誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)第七章間接平差

1、第七章第七章間接平差間接平差7-1 間接平差原理間接平差原理7-2 誤差方程誤差方程7-3 非線性誤差方程的線性化非線性誤差方程的線性化7-4 精度評(píng)定精度評(píng)定第七章第七章 間接平差間接平差第七章第七章間接平差間接平差 7-1 間接平差原理間接平差原理1、函數(shù)模型間接平差的函數(shù)模型就是誤差方程，其一般形式為式中：且nntnnnndLdLdLlxxxxtbatbatbaBvvvV22112122211121,111nttnnlxBVtBrk)(第七章第七章間接平差間接平差2、隨機(jī)模型間接平差的隨機(jī)模型與條件平差的隨機(jī)模型相同，即3、基礎(chǔ)方程及其解 誤差方程的個(gè)數(shù)為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)n，而未知數(shù)的個(gè)數(shù)為

2、n+t n。所以誤差方程有無(wú)窮組解。而滿足 解只有一組。由于向量V是向量 的函數(shù)，按數(shù)學(xué)上求自由極值的方法有：nnnnLLnnLLPQD12020minPVVTx 022PBVxVPVxVVPVVxPVVTTTT第七章第七章間接平差間接平差轉(zhuǎn)置后得：將此式與誤差方程聯(lián)立，得間接平差的基礎(chǔ)方程為：基礎(chǔ)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，故有唯一解。為解此基礎(chǔ)方程，將第二式代入第一式，消去V，得因?yàn)?，所以上式有唯一解。令則0PVBT0PlBxPBBTTlxBVPVBT0tBrkPBBrkT)()(PlBWPBBNTTBB,WNxBB1第七章第七章間接平差間接平差由上式解出參數(shù) 后，代入誤差方程可得到改

3、正數(shù)V。進(jìn)而可求得觀測(cè)值的平差值：間接平差的計(jì)算步驟間接平差的計(jì)算步驟1、根據(jù)平差問(wèn)題的性質(zhì)，選擇 t 個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)；2、列出誤差方程；3、組成法方程；4、解算法方程；5、計(jì)算改正數(shù)V；6、計(jì)算觀測(cè)值的平差值x VLLVLL教材：教材：71，72習(xí)題：習(xí)題：7.1.04，7.1.05第七章第七章間接平差間接平差7-2 誤差方程誤差方程 間接平差的關(guān)鍵是列誤差方程，而列誤差方程的關(guān)鍵是選擇待估參數(shù)（未知數(shù)）。1、未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的個(gè)數(shù) 在間接平差中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于必要觀測(cè)數(shù)t。2、未知數(shù)的選擇未知數(shù)的選擇 選擇原則：選擇原則：a、所選取t個(gè)待估參數(shù)必須相互獨(dú)立； b、所選取t個(gè)待估參數(shù)

4、與觀測(cè)值的函數(shù) 關(guān)系容易寫(xiě)出來(lái)。第七章第七章間接平差間接平差3、不同情況下未知數(shù)的選擇及誤差方程的列立、不同情況下未知數(shù)的選擇及誤差方程的列立（1）、）、水準(zhǔn)網(wǎng)水準(zhǔn)網(wǎng) 在水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，通常選t個(gè)待定點(diǎn)的高程平差值作為待估參數(shù)。這樣選 既足數(shù)，又獨(dú)立， 而且容易寫(xiě)出參數(shù) 與觀測(cè)值之間的函 數(shù)關(guān)系。如圖，選 FEHXHX,21第七章第七章間接平差間接平差于是有：DCBAHhXvHhXvhXXvHhXvHhXv5254243213212111，則有令iiixXX05254243213212111lxvlxvlxxvlxvlxv0255024402013301220111,XHhlXHhlXXhlXH

5、hlXHhlDCBA其中：第七章第七章間接平差間接平差例：水準(zhǔn)網(wǎng)如右圖所示，已知 =5.000m， =3.953m， =7.650m。各點(diǎn)的近似高程為：觀測(cè)值見(jiàn)下表，試列出誤差方程。(m)ih(m) 12345670.0501.1002.3980.2001.0003.4043.452AHBHCHm450. 7m452. 8m053. 5407020321hHHhHHhHHCABppp第七章第七章間接平差間接平差解：設(shè)于是誤差方程為：052010327216325343131211xvxxvxxvxvxxvxvxv321,321pppHXHXHX00ipiHX習(xí)題：習(xí)題：7.2.15第七章第七章

