結(jié)構(gòu)力學(xué)李廉錕第10章_矩陣位移法

1、第十章第十章 矩陣位移法矩陣位移法10-1 概述概述10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)轉(zhuǎn)換10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣10-5 支承條件的引入支承條件的引入10-6 非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理10-7 矩陣位移法的計(jì)算步驟及示例矩陣位移法的計(jì)算步驟及示例10-8 幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明手算：手算：小型、簡(jiǎn)單問(wèn)題，講究技巧。小型、簡(jiǎn)單問(wèn)題，講究技巧。一一、手算與電算比較：、手算與電算比較：電算：電算：大型、復(fù)雜問(wèn)題，要求方法具有系統(tǒng)性、大型、復(fù)雜問(wèn)題，要求方法具有系統(tǒng)性、 通用性。通用性。結(jié)構(gòu)力學(xué)中的電算方法結(jié)構(gòu)力學(xué)中

2、的電算方法 結(jié)構(gòu)矩陣分析方法結(jié)構(gòu)矩陣分析方法 (桿件有限元法桿件有限元法) 結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論為基礎(chǔ)、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論為基礎(chǔ)、以矩陣作為數(shù)學(xué)表述形式、以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手以矩陣作為數(shù)學(xué)表述形式、以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段大規(guī)模的計(jì)算方法。段大規(guī)模的計(jì)算方法。 超靜定結(jié)構(gòu)分析：超靜定結(jié)構(gòu)分析： 力法，位移法，力矩分配法。力法，位移法，力矩分配法。10-1 概述概述二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法二、結(jié)構(gòu)矩陣分析方法特點(diǎn)與分類(lèi)：特點(diǎn)與分類(lèi)： (1) 公式推導(dǎo)書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)明公式推導(dǎo)書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)明, ,導(dǎo)出公式緊湊導(dǎo)出公式緊湊, ,形式規(guī)格化。形式規(guī)格化。 矩陣力法矩陣力法( (或稱(chēng)柔度

3、法或稱(chēng)柔度法) )以力作為基本未知量。以力作為基本未知量。 矩陣位移法矩陣位移法( (或稱(chēng)剛度法）或稱(chēng)剛度法）采用結(jié)點(diǎn)位移作為基采用結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。借助矩陣進(jìn)行分析，并用計(jì)算機(jī)解決各種本未知量。借助矩陣進(jìn)行分析，并用計(jì)算機(jī)解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計(jì)算的方法。桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計(jì)算的方法。 (2) 各種情況可統(tǒng)一處理，通用性強(qiáng)。各種情況可統(tǒng)一處理，通用性強(qiáng)。 (3) 計(jì)算過(guò)程規(guī)范化，適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行自動(dòng)化解算。計(jì)算過(guò)程規(guī)范化，適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行自動(dòng)化解算。 對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，矩陣位移法矩陣位移法因易于編制通用的計(jì)算程序。因易于編制通用的計(jì)算程序。10-1 概述概述三、矩陣位移法

4、的三、矩陣位移法的思路思路 ：1）離散，進(jìn)行單元分析單元分析，建立單元桿端力和桿端位移的關(guān)系。2）集合，進(jìn)行整體分析整體分析，建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。任務(wù)任務(wù)意義意義單元單元分析分析建立桿端力與桿端位移建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囋獎(jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程件的轉(zhuǎn)角位移方程整體整體分析分析由變形條件和平衡條件由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整間的剛度方程，形成整體剛度矩陣體剛度矩陣用矩陣形式表示位用矩陣形式表示位移法基本方程移法基本方程10-1 概述概述 構(gòu)造結(jié)點(diǎn)構(gòu)造結(jié)點(diǎn):

5、 :桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)和截面突桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)和截面突變點(diǎn)。變點(diǎn)。 非構(gòu)造結(jié)點(diǎn)非構(gòu)造結(jié)點(diǎn): :一根等截面直桿內(nèi)的單元與單元之間的一根等截面直桿內(nèi)的單元與單元之間的結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)。 1. 結(jié)點(diǎn)和單元結(jié)點(diǎn)和單元 單元與單元之間通過(guò)單元與單元之間通過(guò)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)，結(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定，則單聯(lián)結(jié)，結(jié)點(diǎn)一經(jīng)確定，則單元也就全部確定了。元也就全部確定了。 單元單元最基本的分析部件，最簡(jiǎn)單的單元是等截面最基本的分析部件，最簡(jiǎn)單的單元是等截面直桿。直桿。 梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧茌S力、還受剪力和彎矩作用則稱(chēng)為梁?jiǎn)问茌S力、還受剪力和彎矩作用則稱(chēng)為梁?jiǎn)卧?、剛架）。元（梁、剛架）?軸力單元軸力單元只受軸力作用

6、的單元（桁架）。只受軸力作用的單元（桁架）。 四、基本概念四、基本概念 10-1 概述概述2. 坐標(biāo)系坐標(biāo)系4321123234 結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系xoy用于描述結(jié)構(gòu)整體的量用于描述結(jié)構(gòu)整體的量結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)、結(jié)點(diǎn)的位移、作用在結(jié)構(gòu)上的外力等。結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)、結(jié)點(diǎn)的位移、作用在結(jié)構(gòu)上的外力等。 單元局部坐標(biāo)系單元局部坐標(biāo)系固定在單元上，固定在單元上， 軸與桿軸重合軸與桿軸重合, ,自自 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900時(shí)時(shí)的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)?軸正向。用于描述單元的桿軸正向。用于描述單元的桿端力和桿端位移等。端力和桿端位移等。 xxy10-1 概述概述將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點(diǎn)稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)將結(jié)構(gòu)離散成單

