人工智能課件4

1、人工智能及其應用 第四章第四章 計算智能（模糊計算）計算智能（模糊計算） 目錄 概述概述 模糊變換與模糊集合模糊變換與模糊集合 模糊矩陣及模糊關系模糊矩陣及模糊關系 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 模糊判決方法模糊判決方法 模糊控制模糊控制一、概述一、概述 模糊數學是用數學方法研究和處理具有“模糊性模糊性”現象的數學。 “模糊性”主要是指客觀事物差異的中間過渡的“不分明性”，例如“高與矮”、“干凈與臟”、“美與丑”、“冷與熱”等等，都難以明確的劃定界限。 人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現象，但計算機對模糊現象識別能力較差。一、概述一、概述 為了提高計算機識別模糊現象的能力 需要把常用

2、的模糊語言設計成機器能接受的指令和機器能接受的指令和程序程序。 需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具模糊信息的數學工具，這就推動數學 家深入研究模糊數學。 模糊數學不是讓數學變成模糊的概念，其關鍵在于關鍵在于如何尋求適當的數學語言來描述事物的模糊性如何尋求適當的數學語言來描述事物的模糊性。1.1 隨機性與模糊性隨機性與模糊性 隨機性 在事物的出現與否上表現的不確定性 用在0，1上取值的概率分布函數表示，用統計數學研究隨機性事件 AI中，研究方法有： 主觀貝葉斯法： if EP(E) then (LS,LN) HP(H) 即在E為概率P(E)的條件下，具有一定充分性和必要性條件時推理得到H的

3、概率為P(H)。 可信度法：if E then H(CF(H,E)即由E推理得到H的可信度為CF(H,E)。1.1 隨機性與模糊性隨機性與模糊性 模糊性 被研究事件的概念本身是模糊的，這種由概念的模糊而形成的不確定稱為模糊性。 用在0，1上取值的隸屬函數說明模糊性。1.1 隨機性與模糊性隨機性與模糊性 結論 隨機性：對確定性事件作不充分的估計對確定性事件作不充分的估計-概率 模糊性：對不確定性事件作確定性程度的描對不確定性事件作確定性程度的描述述-隸屬函數例：明日氣溫是15的概率為0.1 明日是較暖和氣溫的可能性為0.1（隸屬函數） 電壓是220V的概率為0.95 電壓是合格的可能性為0.95

4、（隸屬函數）1.2 模糊數學起源模糊數學起源 Zadeh于1965后首次提出了模糊集合概念。 模糊子集：用經典數學處理模糊性現象的集合，采用0，1閉區(qū)間和映射的方法 確定性與模糊性的聯系分解定理 具有一定條件的確定性現象可以表現為模糊性具有一定條件的確定性現象可以表現為模糊性現象，或模糊性現象可以分解為確定性現象?，F象，或模糊性現象可以分解為確定性現象。1.2 模糊數學起源模糊數學起源 Zadeh的模糊子集論不是唯一地處理模糊性現象的數學方法，但它開創(chuàng)了應用經典數學處理模糊性問題的先河，并使模糊集合論及應用取得較大成果。它是應用經典數學方法處理一類最基本、簡單的模糊性現象的理論和方法。二、二、

5、 模糊變換與模糊集合模糊變換與模糊集合模糊變量事物的模糊性以知識表述，而知識又以數學的變量來說明事物本身的概念。模糊變量是指清晰變量的模糊化。例如“電壓U”是通常意義下的變量，而“較低電壓”則為一個模糊變量。用隸屬函數說明其模糊性。2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 經典集合：具有某種共同性質，彼此可以區(qū)別的事物的總體，具有確定性、互異性和無序性。 經典集合中，一個事物只能是屬于（是）或不屬于（假）某一集合，即XAAxAxxCA01)()(xCA為經典集合A的特征函數2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 模糊集合 集合界限模糊 非此即彼即此即彼 模糊集合定義設 是論域，稱映射 ，確定了一個

