)律時更為簡便（有使得研究半導體中電子的運動規(guī)律時更為簡便（有效質(zhì)量可由試驗測定）效質(zhì)量可由試驗測定）. .3.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.3 3.2.3 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量晶體中的電子：晶體中的電子：202220220)(21)(21)()0()(kdkEdkdkEdkdkdEEkEkkk自由電子的能量：自由電子的能量：mkmpmmvmvE22)(2)(2122222mkdkdE2mdkEd222mdkEd112222022)(21)0()(kdkEdEkEk*222022*2222)(21)0(

20、)(11mkkdkEdEkEmdkEdk則令m m為電子的有效質(zhì)量為電子的有效質(zhì)量*2220222)(21)0()(mkkdkEdEkEk由3.2 3.2 固體中電的傳導固體中電的傳導3.2.3 3.2.3 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量(1)(1)位于能帶底的電子，位于能帶底的電子，(0)(0)為導帶底的能量為導帶底的能量 (k)E(0),(k)E(0),電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量m mn n00(2)(2)位于能帶頂電子，位于能帶頂電子，(0)(0)為導帶底的能量為導帶底的能量 (k)E(0),(k)E(0),電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量m mn n00KT0KT=0KT=0K時，時，13

21、13個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。示意圖。費米分布函數(shù)和費米能級費米分布函數(shù)和費米能級（3.53.5統(tǒng)計力學）統(tǒng)計力學）%3 .99993. 0)(5%7 . 0007. 0)(5.00ET，kEEET，kEEegFF當當因此，在溫度不很高時，能量大于費米能級的量子態(tài)基本沒有被電子占據(jù)，因此，在溫度不很高時，能量大于費米能級的量子態(tài)基本沒有被電子占據(jù)，而能量小于費米能級的量子態(tài)基本上為電子所占據(jù)；而電子占據(jù)費米能級而能量小于費米能級的量子態(tài)基本上為電子所占據(jù)；而電子占據(jù)費米能級的幾率在各種溫度下總是的幾率在各種溫度下總是/2./2.費米能級標志

22、了電子填充能級的水平，比費米能級標志了電子填充能級的水平，比E EF F高的量子態(tài)，基本為空，而高的量子態(tài)，基本為空，而比比E EF F底的量子態(tài)基本上全被電子所占滿底的量子態(tài)基本上全被電子所占滿. .這樣費米能級這樣費米能級E EF F就成為量子態(tài)是否就成為量子態(tài)是否被電子占據(jù)的分界線：被電子占據(jù)的分界線：1) 1) 能量高于費米能級的量子態(tài)基本是空的；能量高于費米能級的量子態(tài)基本是空的；2) 2) 能量低于費米能級的量子態(tài)基本是滿的；能量低于費米能級的量子態(tài)基本是滿的；3) 3) 能量等于費米能級的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是能量等于費米能級的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是50%50%。4 4）費米能級越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子）費米能級越高，說明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子. .費米分布函數(shù)和費米能級費米分布函數(shù)和費米能級（3.53.5統(tǒng)計力學）統(tǒng)計力學）。EEf，EEf概率概率即能態(tài)為空即能態(tài)為空的能級不被電子占據(jù)的能級不被電子占據(jù)表示能量為表示能量為而而率率的能級被電子占據(jù)的概的能級被電子占據(jù)的概表示能量為表示能量為)()(1)(E EF F以上以上dEdE距離處被電子占據(jù)的概率與距離處被電子占據(jù)的概率與E EF F以下以下dEdE距離空狀態(tài)的概率。距離空狀態(tài)的概率。玻耳茲曼分布