第8-9講 力平衡微分方程

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第八講第八講Lesson Eight李振紅李振紅Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程學(xué)院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2022-4-272o 為了進(jìn)行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計(jì)算，需要建立變?yōu)榱诉M(jìn)行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計(jì)算，需要建立變形力學(xué)的有關(guān)方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方程形力學(xué)的有關(guān)方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方

2、程和應(yīng)力邊界條件方程）；幾何方程（包括應(yīng)變與位移關(guān)和應(yīng)力邊界條件方程）；幾何方程（包括應(yīng)變與位移關(guān)系方程和變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程（包括塑性條件方系方程和變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程（包括塑性條件方程和應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系方程）等。程和應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系方程）等。力平衡微分方程有力平衡微分方程有3個(gè)；個(gè)；幾何方程有幾何方程有6個(gè)；個(gè)；物理方程有物理方程有6個(gè)；個(gè)；塑性條件方程有塑性條件方程有1個(gè)個(gè)一般塑性加工力學(xué)問題需要建立這一般塑性加工力學(xué)問題需要建立這16個(gè)方程。本章著重個(gè)方程。本章著重講解這些方程的導(dǎo)出及其相關(guān)的物理含義。講解這些方程的導(dǎo)出及其相關(guān)的物理含義。2022-4-273第五章 變形力學(xué)方程主

3、要內(nèi)容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服條件 o 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o 平面變形和軸對稱變形 2022-4-2745.1 力平衡微分方程o 一般情況下，變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一般情況下，變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 是是不同的，不能僅用一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述或表不同的，不能僅用一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述或表示整個(gè)變形體的受力情況。但是變形體內(nèi)各示整個(gè)變形體的受力情況。但是變形體內(nèi)各點(diǎn)間的應(yīng)力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各點(diǎn)間的應(yīng)力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各應(yīng)力分量必須滿足靜力平衡關(guān)系應(yīng)力分量必須滿足靜力平衡關(guān)系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-4-2755

4、.1.1 直角坐標(biāo)系的力平衡微分方程 o 設(shè)變形體內(nèi)有兩相鄰點(diǎn)設(shè)變形體內(nèi)有兩相鄰點(diǎn)a及及a1，a點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為x、y、z，a1點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為x+dx、y+dy、z+dz，通過通過a及及a1點(diǎn)各作互相垂直的三個(gè)坐標(biāo)面，點(diǎn)各作互相垂直的三個(gè)坐標(biāo)面，圍成一個(gè)微分六面體。在此微分體上作用著圍成一個(gè)微分六面體。在此微分體上作用著法線應(yīng)力和切應(yīng)力。法線應(yīng)力和切應(yīng)力。 2022-4-276zxydxxxxdzzzxzxdyyyxyxyxzxx2022-4-277o 通過通過a點(diǎn)的點(diǎn)的x平面上作用著平面上作用著 ，而，而通過通過a1點(diǎn)的點(diǎn)的x平面上作用著平面上作用著 zyxfx,zydxxfx,1

5、222,! 21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可簡化為可簡化為 dxxxxx1其它各應(yīng)力分量同理可得。其它各應(yīng)力分量同理可得。 2022-4-278o 如果不考慮慣性力，按靜力平衡如果不考慮慣性力，按靜力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxzxdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-4-279o 同理，由同理，由 、 有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij0jijfi高速塑性加工時(shí)，高速塑性加工時(shí)，慣性力不可忽略慣性力不可忽略

6、 求和約定得形式求和約定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X2022-4-2710o 力平衡微分方程反映了變形體內(nèi)正應(yīng)力的變力平衡微分方程反映了變形體內(nèi)正應(yīng)力的變化與切應(yīng)力變化的內(nèi)在聯(lián)系和平衡關(guān)系，可化與切應(yīng)力變化的內(nèi)在聯(lián)系和平衡關(guān)系，可用來分析和求解變形區(qū)的應(yīng)力分布。用來分析和求解變形區(qū)的應(yīng)力分布。 2022-4-27115.1.2 柱面坐標(biāo)系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr2022-4-27125.1.3 應(yīng)力邊界條件及摩擦應(yīng)力邊界條件及摩擦 o 過變形體外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過過