6、間接平差間接平差（2）、）、GPS網(wǎng)三維無(wú)約束平差網(wǎng)三維無(wú)約束平差 在GPS網(wǎng)三維無(wú)約束平差中，常常選某點(diǎn) i作為參考點(diǎn)，則該點(diǎn)在WGS84系下的三維坐標(biāo) 、 、 可看作已知數(shù)據(jù)，其余各點(diǎn)作為待定點(diǎn)。在WGS84系下，要確定一個(gè)點(diǎn)的空間位置，需要X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)分量，設(shè)GPS網(wǎng)中的總點(diǎn)數(shù)為m個(gè)，則必要觀測(cè)數(shù)為 ，因此，可選 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)平差值作為參數(shù)。 如圖，以A點(diǎn)為參考點(diǎn)，即 已知，則t個(gè)參數(shù)為：iXiYiZ) 1(3mt1mAAAZYX,DDDCCCBBBZXYXXXZXYXXXZXYXXX,987654321第七章第七章間接平差間接平差于是，誤差方程為：CDZADAZCDYADAYCDX

7、ADAXBDZACAZBDYACAYBDXACAXBCZABAZBCYABAYBCXABAXZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvZXXvZZXvYXXvYYXvXXXvXXXvCDADCDADCDADBDACBDACBDACBCABBCABBCAB969858747936825714633522411第七章第七章間接平差間接平差（3）、三角網(wǎng)）、三角網(wǎng) 在三角網(wǎng)平差中，通常選m個(gè)待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值作為待估參數(shù)，即t=2m 。 這樣選，既足數(shù)，又獨(dú)立， 而且容易寫(xiě)出參數(shù)與觀測(cè) 值之間的函數(shù)關(guān)系。一般 地，角度觀測(cè)值可由右圖 表示，于是有

8、： LikjhijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctan教材：教材：74習(xí)題：習(xí)題：7.2.14第七章第七章間接平差間接平差 例如右圖所示的大地 四邊形，其必要觀測(cè) 數(shù)為4，圖中待定點(diǎn)坐 標(biāo)也是4，故選：DDCCYXXXYXXX,4321第七章第七章間接平差間接平差于是，誤差方程為：834871234761212651213245431423443343432341221121arctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarcta

9、nLXXYXXXYYvLXXYXXXYXvLXXXYXXXYvLXXXYXXXXvLXXXXXXXYvLXXXYXXXYvLXXYXXXYXvLXXYXXXYYvBBBABABDBABBBBBDBCBBAACBCAAACACDBBDCDBBBAADBDAAAAAADACAAABABACAB第七章第七章間接平差間接平差（4）、三邊網(wǎng)）、三邊網(wǎng) 有足夠起算數(shù)據(jù)的三邊網(wǎng)與三角網(wǎng)一樣，也是選m個(gè)待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值作為待估參數(shù)，即t=2m 。一般地，邊長(zhǎng)觀測(cè)值可由下圖表示，于是有：SijkijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章間接平差間接平差例如在下圖，我們選DDCCYXXXYXXX,4321

10、第七章第七章間接平差間接平差 于是，誤差方程為：52221542221432422313224232124231)()()()()()()()()()(LXYXXvLXYXXvLXXXXvLXYXXvLXYXXvBBAABBAA教材：教材：75習(xí)題：習(xí)題：7.2.16第七章第七章間接平差間接平差（5）、導(dǎo)線網(wǎng)）、導(dǎo)線網(wǎng) 導(dǎo)線網(wǎng)為特殊的邊角網(wǎng)，其必要觀測(cè)數(shù)t=2m（m為待定點(diǎn)個(gè)數(shù)），其觀測(cè)值為角度觀測(cè)值和邊長(zhǎng)觀測(cè)值兩類。所以誤差方程也是角度誤差方程和邊長(zhǎng)誤差方程兩類。可以先列角度誤差方程： 再列邊長(zhǎng)誤差方程。iijijikikijikiLXXYYXXYYvarctanarctanijijiiLY

