定積分及其應(yīng)用

1、第五章定積分及其應(yīng)用第五章定積分及其應(yīng)用第六節(jié)無限區(qū)間上的廣義積分第六節(jié)無限區(qū)間上的廣義積分在定積分中，在定積分中， 積分區(qū)間積分區(qū)間 a, b 是有限的，且被是有限的，且被積函數(shù)積函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上是連續(xù)的，上是連續(xù)的， 即被積函即被積函數(shù)是區(qū)間數(shù)是區(qū)間 a, b 上的有界積分，上的有界積分， 或者積分區(qū)間雖有限，而被積函數(shù)在積分區(qū)或者積分區(qū)間雖有限，而被積函數(shù)在積分區(qū)間出現(xiàn)了無窮間斷點(diǎn)的情況，間出現(xiàn)了無窮間斷點(diǎn)的情況， 它們都不屬于常義它們都不屬于常義積分的范圍，積分的范圍，在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到積分區(qū)間為無限在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到積分區(qū)間為無限的，的， 這種積分

2、稱為通這種積分稱為通常意義下的積分，簡(jiǎn)稱常意義下的積分，簡(jiǎn)稱 常義積分常義積分這兩類積分，稱為這兩類積分，稱為 廣義積分廣義積分一、無窮區(qū)間上的廣義積分一、無窮區(qū)間上的廣義積分這是一個(gè)開口曲邊梯形，這是一個(gè)開口曲邊梯形， 不是封閉的曲邊梯形，不是封閉的曲邊梯形，不能用定積分來計(jì)算它的面積不能用定積分來計(jì)算它的面積 解解任取大于任取大于1的數(shù)的數(shù) b，于是在區(qū)間于是在區(qū)間1, b上所圍成上所圍成的曲邊梯形的面積為的曲邊梯形的面積為.111d1112bxxxbb 例例 求由曲線求由曲線 ，x 軸及直線軸及直線 x=1 所圍成所圍成“開口曲邊梯形開口曲邊梯形”的面積的面積. 21xy xoy21yx

3、1b1)11 (limd1lim12bxxAbbb即即當(dāng)當(dāng) b + + 時(shí)時(shí)，陰影部分曲邊梯形面積的極限就，陰影部分曲邊梯形面積的極限就是開口曲邊梯形面積，是開口曲邊梯形面積，yox21yx1定義定義 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, + + ) )上連續(xù)上連續(xù)， 取實(shí)取實(shí)數(shù)數(shù) b a，如果極限如果極限 babxxfd)(lim 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間 a, + + ) ) 上的廣義積分上的廣義積分，.d)(limd)( babaxxfxxf這時(shí)也稱這時(shí)也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，,d)( axxf記作記作即即存在存在，否則稱否則稱廣義積分發(fā)

4、散廣義積分發(fā)散定義定義 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (-(- , b 上連續(xù)上連續(xù)， 取 實(shí)取 實(shí)數(shù)數(shù) a b，如果極限如果極限 baaxxfd)(lim 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間(-(- , b 上的廣義積分上的廣義積分，xxfxxfbbaad)(limd)( 這時(shí)也稱這時(shí)也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，,d)( bxxf記作記作即即存在存在，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散定義定義 3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)，且且對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) c，如果廣義積分如果廣義積分xxfxxfccd )(

5、d)( 與與 則稱上面兩個(gè)廣義函數(shù)積分之和為則稱上面兩個(gè)廣義函數(shù)積分之和為 f (x) 在無在無窮區(qū)間窮區(qū)間 (- - , + + ) 內(nèi)的廣義積分內(nèi)的廣義積分，,d)(d)(d)( ccxxfxxfxxf這時(shí)也稱這時(shí)也稱廣義積分收斂廣義積分收斂，,d)( xxf記作記作即即都收斂都收斂，否則稱否則稱廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散.若若 F(x) 是是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，并記的一個(gè)原函數(shù)，并記),(lim)(xFFx ).(lim)(xFFx 則定義則定義 1，2，3 中的廣義積分可表示為中的廣義積分可表示為 axxfd)( axF)(，)()(aFF bxxfd)(bxF )(，)()(

