如果可以將一個實際問題用函數(shù)來描述

1、 第二章第二章 插值法插值法 引論引論 如果可以將一個實際問題用函數(shù)來描述，如果可以將一個實際問題用函數(shù)來描述，那么對這個函數(shù)性質(zhì)以及運算規(guī)律的研究，就是對那么對這個函數(shù)性質(zhì)以及運算規(guī)律的研究，就是對這一實際問題的某些內(nèi)在規(guī)律的理性揭示。這一實際問題的某些內(nèi)在規(guī)律的理性揭示。 在工程實踐和科學實驗中，經(jīng)常需要建立函數(shù)在工程實踐和科學實驗中，經(jīng)常需要建立函數(shù)關系，即關系，即y=f(x)y=f(x)。雖然從原則上說，它在某個區(qū)間。雖然從原則上說，它在某個區(qū)間 a,ba,b 上是存在的，但通常只能觀測到它的部分信息，上是存在的，但通常只能觀測到它的部分信息，即只能獲取即只能獲取 a,ba,b 上一系

2、列離散點上的值，這些值構上一系列離散點上的值，這些值構成了觀測數(shù)據(jù)。這就是說，我們只知道的一張觀測成了觀測數(shù)據(jù)。這就是說，我們只知道的一張觀測數(shù)據(jù)表，數(shù)據(jù)表，而不知道函數(shù)在其他點而不知道函數(shù)在其他點x x上的取值，這時只能用一上的取值，這時只能用一個經(jīng)驗函數(shù)個經(jīng)驗函數(shù)y=g(x)對真實函數(shù)對真實函數(shù)y=f(x)作近似。作近似。 xi x1 x2 xnf(xi)f(x1)f(x2)f(xn)已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表 下面兩種辦法常用來確定經(jīng)驗函數(shù)下面兩種辦法常用來確定經(jīng)驗函數(shù)y=g(x)（1）插值法）插值法 （2）擬合法）擬合法 根據(jù)問題的不同，有時要用插值技術來解決，根據(jù)問題的不同，有時要用插值技

3、術來解決，有時則應該采用擬合的方法才合理。有時則應該采用擬合的方法才合理。 （1）插值法的基本思想）插值法的基本思想求一個經(jīng)驗函數(shù)求一個經(jīng)驗函數(shù)y=g(x)，使，使g(xi)=f(xi), i=1,n. xi x1 x2 xnf(xi)f(x1) f(x2) f(xn)插值的任務插值的任務就是由已知的觀測點就是由已知的觀測點(xi,yi)為物理量為物理量(未未知量知量),建立一個簡單的、連續(xù)的解析模型建立一個簡單的、連續(xù)的解析模型g(x) ，以，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性。oxy y0 x1 x2 xn y1 y2 yn x0y=

4、f(x)g(x)插值法插值法:由實驗或測量的方法得到所求函數(shù)由實驗或測量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在在互異點互異點x0 , x1, . , xn 處的值處的值 y0 , y1 , , yn ,構造一個簡單函數(shù)構造一個簡單函數(shù) F(x) 作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達的近似表達式式y(tǒng)= f(x) F(x)使使 F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F(xn)=yn ,(a)這類問題稱為這類問題稱為插值問題插值問題。 f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)，F(xiàn)(x) 稱為稱為插值函數(shù)插值函數(shù)， x0 , x1, . , xn 稱為稱為插值節(jié)點插值節(jié)點。(a)式稱為式稱

5、為插值條件插值條件。第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)插值的基本問函數(shù)插值的基本問題題插值函數(shù)的類型插值函數(shù)的類型 ( )( )( )ixF xcx n ni ii=0i=0n ni ii=0i=0在在函函數(shù)數(shù)類類 中中，選選取取若若干干個個函函數(shù)數(shù)，以以作作為為插插值值函函數(shù)數(shù)。 21110( )1, ,( )( )nnnnnspanxspanx xxF xP xa xaxa xa n ni ii=0i=0n n取取= =，插插代代值值函函數(shù)數(shù)為為= =數(shù)數(shù)插插值值： ( )sin ,cos ,sin2 ,cos2 ,sin,cosspanxspanxxxxnxnx n ni ii=0i=0取取三三：= =

6、角角插插值值 sin ,cos,( )sincosspanxxF xaxbx 例例取?。?( ),( )( )ispanxF xcx n nn niiiii=0i=0i=0i=0即即： ( )sin1, ,sin,F xabxcxspanxx 例例：( )( )( )P xF xQxm mn n有有理理插插值值：= =2012230123( )aa xa xF xbb xb xb x 例例：( )( )iF xcx n ni ii=0i=0一一般般地地： 當插值函數(shù)是代數(shù)多項式時，插值問題稱為當插值函數(shù)是代數(shù)多項式時，插值問題稱為代代數(shù)插值數(shù)插值。代數(shù)插值定理定理1 設設x0 ,x1,xn 是

