GW18_梁的剪力圖與彎矩圖

1、yyyy年年M月月d日日 火車車軸可以簡化為兩端外伸梁火車車軸可以簡化為兩端外伸梁 可以簡化為簡支梁的吊車大梁可以簡化為簡支梁的吊車大梁 ，000CyxMFFC 某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿某一截面上的內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上的外力相平衡；件上的外力相平衡； 在荷載無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的在荷載無突變的一段桿的各截面上內(nèi)力按相同的規(guī)律變化；規(guī)律變化；FQFQ5.2.3 剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)則剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)則5.2.4 截面法確定指定橫截面上截面法確定指定橫截面上的剪力和彎矩的剪力和彎矩00，MFy應(yīng)用截面法確定某一個指定橫截面上的剪力和彎矩，首先，需要用假

2、想橫截面從指定橫截面處將梁截為兩部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡條件，即可得到該截面上的剪力和彎矩。5.2.4 截面法確定指定橫截面上截面法確定指定橫截面上的剪力和彎矩的剪力和彎矩【例題例題5.1】 圖示之一端固定另一端自由的懸懸臂梁臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如圖所示。試確定截面C及截面D上的剪力 解：解：1求截面C上的剪力和彎矩 用假想截面從截面C處將梁截開，取右段為研究對象，在截開的截面上標(biāo)出剪力FQC和彎矩MC的正方向，如圖（b）所示。由平衡方程00PQ，F(xiàn)FFCy00P，lFMMMOCCPQFFClFlFlFlFMMOCPP

3、PP2 解：解：2求截面D上的剪力和彎矩從截面D處將梁截開，取右段為研究對象。假設(shè)D、B兩截面之間的距離為，由于截面D與截面B無限接近，且位于截面B的左側(cè)，故所截梁段的長度。在截開的橫截面上標(biāo)出剪力FQD和彎矩MD的正方向，如圖（c）所示。由平衡方程QDPFF00PQ，F(xiàn)FFDy00P，F(xiàn)MMDD00PPFFMD【例題例題5.1】 圖示之一端固定另一端自由的懸臂梁懸臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如圖所示。試確定截面C及截面D上的剪力 在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x的函數(shù)。梁內(nèi)剪力和彎矩將隨橫截面位置的改變而發(fā)生變化。

4、描述梁的剪力和彎矩沿長度方向變化的代數(shù)方程，分別稱為剪力方程剪力方程(equation of shearing force)和彎矩方彎矩方程程(equation of bending moment)。【例題例題5.2】 圖示之一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座的梁，稱為簡支梁簡支梁(simple supported beam)。梁上承受集度為q的均布載荷作用，梁的長度為2l。試寫出該梁的剪力方程和彎矩方程。 解：解：1確定約束力確定約束力 因為只有鉛垂方向的外力，所以支座因為只有鉛垂方向的外力，所以支座A的水平約束的水平約束力等于零。又因為梁的結(jié)構(gòu)及受力都是對稱的，故支力等于零。又因為梁的結(jié)

5、構(gòu)及受力都是對稱的，故支座座A與支座與支座B處鉛垂方向的約束力相同。于是，根據(jù)處鉛垂方向的約束力相同。于是，根據(jù)平衡條件不難求得：平衡條件不難求得：ABFFql2. 確定控制面和分段因為梁上只作用有連續(xù)分布載荷(載荷集度沒有突變)，沒有集中力和集中力偶的作用，所以，從A到B梁的橫截面上的剪力和彎矩可以分別用一個方程描述，因而無需分段建立剪力方程和彎矩方程。3建立Axy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點，建立Axy坐標(biāo)系，如圖a所示。4確定剪力方程和彎矩方程以A、B之間坐標(biāo)為x的任意截面為假想截面，將梁截開，取左段為研究對象，在截開的截面上標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)的正方向，如圖（b）所示。由左

6、段梁的平衡條件 00QRxFqxFFAy, 020R，xqxxFxMMA據(jù)此，得到梁的剪力方程和彎矩方程分別為 QR02AFxFqxqlqxxl lxqxqlxxM2022這一結(jié)果表明，梁上的剪力方程是x的線性函數(shù)；彎矩方程是x的二次函數(shù)。BA簡支梁受力的大小和方向如圖示。簡支梁受力的大小和方向如圖示。例題例題21kN.m2kN1.5m1.5m1.5m 試畫出：試畫出：其剪力圖和彎矩圖其剪力圖和彎矩圖, ,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。 解：解：1確定約束力確定約束力00，BAMM求得求得A、B 二處的約束力二處的約束力 FRA0.89 kN , FRB1.1