6、FbF xxfd)( )(xF. )()( FF.d0 xex例例 1計(jì)算計(jì)算xexd0)(d0 xex. 10 xe例例 2求求.d112xx解解xxd11202021d1dxxxx.2)2( 00arctanarctanxx例例 3計(jì)算計(jì)算.de0 xxx 解解用分部積分法，得用分部積分法，得 0dexxxxxde0 00deexxxx. 1e0 xxxxxxx elimelim其其中中, 0e1lim xx. 0e0 xx即即例例 4證明反常積分證明反常積分 1,d1xxp 當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，收斂；當(dāng)收斂；當(dāng) p 1 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散 .證證 p = 1 時(shí)，則時(shí)，則 11lndxx

7、x所以該廣義積分發(fā)散所以該廣義積分發(fā)散. 11111dppxpxx . 1, 1,11ppp當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，綜合上述，綜合上述，該廣義積分收斂該廣義積分收斂. 當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)，該廣義積分發(fā)散該廣義積分發(fā)散. p 1 時(shí)，則時(shí)，則二、無界函數(shù)的積分二、無界函數(shù)的積分解解 任取一個(gè)數(shù)任取一個(gè)數(shù),0 0 ， 如果極限如果極限xxfbad )(lim0 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 ( (a, b 上上的積分，的積分，.d )(limd )(0 xxfxxfbaba 這時(shí)也稱廣義這時(shí)也稱廣義積分收斂積分收斂，否則稱廣義否則稱廣義積分發(fā)散積分發(fā)散,)

8、(lim xfax且且,d )(xxfba 記作記作即即存在，存在，定義定義 5設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上連續(xù)上連續(xù)，取取 0 ， 如果極限如果極限.d)(lim0 xxfba 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b) 上上的積分的積分.xxfxxfbabad)(limd)(0 這時(shí)也稱這時(shí)也稱積分收斂積分收斂，否則稱否則稱積分發(fā)散積分發(fā)散,)(lim xfbx且且，xxfbad )( 記作記作即即存在存在，定義定義 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, b 上除點(diǎn)上除點(diǎn) c (a, b) 外連續(xù)外連續(xù)，,)(lim xfcx且且

9、如果下面兩個(gè)積分如果下面兩個(gè)積分xxfxxfbccad)(d)( 與與 則稱這兩個(gè)積分之和為函數(shù)則稱這兩個(gè)積分之和為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的積分上的積分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba 這時(shí)也稱這時(shí)也稱積分收斂積分收斂，否則，稱否則，稱積分發(fā)散積分發(fā)散,d )(xxfba 記作記作即即都收斂都收斂，若若 F(x) 是是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，并并記記)(lim)(xFaFax ).(lim)(xFbFbx )(lim)(xFcFcx ).(lim)(xFcFcx 或或則定義則定義 4，5，6 中的積分可表示為中的積分可表示為xxfba

10、d)( ).()()(aFbFxFba xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)( bccaxFxF )()().()()()( cFbFaFcFxxfbad)( ).()()(aFbFxFba例例 6 6計(jì)算計(jì)算. )0(d022aaxax解解 所以積分是所以積分是反常積分，于是反常積分，于是.202arcsin0aaxaxax022d,1lim22xaax因?yàn)?2arcsinlimaxax其中例例 7 7討論討論.d10 的的收收斂斂性性pxx解解當(dāng)當(dāng) p = 1 時(shí)，時(shí)，則則.lnd11010 xxx故積分發(fā)散故積分發(fā)散.當(dāng)當(dāng) p 1 時(shí)，時(shí)， 10dpxx .1,1,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)散發(fā)散時(shí)