第六章定積分應(yīng)用

1、第六章定積分應(yīng)用定積分的幾何定積分的幾何應(yīng)用應(yīng)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長xy第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分物理應(yīng)用之一變力沿直線作功問題從物理學(xué)知道，若物體在作直線運(yùn)動(dòng)過程F中受常力 作用從a移至b（力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向一致），力對物體所作的功為問題的提出：問題的提出：ab)(abFWF若若 為變力，力對為變力，力對物體所作的功物體所作的功W=？F解解:在上述移動(dòng)過程中，電場例例1帶電量為q0與q1的正電荷分別放在空間兩點(diǎn)，求當(dāng)q1沿a與b連線從a移到b時(shí)電場力所作的功。 如圖建立坐標(biāo)系： aborq0 q1對q1作用力是變化的。(i)取r為積分變量

2、，則,bar(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間r,r+dr 的功元素drrqqkdrFdW210(iii)所求功drrqqkWba210)11(10baqkqbarqkq)1(10解解:等溫條件下，壓強(qiáng)p與體積V的乘積為常數(shù)，即 pV=k 而 F=pS例例2在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體。在等溫條件下，由于氣體膨脹，把容器中的一個(gè)活塞（面積為S）從點(diǎn)a推移至b，計(jì)算在移動(dòng)過程中氣體壓力所作的功。 如圖建立坐標(biāo)系，活塞位置可用坐標(biāo)x表示。 ab注意到氣體膨脹過程中注意到氣體膨脹過程中V V= =V V( (x x) )即即F F= =F F( (x x),),故采用元素法。故采用元素法

3、。(i)取x為積分變量，則,bax(ii)相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx 的功元素(iii)所求功dxxkWbaabklnbaxklnoxx x+dxpSdxSdxVkSdxxSkdxxkdxFdW解解:如圖選取x軸。 (i)取x為積分變量，則5 , 0 x(ii)相應(yīng)于0,5上任一小區(qū)間x,x+dx 的一薄層水的重力為 (iii)所求功dxxW502 .88)(3462 kJ50222 .88xxdx238 .9xdx2 .88xVdW例例3一圓柱形的儲(chǔ)水桶高5米，底圓半徑3米，桶內(nèi)盛滿了水。問把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？（水的比重為 ）3/8 . 9mkNdxV23這薄層水吸出桶外

4、需作之功近似為x3m5moxx+dx解解:如圖建立坐標(biāo)系。 (i)取x為積分變量，則,rrx(iii)所求功dxxrxrWrr)(22434r(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ，對應(yīng)薄片由A升至B在水中行程為 r+x,在水上的行程為2r-(r+x)=r-x 。 )()(2dxxyxrdW思考練習(xí)思考練習(xí)半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同。欲將球從水中取出，需作多少功？（水的比重為） 由于球的比重與水相同，薄片所受浮力與重力合力為零，不作功 ，由水面再上升到B時(shí)需作功，即功元素 yxorAB2rdxxrxr)(22定積分物理應(yīng)用之二水 壓 力從物理學(xué)知道，在水深為h處的壓

5、強(qiáng)為問題的提出：問題的提出：ApP若平板鉛直放置在若平板鉛直放置在水中，平板一側(cè)所水中，平板一側(cè)所受的水壓力受的水壓力P=？p=h（為水的比重）。xhA 因此，一面積為A的平板水平放置在水深為h處時(shí)，其一側(cè)所受的水壓力為定積分元素法問題的解決方法：問題的解決方法：dxxxfdP)(設(shè)平板鉛直位于液體中形狀如圖。 距離液面x、高為dx、寬為f(x) 的矩形平板所受壓力的近似值，即壓力元素為以液面為y軸，x軸鉛直向下。xyoaby=f(x)dxxxfPba)(所求壓力xx+dx（為液體比重）解解:依題意，如圖建立坐標(biāo)系。則端面周界方程為： (i)取x為積分變量，則, 0Rx(iii)所求壓力dxx

6、RxPR0222323R(ii)相應(yīng)于0,R上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點(diǎn)壓強(qiáng) x dxxR222)0 (222RxRyxdxxRxdP222例例4一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水（如圖1）。設(shè)桶的底半徑為R，水的比重為，計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力。xx+dxxyoR，窄條面積近似于 ，即壓力元素為解解:如圖建立坐標(biāo)系,則腰OB的方程為： (i)取x為積分變量，則6 , 0 x(iii)所求壓力dxxxP60) 3(34)(65. 1N(ii)相應(yīng)于0,6上任一小區(qū)間x,x+dx 的窄條上各點(diǎn)壓強(qiáng) ) 3( xdxx)32(2 xy32dxxxdP)3(34例例5一個(gè)底為8cm

7、，高為6cm的等腰三角形片，鉛直地沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3cm，試求它每面所受的壓力（水的比重為）。 窄條面積 壓力元素xyoAB(6,4)xx+dx解解:如圖建立坐標(biāo)系。 (i)取x為積分變量，則sin,bhhx(iii)所求壓力dxxPbhhasinsin)sin2(2bhah(ii)相應(yīng)于小區(qū)間x,x+dx ，對應(yīng)薄板的寬為 sindxsindxaxdP思考練習(xí)思考練習(xí)邊長為a和b的矩形薄板，與液面成角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h處，設(shè)ab，液體的比重為，試求薄板每面所受的壓力。 ，窄條面積為 壓力元素xyosindxa ahsinbhdx定積分物理

8、應(yīng)用之三引 力 從物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為m1、m2，相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為問題的提出：問題的提出：221rmmGF 其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線。oxrm1 m2 如何計(jì)算一根如何計(jì)算一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力引力F=？解解:例例6設(shè)有一長度為l、線密度為的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)M。試計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn)M的引力。 如圖建立坐標(biāo)系： (i)取y為積分變量，則2,2lly(ii)相應(yīng)于sin,cos,22yadymGdFdFFdyx(iii)引力dyyaayamGFllx22222222412laalGmoxMy2l2l2,2ll上任一小區(qū)間y,y+dy 的引力元素yy+dyradyyayyamGFlly2222220解解:練習(xí)練習(xí)設(shè)有一半徑為R、中心角為的圓弧形細(xì)棒，其線密度為常數(shù)。在圓心處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)M。試求這