二次函數的解法及練習習題

1、授課類型S-一元二次函數教學目標1. 二次函數的有關概念2. 解二次函數的方法3. 二次函數根與系數的關系教學內容第一課時 一元二次函數概念及解法（1）考點一：一元二次函數的概念1. 定義：等號兩邊都是等式，只有一個未知數（一元），而且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程的一般形式時ax2+bx+c=0(a0)，其中ax2是二次項，a是二次系數，bx是一次項，c是常數項。3. 使等式左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的解注： 一元二次方程的三要素1) 整式方程2) 只含有一個未知數3) 未知數的最高次數是24. 一元二次不等

2、式的解的判定方法。將解的這個值代入到一元二次方程的左右兩邊，看方程的兩邊是否相等，若相等，則這個數就是方程的解；若不等，則不是這個方程的解。典型例題：例1.在下列方程中，一元二次方成有_ x3-2x2=0 3x2- 4x+6=0 13x2=3 ax2+bx+c=0 x2+4x-6=0 (x-2)(x+3)=x2-1例2. 若（a-1）x2+bx+c=0是關于x的一元二次方程，則（ ）A a0 B a1 C a=1 D a-1例3. 若（a+6）xa+2+ax-12=0是關于x的一元二次方程，則（ ）A a-6 B a=-2 C a-0 D a=0考點二:一元二次函數的解法。解一元二次方程，我們

3、通常使用的三種方法為“公式法、配方法、因式分解法”，這三種方法的使用特點各不相同?！肮椒ā睂θ魏味淮魏瘮刀伎梢允褂?，根據我們要解的方程不同選擇合適的解法。1 配方法一般對于x2=p（1）當p0時，根據平方根的意義，方程x2=p有兩個不相等的實數根：x1=p x2= -p。（2）當p=0時，方程x2=p有兩個相等的實數根，x1=x2=0（3）當p0時，因為對任意實數x都有x20，所以方程x2=p無實數根。如果方程能化成x2=p或（mx2+n）2=p(p0)的形式，那么可得x=±p 或 mx+n=±p通過配成完全平方形式來解一元二次的方程的方法，叫做配方法，配方的目的是為

4、了降次，把一個一元二次方程轉化成兩個二元一次的方程來解。配方法的一般步驟：(一) 移項。將常數項移到等號的右邊，含未知數的項移到等號的左邊(二) 二次項系數化1。等號左右兩邊同時除以二次項系數(三) 配方。等號左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方。(四) 寫成(x+h)2=k (k0)的形式。(五) 直接開平方法求解。2 公式法。我們先要將一元二次方程轉化為一般形式，然后找出一般形式中的“a、b、c”將其帶入到求根公式中的 ，當=b2-4ac0時，方程ax2+bx+c=0(a0)的實數根可以寫成x=-b±b2-4ac2a的形式 ，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式

5、。把各系數直接帶入公式，求出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做“公式法”用公式法解一元二次方程的步驟(一) 把方程化成一般形式（ax2+bx+c=0）(二) 確定a、b、c的值(三) 計算的值（b2-4ac）0，帶入求根公式，解出x1、x20，無實數根3因式分解法通過因式分解，是一個一元二次的方程轉化為兩個一次的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。因式分解法體現了將一元二次方程“降次”轉化為一元一次方程來解的思想，運用這種方法的步驟(一) 移項。將方程的右邊轉化為零(二) 化積。把方程左邊分解為兩個一次項式的乘積(三) 轉化。

6、令每個因式分解分別為零，得到兩個一元一次方程。(四) 求解。解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解。典型例題1.用公式法解下列方程。(1)x2-2x-8=0 (2)4y=1-3xy2 (3)3y2+1=23y(4)2x2-5x+1=0 (5)-4x2-8x=-1 (6)2x2-3x-2=02. 用配方法解下列方程。(1) x2-4x=96 (2) x2-4x-5=0(3) y2-6y-6=0(4) 3x2-2=4x(5) 3x2+2x-7=0 （6） 2x2+3x-1=03.（2019山西，9）用配方法將二次函數y=x2-8x-9化為y=a(x-h)2+k的形式為=(x-4)2+7 =(

7、x-4)2-25=(x+4)2+7 =(x+4)2-254.用因式分解法解下列一元二次方程。 (1) 2(x+3)2-4=0 (2) (x-1)(x-2)=2(x+2) (3) 9(2x-3)2-4(2x+1)2=0(4) x2=2x (5)x2-6x+8=0 (6) x2-3x-4=0第二課時 一元二次方程根的判斷式和根與系數的關系考點三：一元二次方程根的判斷式及應用1 判斷式。ax2+bx+c=0 (a0) 配成（x+b2a)2=b2-4ac4a2后，可以看出，只有當b2-4ac0時，方程才有實數根，這樣b2-4ac的值就決定著方程根的情況。一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+

8、bx+c=0 (a0)根的判別式，通常用“”表示它，及=b2-4ac。一元二次方程根的判別式三種情況(1) 0，方程有兩個不相等的實數根。(2) 0，方程有兩個相等的實數根（一個實數根）。(3) 0，方程沒有實數根。注意：=b2-4ac只適用于一元二次方程。使用時，先要將一元二次方程轉化為一般形式后，才可求。當=b2-4ac。0時，方程才有實數根 2.一元二次方程跟與系數的關系 。若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有實數根，設這兩個實數根為x1、x2，由求根公式得x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac0)，令x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，由此可

9、得x1+x2= -ba ，x1x2=ca這一結論可表述為：一元二次方程的兩個跟的和 等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比，此結論稱為“一元二次方程根與系數的關系”。應用： （1）驗根：不解方程，利用一元二次方程跟與系數的關系，可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根。 (2)已知方程的一個根，求另一個根及未知數系數。(3)不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系，求關于x1、x2的對稱式的值。(4)一直方程的兩根滿足某種關系，確定方程中字母的系數的值拓展：(1) x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2(2) 1x1 +1x2= x1+x2x1x2 (

10、3) （x1+a）(x2+a)= =x1+x2+a(x1+x2)+a2(4) |x1-x2|=(x1-x2)2=(x1-x2)2-4x1x2 （5）以x1、x2為根的一元二次函數（二次項系數為1）為 x22-（x1+x2）x+x1x2=0典型例題：1.已知關于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有兩個不相等的實數根x1、x2(1)求k的取值范圍  (2)試說明x1<0，x2<0；第三課時 二次函數函數鞏固練習一 用適當的方法解下列一元二次函數（用你認為最簡單的方法）（1）3x(x-1)=x(x+5)  （2）2x2-3=5x （3）x2-2y+6=0（4） x'-7x+10=0 （5）(x-3)（x+2)=6 （6）4(x-3)2+x(x-3)=0 .（7） (5x-1)2-2=0 （8） 3y2-4y=0 （9） x2-7x-30=0（10） (y+2)（y-1)=4 (11）4x(x-1)=3(x-1) (12) (2x+1)2-25=0(13)  x2-4ax=b2-