7、是n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點,函數(shù)函數(shù)f(x)在這在這組節(jié)點的值組節(jié)點的值yk=f(xk)(k=0,1,n)是給定的，那么存在是給定的，那么存在唯一的唯一的次數(shù)次數(shù)n n的的多項式多項式Pn (x)滿足滿足 Pn (xk)= yk, k=0,1,n。 設設 Pn(x)=a0+a1x+anxn, .(1)n次代數(shù)插值問題為次代數(shù)插值問題為:求次數(shù)求次數(shù)n的多項式的多項式Pn(x),使使?jié)M足插值條件滿足插值條件 Pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可由插值條件由插值條件(2)(2)知知Pn(x)的系數(shù)滿足下列的系數(shù)

8、滿足下列n+1個代數(shù)方程構成的線性方程組個代數(shù)方程構成的線性方程組 a0+a1x0+ a2x02 + +anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + +anx1n=y1 . a0+a1xn+ a2xn2 + +anxnn=yn 證明證明ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式行列式2n0002n111101n102nnnn1.1.V(,)()(4).1.niijijxxxxxxxxxxxxxx (3) 由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方右端不為零，從而方程組程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。存在且唯一。2

9、n0002n111101n102nnnn1.1.V(,)()(4).1.niijijxxxxxxxxxxxxxx 但遺憾的是但遺憾的是方程組方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,階數(shù)階數(shù)n越高，越高，病態(tài)越嚴重病態(tài)越嚴重。為此我們從另一途徑尋求獲得。為此我們從另一途徑尋求獲得Pn(x) 的的方法方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。（這兩種方法插值。（這兩種方法稱為基函數(shù)法）稱為基函數(shù)法）證畢證畢插值誤差估計插值誤差估計0( )( )( )( )( )njjjR xf xF xf xcx 第二節(jié)第二節(jié) LagrangeLagrange插值插值線性插值線性插值(n=1) 求次數(shù)求次

10、數(shù)1 1 的多項式的多項式L1(x).滿足條件滿足條件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,1010010011010110( )()( )yyL xyxxxxxxxxL xyyxxxx 點點斜斜式式對對稱稱式式y(tǒng)=f(x)y=L1(x)x0 x1xy0101( )( ),lxlxxx稱稱和和為為以以為為節(jié)節(jié)點點的的插插值值基基函函數(shù)數(shù)01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 記記10011( )( )( )L xlx ylx y00011011()1()0()0()1lxlxlxlx011010110( )xxxxL xyyxxxx 令令 L2(x)=l0(x)y0 +

11、 l1(x)y1 + l2(x)y2要求要求 l0(x)，l1(x)，l2(x)是二次多項式，且滿足是二次多項式，且滿足l0 (x0)=1 , l0 (x1)=0 , l0 (x2)=0 , l1 (x0)=0 , l1 (x1)=1 , l1 (x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .二次插值二次插值 (n=2) 求次數(shù)求次數(shù)2 2 的多項式的多項式L2(x), , 使其滿足條件使其滿足條件 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2l0 (x)含有含有 x-x1 , x-x2 兩個因子，令兩個因子，令 l0 (x)=(x-x1

12、)(x-x2) 利用利用 l0 (x0)=1 確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)，得到：，得到：類似的可以得到類似的可以得到 l1(x), l2(x)0211012()()( )()()xxxxl xxxxx 0122021()()( )()()xxxxlxxxxx l0(x) , l1(x) , l2(x) 稱為以稱為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點的為節(jié)點的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。0212201012200110120122)( )()()(xxxxxxxxL xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx 1200102()()()()()xxxxlxxxxx 0,()1,jiijxlij 0110

13、,011() ()() ()( )() ()() ()njjnijiijjjjjjjnjix xx xx xx xxxl xxxxxxxxxxx 令令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求求n 次多項式次多項式 lj(x) ,(j=0,1,n)使其滿足條件使其滿足條件n 次插值多項式次插值多項式 :求次數(shù)求次數(shù)n的多項式的多項式Ln(x), 使其滿足使其滿足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , . , Ln(xn)=yn .(7)容易求得容易求得lj(x)(j=0,1,n)稱為以稱為以x0 , x1,. , xn為節(jié)點的為節(jié)點的Lagrange插