6、上的模糊子集 ，映射 稱為 的隸屬函數，它表示對 的隸屬程度。( ):0,1FxXUFFFX( )Fx2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 使 的點稱為 的過渡點，此點最具有模糊性。 當映射 只取1或0時，模糊子集 就是經典子集，而 就是它的特征函數，可見經典子集是模糊子集的特殊情形經典子集是模糊子集的特殊情形。F( )Fx( )0.5FxF( )Fx2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 如 為年齡，則 的范圍為0150，而 =年輕則是 的一個子集，而映射 表示論域 中每個元素對應“年輕”的隸屬程度。UUA( )AxUU2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 模糊集合的表達方式Zadeh表示法：

7、X為離散離散有限域 時，F表示為：,21nxxxniiiFnnFFFxxxxxxxxF12211)()()()(10, 3 , 2 , 1 X例：0 /10.1/ 20.3 / 30.7 / 41/ 51/ 60.7 / 70.4 / 80.1/ 90 /10F 幾個2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 序偶表示法：順序不能改變順序不能改變，即 向量表示法：順序不能改變，即順序不能改變，即)(,( ,),(,(),(,(2211nFnFFxxxxxxF(2,0.1),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.4),(9,0.1)F 幾個0 , 1 . 0

8、 , 4 . 0 , 7 . 0 , 1 , 1 , 7 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0 , 0 幾個F2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 X為連續(xù)連續(xù)有限域例：年齡*)(xxFF不表示積分，而表示論域X為連續(xù)域150, 0X15050/)505(1 500012xxxxF老年15030/)530(1 300112xxxxxF年輕2.1 模糊集合的定義模糊集合的定義 從上例中可看出：一個有限論域上可以對應無限無限個模糊子集，而經典子集是有限的；一個模糊子集的隸屬函數的確定方法是主觀主觀的。2.2 模糊集合的基本性質模糊集合的基本性質 關于模糊集合的幾個基本性質 臺（support）集

9、合（模糊支集） 子集F中， 的元素稱為臺 臺集合即是這些臺元素的集合。 如 的臺集合為1)(0 xF幾個Fsup2,3,4,5,6,7,8,9幾個2.2 模糊集合的基本性質模糊集合的基本性質 正則（normal）模糊集合 若有 則稱為正則模糊集合。 如 、 均為正則模糊集合。幾個F1)(maxxFXx年輕F2.2 模糊集合的基本性質模糊集合的基本性質 凸模糊集合 若有 ，則稱為凸模糊集合。)()()(),(min()(2121xxxxxFFFFF2.2 模糊集合的基本性質模糊集合的基本性質 單點模糊集合 若X中，F的臺集合僅為一個點，且該點的 ，則稱F為單點模糊集合。 核 臺集合的最大值對應區(qū)

10、1)(xF2.2 模糊集合關系及運算模糊集合關系及運算 相等相等：設有兩個模糊集全A和B， 當且僅記當它們的隸屬函數在論域上恒等，即 包含包含： 包含于 當且僅當對于論域 上AB,( )( )ABxXxx ABX,( )( )ABxXxx 2.2 模糊集運算模糊集運算 交集交集 并集并集 補集補集,()( )max( ),( )ABxXAB xxx ,()( )min( ),( )ABxXAB xxx ,( )1( )xX A xA x 2.2 模糊集運算模糊集運算 截（割）集及分解定理 截集 強截集的稱為水平集截集的稱為則稱為水平設AAxxAAAxxAxFAAA)()2)()() 1)( 1

