第二章 隨機(jī)過程

1、附加 隨機(jī)過程給隨機(jī)過程下一個更為嚴(yán)格的定義：設(shè)Sk(k=1, 2, )是隨機(jī)試驗(yàn)。 每一次試驗(yàn)都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的集合x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作(t)。簡言之， 無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程。 隨機(jī)噪聲特點(diǎn)：隨機(jī)噪聲特點(diǎn)：時間t的函數(shù)，但在任一時刻上噪聲電壓是隨機(jī)變化的，因而是一種隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲的統(tǒng)稱。 圖 1 樣本函數(shù)的總體 x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk 設(shè)(t)表示一個隨機(jī)過程，在任意給定的時刻t1T， 其取值(t1)是一個

2、一維隨機(jī)變量。而隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。我們把隨機(jī)變量(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率P(t1)x1，簡記為F1(x1, t1)，即F1(x1,t1)=P(t1)x1該試稱為隨機(jī)過程(t)的一維分布函數(shù)。如果F1(x1, t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有則稱f1(x1, t1)為(t)的一維概率密度函數(shù)。),(),(1111111txfxtxF 任給兩個時刻t1, t2T，則隨機(jī)變量(t1)和(t2)構(gòu)成一個二元隨機(jī)變量(t1), (t2)，稱F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 為隨機(jī)過程(t)的二維分布函數(shù)。如果存在則稱f2(x1

3、,x2; t1,t2)為(t)的二維概率密度函數(shù)。);,();,(2121212, 12122t txxfxxttxxF任給t1, t2, , tnT, 則(t)的n維分布函數(shù)被定義為Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn ).,;.,(.).,.;,(2121212, 1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF如果存在則稱fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)為(t)的n維概率密度函數(shù)。n越大，用n維分布函數(shù)、 n維概率密度函數(shù)對隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但復(fù)雜性也隨之增加。在一般應(yīng)用中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。

4、1.1.3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性, 但在實(shí)際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。 什么是數(shù)字特征？即包括數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等。 1. 數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)過程(t)在任意給定時刻t1的取值(t1)是一個隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1, t1)，則(t1)的數(shù)學(xué)期望為1111),()()(dxtxfxtEta時間t的函數(shù)，表示隨機(jī)過程樣本函數(shù)的平均值，在電信號中相當(dāng)于直流分量。 2. 方差方差)(tD)()(tEtE22)()(tatE2

5、1)(),(2tadxtxfx2=2(t)方差表示隨機(jī)過程在某時刻相對于均值a(t)的偏離程度，在電信號中表示信號的交流功率 衡量隨機(jī)過程在任意兩個時刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 3. 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)T1時刻交流成分T2時刻交流成分 R(t1,t2)=E(t1)(t2) 4. 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)B(t1, t2)=R(t1, t2)-E(t1) E(t2) =R(t1, t2)-a(t1)a(t2) 若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1, t2)=

6、R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，則R(t1, t2)可表示為R(t1, t1+)。這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻t1及t2與t1之間的時間間隔,即相關(guān)函數(shù)是t1和的函數(shù)。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程不同時刻的相關(guān)程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。對于兩個或更多個隨機(jī)過程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè)(t)和(t)分別表示兩個隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)而互相關(guān)函數(shù)定義為 R(t1, t2)=E(t1)(t2) 1.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 1.2.1

7、定義定義 所謂平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。 當(dāng)取樣點(diǎn)在時間軸上作任意平移時，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的， 具體到它的一維分布, 則與時間t無關(guān)， 而二維分布只與時間間隔有關(guān)。設(shè)有一個二階矩隨機(jī)過程(t)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)， 則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 1.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時間平均）來替代。 隨機(jī)過程(t)的統(tǒng)計(jì)特性為 假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)的任意一個實(shí)現(xiàn)，它的統(tǒng)計(jì)特性分別為a t2 Ra)(2t)(R)()(),()()

8、()()(11222RRttRttatata統(tǒng)計(jì)平均時間平均 1.2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度 隨機(jī)過程的頻譜特性如果用幅頻特性來表示很不方便，因?yàn)殡S機(jī)過程的幅度是不確定的，因此隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度 隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為 隨機(jī)過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均。TWFwPTTf2)()(limTWFTfwPTwPE2)()(lim)(t)的平均功率S則可表示成（傅立葉反變換）TwEEdwwpRsTT2)

9、(21)(21)0(lim 經(jīng)過推導(dǎo)，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度P()與其自相關(guān)與其自相關(guān)函數(shù)函數(shù)R()是一對傅里葉變換關(guān)系是一對傅里葉變換關(guān)系。deRwpjwr)()(dWeWPRjwr)(21)(簡記為 R() P()維納-辛欽關(guān)系功率譜密度P()有如下性質(zhì)： （1） P()0，非負(fù)性； （2） P(-)=P()，偶函數(shù)。 因此， 可定義單邊譜密度P()為 P1()=)(2wp0W 0W 0幾個數(shù)學(xué)期望的公式隨機(jī)過程（變量）的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)過程（變量）的數(shù)學(xué)期望 dxxxfE)(連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)是隨機(jī)變量的函數(shù)， =g() 則 f