7、元的分割點(diǎn)稱(chēng)作結(jié)點(diǎn). .634512結(jié)點(diǎn)的選擇結(jié)點(diǎn)的選擇: :轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、 剛度變化、荷載作用點(diǎn)等剛度變化、荷載作用點(diǎn)等整體編碼：?jiǎn)卧幋a、結(jié)點(diǎn)編碼、整體編碼：?jiǎn)卧幋a、結(jié)點(diǎn)編碼、 結(jié)點(diǎn)位移編碼。結(jié)點(diǎn)位移編碼。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐標(biāo)系坐標(biāo)系: :整體整體( (結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)) )坐標(biāo)系坐標(biāo)系; ;X XY Y局部局部( (單元單元) )坐標(biāo)系坐標(biāo)系. .曲桿結(jié)構(gòu)曲桿結(jié)構(gòu): :以直代曲以直代曲. .變截面桿結(jié)構(gòu)變截面桿結(jié)構(gòu): :以等截面桿以等截面桿 代變截面桿代變截面桿10-1 概述

8、概述 不忽略單元的軸向變形時(shí)，平面結(jié)構(gòu)中每個(gè)剛結(jié)不忽略單元的軸向變形時(shí)，平面結(jié)構(gòu)中每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)都有點(diǎn)都有3個(gè)獨(dú)立的位移（個(gè)獨(dú)立的位移（2個(gè)獨(dú)立線(xiàn)位移、個(gè)獨(dú)立線(xiàn)位移、1個(gè)角位個(gè)角位移），每一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)則有移），每一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)則有2個(gè)獨(dú)立線(xiàn)位移。個(gè)獨(dú)立線(xiàn)位移。 平面剛架單元的桿力列向量為平面剛架單元的桿力列向量為 TSNSNjjjiiiMFFMFFeF( (10-1) ) 平面剛架單元的桿端位移列向量為平面剛架單元的桿端位移列向量為 T)(jjjiiievuvu (10-2） 注意：注意：桿端力與桿端位移必定是一一對(duì)應(yīng)的，即有桿端力與桿端位移必定是一一對(duì)應(yīng)的，即有幾個(gè)桿端位移分量就有幾個(gè)桿端力分量。幾個(gè)

9、桿端位移分量就有幾個(gè)桿端力分量。 3. 桿端位移和桿端力桿端位移和桿端力10-1 概述概述 平面桁架鉸結(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)獨(dú)立的線(xiàn)位移，與此對(duì)平面桁架鉸結(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)獨(dú)立的線(xiàn)位移，與此對(duì)應(yīng)，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對(duì)應(yīng)，但應(yīng)，桁架單元的桿端力只有軸力和剪力與其對(duì)應(yīng)，但實(shí)際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有實(shí)際上桁架單元的剪力總是為零的，所以有TNN00jieFFF( (10-3) ) 桿端位移向量桿端位移向量 Tjjiievuvu (10-4) 其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對(duì)其他任何單元都存在桿端力與桿端位移一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。應(yīng)的關(guān)系。 FFNN12e12桿端力向量桿端力向量21212

10、1vuuve10-1 概述概述 作用于結(jié)點(diǎn)上的所有的力的合力作用于結(jié)點(diǎn)上的所有的力的合力, 沿坐標(biāo)軸方沿坐標(biāo)軸方向分解為三個(gè)分量向分解為三個(gè)分量, 構(gòu)成該結(jié)點(diǎn)的構(gòu)成該結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力向量結(jié)點(diǎn)力向量。4. 結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移 與結(jié)點(diǎn)力向量對(duì)應(yīng)的是與結(jié)點(diǎn)力向量對(duì)應(yīng)的是結(jié)點(diǎn)位移向量結(jié)點(diǎn)位移向量，是矩陣，是矩陣位移法的位移法的基本未知量基本未知量。注意：注意：結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移都是相對(duì)于結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移都是相對(duì)于整體坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系的。的。 10-1 概述概述桿端位移和桿端力桿端位移和桿端力的正負(fù)號(hào)：的正負(fù)號(hào)： 作用在作用在結(jié)點(diǎn)上的外力和結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)上的外力和結(jié)點(diǎn)位移的正負(fù)號(hào)：的正負(fù)號(hào)： 5.

11、 正負(fù)號(hào)規(guī)定正負(fù)號(hào)規(guī)定（強(qiáng)調(diào)）（強(qiáng)調(diào)） 凡是與單元坐標(biāo)軸方向一致的位移和力均為正值，凡是與單元坐標(biāo)軸方向一致的位移和力均為正值，反之為負(fù)值。反之為負(fù)值。 力矩和轉(zhuǎn)角以力矩和轉(zhuǎn)角以逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，反之為?fù)。方向?yàn)檎?，反之為?fù)。 與整體坐標(biāo)系方向一致的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移為正，與整體坐標(biāo)系方向一致的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。 以以逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)的結(jié)點(diǎn)力矩和結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為正值轉(zhuǎn)的結(jié)點(diǎn)力矩和結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為正值, ,反之為反之為負(fù)值。負(fù)值。10-1 概述概述矩陣位移法基本思想矩陣位移法基本思想:- 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化將結(jié)構(gòu)拆成桿件，桿件稱(chēng)作將結(jié)構(gòu)拆成桿件，桿件稱(chēng)作單元單元。單元的連接點(diǎn)稱(chēng)作單

12、元的連接點(diǎn)稱(chēng)作結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編碼對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編碼.634512e單元桿端力單元桿端力- 整體分析整體分析單元桿端力單元桿端力結(jié)點(diǎn)外力結(jié)點(diǎn)外力單元桿端位移單元桿端位移結(jié)點(diǎn)外力結(jié)點(diǎn)外力單元桿端位移單元桿端位移(桿端位移桿端位移=結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移)結(jié)點(diǎn)外力結(jié)點(diǎn)外力結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移基本未知量基本未知量:結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移10-1 概述概述1. 建立建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系 截面直桿單元截面直桿單元e , 其其桿端位移列向量與桿端力列桿端位移列向量與桿端力列向量分別為向量分別為 TejejejeieieievuvuTejeyjexjeieyiexieMFFM

