無界函數(shù)廣義積分教學(xué)講義

1、一、無窮區(qū)間的廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分引例引例. 曲線21xy 1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21xy A1可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1. 設(shè), ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無窮限廣義積分廣義積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(這時(shí)稱廣義廣義積分xxfad)(收斂 ;如果上述極限不存在,就稱廣義廣義積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd

2、)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的廣義廣義積分也稱為第一類廣義積分第一類廣義積分. ,并非不定型 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 它表明該廣義廣義積分發(fā)散 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(F

3、F機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算廣義廣義積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xoy211xy思考思考: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對廣義廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例例2. 證明第一類 p 積分apxxd證證:當(dāng) p =1 時(shí)有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí),廣義廣義積分收斂 , 其值為;11pap

4、當(dāng) p1 時(shí),廣義廣義積分發(fā)散 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算廣義積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、無界函數(shù)的二、無界函數(shù)的廣義廣義積分積分引例引例:曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2. 設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時(shí)稱廣

5、義廣義積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱廣義廣義積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的廣義廣義積分, 記作則定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱此極限為函 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說明說明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn) c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分第二類廣義積分, 無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim

6、110 xxfbcd)(lim220為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .例如,xxxd11112xxd) 1(11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn),而不是廣義廣義積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義注意注意: 若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則, ),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 112dxx211111x下

7、述解法是否正確: , 積分收斂例例4. 計(jì)算廣義廣義積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 討論廣義廣義積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以廣義廣義積分112dxx發(fā)散 .例例6. 證明廣義廣義積分baqaxx)(d證證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值

8、為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無窮間斷點(diǎn), 故 I 為廣義廣義xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.廣義廣義積分積分

9、區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的廣義廣義積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: (1) 有時(shí)通過換元 ,廣義廣義積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類廣義廣義積分時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的廣義廣義積分. (3) 有時(shí)需考慮主值意義下的廣義廣義積分. 其定義為baxxfd)(v.p.),(bcac為瑕點(diǎn)xxfd)(v.p.xxfaaad)(lim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfxxfbccad)(d)(lim0常積分收斂 .注意注意: 主值意義下廣義廣義積分存在不等于一般意義下反備用題備用題 試證xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1