三角函數(shù)歷年真習(xí)題解析版

1、專題一 三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)回顧】1、角的概念、正角、負(fù)角、零角.2、角的表示：（1）終邊相同的角：與角終邊相同的角的集合（連同角在內(nèi)），可以記為k·360，kZ。（2）象限角：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，則終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限的角。 請(qǐng)寫出各象限角的集合。（3）軸線角：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，則終邊落在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角。請(qǐng)寫出各軸線角的集合。（4）區(qū)間角、區(qū)間角的集合： 角的量數(shù)在某個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)（上），這角就叫做某確定區(qū)間的角由若干個(gè)區(qū)間構(gòu)成的集合稱為區(qū)間角的集合3、角度制、弧度制及互換： 1rad°57.30°=57&#

2、176;18， 1°0.01745（rad）4、弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：5、三角函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則, ,tan,cot,sec,csc.6、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）7、三角函數(shù)線 正弦線：MP；余弦線：OM；正切線： AT。8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，9、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限），10、和角與差角公式 ;；(平方正弦公式)；=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, )。11、二倍角公式及降冪公式 ；。12、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)

3、圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸13、三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0)的周期14、正弦定理：（R為外接圓的半徑）15、余弦定理；。16、面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）。（2）。 (3)。17、三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有。18、常見(jiàn)三角不等式（1）若，則；(2) 若，則；(3) ?！究键c(diǎn)剖析】一、選擇題1、設(shè)，且，則. .

4、. .答案B 2、若，則（）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C【解析】，3、在中，BC邊上的高等于,則 （A） （B） （C） （D）【答案】C試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，由余弦定理，知，故選C4、如圖，長(zhǎng)方形的邊，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊，與運(yùn)動(dòng)，記將動(dòng)到、兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（ ）答案 B【解析】由已知得，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，且，且軌跡非線型，故選B5. 如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為

5、，將點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在0,上的圖像大致為【解析】如圖所示,當(dāng)時(shí),在中,在中,；當(dāng)時(shí),在中,在中,所以當(dāng)時(shí),的圖象大致為C,6、已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則的取值范圍是（ ） 【解析】選 不合題意 排除 合題意 排除另：， 得： 7、 設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，則 （A）在單調(diào)遞減 （B）在單調(diào)遞減 （C）在單調(diào)遞增（D）在單調(diào)遞增答案 A 8、函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8答案 D9已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是A把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

6、曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)名不同，所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名，則，則由上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍變?yōu)?，再將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選D.10、已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（A）11   

7、0;     （B）9      （C）7         （D）5【答案】B11.設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（）A與b有關(guān)，且與c有關(guān) B與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān)C與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān) D與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān)【答案】B試題分析：，其中當(dāng)時(shí)，此時(shí)周期是；當(dāng)時(shí)，周期為，而不影響周期故選B12.已知函數(shù)（，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（）（A） （B）（C） D）【答案】A【解析】由題意，所以，則

8、，而當(dāng)時(shí)，解得，所以，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.要比較的大小，只需判斷與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸的距離大小，距離越大，值越小，易知與比較近，與比較近，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，故選A.2、 填空題1.在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 . 【答案】（，）試題分析：如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在BCE中，B=C=75°，E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在BCF中，B=BFC=75°，F(xiàn)CB=30&

9、#176;，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.2.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，=2，且，則面積的最大值為 .答案3.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，則b= .【答案】4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，=_.【答案】試題分析：因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么，這樣.5.在銳角三角形中，若，則的最小值是_.【答案】8.【解析】，因此，即最小值為8.6.在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.7.如圖，一輛汽車在

10、一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 _m. 【答案】8.已知ABC，AB=AC=4，BC=2 點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】試題分析：取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意：，ABE中，又，綜上可得，BCD面積為，3、 解答題1ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周長(zhǎng).【解析】（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故

11、.2中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍（） 求；（）若，求和的長(zhǎng)【解析】（），因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫ǎ┮驗(yàn)?，所以在和中，由余弦定理得，由（）知，所?.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.【答案】（）證明詳見(jiàn)解析；（）4.【解析】試題分析：（）已知條件式中有邊有角，利用正弦定理，將邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化（本小題是將邊轉(zhuǎn)化為角），結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（）從已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，代入（）中等式sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，解出tanB的值.試題解析：（）根據(jù)正弦定理，可設(shè)=

12、k(k>0)則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA=所以sin A=由（），sin AsinB=sin AcosB+cosAsinB，所以sin B=cosB+sin B，故4.設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.試題分析：（1）利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為，再結(jié)合條件從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.試題解析：（1）由及正弦定理，得，即，又為鈍角，因此，故，即；（2）由（

13、1）知，于是，因此，由此可知的取值范圍是.5.已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.()求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；()已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解（1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)證明：【答案】() ，；()（1）；（2）詳見(jiàn)解析【解析】解法一：(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為(2)1) （其中）依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.當(dāng)時(shí), 所以解法二

14、：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 所以于是【考點(diǎn)精煉】一、選擇題1sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） （B） （C） （D）【答案】D試題分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故選D.2.若cos()=，則sin 2=（A） （B） （C） （D）【答案】D試題分析： ，且，故選D.3.若 ，則 (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A試題分析：由，得或，所以，故

15、選A4. =( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】原式= =，故選D.5.“”是“”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以或，因?yàn)椤啊薄啊保啊薄啊?，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A6.在中，BC邊上的高等于,則 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，由余弦定理，知，故選C7.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( )A. 5B. C. 2D. 1答案B 8.若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖像的對(duì)稱軸為（A）x=(

16、kZ) （B）x=(kZ) （C）x=(kZ) （D）x=(kZ)【答案】B試題分析：由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖像，則平移后函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，即，故選B.9.函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為(A)（k-14,k+34,）,kz (b)（2k-14,2k+34）,kz(C)（k-14,k+34）,kz (D)（2k-14,2k+34）,kz【答案】D試題分析：由五點(diǎn)作圖知，解得，所以，令，解得，故單調(diào)減區(qū)間為（，），故選D.10.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）A5 B6 C8 D10

17、【答案】C【解析】由圖象知：，因?yàn)?，所以，解得：，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于容易題解題時(shí)一定要抓住重要字眼“最大值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解三角函數(shù)求最值的試題時(shí)，我們經(jīng)常使用的是整體法本題從圖象中可知時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求出的值，當(dāng)時(shí)，取得最大值11.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A的一個(gè)周期為 B的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C的一個(gè)零點(diǎn)為 D在(,)單調(diào)遞減【答案】D【解析】當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào).12.設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則（A），（B），（C），（D），【答案】13.為了得到函數(shù)

18、的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( )（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D試題分析：由題意，為了得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右移個(gè)單位，故選D.14.函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）（cosx sinx）的最小正周期是（）（A）（B） （C）（D）2【答案】B試題分析：,故最小正周期,故選B.15.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，有，則（）A. B. C. D.【答案】D.試題分析：向右平移個(gè)單位后，得到，又，不妨，又，故選D.2、 填空題1函數(shù)的最大值是_【答案】1【解

19、析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，則，由可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值12.設(shè)為第二象限角，若，則_答案 3.已知,則 .【答案】【解析】由,得,故,.4.已知為第三象限的角，,則 .答案 5. .【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.6.函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移_個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到7.在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.8.在中，則【答案】13、 解答題1.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求2.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，