7、1 kN FRAFRB根據(jù)力矩平衡方程根據(jù)力矩平衡方程 例題例題2 解：解：2確定控制面確定控制面 在集中力和集中力偶作用處的在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。各截面均為控制面。 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系建立建立FQx和和Mx坐標(biāo)系坐標(biāo)系 xFQ/kNOM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBFRA例題例題2 5根據(jù)微分關(guān)系連圖線根據(jù)微分關(guān)系連圖線 因為梁上無分布載荷作因為梁上無分布載荷作用，所以剪力用，所以剪力FQ圖形均為平圖形均為平行于行于x軸的直線；彎

8、矩軸的直線；彎矩M圖形圖形均為斜直線。于是，順序連均為斜直線。于是，順序連接接FQx和和Mx坐標(biāo)系中的坐標(biāo)系中的a、b、c、d、e、f各點，便得各點，便得到梁的剪力圖與彎矩圖。到梁的剪力圖與彎矩圖。 xFQ/kNOxM/kN.mO 解：解：4應(yīng)用截面法確定控應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在將其標(biāo)在FQx和和Mx坐標(biāo)坐標(biāo)系中。系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDEFRA例題例題2 5確定確定剪力與彎矩的最剪力與彎矩的最大絕對值大絕

9、對值從圖中不難得到剪力與彎從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值分別矩的絕對值的最大值分別為為 kN111maxQ.FmkN6651max.MmaxQF( (發(fā)生在發(fā)生在EFEF段段) ) ( (發(fā)生在發(fā)生在D D、E E截面上截面上) ) BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRAmaxM例題例題2 從所得到的剪力圖和彎矩從所得到的剪力圖和彎矩圖中不難看出圖中不難看出AB段與段與CD段段的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的剪力相等，因而這兩段內(nèi)的彎

10、矩圖具有相同的斜率。的彎矩圖具有相同的斜率。此外，在集中力作用點兩側(cè)此外，在集中力作用點兩側(cè)截面上的剪力是不相等的，截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用處兩側(cè)截而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上的彎矩是不相等的，其面上的彎矩是不相等的，其差值分別為集中力與集中力差值分別為集中力與集中力偶的數(shù)值，這是由于維持偶的數(shù)值，這是由于維持DE小段和小段和BC小段梁的平衡所必小段梁的平衡所必需的。建議大家自行加以驗需的。建議大家自行加以驗證。證。 BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11e

11、b0.89,ca0a0.89FRA例題3qBADa4aqlFAyFBy 梁由一個固定鉸鏈支座和一梁由一個固定鉸鏈支座和一個輥軸支座所支承，但是梁個輥軸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱的一端向外伸出，這種梁稱為為外伸梁外伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部。梁的受力以及各部分分尺寸尺寸均示于圖中。均示于圖中。 試畫出：試畫出：其剪力圖和彎矩圖其剪力圖和彎矩圖, ,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。 解：解：1確定約束力確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由根據(jù)梁的整體平衡，由 00，BAMM求得求得A、F 二處的約束力二處的約束力qaFqaF

12、ByAy4349,例題例題3qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM 解：解：2確定控制面確定控制面由于由于AB段上作用有段上作用有連續(xù)分布載荷，故連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制兩個截面為控制面，約束力面，約束力FBy右側(cè)右側(cè)的的C截面，以及集中截面，以及集中力力qa左側(cè)的左側(cè)的D截面，截面，也都是控制面。也都是控制面。 3建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系建立建立FQx和和Mx坐坐標(biāo)系標(biāo)系 例題例題3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2 解：解：4確定控制確定控制面上的剪力和彎矩面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在值，并將其標(biāo)在FQx和和M

13、x坐標(biāo)系坐標(biāo)系中。中。例題例題3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2 5根據(jù)微分關(guān)系連根據(jù)微分關(guān)系連圖線圖線對于剪力圖對于剪力圖：在：在AB段段，因有均布載荷作用，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于剪力圖為一斜直線，于是連接是連接a、b兩點，即得兩點，即得這一段的剪力圖；在這一段的剪力圖；在CD段，因無分布載荷段，因無分布載荷作用，故剪力圖為平行作用，故剪力圖為平行于于x軸的直線，由連接軸的直線，由連接c、d二點而得，或者由二點而得，或者由其中任一點作平行于其中任一點作平行于x軸的直線而得。軸的直線而得。 例題例題3qBADa4a