10、(x)為x 的概率密度函數(shù)dxxfxgE)()(離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 iiipxE1Xi為所有可能的值，對應(yīng)概率為Pi 例 2 - 1某隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均為常數(shù)，是在(0,2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。 （1） 求(t)的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度； （2） 討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 解 (1) 先考察(t)是否廣義平穩(wěn)。 (t)的數(shù)學(xué)期望為dtwAtEtac21)cos()()(20dtwtwAcc)sinsincos(cos220常數(shù)）(0sinsin(coscos22020dtwdtwAcc(t)的自相關(guān)函數(shù)為)()()

11、,(2121ttEttR)cos(1twAEc2)(cos)(cos212122ttwttwEAccdttwAttwAcc212)(cos2)(cos2122021220)(cos2122ttwAc見(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)， 所以(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即R()P()，則因?yàn)?cosc (-c)+(+c)所以，功率譜密度為 P()= (-c)+(+c)平均功率為 S=R(0)=)()(22ccwwwwA22A(2) 現(xiàn)在來求(t)的時間平均。 根據(jù)式（2.2 - 6）可得0)cos(12/2/limdt

12、twATaTTcTdtttwACOStwATRcTTcT)()cos(1)(2/2/limdtwtwdtwTAcTTcTTcT)22cos(cos(2lim2/2/2/2/2cwAcos22 比較統(tǒng)計(jì)平均與時間平均，得a= , R()= ， 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。 a)(R1.3 高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 1.3.1 定義定義 高斯隨機(jī)過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程，在通信信道中的噪聲通常是一種高斯過程。 若隨機(jī)過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 21212

13、1.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即B1 b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且為簡化分析，我們只研究一維概率密度函數(shù)圖2-3 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f (x)12Oax)2)(exp(21)(22axxf若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)滿足稱隨機(jī)變量是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量特性： (1) a為(t)的數(shù)學(xué)期望，即樣值的均值，樣值為a時，發(fā)生的概率最大；2為方差 (2) f(x)對稱于x

14、=a這條直線。 (3) (4) a為分布中心，a不同時曲線左右平移； 當(dāng)a固定,f(x) 將隨著的減小而變高和變窄。 (因?yàn)?方差表示樣值與均值a的偏離程度， 2小則偏離小，樣值靠近a的概率越大） (5) 當(dāng)a=0，=1時，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf且有 (6) 當(dāng)我們需要在某個范圍內(nèi)的概率P時，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。),(),(1111111txfxtxF一維分布函數(shù)一維概率密度函數(shù)dzazxpxFx2)(exp21)()(22=時當(dāng)axaxerf),2(2121時當(dāng)axaxerfc),2(211Er

15、f:誤差函數(shù)Erfc:互補(bǔ)誤差函數(shù)高斯過程的正態(tài)分布函數(shù) 1.3.3 高斯白噪聲高斯白噪聲 白噪聲：功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)的噪聲 P()= (雙邊噪聲功率譜密度)n0為一常數(shù)，單邊噪聲功率譜密度，單位是瓦/赫。 將P()進(jìn)行傅立葉反變換，得到：20n R()= )(20n白噪聲只有在=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才互不相關(guān)。因?yàn)镽()=0。后面講到抽樣定理就是利用這一點(diǎn)，選擇合適的

16、抽樣抽樣時刻，使各個抽樣值互不相關(guān)。如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。白噪聲：功率譜密度是均勻分布高斯分布：概率密度符合高斯分布實(shí)際上理想化的白噪聲是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于工作頻帶，我們就可以把近似看為白噪聲。 1.4 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)Vo(t)=Vi(t)*h(t)= dthvi)()(信號通過線性系統(tǒng)的模型：H()Vi()Vo()Vo()=H()Vi()線性系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號卷積系統(tǒng)單位沖激響應(yīng) o(t)=dthi)()(0我們研究隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)，就是把輸入信號Vi(t)換成i(t)，輸出信號Vo(t)換成o(t

17、)。假設(shè)輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，現(xiàn)在來分析o(t)的統(tǒng)計(jì)特性1. 數(shù)學(xué)期望Eo(t)=aH(0) 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關(guān)。 2. 自相關(guān)函數(shù) 若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。 3. o(t)的功率譜密度 系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積?？梢杂脕矸奖愕赜?jì)算輸出過程的自相關(guān)函數(shù)（反變換）。 當(dāng)k0=0時，R0(0)=n0fH=n0B 帶限噪聲的平均功率)()()(),(1010110oRttEttR)()()()()(2*wpwHwPwHwHii Po()= 4. 輸

18、出過程o(t)的概率分布 高斯過程線性變換后的過程仍然是高斯過程。 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機(jī)變量才互不相關(guān)。因?yàn)镽()=0。后面講到抽樣定理就是利用這一點(diǎn)，選擇合適的抽樣抽樣時刻，使各個抽樣值互不相關(guān)。1.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。 窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò)a(t)頻率近似為 fc(b)窄帶隨機(jī)過程(t)表達(dá)式: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 =c(t)cosct-s(t)sinct 其中c(t)=a(t)cos(t) s(t)=a(t) sin(t) 式中, a(t) 是(t)的包絡(luò)函數(shù)， c(t)及s(t)是(t)的同相分量和正交分量。 基本性質(zhì)基本性質(zhì) 設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零，方差為2 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 因?yàn)?E(t)=0 推出： Ec(t)=0 Es(t)=02. 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)Rs(t, t+)=Rs() Rc()=R