13、FFF10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?當(dāng)桿端軸向位移為當(dāng)桿端軸向位移為 、 時(shí)，時(shí)， ，由胡克由胡克定律得桿件軸向變形的剛度方程為定律得桿件軸向變形的剛度方程為eiuejueiejijuulejeieiejexjejeieiejexiulEAulEAuulEAFulEAulEAuulEAF)()( （a） 在線(xiàn)性小位移范在線(xiàn)性小位移范圍內(nèi)，忽略軸向受力圍內(nèi)，忽略軸向受力狀態(tài)與彎曲向受力狀狀態(tài)與彎曲向受力狀態(tài)之間的影響。態(tài)之間的影響。10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?桿端橫向位移桿端橫向位移ij正負(fù)正負(fù)號(hào)規(guī)定號(hào)規(guī)定: :使使桿的桿的j 端繞端繞 i 端端作順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正值。作順時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)為正

14、值。)(eiejijvv 由兩端固定等截面由兩端固定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程有直桿的轉(zhuǎn)角位移方程有ejejeieieyjejejeieieyiejejeieieiejejeiejejejeieieiejejeieilEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIlvviiiMlEIvlEIlEIvlEIlvviiiM2323232322226126126126124626)(6422646)(624（b） 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噷⑸鲜鰧⑸鲜觯╝）和和（b）兩式合在一起，寫(xiě)成矩陣形式，有兩式合在一起，寫(xiě)成矩陣形式，有 ejeyjexjeieyi

15、exiMFFMFFlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejejejeieieivuvu =單元在局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠獭卧诰植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?。它可記為它可記?eeeKF（10-6a） 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚻渲衅渲?（10-7）1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEI

16、lEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeKeK 稱(chēng)為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕ê?jiǎn)稱(chēng)單剛）。稱(chēng)為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕ê?jiǎn)稱(chēng)單剛）。 的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù)的行數(shù)等于桿端力向量的分量數(shù), 列數(shù)等于桿端位列數(shù)等于桿端位移向量的分量數(shù)，移向量的分量數(shù)， eKeK 的每一個(gè)元素稱(chēng)為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，其表示了一個(gè)力。的每一個(gè)元素稱(chēng)為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，其表示了一個(gè)力。10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?任一元素任一元素 表示當(dāng)表示當(dāng)j號(hào)位移為一單位時(shí)引起桿端沿號(hào)位移為一單位時(shí)引起桿端沿i 號(hào)號(hào)位移方向的反力。位移方向的反力。eijk1iu1iv1i1

17、ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?單剛陣單剛陣 中某一列的六個(gè)元素表示當(dāng)某個(gè)稈端位移中某一列的六個(gè)元素表示當(dāng)某個(gè)稈端位移分量等于分量等于1時(shí)所引起的時(shí)所引起的六六個(gè)桿端力分量。個(gè)桿端力分量。eK 第第1列的列的六六個(gè)元素就是當(dāng)個(gè)元素就是當(dāng) (即端點(diǎn)即端點(diǎn)i沿沿 正方向發(fā)正方向發(fā)生單位位移生單位位移)時(shí)，單元的時(shí)，單元的六六個(gè)桿端力分量。個(gè)桿端力分量。1eiu

18、x1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃? 2 4 3 5 6 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?F2F3F4F5F6F10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?11 lEAF 114 lEAF52232212FlEIF 6222326FlEIF 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?334 lEIF3632 lEIF5332236FlEIF 10-2

19、 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?14 lEAF444 lEAF55525312EIFFl 3556526EIFFl 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?664 lEIF6362 lEIF5662266FlEIF 10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2. . 單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦詥卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ǚ戳サ榷ɡ恚ǚ戳サ榷ɡ恚?（1） 是對(duì)稱(chēng)矩陣。是對(duì)稱(chēng)矩陣。 )(jikkejieijeK1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlE

20、IlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?表達(dá)的桿端力和桿端位移的關(guān)系，表達(dá)的桿端力和桿端位移的關(guān)系，對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)于一個(gè)完全的自由單元，于一個(gè)完全的自由單元，沒(méi)有任何支承約束，可以有沒(méi)有任何支承約束，可以有任意的剛體位移。任意的剛體位移。(2) 是奇異矩陣。是奇異矩陣。eK即即 ，其逆矩陣不存在，其逆矩陣不存在.0 eK可以由桿端位移可以由桿端位移 確定桿端力確定桿端力 。反之，若已知桿端。反之，若已知桿端力力 ，卻不能由式，卻不能由式 反求桿端位移反求桿端位移 。eeeFeFeeeKFeeeKF物理概念為：物理概念為： 局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鴺?biāo)系中的

21、單元?jiǎng)偠染仃?，只與單元的幾何形，只與單元的幾何形狀、尺寸和物理常數(shù)有關(guān)，與單元在結(jié)構(gòu)中的位置無(wú)關(guān)。狀、尺寸和物理常數(shù)有關(guān)，與單元在結(jié)構(gòu)中的位置無(wú)關(guān)。(3) 位置無(wú)關(guān)性位置無(wú)關(guān)性eK矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強(qiáng)的通用性。矩陣位移法的單元體現(xiàn)了更強(qiáng)的通用性。10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚍閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚍? : eKlEAlEAlEAlEAlEA00000101000001010000000000003. . 其他單元的單元?jiǎng)偠染仃嚻渌麊卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嘥T00exjexieejejeieieFFvuvuFejejeieiexjexivuvulEAlEAlEAlEAFF0000000

22、0000000 （10-9）( (1) ) 平面桁架單元平面桁架單元10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取若把連續(xù)梁兩支座間的一跨取作單元，桿端位移條件為：作單元，桿端位移條件為： ， ， ， 。 01eu01ev02ev02eu單元?jiǎng)偠确匠虨閱卧獎(jiǎng)偠确匠虨門(mén)21T21eeeeeMMe eF(10-11)單元?jiǎng)偠染仃嚍閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚍閑eeelEIlEIlEIlEIMM21214224lEIlEIlEIlEIe4224K（10-12）（10-13）(2) 連續(xù)梁?jiǎn)卧B續(xù)梁?jiǎn)卧獥U端位移向量與單元桿端力向量為桿端位移向量與單元桿端力向量為: :10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染?/p>