14、qlFAyFBy 5根據(jù)微分關(guān)系連圖線根據(jù)微分關(guān)系連圖線對于彎矩圖：對于彎矩圖：在在AB段，因段，因有均布載荷作用，圖形為有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因為二次拋物線。又因為q向向下為負(fù)，彎矩圖為凸向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向的拋物線。于坐標(biāo)正方向的拋物線。于是，是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲便大致確定。為了確定曲線的位置，除線的位置，除AB段上兩個段上兩個控制面上彎矩數(shù)值外，還控制面上彎矩數(shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒有極值點，以及物線有沒有極值點，以及極值點的位置和極值點的極值點的位置和極值點的彎矩數(shù)值。從剪力圖上

15、可彎矩數(shù)值。從剪力圖上可以看出，在以看出，在e點剪力為零點剪力為零。 9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxM例題例題3MEqAExEqaFAy49 6確定彎矩圖極值點確定彎矩圖極值點的位置。的位置。02004902，EEEyqxMMxqqaF2232812149qaqxMaxEEEqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE例題例題3 7確定確定剪力與彎矩剪力與彎矩的最大絕對值的最大絕對值從圖中不難得到剪力與從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值彎矩的絕對值的最大值分別

16、為分別為 2maxmaxQ328149qaMqaFqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE例題例題3 注意到在右邊支座注意到在右邊支座處，由于約束力的作處，由于約束力的作用，該處剪力圖有突用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪變（支座兩側(cè)截面剪力不等）彎矩圖在該力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點（彎矩圖處出現(xiàn)折點（彎矩圖的曲線段在該處的切的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線線斜率不等于斜直線cd的斜率）。的斜率）。 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/

17、32eExQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqqqqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqqqqFQOxydxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)OxyCFy=0:MC=0:FQqdxFQdFQ =0 M+(M+dM)FQdxqdx dx /2=0 B節(jié)點處的平衡關(guān)系節(jié)點處的平衡關(guān)系FNFQFNFQFNFQFNFQBBBql2ql2qlBql2ql2qlBBACQQ000,xFqlqlFBFB NN0022,yqlFFBqlFB 20022,BlMFM BqllqlqlM B QFAql N2qlFA 0M A N00 xF

18、FBQQ0022,yqlFFBqlFB 20022,BqlMFlM BqlM B QFCql N0FC 0M C 22ql22ql2ql2ql2ql2qlFNFQqa2/2qa2/21.根據(jù)彈性體的平衡原理，應(yīng)用剛體靜力學(xué)中的平根據(jù)彈性體的平衡原理，應(yīng)用剛體靜力學(xué)中的平衡方程，可以確定靜定梁上任意橫截面上的剪力和衡方程，可以確定靜定梁上任意橫截面上的剪力和彎矩。彎矩。2.剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)則不同于靜力學(xué)，但在建剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)則不同于靜力學(xué)，但在建立平衡方程時，依然可以規(guī)定某一方向為正、相反立平衡方程時，依然可以規(guī)定某一方向為正、相反者為負(fù)。者為負(fù)。3.剪力方程與彎矩方程都是橫截面位置坐

19、標(biāo)剪力方程與彎矩方程都是橫截面位置坐標(biāo)x的函數(shù)的函數(shù)表達式，不是某一個指定橫截面上剪力與彎矩的數(shù)表達式，不是某一個指定橫截面上剪力與彎矩的數(shù)值。值。4.論是寫剪力與彎矩方程，還是畫剪力與彎矩圖，論是寫剪力與彎矩方程，還是畫剪力與彎矩圖，都需要注意分段。因此，正確確定控制面是很重要都需要注意分段。因此，正確確定控制面是很重要的。的。5.可以根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩可以根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖，也可以不寫方程直接利用載荷集度、剪力、彎圖，也可以不寫方程直接利用載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。矩之間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。 確定控制面上剪力和彎矩有確定控制面上剪力和彎矩有幾種方法？怎樣確定彎矩圖上幾種方法？怎樣確定彎矩圖上極值點處的彎矩數(shù)值？極值點處的彎矩數(shù)值？ 力系簡化方