11、0)(2.2 模糊集合運算模糊集合運算 截集性質AA 則BABA)(BABA)(2.2 模糊集合運算模糊集合運算 分解定理（分解原理） 聯系模糊集合與清晰集合的一個橋梁 若有模糊集 ， 是A的一個截集，則有下列分解式成立：AAA)(xFAXA或U為組合()( )1,( )0()AAxAxxxA當則也是論域X上的一個模糊子集。A2.2 模糊集合運算模糊集合運算例： ，并有,54321xxxxxX 4326 . 04324326 . 0/6 . 0/6 . 0/6 . 06 . 0/1/1/1,xxxAxxxxxxA,6 . 0;1432131xxx，Ax，A54321/3 . 0/7 . 0/1

12、/6 . 0/4 . 0 xxxxxA則利用分解定理，將截集組合還原為模糊集，以上例所得結果為例：2.2 模糊集合運算模糊集合運算10.70.60.40.333423412341234512310.70.60.40.310.70.70.60.60.6()()0.40.40.40.40.30.30.30.30.3()()0.30.40.30.40.60.30.40.60.710.30.40.6AAAAAAAxxxxxxxxxxxxxxxxxx 45123450.70.30.40.610.70.3xxxxxxx三、三、 模糊矩陣與模糊關系模糊矩陣與模糊關系 模糊關系 是模糊集合進入應用的重要基本概

13、念。 描述模糊集合的元素與元素之間或此集合與彼集合的元素關系。 當論域X為有限域時，用模糊矩陣表示模糊關系。 3.1 模糊矩陣模糊矩陣 一般定義一般定義：用矩陣形式來表示兩個模糊集合的元素之間或模糊集合中各元素之間的關系，此矩陣即為模糊矩陣。矩陣元素為 ，i為行，j為列。 1 , 0ijr3.1 模糊矩陣模糊矩陣 正規(guī)定義：正規(guī)定義： 當有模糊集合 ，有 ，則稱 為模糊矩陣。 為 對于關系r的隸屬度。 1 , 0ijr, 1, 1mjjniiyYxX),(jiRijyxr)(ijmnrR),(jiRyxjiyx ,3.1 模糊矩陣模糊矩陣 模糊矩陣的截矩陣設 ，對于任意 定義： ，則 稱為R的

14、截矩陣。 性質：當 對任意 ，有nmijrR)(ijijijrrr01 1 , 0mnijrR)(SR 1 , 0SR SRSRSRSR)(;)(3.1 模糊矩陣模糊矩陣例：18 . 03 . 05 . 0R則：11113 . 0R11015 . 0R11008 . 0R3.2 模糊關系模糊關系 概念設有集合 ，問：該集合中“小于”，“小得多”兩個關系。0000010000110001110011110小于000000.100000.30.10000.70.40.10010.80.50.20R小得多（清晰）（模糊）矩陣元素),(jiijijxxr5 , 4 , 3 , 2 , 1A3.2 模糊

15、關系模糊關系 模糊關系是普通關系的拓寬。例：身高 與體重的“正?！标P系R為：9585756555,45;200190180170160,150，B，A15 . 01 . 00005 . 015 . 000006 . 013 . 000006 . 012 . 00001 . 06 . 017 . 00001 . 07 . 01YXRcmX)200,150(kgY)95,45(3.2 模糊關系模糊關系 定義 模糊關系是兩個非空模糊集合X、Y的直積（叉乘）中的一個模糊子集。 設X和Y是兩個論域，模糊關系R是積空間 上的一個模糊集合，即當 的隸屬函數為 。X Y),(jiRijyxr,xX yYR的元

16、素表示： ix對 jy這一關系的隸屬度。如y比x大得多這一關系：0) 1 ,20(, 1)20, 1 (RR( , )Rx y3.2 模糊關系模糊關系 當用有限連續(xù)域表示時，模糊關系 y比x大得多（ ） x比y大致相同 y比x小得多xy )(0)()10(11),(2xyxyxyyxxyYXRYXyxyxR),/(),(2)(),(yxyxeyx)(0)()5(1, 1min(),(2xyxyyxyxxy3.3 模糊關系的合成模糊關系的合成 合成關系兩個模糊關系的合成構成一個新的模糊關系。如：普通關系合成：叔侄=（兄弟o父子），師生=（教師o學生）。 定義：設P是 上的一個模糊關系，Q是 上的