11、YXXv22)()(第七章第七章間接平差間接平差（6）、擬合模型）、擬合模型 a、曲線擬合曲線擬合 如圖，觀測(cè)了很多散點(diǎn)，要求將其擬合成一條曲線。設(shè)此曲線為：332210iiiixaxaxaay第七章第七章間接平差間接平差 由于觀測(cè)值 y 有誤差，故由上式可得曲線擬合的誤差方程為： b、曲面擬合曲面擬合 曲面擬合在DEM、GPS水準(zhǔn)等工作中常常用到。將地面視為一個(gè)連續(xù)的曲面，則高程可表達(dá)為平面坐標(biāo)的函數(shù)，且可用多項(xiàng)式表達(dá)為： 由于觀測(cè)值H有誤差，故由上式可得曲面擬合的誤差方程為：iiiiiyxaxaxaav332210iiiiiiiyxayaxayaxaaH52423210iiiiiiiiHy

12、xayaxayaxaav52423210第七章第七章間接平差間接平差 c、標(biāo)準(zhǔn)曲線擬合標(biāo)準(zhǔn)曲線擬合 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)曲線，由于其方程已知，其擬合方法有所不同。如圖所示，測(cè)得m個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，要求擬合圓曲線。由于圓曲線的參數(shù)方程為：式中： 為圓心坐標(biāo)，R為半徑，這三個(gè)參數(shù)是圓的基本參數(shù)， 為第i點(diǎn)矢徑的方位角。所以確定一條圓曲線 的必要觀測(cè)數(shù)為t=3+m。在圓周上觀測(cè)了n=2m個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則r=m-3（ ）。于是誤差方程為： ),(00yxiiiiRYYRXXsincos00iiiyiixyRYvxRXviisincos003m第七章第七章間接平差間接平差（7）、坐標(biāo)變換）、坐標(biāo)變換 不論是GPS， 還是G

13、IS，還是 RS，都會(huì)經(jīng)常用 到坐標(biāo)變換。測(cè) 量中的坐標(biāo)變換， 一般采用如圖所 示的相似變換。efigyyqhikxxii00第七章第七章間接平差間接平差 由于兩坐標(biāo)系不是用同一個(gè)長(zhǎng)度基準(zhǔn)定義的，所以長(zhǎng)度基準(zhǔn)不一定嚴(yán)格相等，即兩坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度之比可能為： 于是坐標(biāo)系 中的長(zhǎng)度變換到坐標(biāo)系 中時(shí)應(yīng)乘以尺度比m。于是： 式中， 為待定參數(shù)。由于坐標(biāo)觀測(cè)值有誤差，于是坐標(biāo)變換的誤差方程可寫(xiě)為：1mSSyoxxoysincossincos00iiiiiixmymyyymxmxx,00myxiiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossincos00第七章第七章間接平差間接平差上圖表示

14、某相機(jī)在空中對(duì)地面進(jìn)行攝影，uvw為相機(jī)本身的坐標(biāo)系，XYZ為地面坐標(biāo)系，S為相機(jī)鏡頭中心，SM為相機(jī)成像面中心與鏡頭中心連線。成像數(shù)學(xué)關(guān)系可以用下式表示：第七章第七章間接平差間接平差)()()()()()()()()()()()(333222333111ssssssssssssZZcYYbXXaZZcYYbXXafyZZcYYbXXaZZcYYbXXafx攝影測(cè)量的核心共線方程攝影測(cè)量的核心共線方程coscoscossincossinsinsinsincoscossinsincoscossincoscossincossinsinsincossinsinsincoscos321321321cc

15、cbbbaaaR標(biāo)在影像上的對(duì)應(yīng)像點(diǎn)坐），為地面某點(diǎn)（為相機(jī)的焦距，的方向，向量下的位置和在地面坐標(biāo)系為攝影中心其中ZYXyxfSMXYZZYXSSS,S,第七章第七章間接平差間接平差相對(duì)定向相對(duì)定向第七章第七章間接平差間接平差XYZa1(x1,y1)x1y1z1S1A(X,Y,Z)a2(x2,y2)z2y2x2S2前方交會(huì)前方交會(huì)第七章第七章間接平差間接平差影像點(diǎn)坐標(biāo)地面點(diǎn)坐標(biāo)x(mm)y(mm)X(m)Y(m)Z(m)1-86.150-68.99036589.4125273.322195.172-53.40082.21037631.0831324.51728.693-14.780-76.6

