開放性問題專題復(fù)習(xí)

1、開放性問題開放性問題 數(shù)學(xué)開放題是指那些數(shù)學(xué)開放題是指那些條件不完整條件不完整，結(jié)論結(jié)論不確定不確定，解法不限制解法不限制的數(shù)學(xué)問題。的數(shù)學(xué)問題。在近些年中在近些年中考題中屢見不鮮，它內(nèi)容新穎，形式活潑，具有背考題中屢見不鮮，它內(nèi)容新穎，形式活潑，具有背景新，解法活，綜合性強，無現(xiàn)成模式的特點。景新，解法活，綜合性強，無現(xiàn)成模式的特點。它的顯著特點：正確答案它的顯著特點：正確答案不唯一不唯一。題型：題型：條件開放題，即問題的條件不完條件開放題，即問題的條件不完備或者滿足結(jié)論的條件不唯一，題目備或者滿足結(jié)論的條件不唯一，題目給出問題的結(jié)論，讓我們給出問題的結(jié)論，讓我們?nèi)シ治鎏剿魇菇Y(jié)論成立應(yīng)去分析

2、探索使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件。具備的條件。例例1： 如圖，如圖，ABDB,12，請?zhí)砑右粋€條，請?zhí)砑右粋€條件：件： ，使得，使得ABC DBE，并證明你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論ADCBE12BC=BE 或或A=D或或C=E思考：思考：能添加條件：能添加條件：DE=AC嗎？嗎？為什么？為什么？變式：變式：如圖，如圖，12，請?zhí)砑右粋€條件：，請?zhí)砑右粋€條件： ，使得，使得ABCDBECABDEO例例2，如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，BC交交 O于點于點D，DEAC于點于點E，要使要使DE是是 O的切線，那么題中的切線，那么題中還應(yīng)滿足的條件為還應(yīng)滿足的條件為 _（只要寫一個條件）（只要寫一個

3、條件）BC（或（或ABABACAC） 填寫條件時，所填條件應(yīng)符合題填寫條件時，所填條件應(yīng)符合題意或相關(guān)的概念、性質(zhì)、定理意或相關(guān)的概念、性質(zhì)、定理. .變式一：變式一：若將上題中的結(jié)論若將上題中的結(jié)論“DE是是 O的切線的切線”改為改為“點點D是是BC的中點的中點”，則題中還需補充的條件，則題中還需補充的條件為為_ 變式二：變式二：在上題結(jié)論成立的前提下，若在上題結(jié)論成立的前提下，若AB8cm，要使要使AE2cm，則還應(yīng)添加的條件是，則還應(yīng)添加的條件是_如何解答條件開放性試題？從題目給出的結(jié)論出從題目給出的結(jié)論出發(fā)，發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一設(shè)想出合乎要求的一些條件，將之逐一列出，些條件，將之逐一

4、列出，并對之進(jìn)行邏輯證明，并對之進(jìn)行邏輯證明，從從而尋找滿足結(jié)論的條件。而尋找滿足結(jié)論的條件。1 1、（、（中考作業(yè)本中考作業(yè)本P P2282283 3）在四邊形）在四邊形ABCDABCD中，對中，對角線角線ACAC、BDBD交于點交于點O O，從，從 ABABCDCD； ABABCDCD ；OAOAOCOC；OBOBODOD； ACACBDBD ；ACAC平分平分BADBAD這六個這六個條件中，選取三個推出四邊形條件中，選取三個推出四邊形ABCDABCD是菱形如是菱形如 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形，再寫出符合要求的兩個：是菱形，再寫出符合要求的兩個：_四邊形四邊形ABCDABCD是菱

5、形；是菱形；_ _ 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .O OD DC CB BA A2 2、如圖，直線、如圖，直線ABAB、CDCD相交于點相交于點O O，AOC30，半徑為，半徑為1cm的的 P的圓心在射線的圓心在射線OA上，開始時，上，開始時，OP6cm.如果如果 P以以1cm的速度沿由的速度沿由A向向B的方向移動，那么當(dāng)?shù)姆较蛞苿?，那么?dāng) P的運動時間的運動時間t（s）滿）滿足條件足條件_時，時， P與直線與直線CD相交相交O OP PB BD DC CA AEFGH（或）（或）變式：變式：當(dāng)當(dāng)t滿足條件滿足條件_時，時， P與直線與直線AB、CD有三個交點有三個交點4t8t

6、4或或5或或7或或8要細(xì)心噢！要細(xì)心噢！結(jié)論開放題，即在給定的條件下，結(jié)論不唯結(jié)論開放題，即在給定的條件下，結(jié)論不唯一，題目給出條件，讓我們根據(jù)條件探索相應(yīng)的一，題目給出條件，讓我們根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，這類題符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，結(jié)論，這類題符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性存在性” ” 需要我們進(jìn)行推需要我們進(jìn)行推斷斷例例3：如圖，：如圖， O是等腰三角形是等腰三角形ABC的外接圓，的外接圓，AD、AE分別是分別是BAC及其鄰補角的平分線，及其鄰補角的平分線，AD交交 O于點于點D，交，交BC于點于點F，由這些條件（不再連結(jié)其它線段）請，由這些