23、陣 注意：注意：矩陣中只列出彎矩沒(méi)列出剪力。這并不矩陣中只列出彎矩沒(méi)列出剪力。這并不是說(shuō)連續(xù)梁?jiǎn)卧袥](méi)有剪力是說(shuō)連續(xù)梁?jiǎn)卧袥](méi)有剪力, , 只不過(guò)是只把桿端只不過(guò)是只把桿端轉(zhuǎn)角作為基本未知量來(lái)考慮而己。求出桿端彎矩轉(zhuǎn)角作為基本未知量來(lái)考慮而己。求出桿端彎矩, , 便可求出剪力。便可求出剪力。10-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?整體分析時(shí)必須建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，稱(chēng)為整體整體分析時(shí)必須建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，稱(chēng)為整體坐標(biāo)系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整坐標(biāo)系，其作用是把各單元上不同方向的量值統(tǒng)一到整體坐標(biāo)系方向上來(lái)。整體坐標(biāo)系中，單元桿端位移向量體坐標(biāo)系方向上來(lái)。整體坐標(biāo)系中，單元桿端

24、位移向量記為記為 e , ,單元桿端力向量記為單元桿端力向量記為 Fe TTejeyjexjeieyiexiejejejeieieiMFFMFFvuvueeF問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換局部坐標(biāo)系下的桿端力局部坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力1. 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系 與整與整體坐標(biāo)系為體坐標(biāo)系為xoy的夾角的夾角以以x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與局部坐軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與局部坐標(biāo)系標(biāo)系 為正。為正。 xyox10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換j 端點(diǎn)桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系端點(diǎn)桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系 端點(diǎn)端

25、點(diǎn)i 處的桿端力分量，有下列轉(zhuǎn)換關(guān)系：處的桿端力分量，有下列轉(zhuǎn)換關(guān)系：eieieyiexieyieyiexiexiMMFFFFFFcossinsincos（10-10a） ejejeyjexjeyjeyjexjexjMMFFFFFFcossinsincos（10-10b） 整體坐標(biāo)系下的桿端力與局部坐標(biāo)系下的桿端力之間的關(guān)系整體坐標(biāo)系下的桿端力與局部坐標(biāo)系下的桿端力之間的關(guān)系10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換ejeyjexjeieyiexiejeyjexjeieyiexiMFFMFFMFFMFF1000000cossin-0000sincos0000001000000cos

26、sin-0000sincos簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 eeFTF將（將（10-10a）和（）和（10-10b）聯(lián)合起來(lái)寫(xiě)成矩陣形式）聯(lián)合起來(lái)寫(xiě)成矩陣形式10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換1000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincosTTT稱(chēng)為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣稱(chēng)為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣, , TT是一正交矩陣。是一正交矩陣。T1TTI為與為與T 同階的單位矩陣。同階的單位矩陣。TTTTTT或或10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換同理同理 eeTTeeTeeFTF由由T-1eeeFTFTF可得可得cossin-00s

27、incos0000cossin-00sincosT坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為： 對(duì)平面桁架單元對(duì)平面桁架單元 ， 。011eeMM022eeMM10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒?xiě)為整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒?xiě)為 eeeKF局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒?xiě)為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠虒?xiě)為eeeKF由由 ， ，得，得eeFTFeeTeeeeeeTKKFTF等式兩邊左乘等式兩邊左乘 ，得，得TTTeeeeeKTKTF2. 整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嘥TTKee從而可得兩種坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換關(guān)系式從而可得兩種坐標(biāo)系中單元?jiǎng)?/p>

28、度矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系式: :10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換對(duì)于平面剛架單元，對(duì)于平面剛架單元，整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍檎w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍?iCliCliBCCliCCliBCliBCiCliCliiCliCliBCCCliBCliCliBCCliCCliBCliBCCliCCliBCliBCxxyyyxyxxyxxyyxxxyyyxyxyyxyxe46126121226646121261261212612122222222222222222222222對(duì)稱(chēng)K式中：式中：sin;cos,yxCClEIilEAB10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換

29、平面桁架單元在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍槠矫骅旒軉卧谡w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍? : lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(稱(chēng)對(duì)K 整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?具有與具有與 類(lèi)似的性類(lèi)似的性質(zhì)質(zhì)(對(duì)稱(chēng)性和奇異性對(duì)稱(chēng)性和奇異性)。 eKeK10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換eieyiexieiMFFFejeyjexjejMFFFeieieieivuejejejejvu2 表示單元表示單元 j 端產(chǎn)生單位位移時(shí)引起端產(chǎn)生單位位移時(shí)引起 i 端的桿端力。端的桿端力。eijK對(duì)于平面剛架單元對(duì)于平面剛架單元

30、整體分析中，對(duì)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)分別建立平衡方程，為了整體分析中，對(duì)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)分別建立平衡方程，為了討論方便，將單元?jiǎng)偠确匠贪磧啥说慕Y(jié)點(diǎn)討論方便，將單元?jiǎng)偠确匠贪磧啥说慕Y(jié)點(diǎn) i 、j 進(jìn)行分塊，進(jìn)行分塊，寫(xiě)為寫(xiě)為對(duì)于平面剛架單元，它們都是對(duì)于平面剛架單元，它們都是33階方陣。階方陣。對(duì)于平面桁架單元，它們都是對(duì)于平面桁架單元，它們都是22階方陣。階方陣。 ejeiejjejieijeiiejeiKKKKFF10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換例例: :整體單剛的計(jì)算整體單剛的計(jì)算 48602460610610005 . 0005 . 024004860610610005 . 0005

31、 . 021kk, 1/12, 6/2lilEAl2xy1l已知已知: :1212EI12; 6 lEA求求: :各單元整體單剛各單元整體單剛解解: :484 ,242 , 6/6iili01 1000000100000010000001000000100000011T 11111kTkTkT10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換 1000000010000100000001000000010000102T9024806240605 .0005 .006016012406480605 .0005 .00601601 2222TkTkT10-3 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃?/p>