7、變形體外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的關(guān)系如下該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的關(guān)系如下式所示式所示 nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxiijjlp或或該式就是應(yīng)力邊界條件方程該式就是應(yīng)力邊界條件方程 2022-4-2713應(yīng)力邊界條件的種類 o 自由表面自由表面 一般情況下，在工件的自由表面上，既一般情況下，在工件的自由表面上，既沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用。沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用。 自由表面自由表面2022-4-2714o 工件與工具的接觸表面工件與工具的接觸表面 在此邊界上，既有壓縮正應(yīng)力的作用，在此邊界上，既有壓縮正應(yīng)力的作用，也

8、有摩擦應(yīng)力的作用。也有摩擦應(yīng)力的作用。 接觸表面接觸表面2022-4-2715o 變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面 在此界面上作用的應(yīng)力，可能來自兩區(qū)在此界面上作用的應(yīng)力，可能來自兩區(qū)本身的相互作用，也可能來自特意加的外力本身的相互作用，也可能來自特意加的外力作用。作用。 剛塑性交界面剛塑性交界面2022-4-2716金屬塑性加工中的接觸摩擦 o 在金屬塑性加工過程中，由于變形金屬與工在金屬塑性加工過程中，由于變形金屬與工具之間存在正壓力及相對滑動（或相對滑動具之間存在正壓力及相對滑動（或相對滑動趨勢），這就在二者之間產(chǎn)生摩擦力作用。趨勢），這就在二者之間產(chǎn)生摩擦力作用。這種接

9、觸摩擦力，不僅是變形力學(xué)計(jì)算的主這種接觸摩擦力，不僅是變形力學(xué)計(jì)算的主要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時(shí)甚至要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時(shí)甚至是能否成型的關(guān)鍵因素。是能否成型的關(guān)鍵因素。 2022-4-2717庫侖摩擦定律 fPT nff或或TPfnf式中式中 摩擦力摩擦力正壓力正壓力摩擦切應(yīng)力（單位摩擦力）摩擦切應(yīng)力（單位摩擦力）壓縮正應(yīng)力壓縮正應(yīng)力摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)2022-4-2718o 由于摩擦系數(shù)受應(yīng)力狀態(tài)的影響，而且很難由于摩擦系數(shù)受應(yīng)力狀態(tài)的影響，而且很難測準(zhǔn)。因此，許多研究者建議采用如下的摩測準(zhǔn)。因此，許多研究者建議采用如下的摩擦關(guān)系擦關(guān)系 mkffkm0 . 10m式中式中

10、 摩擦切應(yīng)力摩擦切應(yīng)力接觸層工件的屈服切應(yīng)力接觸層工件的屈服切應(yīng)力摩擦因子摩擦因子2022-4-2719第五章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服條件屈服條件 o 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 2022-4-27205.2 屈服條件屈服條件影響金屬屈服的主要因素影響金屬屈服的主要因素 o 在外力作用下，金屬由彈性狀態(tài)過渡到塑性在外力作用下，金屬由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)，主要取決于變形金屬的狀態(tài)，主要取決于變形金屬的機(jī)械性能機(jī)械性能、變變形條件形

11、條件和所受的和所受的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。o 金屬本身的機(jī)械性能是決定金屬屈服的內(nèi)因金屬本身的機(jī)械性能是決定金屬屈服的內(nèi)因o 變形條件和應(yīng)力狀態(tài)是金屬屈服的外因。變形條件和應(yīng)力狀態(tài)是金屬屈服的外因。 2022-4-2721sTij2022-4-2722o 由這三種因素合成的作用，金屬屈服的表達(dá)式由這三種因素合成的作用，金屬屈服的表達(dá)式為為o 在同樣的變形條件下，采用同一種金屬材料，在同樣的變形條件下，采用同一種金屬材料，那么屈服就只與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)了那么屈服就只與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)了o 式中式中 f 又稱為屈服函數(shù)。又稱為屈服函數(shù)。 時(shí)，材料屈時(shí)，材料屈服服ijijijsTfy,ijfyCfij2022-