17、一個模糊關系。R與S是 上的兩個模糊關系。YX ZY ZX 3.3 模糊關系的合成模糊關系的合成合成關系有兩種定義1） 是P與Q的合成：2） 也是P與Q的合成：有：),(),(),(),(zyyxZXZXQPYyQPRQPQPQPRQPS),(),(),(),(zyyxZXZXQPYyQPS先小后大先大后小3.3 模糊關系的合成模糊關系的合成以上關系也可表述為：則：m likkjm likkjRP QpqSPQpq lmkjmnikqQpP;3.3 模糊關系的合成模糊關系的合成015 . 01 . 09 . 002 . 04 . 017 . 06 . 03 . 0P8 . 03 . 04 .

18、06 . 05 . 01 . 0Q(0.3 0.1)(0.6 0.6)(0.70.3)(0.3 0.5)(0.6 0.4)(0.70.8)(1 0.1)(0.4 0.6)(0.2 0.3)(1 0.5)(0.4 0.4)(0.2 0.8)(0 0.1)(0.9 0.6)(0.1 0.3)(0 0.5)(0.9 0.4)(0.1 0.8)(0.5 0.1)(1 0.6)(0 0.3)(0.5 0.R 5)(1 0.4)(0 0.8)0.6 0.70.40.50.6 0.40.60.55 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 05 . 03 . 0QPS3.4 模糊關系的性質模糊關

19、系的性質 自返性 對稱性 傳遞性 對比性四、模糊邏輯推理四、模糊邏輯推理 模糊集合論的應用（控制、辨識等）是基于“專家知識”采用語言規(guī)則（模糊邏輯語言）表示的一種人工智能。 模糊邏輯語言是表述模糊知識，而模糊知識的推理是指運用已掌握的（模糊）知識，找出其中蘊含的事實，或歸納出新的事實。這一過程通常就稱推理推理，而模糊知識的表述則建立在模糊邏輯概念上。4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 模糊邏輯語言 分類 自然語言：具有模糊性 形式語言：二值邏輯語言，如計算機機語言 定義 凡含有模糊概念的語言均為模糊語言 用符號系統符號系統來描述。4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 若一個變量能夠用普通語言中的詞（

20、如小、大和快、慢等）來取值 ，則該變量就定義為語言變量。所用的詞常常是模糊集合的標識詞。一個語言變量的取值既可為詞也可為數據。4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 表述形式 仿照集合概念，設“單詞”的論域為X，“模糊的單詞”只是X上的一個模糊子集A，單詞通過“或”、“與”、“非”構成詞組，如：紅粉筆紅色粉筆非機動車機動車子4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 模糊語言算子 在單詞或詞組前加上一些前綴詞，可構成不同性質的詞組，這些前綴稱為語言算子，常用的算子有以下三種： 語氣算子 模糊算子 判定化算子 4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 語氣算子 表達語言中對某一單詞或詞組的確定性程度，如“很”、“非?！?/p>

21、、“十分”等等。 設A為論域X的一個模糊子集，即 則 稱為語氣算子， 為正實數，即相當于前述的“水平”。( ) ( )H A xA xH AA或簡寫為H( )( )A xXAF x或4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 表現為強化（集中）作用， 時起淡化（擴展）作用。 一般設定： A是說明某事物的語句，加上 ，就可以運算（集中或擴展）。5/43/45/43/421/221/241/441/4HAHAHAHAHAHA為“相當”為“比較”為“很”為“略”為“極”為“微”1H14.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 模糊算子 使清晰概念的詞或詞組的詞義模糊化，如“大概”、“近似”等等。 對已模糊的概念，加上模