32、的坐標(biāo)變換分析任務(wù)分析任務(wù): :建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系- -結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)的剛度方程例例: : 4321FFFFF 4321第一步第一步: : 編號(hào)，建坐標(biāo)編號(hào)，建坐標(biāo)符號(hào)：與整體坐標(biāo)正向?yàn)檎?。iiiivu iiiiMYXF結(jié)點(diǎn)力列向量結(jié)點(diǎn)力列向量結(jié)點(diǎn)位移列向量結(jié)點(diǎn)位移列向量其中：10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 1F、 4F 支座反力 2F、 4F 結(jié)點(diǎn)外力 F F= = K K 表示整個(gè)結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)系中的結(jié)表示整個(gè)結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的變換關(guān)系。點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的變換關(guān)系。-明確任務(wù)明確任務(wù)有有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的平面剛架，個(gè)結(jié)

33、點(diǎn)的平面剛架，是是3 3n階向量階向量。T222111)(nnnvuvuvuT2211)(nnvuvuvu F結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量。它是由作用在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量。它是由作用在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的外力的外力 ( (包括已知的荷載和未知的支座反力包括已知的荷載和未知的支座反力) ) 構(gòu)成的。構(gòu)成的。注意：注意：F與與的階數(shù)相同的階數(shù)相同, , 而且是一一對(duì)應(yīng)的。而且是一一對(duì)應(yīng)的。結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量。矩陣位移法的基本未知量結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量。矩陣位移法的基本未知量。 K 結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣（總剛）。其行、列數(shù)等于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的位移數(shù)。于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的位移數(shù)。 10-4

34、結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣第二步：?jiǎn)卧治龅诙剑簡(jiǎn)卧治?23332232232KKKKFF212221121121KKKKFF434443343343KKKKFF10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣第三步，利用變形條件和平衡條件建立第三步，利用變形條件和平衡條件建立 與與 F 的關(guān)系。的關(guān)系。分別對(duì)結(jié)點(diǎn)1，2，3，4進(jìn)行分析10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣由變形條件： 222 333 1144由平衡條件：如結(jié)點(diǎn)如結(jié)點(diǎn)2 2：2220XXXX2220YYYY2220MMMM即： 222222222MYXMYXMYX即： 222FFF 323222221212

35、)(KKKKF10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣同理，對(duì)結(jié)點(diǎn)1、3、4的平衡條件為： 2121111KKF 434333332323)(KKKKF 4443434KKF寫(xiě)成矩陣形式： 43214443342222322322222112114321000000KKKKKKKKKKKKFFFF10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣上式稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的原始剛度方程，簡(jiǎn)寫(xiě)為：上式稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的原始剛度方程，簡(jiǎn)寫(xiě)為： KF K稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣原始剛度矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)總剛總剛。總剛度矩陣特性總剛度矩陣特性：（1 1） K 是對(duì)稱(chēng)方陣；是對(duì)稱(chēng)方陣； kij=kji（反力互等定理），貯存總剛度矩陣

36、時(shí)，只反力互等定理），貯存總剛度矩陣時(shí)，只需貯存它的一半就行了。需貯存它的一半就行了。（2 2） K K 是稀疏矩陣；是稀疏矩陣；非零元素只分布在主對(duì)角線(xiàn)兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。非零元素只分布在主對(duì)角線(xiàn)兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。 表示結(jié)點(diǎn)位移表示結(jié)點(diǎn)位移 和結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)力 F F 之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載實(shí)際荷載，并不是并不是原原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 當(dāng)尚未引進(jìn)支座條件的情況下，結(jié)構(gòu)剛度方程當(dāng)尚未引進(jìn)支座條件的情況下，結(jié)構(gòu)剛度方程是無(wú)法求解的（

37、未引進(jìn)支座條件時(shí)，結(jié)構(gòu)存在剛體是無(wú)法求解的（未引進(jìn)支座條件時(shí)，結(jié)構(gòu)存在剛體位移）。位移）。 （3）K 是一個(gè)奇異矩陣。是一個(gè)奇異矩陣。0K 特稱(chēng)沒(méi)有引進(jìn)支座條件的總剛度矩陣稱(chēng)為特稱(chēng)沒(méi)有引進(jìn)支座條件的總剛度矩陣稱(chēng)為原始原始總剛度矩陣總剛度矩陣。建立總剛度矩陣有兩種方法建立總剛度矩陣有兩種方法: : 1 1）理論推導(dǎo)）理論推導(dǎo), , 即剛度法。即剛度法。 2 2）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩）直接由單剛陣按一定的規(guī)律集成總剛度矩陣，稱(chēng)為陣，稱(chēng)為直接剛度法直接剛度法10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣由總剛中元素的物理意義形成：由總剛中元素的物理意義形成：2(4,5,6)1(1,2

38、,3) 3(7,8,9)12111121912212229299192999.FkkkFkkkFkkk 則有則有: :912111921kkkFFF, 1193 , 20jj 若令若令: :11k21k31k41k51k61k71k81k91kli/651k61k41k2/12 li11211/12liklik/631241/12 liklik/661其他其他K Ki1i1為為0 0，這種方法太麻煩。，這種方法太麻煩。10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣桁架的指示矩陣為：桁架的指示矩陣為： 任何一個(gè)桿端都與一個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)。圖示桁架，其單元任何一個(gè)桿端都與一個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)。圖示桁架，其單元桿

39、端與結(jié)點(diǎn)號(hào)可用一個(gè)矩陣來(lái)表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，桿端與結(jié)點(diǎn)號(hào)可用一個(gè)矩陣來(lái)表示。矩陣的行數(shù)為單元數(shù)，列數(shù)為列數(shù)為2。每一行的兩個(gè)數(shù)分別表示該單元。每一行的兩個(gè)數(shù)分別表示該單元 i、j 端對(duì)應(yīng)的端對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)號(hào)。這個(gè)矩陣稱(chēng)為指示矩陣。結(jié)點(diǎn)號(hào)。這個(gè)矩陣稱(chēng)為指示矩陣。指示矩陣實(shí)際指示矩陣實(shí)際上也給出了各上也給出了各單元坐標(biāo)系。單元坐標(biāo)系。423141433221G Gi j直接剛度法形成總剛度矩陣直接剛度法形成總剛度矩陣 直接剛度法直接剛度法直接由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配形成總剛直接由各單元?jiǎng)偠染仃囇b配形成總剛度矩陣。是目前編制計(jì)算機(jī)程序最常用的方法。度矩陣。是目前編制計(jì)算機(jī)程序最常用的方法。 1. 1.