12、4-2723123單向拉伸材料屈服時(shí)，有單向拉伸材料屈服時(shí)，有Cfsij1?ijf改變應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，改變應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，2022-4-2724o 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各應(yīng)力分量同簡單應(yīng)力在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各應(yīng)力分量同簡單應(yīng)力狀態(tài)下試驗(yàn)確定的狀態(tài)下試驗(yàn)確定的 或或 具有什么樣的關(guān)具有什么樣的關(guān)系時(shí)，金屬才能屈服？系時(shí)，金屬才能屈服？o 這個(gè)關(guān)系就是屈服條件（又稱塑性條件、屈這個(gè)關(guān)系就是屈服條件（又稱塑性條件、屈服準(zhǔn)則、塑性方程）。服準(zhǔn)則、塑性方程）。sk2022-4-2725實(shí)際金屬材料的屈服條件是相當(dāng)復(fù)雜的。因此實(shí)際金屬材料的屈服條件是相當(dāng)復(fù)雜的。因此對金屬材料要做如下簡化：對金屬材料要做如下簡化：o

13、 金屬是各向同性的均質(zhì)體；金屬是各向同性的均質(zhì)體；o 假定金屬具有明顯的屈服極限；假定金屬具有明顯的屈服極限；o 無包辛格效應(yīng)；無包辛格效應(yīng)；o 金屬的屈服不受靜水壓力的影響。金屬的屈服不受靜水壓力的影響。 2022-4-27265.2.1 Tresca最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論 o 對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，只要最大切應(yīng)力只要最大切應(yīng)力 達(dá)到某個(gè)臨界值，則材達(dá)到某個(gè)臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生屈服料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生屈服 maxC23

14、1max2022-4-2727o 由于金屬的屈服是一物理現(xiàn)象，對于不同的由于金屬的屈服是一物理現(xiàn)象，對于不同的應(yīng)力狀態(tài)，常數(shù)應(yīng)力狀態(tài)，常數(shù) C 應(yīng)相同，所以可以由一些應(yīng)相同，所以可以由一些簡單應(yīng)力狀態(tài)確定之。簡單應(yīng)力狀態(tài)確定之。 o 單向拉伸時(shí)，單向拉伸時(shí)， ， Css220231max即即s31s10232022-4-2728o 薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)，薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)， ， 屈服時(shí)屈服時(shí)所以屈服條件為所以屈服條件為 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy31k2312 2sskk或由于常數(shù)由于常數(shù) C 一定，有一定，有2022-4-2729o 最大切應(yīng)力理論的屈服函數(shù)為最大切應(yīng)力理論的屈服函數(shù)為 2

15、31ijf當(dāng)當(dāng)kfsij2231時(shí)，金屬屈服時(shí)，金屬屈服2022-4-27305.2.2 Mises屈服條件屈服條件 o 對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無對同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，只要偏差應(yīng)力張量第二不變量只要偏差應(yīng)力張量第二不變量 達(dá)到某個(gè)達(dá)到某個(gè)臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生屈服。即發(fā)生屈服。 2I常數(shù)2222zxyzxyxzzyyxI2022-4-2731o 經(jīng)過變換經(jīng)過變換o 取主坐標(biāo)系時(shí)取主坐標(biāo)系時(shí) 常數(shù)222222261zxyzxyx

16、zzyyxI常數(shù)213232221261I其中的常數(shù)由簡單實(shí)驗(yàn)確定其中的常數(shù)由簡單實(shí)驗(yàn)確定2022-4-2732o 單向拉伸時(shí)，單向拉伸時(shí)， ， 則則s1023221323222123161sI22132322212s或或o 薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)，薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)， 0zxyzzyx0 xyxy31有有kxy312k常數(shù)屈服時(shí)屈服時(shí)則2022-4-2733o 因此因此Mises屈服條件為屈服條件為或或 22222222626kszxyzxyxzzyyx 2221323222162kssk由由Mises屈服條件得到屈服條件得到 與與 的關(guān)系為的關(guān)系為 3 3sskk或2022-4-2734o Mises屈服