22、糊算子后，改變其模糊程度。 用F表示模糊算子，有( ) ()( )( )FA xR A xRA x 4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 為論域X上一個相似關系（大約關系），一般取為正態(tài)分布。如下圖及關系式：2200() /00( ,)0 x xR x xexxxxR4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 A是一個確定子集，如圖示，在 時 ，加上模糊算子（實為 ）后，在一個區(qū)間內，有“大約” 的模糊程度。 越大，則明顯地模糊化程度也越大，如果原來已是模糊化的，改變 也改變其模糊程度。0 xR A0()1A x0 x4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 判定化算子 對一個模糊集A，乘上一個判定算子，求出其“傾

23、向性”。判定算子與模糊算子恰好是對耦形式。使模糊語句清晰化，如“偏向”、“大半是”等等。 表示為：:( )( ),( ),0,1/ 2PF xF xAPA4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 P為判定算子，是定義于0，1區(qū)間上的實函數。當 時， 表示傾向。 表示在 的作用下，由一個冪集 轉到另一個冪集 。1/2P0( )( ( )1/ 2( )1(01/ 2)1( )1A xP A xA xA x 1/ 2( )( )F xF xP( )F x( )F x4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言例： 年輕 年輕（ ）=傾向年輕。 表示為電壓傾向于（基本）正常。可寫成：01/2001xxPxx正常電壓1/

24、22100.95exVUP4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 語言值的四則運算 語言用符號表示后，均可以成為實數域R或其子集為論域的一個子集，從而可以計算。 符號表示在論域X=1，2，9，10上，定義以下語言：1/2:0.2/ 40.4/50.6/60.8/7 1/8 1/9 1/10:1/1 0.8/ 20.6/30.4/ 40.1/5P 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10(10.5)x 大于小傾向大大4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言1/2P 1/1 1/ 2 1/310.80.60.20.40.40.10.60.8111123456789100.20.40.60.60.40.22345

25、67傾向小小不大不小大小大小4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 模糊數的四則運算 將語言當成模糊數，而模糊數可進行四則運算，運算結果仍是模糊數。 設有兩個模糊數x，y，則也是模糊數，且( : , , , )xyz ( ( )( )x yz x yxy 4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言1/1 0.6/ 20.4/30.4/ 20.6/3 1/ 410.410.61 10.60.40.60.6121 31422230.610.40.40.40.60.410.40.6243233343410.40.60.60.40.40.454565670.40.610.60.434567xyxy4.1 模糊邏輯語言

26、模糊邏輯語言 模糊語言變量 語言變量是指以自然或人工語言中的“字”或“句”作為變量。 語言變量取為模糊集合時，則成為模糊語言變量。 模糊語言變量與模糊變量相比較，是一個級別更高的變量，它有句法規(guī)則和語義規(guī)則。 前述模糊邏輯函數 的 即為模糊變量，或稱為“字”。ix12( ,)nF x xx4.1 模糊邏輯語言模糊邏輯語言 一個完整的模糊語言變量可定義為一個五元體（五維組），可簡寫為： 語言變量名稱x 語言變量語言值名稱的集合T(x) 論域U 語言規(guī)則G：說明一個完整的語句形式； 語義規(guī)則M：說明語句所在論域的范圍。( , ( ),)x T x U G M4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理l模糊

27、邏輯是建立于模糊集合和二值邏輯概念基礎上的一類特殊的多值邏輯。 是二值邏輯的模糊化。二值邏輯是閾值邏輯，而模糊邏輯是0，1的連續(xù)值邏輯。 模糊邏輯以合取、析取和蘊涵等定義為基礎 ，利用三角范式和三角協范式，產生模糊推理中常用 的模糊蘊涵關系。4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理l三角范式：三角范式“*”是從0,1到0,1的兩位函數，即*： 0,1 0,1。用于定義近似用于定義近似推理中的合取推理中的合取。 對于所有 ，有,0,1x ymax0,1xyxymin , xyx yx yxy,1,10,1,1x yxyy xxy交代數積有界積強積4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理l三角協范式：三角范式