40、首先應(yīng)將結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)。編號(hào)可以任意編，首先應(yīng)將結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)。編號(hào)可以任意編，并不影響計(jì)算結(jié)果。并不影響計(jì)算結(jié)果。34123612F1F35F4410-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣2. 首先列出整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?。首先列出整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚒?. 將單元?jiǎng)偠染仃噭澐譃閷卧獎(jiǎng)偠染仃噭澐譃?個(gè)子塊：個(gè)子塊： ejjejieijeiieK KK KK KK KK K 4. 按按“子塊搬家，對(duì)號(hào)入座子塊搬家，對(duì)號(hào)入座”的原則將單元?jiǎng)偠染氐脑瓌t將單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置陣中的子塊，一塊塊地搬入總剛度矩陣中，而搬入的位置則根據(jù)

41、指示矩陣則根據(jù)指示矩陣G 的規(guī)定來(lái)確定。的規(guī)定來(lái)確定。 一般的規(guī)律是：第一般的規(guī)律是：第e單元單元i 端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為g, , j 端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)號(hào)為h。“搬家搬家”時(shí)將該單元單元?jiǎng)偠染貢r(shí)將該單元單元?jiǎng)偠染仃囍械淖訅K陣中的子塊Kij搬到總剛度矩陣中的子塊位置搬到總剛度矩陣中的子塊位置Kgh，即，即搬到總剛度矩陣中第搬到總剛度矩陣中第g子塊行，第子塊行，第h子塊列中去。子塊列中去。10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣yxji531K11 K13K31K33423141433221G)5(iiK K)5(ijK K)5(jiK K)5(jjK K 例如例如, ,圖示

42、桁架第圖示桁架第號(hào)單元的號(hào)單元的4個(gè)子塊，根據(jù)指?jìng)€(gè)子塊，根據(jù)指示矩陣示矩陣G 的指示，分別搬到：的指示，分別搬到：34123612F1F35F4410-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 2）用上述用上述 “子塊搬家，對(duì)號(hào)入座子塊搬家，對(duì)號(hào)入座” 裝配總裝配總剛度矩陣剛度矩陣的方法的方法也適用于其他任何桿件結(jié)構(gòu)。也適用于其他任何桿件結(jié)構(gòu)。各單元都按此原則各單元都按此原則“搬家搬家”后，桁架的總剛度矩陣為：后，桁架的總剛度矩陣為： 1 2 3 4 4321)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2()1 ()1 ()4()5()1 ()5

43、()4()1 (jjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K注意：注意： 1）總剛的）總剛的一個(gè)子塊位置中搬入幾個(gè)子塊時(shí)，這一個(gè)子塊位置中搬入幾個(gè)子塊時(shí)，這幾個(gè)子塊應(yīng)疊加。幾個(gè)子塊應(yīng)疊加。34123612F1F35F4410-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣總剛度矩陣的構(gòu)造總剛度矩陣的構(gòu)造 圖示桁架有圖示桁架有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，有個(gè)結(jié)點(diǎn)，有8個(gè)位移分量。個(gè)位移分量。= =u1 v1 u2 v2

44、u3 v3 u4 v4T T總剛度矩陣則為總剛度矩陣則為8 階方陣階方陣：子塊行子塊行元素行元素行43218765432135kK32K 子塊列子塊列 1 2 3 4 元素列元素列 1 2 3 4 5 6 7 8 341234612F15F43F 將其分成將其分成4個(gè)子塊。平個(gè)子塊。平面桁架，每一結(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)面桁架，每一結(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)位移分量，每一子塊中就有位移分量，每一子塊中就有兩行兩列共兩行兩列共4個(gè)元素。個(gè)元素。 1. K32的物理意義是什么？的物理意義是什么？思考：思考：2. k35的物理意義是什么的物理意義是什么？10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 1. 子塊子塊K32表示

45、結(jié)點(diǎn)表示結(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移時(shí)引起的結(jié)產(chǎn)生單位位移時(shí)引起的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)3的結(jié)點(diǎn)力。的結(jié)點(diǎn)力。 2. k35表示第表示第5號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)3沿沿X方向的位移）方向的位移）為一單位時(shí)引起沿第為一單位時(shí)引起沿第3號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)號(hào)位移（結(jié)點(diǎn)2沿沿y方向的位移）方向的位移）方向的力。這個(gè)力應(yīng)該理解為相當(dāng)于按位移法的基方向的力。這個(gè)力應(yīng)該理解為相當(dāng)于按位移法的基本結(jié)構(gòu)所規(guī)定的結(jié)點(diǎn)本結(jié)構(gòu)所規(guī)定的結(jié)點(diǎn)2的豎向附加約束的約束反力。的豎向附加約束的約束反力。4. 總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？總剛度矩陣中某一元素的物理意義是什么？ 3. 對(duì)于空間桁架和平面剛架，每個(gè)子塊中含多對(duì)于空間桁架和平面剛架，每個(gè)子塊

46、中含多少個(gè)元素？少個(gè)元素？思考：思考： 答：答：10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣1）首先對(duì)其結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)如圖示。）首先對(duì)其結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)如圖示。 )()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK每個(gè)子塊都是由每個(gè)子塊都是由33階的階的9個(gè)元素構(gòu)成的。個(gè)元素構(gòu)成的。 3）列出剛架的指示矩陣）列出剛架的指示矩陣 i j54423221G G 2）列出各單元的用整體坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃嚕┝谐龈鲉卧挠谜w坐標(biāo)表示的單元?jiǎng)偠染仃?為：為：)(eK K134223451平面剛架平面剛架 10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣對(duì)號(hào)入座裝配總剛度矩陣