17、條件的屈服條件的屈服函數(shù)為屈服函數(shù)為o 對于屈服函數(shù)對于屈服函數(shù) ，此時(shí)材料處于屈服，此時(shí)材料處于屈服狀態(tài)，當(dāng)狀態(tài)，當(dāng) 時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)，時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)，而對于而對于 ，破壞了屈服條件。，破壞了屈服條件。21323222161ijfCfijCfijCfij2022-4-2735Mises屈服條件的物理解釋屈服條件的物理解釋 o 由單位體積內(nèi)形狀改變的彈性能達(dá)到一定值由單位體積內(nèi)形狀改變的彈性能達(dá)到一定值時(shí)發(fā)生屈服，即時(shí)發(fā)生屈服，即 Cuijij21也可以導(dǎo)出也可以導(dǎo)出Mises屈服條件。故屈服條件。故Mises屈服條件屈服條件也稱為也稱為形變能定值定理形變能定值定理。 2022-4-

18、2736屈服條件的幾何解釋屈服條件的幾何解釋 o 方程方程 為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的圓柱面，而為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的圓柱面，而則為主坐標(biāo)系下的一與主坐標(biāo)軸成等傾斜的圓則為主坐標(biāo)系下的一與主坐標(biāo)軸成等傾斜的圓柱面。柱面。2221323222162ks2222axzzyyx2022-4-2737oNrPn 1 1 2 2 3 3柱面上一點(diǎn)就表示變形體處于某一應(yīng)力屈服狀態(tài)。柱面上一點(diǎn)就表示變形體處于某一應(yīng)力屈服狀態(tài)。 2022-4-2738P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 ，而，而 321、2322212oPoPmoN331321on on 為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的軸線，則為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的軸線，則 在在onon

19、上上的投影的投影2022-4-2739232123222122231oNoPPN21323222131232221mmm2322211332213322212321222mmmm221223222122232022-4-2740o 把把Mises屈服條件代入上式，則屈服條件代入上式，則 kPNs232即圓柱面的半徑為即圓柱面的半徑為 krs2322022-4-2741o 因?yàn)殪o水壓力對屈服沒有影響，僅偏差應(yīng)力因?yàn)殪o水壓力對屈服沒有影響，僅偏差應(yīng)力分量與屈服有關(guān)，所以分量與屈服有關(guān)，所以 大小對屈服沒有大小對屈服沒有影響，僅影響，僅 與屈服有關(guān)?？梢粤钆c屈服有關(guān)?？梢粤?，則完全可以由通過原點(diǎn)且

20、垂直于圓柱軸線的則完全可以由通過原點(diǎn)且垂直于圓柱軸線的平面表示屈服。該平面平面表示屈服。該平面稱為稱為 平面平面，該平面，該平面與圓柱面的交線稱為與圓柱面的交線稱為屈服曲線屈服曲線。 oNPN0oN2022-4-2742Mises屈服條件在屈服條件在 平面上的屈服曲線為圓，平面上的屈服曲線為圓，Tresca屈服屈服條件在條件在 平面上的屈服曲線為該圓的內(nèi)接正六邊形。平面上的屈服曲線為該圓的內(nèi)接正六邊形。 1 1 2 2 3 3ABCDO2022-4-2743on 1 1 2 2 3 3oNrPn 1 1 2 2 3 32022-4-2744屈服條件總結(jié) o Mises屈服條件在主應(yīng)力坐標(biāo)空間是

21、一個(gè)無屈服條件在主應(yīng)力坐標(biāo)空間是一個(gè)無限長的圓柱面，其軸線與坐標(biāo)軸成等傾斜，限長的圓柱面，其軸線與坐標(biāo)軸成等傾斜，其半徑其半徑 。這個(gè)柱面稱。這個(gè)柱面稱為屈服曲面。為屈服曲面。 kPNrs2322022-4-2745o 因?yàn)殪o水壓力對屈服沒有影響，所以因?yàn)殪o水壓力對屈服沒有影響，所以 大大小對屈服沒有影響?？梢粤钚η]有影響?？梢粤?即得，即得，o 該平面稱為該平面稱為 平面，該平面與圓柱面的交線平面，該平面與圓柱面的交線稱為屈服曲線。稱為屈服曲線。 oN0oN03212022-4-2746o 表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的任一點(diǎn)表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的任一點(diǎn) （ ），），若處在屈服曲面以內(nèi)，則該點(diǎn)處于彈性