7、條件（不再連結(jié)其它線段）請直接寫出正確的結(jié)論（除直接寫出正確的結(jié)論（除ABAC外至少外至少寫寫5種不同的結(jié)論）種不同的結(jié)論）O OF FE ED DC CB BA AB=C , BF=CF, BD=CD, ADBC, ADAE, AEBC,AD是是 O的直徑，的直徑，AE是是O O的切線的切線思考：思考：過點過點C C作作CGAECGAE，則當(dāng)，則當(dāng)ABCABC滿滿足什么條件時，四邊形足什么條件時，四邊形AFCGAFCG是一個正方形？是一個正方形？G此題的特點是：由題目的條件可導(dǎo)出此題的特點是：由題目的條件可導(dǎo)出多種結(jié)論，要求你寫出其中的一個或多種結(jié)論，要求你寫出其中的一個或幾個敘述清楚，并能

8、證明幾個敘述清楚，并能證明例例4：如圖，：如圖， O的直徑的直徑AB6cm，P是是AB延長線延長線上的一點，過點上的一點，過點P作作 O的切線，切點為的切線，切點為C，連結(jié)，連結(jié)AC（1）若）若CPA30，求，求PC的長；的長；（2）若點）若點P在在AB的延長線上運動，的延長線上運動， CPA的平分的平分線交線交AC于點于點M，你認(rèn)為，你認(rèn)為CMP的大小是否發(fā)生變化？的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出若變化，請說明理由；若不變，求出CMP的值的值O OP PMC CB BA A解：連結(jié)解：連結(jié)OC，PC是是 O的切線，的切線，OCP90，在在RtOCP中中CPO30，OCta

9、nCPOPC，OCPCOCtan30 3，OCAB13cm，2PC3 3O OP PMC CB BA A（2） CMP的大小不改變理由如下：的大小不改變理由如下： 在在ACP中中AACOAPMCPM 180OCP OCP90 AACOAPMCPM1809090 OA=OC，PM平分平分CPA， AACO， APMCPM2A2APM90， 即即AAPM45，又又CMP是是AMP的外角，的外角， CMP AAPM45， CMP 45是定值，是定值，即即 CMP的大小不改變的大小不改變 此題結(jié)論雖開放，但此題結(jié)論雖開放，但結(jié)論指向比較明確，只是結(jié)論指向比較明確，只是要求判斷真?zhèn)位虼嬖诘囊笈袛嗾鎮(zhèn)位?/p>

10、存在的可能性可能性解決結(jié)論開放題的方法是：解決結(jié)論開放題的方法是：從所給條件出發(fā)，進(jìn)行探索、歸從所給條件出發(fā)，進(jìn)行探索、歸納、猜想，然后對結(jié)論進(jìn)行證明，納、猜想，然后對結(jié)論進(jìn)行證明，從而得到滿足條件的結(jié)論從而得到滿足條件的結(jié)論1、 （中考作業(yè)本中考作業(yè)本P2282）若某函數(shù)的圖像經(jīng)過點）若某函數(shù)的圖像經(jīng)過點（1，2），則該函數(shù)的表達(dá)式可能是），則該函數(shù)的表達(dá)式可能是_（寫出一（寫出一個即可）個即可）2、 （中考作業(yè)本中考作業(yè)本P23211）如圖所示，用三個全等）如圖所示，用三個全等的菱形的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四邊形拼成平行四邊形ADEH，連結(jié)，連結(jié)AE與與BG、CF分別交于

11、點分別交于點P、Q若若AB6，求線段，求線段BP的長；的長；觀察圖形，是否有三角形與觀察圖形，是否有三角形與ACQ全等？并證明你的結(jié)全等？并證明你的結(jié)論論QPHGFEDCBA各班級分?jǐn)?shù)段人數(shù)分布情況各班級分?jǐn)?shù)段人數(shù)分布情況三、策略開放型三、策略開放型例例5、有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用、有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為面積相等的兩部分（不寫作一條直線將其分為面積相等的兩部分（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）。法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）。 策略開放題，一般是策略開放題，一般是指解題方法不唯一或解題指解題方法不唯一或解題路徑不明確的問題。路徑不明確的問題?！?/p>

12、行家”看“門道” 等分面積可采用分割等分面積可采用分割和填補的思想。和填補的思想。1、如圖，在菱形、如圖，在菱形ABCD中，中， A=72，請設(shè)計三種，請設(shè)計三種不同的分法，將菱形不同的分法，將菱形ABCD分割成四個三角形，且使得每分割成四個三角形，且使得每個三角形都是等腰三角形個三角形都是等腰三角形想一想 解題后的歸納 從 練習(xí) 中 悟 方 法D DC CB BA AA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD D方案設(shè)計問題方案設(shè)計問題應(yīng)結(jié)合題意，應(yīng)結(jié)合題意，依據(jù)定義定理依據(jù)定義定理分析分析2、在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強用兩條直線、在一次