28、 是從0,1到0,1的兩位函數，即 ： 0,1 0,1。用于定義近用于定義近似推理中的析取似推理中的析取。對于所有 ，有,0,1x ymin1,xyxymax , xyx yxyxyxy,0,01,0,0 x yxyy xxy并代數和有界和強和4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 模糊蘊涵：由AB所表示的模糊蘊涵是定義在 上的一個特殊的模糊關系，其關系及隸屬度函數為：( , )( )*( )ABABABABu vuvUV( , )( )( )ABABABABu vuv( , )( )( )ABBAABABu vuv模糊合取模糊析取基本蘊涵4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 廣義取式（肯定前提）假

29、言推理法GMP 又稱為廣義前向推理廣義前向推理 可表示為： 模糊蘊涵關系為：12,xAxAyByB前提 ： 為前提 ：若 為則 為結論： 為sup0,1,*( , )sup0,1( )*( )ABABABcA cBu vcucv4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 廣義拒式（否定結論）假言推理法GMT 又稱為廣義后向推理廣義后向推理 可表示為： 模糊蘊涵關系為：12,yBxAyBxA前提 ： 為前提 ：若 為則 為結論： 為inf0,1,( , )inf0,1( )( )ABBAABcBcAu vcvcu4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 當 時，GMP就退化為“肯定前提的假言推理”，它與正向數

30、據驅動推理有密切關系，在模糊邏輯控制中非常有用。 當 時 ，GMT就退化為“否定結論的假言推理”，它與反向目標驅動推理有密切關系，在專家系統中非常有用。AABB且BBAA且4. 2 模糊邏輯推理模糊邏輯推理 可以把模糊蘊涵AB理解為一條IFTHEN規(guī)則，則不同的模糊蘊涵關系就對應了不同的模糊推理規(guī)則。五、五、 模糊判決方法模糊判決方法 通過模糊推理得到的結果是一個模糊集合或者隸屬函數，但在實際應用用，特別是在模糊邏輯控制中，必須用一個確定和值才能去控制伺服機構。 模糊判決：在推理得到的模糊集合中取一個相對最能代表這個模糊集合的單值的過程。五、五、 模糊判決方法模糊判決方法 重心法 取模糊隸屬函

31、數曲線與橫坐標軸圍成面積的重心作為代表點。即： 理論上比較合理，但計算比較復雜，不適用于實時性要求較高的系統。( )( )NxNxxx dxux dx五、五、 模糊判決方法模糊判決方法 最大隸屬度法 取模糊隸屬度最大的那個元素作為輸出即可，但前提條件是隸屬度曲線一定是正規(guī)凸模糊集合（單峰曲線）。如果曲線為梯形平頂，則對所有最大隸屬度的元素求平均值。 未考慮其他隸屬度較小值的影響，代表性不好，適用于比較簡單的系統。五、五、 模糊判決方法模糊判決方法 系數加權平均法 其輸出由下式決定： 系數 根據實際情況決定，可通過選擇和調整該系數來改善系統的響應特性。/iiiukxkik五、五、 模糊判決方法模糊判決方法 隸屬度限幅元素平均法 用所確定的隸屬度值對隸屬函數曲線進行切割，再對切割后等于該隸屬度的所有元素進行平均，用這個平均值作為輸出執(zhí)行量。六、模糊控制六、模糊控制六、模糊控制六、模糊控制 模糊控制中最常用到的誤差語句六、模糊控制六、模糊控制 Xx例：一模糊控制爐溫過程，控制規(guī)則是：如果爐溫（x)低（A），則外加電壓（y）應高（B）。否則（即如果爐溫不低）則電壓不很高（C）。現狀態(tài)是：如果爐溫很低（A1），外加電壓應如何調節(jié)（