22、狀態(tài)；若處在屈服曲面以內(nèi)，則該點(diǎn)處于彈性狀態(tài)；若處在屈服曲面上，則該點(diǎn)處于塑性狀態(tài)。若處在屈服曲面上，則該點(diǎn)處于塑性狀態(tài)。若材料經(jīng)過預(yù)變形，則由于加工硬化，屈服若材料經(jīng)過預(yù)變形，則由于加工硬化，屈服極限增大，屈服曲面半徑增大。屈服時(shí)點(diǎn)依極限增大，屈服曲面半徑增大。屈服時(shí)點(diǎn)依然在曲面上。故實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)不可能落在屈然在曲面上。故實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)不可能落在屈服曲面外。服曲面外。 P321、2022-4-2747o 在在 平面上，平面上，Tresca屈服條件為屈服條件為Mises屈服條屈服條件的內(nèi)接正六邊形。當(dāng)已知件的內(nèi)接正六邊形。當(dāng)已知 時(shí)，時(shí)，平面上的屈服曲線只有平面上的屈服曲線只有AB段，其余都是虛

23、段，其余都是虛構(gòu)的。構(gòu)的。 3212022-4-2748屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 PMM x x xy xy泰勒和奎奈實(shí)驗(yàn)結(jié)果泰勒和奎奈實(shí)驗(yàn)結(jié)果1Tresca；2MisesP00.10.20.30.40.50.60.20.40.60.81.0鋼鋼銅銅鋁鋁 x / s xy / s122022-4-2749第五章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服條件 o 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o 平面變形和軸對稱變形 2022-4-27505.3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程o 塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)

24、關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程本構(gòu)方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,2022-4-27515.3.1 彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形的特點(diǎn)彈性變形的特點(diǎn)o 應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合全量應(yīng)變主軸重合o 彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系系o 彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于泊松比小于0.52

25、022-4-2752o 虎克定律虎克定律o 廣義虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：彈性模量v：泊松比：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-4-2753zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1則則xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-4-2754o 同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克羅內(nèi)克兒記號克羅內(nèi)克兒記號 2022

26、-4-2755o 彈性變形的比列及差比形式彈性變形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-4-2756廣義虎克定律的矩陣形式廣義虎克定律的矩陣形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-4-27575.3.2 塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形的特點(diǎn)塑性變形的特點(diǎn)o 體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.5o 應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系應(yīng)力、應(yīng)變

27、為非線性關(guān)系 o 全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合合 o 塑性變化不可逆塑性變化不可逆無單值一無單值一一對應(yīng)關(guān)系一對應(yīng)關(guān)系與加載路徑有與加載路徑有關(guān)關(guān) o 對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高2022-4-2758應(yīng)變增量與小變形及大變形的關(guān)系應(yīng)變增量與小變形及大變形的關(guān)系o 應(yīng)變增量應(yīng)變增量 與小變形與小變形 數(shù)值大小處于同一數(shù)值大小處于同一數(shù)量級，都屬于無窮小量；數(shù)量級，都屬于無窮小量；o 大變形是對應(yīng)變增量進(jìn)行積分獲得的大變形是對應(yīng)變增量進(jìn)行積分獲得的ddd2022-4-2759塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)

28、系塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系o 增量理論增量理論 PrantlReuss理論理論 LevyMises理論理論 o 全量理論全量理論 Hencky小變形理論小變形理論 2022-4-2760PrantlReuss理論理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系塑性應(yīng)變增量塑性應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變增量各分量在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變增量各分量與該與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例2022-4-2761數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxpzxyzpyzx

29、ypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-4-2762對對PR理論的解釋理論的解釋 o 應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合的含義：若在應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合的含義：若在某一方向加載某一方向加載 ，則在該方向必產(chǎn)生，則在該方向必產(chǎn)生o 應(yīng)力與應(yīng)變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來變增量與應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來 o 是一個(gè)非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)，是一個(gè)非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)， 時(shí)，時(shí)，表示彈性變形，表示彈性變形， 時(shí)，無實(shí)際情況與其時(shí)，無實(shí)際情況與其對應(yīng)。對應(yīng)。11dd0d0d2022-4-2763PrantlReuss方程方程o

30、總的應(yīng)變增量是彈性與塑性變形增量之和，總的應(yīng)變增量是彈性與塑性變形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-4-2764ddGdijijij21 該式稱為該式稱為PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系 2022-4-2765適用范圍適用范圍 o 該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性與彈性變形處于同數(shù)量級，

31、而不能忽略彈性變形。變形。2022-4-2766LevyMises理論理論o 基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)變增量應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，應(yīng)變增量應(yīng)變增量各分量與該各分量與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例塑性塑性2022-4-2767數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd2022-4-2768對對LM理論的說明理論的說明o 與與PrantlReuss理論相比，理論相比， LevyMise

32、s理理論只適用于大塑性變形問題；論只適用于大塑性變形問題；o 又稱為又稱為LevyMises流動法則流動法則；o 同樣用于應(yīng)變速率同樣用于應(yīng)變速率 ijijijijddtddtd2022-4-2769)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-4-2770全量理論全量理論 o 全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中比較由影響的是比較由影響的是Hencky小變形理論。小變形理論。2022-4-2771加載條件加載條件 o 簡單加載簡單加載 在加載過程中

33、，應(yīng)力張量各分量按同樣的在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即比例增加，也稱為比例加載。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，則，則簡單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動。簡單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動。 o 復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無規(guī)律可循。復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無規(guī)律可循。 2022-4-2772Hencky小變形理論小變形理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系 塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸一致。主軸與應(yīng)力主軸一致。o 應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系

34、應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變各分量與該各分量與該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。 2022-4-2773數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-4-2774o 總的變形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-4-2775小變形理論用于大變形小變形理論用于大變形o 對于大塑性變形，僅用于對于大塑性變形，僅用于簡單加載條件簡單加載條件，此，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變主軸在加載過程中不變，并用時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變主軸在加載過程中不變，并用對數(shù)變形計(jì)算主應(yīng)變。對數(shù)變形計(jì)算主應(yīng)變。

35、o 取主軸時(shí)：取主軸時(shí)： 1122332121221221221或或2022-4-2776o 因此因此1313323221212022-4-2777第五章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容Main Contento 力平衡微分方程力平衡微分方程 o 屈服條件屈服條件 o 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o 平面變形和軸對稱變形平面變形和軸對稱變形 2022-4-27785.4 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變等效應(yīng)力、等效應(yīng)變o 把把 s看成經(jīng)過某一變形程度看成經(jīng)過某一變形程度下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極限限,則可稱則可稱 s為為變形抗力變形抗力。

36、ABCD o 如圖所示，拉伸變形到如圖所示，拉伸變形到C點(diǎn)，然后卸載到點(diǎn)，然后卸載到D點(diǎn)，如點(diǎn)，如果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載時(shí)所對應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)時(shí)所對應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)C處）發(fā)生屈服。這一處）發(fā)生屈服。這一屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力提高，是由于屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力提高，是由于金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，不論對初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極不論對初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為限，統(tǒng)稱為金屬變形抗力金屬變形抗力。 2022-4-2

37、7795.4.1 等效應(yīng)力等效應(yīng)力o s是單向拉伸是單向拉伸的情況下得到的情況下得到的，那么對于的，那么對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)， s與什么對應(yīng)？與什么對應(yīng)？ 1232022-4-2780o 由由Mises屈服條件屈服條件2221323222162ks可以改寫為可以改寫為s213232221212022-4-2781o 若令若令se21323222121e則金屬屈服時(shí)有則金屬屈服時(shí)有則為則為等效應(yīng)力等效應(yīng)力，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。 e2022-4-2782o 對于單向拉伸對于單向拉伸s1時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)s1時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)