47、為：對(duì)號(hào)入座裝配總剛度矩陣為： 1 2 3 4 554321000000000000)4()4()4()4()3()3()2()2()3()2()3()2() 1 () 1 () 1 () 1 (jjjiijiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣主子塊：主子塊：主對(duì)角線(xiàn)上的子塊， iiK副子塊：副子塊：非主對(duì)角線(xiàn)上的子塊， )(jiKiji，j相關(guān)單元：相關(guān)單元：連接結(jié)點(diǎn)i，j單元。i相關(guān)結(jié)點(diǎn)：相關(guān)結(jié)點(diǎn)：與結(jié)點(diǎn) 相鄰的結(jié)

48、點(diǎn)。 i總剛的特點(diǎn)：總剛的特點(diǎn)：1） eeiiiiKK（e為結(jié)點(diǎn)i的相關(guān)單元） 2）若 i，j非相關(guān)，則 0ijK相關(guān)單元：相關(guān)單元：與結(jié)點(diǎn) 相連的單元。 ii ，若 ij為相關(guān)，則 eijijKK（e為結(jié)點(diǎn)i, 的相關(guān)單元） j總剛的形成：對(duì)號(hào)入座，同號(hào)相加。單剛子塊在總剛中的分布規(guī)律總結(jié)：?jiǎn)蝿傋訅K在總剛中的分布規(guī)律總結(jié)：10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣解：有關(guān)參數(shù) 1234xy123llmKNlEImKNlEIKNlEImKNlEImKNlEA3332333103221064410246/101212/10500單剛見(jiàn)教材（略）例：試求圖示剛架的原始剛度矩陣。 已知各桿 ,2

49、00GPaE mlmAmI4,101,1032224510-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 64 0 500 24 0 12 32 0 24 281 0 500 0 24512 24 0 12 240512 32 24 0 281 0 24 12 0 24512 0 0 500240512 32024640 0 050000500 2401224012103稱(chēng)對(duì)K10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣4,1058665444,kkkkk（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）10-4 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣12342Fx231Fy2M2M3

50、Fy3Fx3圖示剛架原始剛度方程圖示剛架原始剛度方程11111222212222233332333334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知10-5 支承條件的引入支承條件的引入11111222212222233332333334444344000000FkkFkkkkFkkkkFkk 未知未知未知未知未知未知未知未知已知已知已知已知已知已知已知已知由于結(jié)點(diǎn)由于結(jié)點(diǎn)1 1、4 4為固定端，故支承約束條件為為固定端，故支承約束條件為1400代入結(jié)構(gòu)原始剛度方程，有代入結(jié)構(gòu)原始剛度方程，有222222333333

51、00FkkFkk 和和1122443300FkFk 10-5 支承條件的引入支承條件的引入22222233333300FkkFkk 其中其中為引入支承條件后的結(jié)構(gòu)剛度方程，可寫(xiě)為：為引入支承條件后的結(jié)構(gòu)剛度方程，可寫(xiě)為： KF式中：式中： 只包括已知結(jié)點(diǎn)荷載，只包括已知結(jié)點(diǎn)荷載， 只包括未知結(jié)點(diǎn)位只包括未知結(jié)點(diǎn)位移，此時(shí)的矩陣移，此時(shí)的矩陣 即為從結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中刪即為從結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中刪去與已知為零的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的行和列而得到，稱(chēng)為去與已知為零的結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的行和列而得到，稱(chēng)為結(jié)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣或縮減的總剛。構(gòu)的剛度矩陣或縮減的總剛。FK 此時(shí)，由于引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的任意剛體此

52、時(shí)，由于引入支承條件，消除了結(jié)構(gòu)的任意剛體位移，故結(jié)構(gòu)剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結(jié)點(diǎn)位移，故結(jié)構(gòu)剛度矩陣為非奇異矩陣，可得到未知結(jié)點(diǎn)位移位移 的唯一解。（若此時(shí)結(jié)構(gòu)剛度矩陣仍奇異，的唯一解。（若此時(shí)結(jié)構(gòu)剛度矩陣仍奇異，說(shuō)明原結(jié)構(gòu)為幾何可變或瞬變體系）。說(shuō)明原結(jié)構(gòu)為幾何可變或瞬變體系）。10-5 支承條件的引入支承條件的引入 求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，可由單元?jiǎng)偠确匠逃?jì)算各單求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，可由單元?jiǎng)偠确匠逃?jì)算各單元的內(nèi)力。整體坐標(biāo)系下，單元桿端力為：元的內(nèi)力。整體坐標(biāo)系下，單元桿端力為：可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力或：局部坐標(biāo)系下單元桿端結(jié)點(diǎn)位移或：局部坐標(biāo)系下

53、單元桿端結(jié)點(diǎn)位移同樣可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力同樣可求得局部坐標(biāo)系下單元桿端力eeeeeTKKFeeTeeeeKTFTFeeeKF10-5 支承條件的引入支承條件的引入1122443300FkFk 求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，由式求出未知結(jié)點(diǎn)位移后，由式可計(jì)算支座反力?？捎?jì)算支座反力。 但是，當(dāng)全部桿件的內(nèi)力都求出后，一般可由結(jié)點(diǎn)但是，當(dāng)全部桿件的內(nèi)力都求出后，一般可由結(jié)點(diǎn)平衡條件求支座反力更方便。平衡條件求支座反力更方便。10-5 支承條件的引入支承條件的引入54321000000000000)4()4()4()4()3()3()2()2()3()2()3()2()1()1()1()1(jjjii