14、值基函數(shù)插值基函數(shù)。0001110011100( )( )( )( )( )()().()().()()().()().()()njjnjjnnjjjnjjnjjjjjjjjnnnijijjiijxxxLyllxx ylLxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxjxxyxx 將將代代入入得得 .(9)公式（公式（9）就是）就是n次次Lagrange插值多項式插值多項式.特點：構造容易，特點：構造容易，L-型插值基函數(shù)理論上有意義，型插值基函數(shù)理論上有意義， 但增加節(jié)點要重新計算，不適合編程計算。但增加節(jié)點要重新計算，不適合編程計算。實際應用：只用低次插值。實際應用：只用低次插值。定理定理2:

15、設設Ln(x)是過點是過點x0 ，x1 ，x2 ，xn的的f(x)的的n 次插值多項式，次插值多項式，f(x) Cn+1a,b ，其中，其中a，b是是包含點包含點x0 ，x1 ，x2 ，,xn的區(qū)間，則對任意給定的的區(qū)間，則對任意給定的x a，b，總存在一點，總存在一點 （a，b）（依賴于）（依賴于x）使）使(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnR xf xL xxnf 101( )()().()nnxxxxxxx Lagrange插值的截斷誤差插值的截斷誤差(10)其中其中羅爾定理羅爾定理 設設f(x)在在a,b內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且有內(nèi)可導，且有f(a)=

16、f(b)；則在；則在(a,b)內(nèi)一定存在一點內(nèi)一定存在一點，使得，使得f()=0。證明證明: 顯然顯然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 , i=0,1,n,現(xiàn)在任意固定一點現(xiàn)在任意固定一點 x a,b, xxi (i=0,1,n),設設Rn(x)=K(x) n+1(x), 引進輔助函數(shù)引進輔助函數(shù) g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1(t), (*)則則g(t)在在a,b上具有上具有n+1階連續(xù)導數(shù)，在階連續(xù)導數(shù)，在 t= x0, x1, xn, x 諸點處函數(shù)值皆等于零。諸點處函數(shù)值皆等于零。即即g(t)在在a,b中有中有n+2個零點。個零點。由由羅爾定理羅爾定

17、理知知g(t)在在a,b中有中有n+1個零點。個零點。如此反復，最后可推知如此反復，最后可推知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1個零點個零點 ，即有，即有 g(n+1)( )=0, a 0 是步長。記是步長。記 fi=f(xi) (i=0,1,n)fi=fi+1-fi 稱為稱為f(x)在點在點xi處的一階向前差分。處的一階向前差分。nfi=n-1fi+1- n-1 fi稱為稱為f(x)在點在點xi處的處的n階向前差分。階向前差分。 規(guī)定規(guī)定 fi= 0fi 為為f(x)在點在點xi處的零階差分。處的零階差分。例例 f(x)=x2 , xi=i (i=1,2,n), 求求nf(xi),(i=

18、1,n-1) n3解：解：f(xi)=f(xi+1)-f(xi)=(i+1)2-i2=2i+1 2f(xi )= f(xi+1)- f(xi)=2(i+1)+1-(2i+1)=23f(xi )= 2f(xi+1)- 2f(xi )= 2-2=0nf(xi)=0 n3NewtonNewton差分插值（等距節(jié)點插值公式）差分插值（等距節(jié)點插值公式）定義定義3 (向后差分向后差分)設節(jié)點設節(jié)點 xi=x0+ih (i=0,1,n),其中其中h0 是步長。記是步長。記 fi=f(xi) (i=0,1,n)fi=fi - fi-1 稱為稱為f(x)在點在點xi處的一階向后差分。處的一階向后差分。nfi=

19、n-1fi -n-1 fi-1 稱為稱為f(x)在點在點xi處的處的n階向后差分。階向后差分。 規(guī)定規(guī)定 fi=0fi 為為f(x)在點在點xi處的零階差分。處的零階差分。解：解：f(xi)= f(xi)- f(xi-1)=i2-(i-1)2=2i-1例例 f(x)=x2 , xi=i (i=1,2,n), 求求 nf(xi),(i=1,n-1) n32f(xi)= f(xi) -f(xi-1)=2i-1-2(i-1)-1=23f(xi)= 2f(xi) -2f(xi-1)=2-2=0nf(xi)=0, n 3定義4 (中心差分)設節(jié)點 xi=x0+ih (i=0,1,n),其中h0 是步長。記 fi+1/2=f(xi+1/2) (i=0,1,n)fi=fi+1/2 - fi-1/2 稱為f(x)在點xi處的一階中心差分。 nfi= n-1 fi+1/2 - n-1 fi-1/2稱為f(x)在點xi處的n階中心差分。規(guī)定 fi= 0fi 為f(x)在點xi處的零階差分。NewtonNewton差分插值多項式NewtonNewton向前差分公式向前差分公式設：設：x0 x1xn-1x0 , xn-i=xn-ihNewtonNewton差商差商插值多