38、，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)同樣同樣，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，se時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)se時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)2022-4-2783o 在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為 2222222621 3zxyzxyxzzyyxeI當(dāng)材料屈服時(shí)有當(dāng)材料屈服時(shí)有 kse3其中其中 s，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限 2022-4-27845.4.2 等效應(yīng)變等效應(yīng)變o 在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則其

39、所對應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得到。其所對應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得到。o 那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫那么可以說，對同一金屬在同樣的變形溫度度變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存在這一應(yīng)力在這一應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線？應(yīng)變關(guān)系曲線？ 2022-4-2785o 金屬的加工硬化程度取決于金屬內(nèi)的變形潛金屬的加工硬化程度取決于金屬內(nèi)的變形潛能，一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)在加工硬能，一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)在加工硬化程度上等效，意味著兩者的變形潛能相同。化程度上等效，意味著兩者的變形潛能

40、相同。變形潛能取決于塑性變形功耗。變形潛能取決于塑性變形功耗。o 可以認(rèn)為，如果一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀可以認(rèn)為，如果一般應(yīng)力狀態(tài)和簡單應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工硬化態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工硬化程度上等效。程度上等效。 2022-4-2786o 取主軸時(shí)，對于微小的塑性應(yīng)變增量，單位取主軸時(shí)，對于微小的塑性應(yīng)變增量，單位體積內(nèi)的塑性變形功為體積內(nèi)的塑性變形功為 332211ddddAp按矢量積有按矢量積有 cosdddAp 由增量理論，塑性應(yīng)變增量主軸與偏差應(yīng)力主軸重合由增量理論，塑性應(yīng)變增量主軸與偏差應(yīng)力主軸重合 ddAp2022-4-2787o 由由Mises由屈服

41、條件的幾何解釋，屈服軌跡由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡半徑半徑 2322212PN21323222131矢量矢量 的模的模 ePN32312132322212022-4-2788o 而矢量而矢量 的模的模 232221dddddeepddA令令則找到則找到 23222132dddde21323222192ddddddddApe322022-4-2789 此式表示的應(yīng)變增量此式表示的應(yīng)變增量 就是主軸時(shí)的就是主軸時(shí)的等效應(yīng)變增量等效應(yīng)變增量ed21323222192ddddddde比例加載時(shí)，即比例加載時(shí)，即 eedddd3322112322212132322213292ee為等效應(yīng)變?yōu)榈刃?yīng)變

42、 2022-4-279021323222192ddddddde等式兩邊分別除以變形時(shí)間等式兩邊分別除以變形時(shí)間dt，則得到，則得到21323222192e2022-4-27915.4.3 等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系o 由由LevyMises流動法則，流動法則， ijijdd21323222192ddddddde代入代入213232221292dde213232221292d2022-4-2792o 得到得到eedd32eedd23或或此式即為等效應(yīng)變增量此式即為等效應(yīng)變增量與等效應(yīng)力的關(guān)系與等效應(yīng)力的關(guān)系 則則LevyMises流動法則可以寫成流動法則可以寫成 ijeei

43、jdd232022-4-2793o 這樣，由于引入等效應(yīng)變增量這樣，由于引入等效應(yīng)變增量 與等效應(yīng)與等效應(yīng)力力 ，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù)，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù) 便可以便可以確定，從而也就可以求出應(yīng)變增量的具體數(shù)確定，從而也就可以求出應(yīng)變增量的具體數(shù)值。值。 eded2022-4-27945.4.4 曲線曲線變形抗力曲線變形抗力曲線o 不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作出不論是一般應(yīng)力狀態(tài)還是簡單應(yīng)力狀態(tài)作出的的 曲線，就是曲線，就是 曲線，此曲線也叫曲線，此曲線也叫變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)力曲變形抗力曲線或加工硬化曲線，或真應(yīng)力曲線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)線。目前常用以下四種簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)來做金屬變形抗力曲線。來做金屬變形抗力曲線。 eeeese2022-4-2795o 單向拉伸單