54、jiijjjijjjiijijiiiijjjiijiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK42(4)(3)(3)(3)(2)(1)iijjjiijiiiijjKKKKKKKK(3)2 4圖示剛架的原始剛度矩陣圖示剛架的原始剛度矩陣134212345 舍棄與約束所對(duì)應(yīng)的行和列，得到引進(jìn)了支座條舍棄與約束所對(duì)應(yīng)的行和列，得到引進(jìn)了支座條件后的總剛度矩陣件后的總剛度矩陣： 這就是這就是后處理法后處理法，即即先集成總剛度矩陣先集成總剛度矩陣，然后再引然后再引進(jìn)約束條進(jìn)約束條。還有。還有先處理法先處理法，即，即先引進(jìn)支座條件先引進(jìn)支座條件，然

55、后然后集成總剛度矩陣。集成總剛度矩陣。( (暫略暫略) ) 10-5 支承條件的引入支承條件的引入 1 2 3 4 0000432103322)6()4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2() 1 () 1 ()4()5() 1 ()5()4() 1 (4432111vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFFFFjjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiyxyx引進(jìn)約束條件后的剛度方程：引進(jìn)約束條件后的剛度方程：3322)5()3()2()2()2()6()2()1(3

56、210vuvuFFFjjiijjjiijiiiijjK KK KK KK KK KK KK KK K 通過(guò)求解線(xiàn)性代數(shù)通過(guò)求解線(xiàn)性代數(shù)方程組的方法求出未知方程組的方法求出未知的結(jié)點(diǎn)位移向量。的結(jié)點(diǎn)位移向量。圖示平面桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為：圖示平面桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的原始剛度方程為：341234612F15F43F10-5 支承條件的引入支承條件的引入1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF FeEy3y3FF FeE33MM2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM1234(a)(b)(c) 對(duì)于平面剛架單元，對(duì)于平面剛架單

57、元，若單元上作用著非結(jié)點(diǎn)荷若單元上作用著非結(jié)點(diǎn)荷載，則單元載，則單元的桿端力將由的桿端力將由兩部分構(gòu)成。一部分是由兩部分構(gòu)成。一部分是由結(jié)點(diǎn)位移所引起結(jié)點(diǎn)位移所引起的，另一的，另一部分是非結(jié)點(diǎn)荷載作用而部分是非結(jié)點(diǎn)荷載作用而直接引起的桿端力直接引起的桿端力, 即固即固端內(nèi)力。端內(nèi)力。10-6 非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理2FeyF31242FexF2FeM3FeyF3FexF3FeM(b) 同位移法，剛結(jié)點(diǎn)處施加同位移法，剛結(jié)點(diǎn)處施加附加鏈桿和附加剛臂阻止所有附加鏈桿和附加剛臂阻止所有結(jié)點(diǎn)的線(xiàn)位移和角位移，此時(shí)結(jié)點(diǎn)的線(xiàn)位移和角位移，此時(shí)各單元有固端力，附加鏈桿和各單元有固端力，附加鏈桿和附

58、加剛臂上有附加反力和附加附加剛臂上有附加反力和附加反力矩。由結(jié)點(diǎn)平衡條件可知，反力矩。由結(jié)點(diǎn)平衡條件可知，附加聯(lián)系上的附加反力等于匯附加聯(lián)系上的附加反力等于匯交于該結(jié)點(diǎn)的各固端力的代數(shù)交于該結(jié)點(diǎn)的各固端力的代數(shù)和。和。某單元某單元e受非結(jié)點(diǎn)荷載作用，單元局部坐標(biāo)系中的固端力為：受非結(jié)點(diǎn)荷載作用，單元局部坐標(biāo)系中的固端力為：FeFeFeFeFeFeFeTNSNS()ijiijjFFMFFMF固端大小可由固端內(nèi)力表查得，固端大小可由固端內(nèi)力表查得，10-6 非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理1234 FeEx2x2FF FeEy2y2FF FeE22MM FeEx3x3FF FeEy3y3FF Fe

59、E33MM（c）取消附加聯(lián)系，相當(dāng)于取消附加聯(lián)系，相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)上施加了與上述在結(jié)點(diǎn)上施加了與上述附加反力和附加反力矩附加反力和附加反力矩反號(hào)的荷載，此荷載成反號(hào)的荷載，此荷載成為原結(jié)構(gòu)上非結(jié)點(diǎn)荷載為原結(jié)構(gòu)上非結(jié)點(diǎn)荷載的的等效結(jié)點(diǎn)荷載。等效結(jié)點(diǎn)荷載。注意：這里“等效”指圖（a）和圖（c）的結(jié)點(diǎn)位移相等整體坐標(biāo)系中的固端力為：整體坐標(biāo)系中的固端力為：T()xiyiixjyjjFeTFeFeFeFeFeFeFeFT FFFMFFM將各分量反號(hào)并對(duì)號(hào)入座送到荷載列陣中去，即為等效結(jié)點(diǎn)荷載。將各分量反號(hào)并對(duì)號(hào)入座送到荷載列陣中去，即為等效結(jié)點(diǎn)荷載。10-6 非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理任一結(jié)點(diǎn)任一結(jié)

60、點(diǎn)i上的等效結(jié)點(diǎn)荷載上的等效結(jié)點(diǎn)荷載FEi為：為： xiyiFeExiFeFeiEiEyiFeEii-FFFF-FFM-M 如果除了非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載如果除了非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載FEi外，結(jié)點(diǎn)外，結(jié)點(diǎn)i上還上還作用有直接結(jié)點(diǎn)荷載作用有直接結(jié)點(diǎn)荷載FDi，則，則i點(diǎn)總的結(jié)點(diǎn)荷載為：點(diǎn)總的結(jié)點(diǎn)荷載為：iDiEiFFF結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)i的綜合結(jié)點(diǎn)荷載的綜合結(jié)點(diǎn)荷載DEFFF整個(gè)結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載整個(gè)結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載10-6 非結(jié)點(diǎn)荷載的處理非結(jié)點(diǎn)荷載的處理 各單元最后的桿端力是固端力和綜合結(jié)點(diǎn)荷載作用下產(chǎn)各單元最后的桿端力是固端力和綜合結(jié)點(diǎn)荷載作用下產(chǎn)生的桿端力之和，即生的桿端力之和，即Feee