13、數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強用兩條直線把平行四邊形把平行四邊形ABCD分割成四個部分，使含有一組對頂分割成四個部分，使含有一組對頂角的兩個圖形全等角的兩個圖形全等根據(jù)小強的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割根據(jù)小強的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有成滿足以上全等關(guān)系的直線有_組；組；請在下圖中的三個平行四邊形中畫出滿足小強分請在下圖中的三個平行四邊形中畫出滿足小強分割方法的直線；割方法的直線；由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的這兩條直線由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的這兩條直線有什么規(guī)律？有什么規(guī)律？無數(shù)無數(shù)A AB BC CD DA AB BC CD DD DC CB BA

14、 A經(jīng)過對角線交點（或經(jīng)過對稱中心）經(jīng)過對角線交點（或經(jīng)過對稱中心）綜合性開放題，即題目的條件，結(jié)論或解題的策綜合性開放題，即題目的條件，結(jié)論或解題的策略都具有開放性，題目會給出一定的要求，但所求的略都具有開放性，題目會給出一定的要求，但所求的結(jié)論的具體形式并未提出具體明確的要求結(jié)論的具體形式并未提出具體明確的要求例：填空：如圖，在正方形例：填空：如圖，在正方形PQRS中已知點中已知點M、N分別分別在邊在邊QR、RS上，且上，且QMRN，連結(jié)，連結(jié)PN、SM相交于點相交于點O，則，則POM_度度如圖，在等腰梯形如圖，在等腰梯形ABCD中，已知中，已知ABCD，BCCD，ABC60以此為部分條件

15、，構(gòu)造一個與上述命題類似的以此為部分條件，構(gòu)造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明正確命題并加以證明圖圖O ON NR RMQ QP PS S圖圖D DC CB BA A90四、綜合開放型四、綜合開放型構(gòu)造的命題：已知等腰梯形構(gòu)造的命題：已知等腰梯形ABCD中，已知中，已知ABCD，BCCD，ABC60，若點，若點E、F分別在分別在BC、CD上，上，且且BECF，連結(jié)，連結(jié)AF、DE相交于相交于G，則，則AGE120證：由已知，在等腰梯形證：由已知，在等腰梯形ABCD中，中，ABCD，BCDA，ABC60，解：解：圖圖D DC CB BA AEFG ADC C120， BCCD， BECF，

16、CEDF,在在DCE和和ADF中，中， DCE ADF，CDEDAF,DCADCADF 120CEDF，,，又又DAFAFD180ADC60，CDE AFD60，AGEDGF180（ CDE AFD）18060120歸納：歸納：綜合性開放題在解決時往往通綜合性開放題在解決時往往通過逆向思維，先寫出一些符合題意的過逆向思維，先寫出一些符合題意的基本式子或方程，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)基本式子或方程，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，模擬加以解決練習(xí)這樣的行分析，模擬加以解決練習(xí)這樣的試題可多思考、多創(chuàng)新試題可多思考、多創(chuàng)新本題沒有確定的條件，沒有固定本題沒有確定的條件，沒有固定的結(jié)論，屬綜合開放性試題，但本題的結(jié)

17、論，屬綜合開放性試題，但本題已給出了構(gòu)造命題的要求這樣的試已給出了構(gòu)造命題的要求這樣的試題，雖留給我們自由發(fā)揮的空間，但題，雖留給我們自由發(fā)揮的空間，但考試時則不必標(biāo)新立異考試時則不必標(biāo)新立異做一做做一做，編編寫寫應(yīng)應(yīng)題題題題組組為為3 3、一一道道用用，使使得得根根據(jù)據(jù)意意列列出出的的方方程程x + y = 85x + 3y = 34,1 1、寫出一個二項式，再把它分解因式（要求：二項式含有、寫出一個二項式，再把它分解因式（要求：二項式含有字母字母a a和和b,b,系數(shù)和次數(shù)不限系數(shù)和次數(shù)不限, ,并能先用提取公因式并能先用提取公因式, ,再用公式法分解再用公式法分解) )2 2、有一道習(xí)題，其中一部分文字是這樣的已知，二次函數(shù)、有一道習(xí)題，其中一部分文字是這樣的已知，二次函數(shù)y=axy=ax +bx+c+bx+c的圖像經(jīng)過的圖像經(jīng)過A A（c c，0 0） ，求證這個二次函數(shù)的圖像，求證這個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線關(guān)于直線x=2x=2對稱（其中省略的部分是被黑水污染了而無法辨認(rèn)對稱（其中省略的部分是被黑水污染了而無法辨認(rèn)的文字）的文字）（1 1）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你認(rèn)為題中的二次函數(shù)的解析式可能）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你認(rèn)為題中的二次函數(shù)的