16、3039100.9724934.982386.50410.46064.43040426.5430319.81757.31已知4對(duì)點(diǎn)的影像坐標(biāo)和地面坐標(biāo)：f=153.24mm，試編程求參數(shù) 的最小二乘解,SSSZYXXs，Ys近似值取地面點(diǎn)重心，Zs近似值取7500m,近似值均取零第七章第七章間接平差間接平差7-3 非線性誤差方程的線性化非線性誤差方程的線性化 由以上所列誤差方程知，角度觀測(cè)值的誤差方程： 邊長(zhǎng)觀測(cè)值的誤差方程： 圓曲線的誤差方程： 以及坐標(biāo)變換的誤差方程都是非線性誤差方程。都必須線性化。下面介紹線性化的方法。iiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossinco

17、s00iiyiixyRYvxRXviisincos00ijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctanijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章間接平差間接平差1、變量代換法對(duì)于坐標(biāo)變換的誤差方程：令則有：上式即為坐標(biāo)變換的線性誤差方程。iiiyiiixyxmymyvxymxmxviisincossincos00sin, cos,00mdmcybxaiiiyiiixydxcybvxdycxavii第七章第七章間接平差間接平差2、線性近似 對(duì)于角度觀測(cè)值的誤差方程、邊長(zhǎng)觀測(cè)值的誤差方程和圓曲線的誤差方程一般都是采用線性近似的方法線性化。角度觀測(cè)值的誤差方程：令：將h

18、hhkkkjjjhhhkkkjjjyYYyYYyYYxXXxXXxXX,000000ijhjhjkjkjhjkiLXXYYXXYYvarctanarctan第七章第七章間接平差間接平差在按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，得式中：ihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()()()(20020020020020020020020000000000arctanarctanjhjhjkjkiiXXYYXXYYLl第七章第七章間接平差間接平差注意：上式是相對(duì)與右圖中三點(diǎn)均為代定點(diǎn)導(dǎo)出的。1、當(dāng)圖中j點(diǎn)

19、為已知點(diǎn)時(shí)，由于已知點(diǎn)的改正數(shù)為零，即于是，誤差方程變?yōu)椋?、當(dāng)h、k兩點(diǎn)為已知點(diǎn)時(shí)，由于Likjh0,0jjyxihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkilySXxSYySXxSYv )()()()(2002002002000hhkkyxyx第七章第七章間接平差間接平差則誤差方程變?yōu)椋?、當(dāng)h或k點(diǎn)為已知點(diǎn)時(shí)，誤差方程變?yōu)椋篿jjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXSXxSYSYv )()()()(200200200200ikjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()(200200200200200200第七章

20、第七章間接平差間接平差或邊長(zhǎng)觀測(cè)值的誤差方程：令：將ihjhjhhjhjhjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXSXxSYSYv )()()()()()(200200200200200200kkkjjjkkkjjjyYYyYYxXXxXX,0000ijkjkiSYYXXv22)()(第七章第七章間接平差間接平差按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，得式中：注意：1、若j點(diǎn)為已知點(diǎn)，則上式變?yōu)椋?、若k點(diǎn)為已知點(diǎn)，則：20020000)()(,jkjkjkjkiiYYXXSSSlikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilySYxSXySYxSXv00000000ikjkjkkjkj

21、kilySYxSXv0000ikjjkjkjjkjkilySYxSXv0000第七章第七章間接平差間接平差圓曲線的誤差方程令將按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，得式中iiyiixyRYvxRXviisincos000000000000000,iirRRyYYxXXiiiiyiiyxiixlryvlRrxv 0000000cossinsincos000000000000sin,cos,iiiiyiiiixRYYYYlRXXXXlii第七章第七章間接平差間接平差例：水準(zhǔn)網(wǎng)如下圖，觀測(cè)高差和路線長(zhǎng)度為 ：已知點(diǎn)高程分別為：用間接平差求 、點(diǎn)高程平差值。標(biāo)準(zhǔn)答案: kmSSkmSSmhmhmhmh2,150

22、5. 0,503. 0,501. 0,003. 132414321mHmHmHCBA008.12500.11000.111P2PmHmH5083.12,0047.1221習(xí)題：習(xí)題：7.2.24， 7.2.25第七章第七章間接平差間接平差7-4 精度評(píng)定精度評(píng)定1、單位權(quán)方差的估值2、 的計(jì)算直接計(jì)算：用常數(shù)項(xiàng)計(jì)算： PVVT2222211nnTvpvpvpPVVxWPlllxBPlPVlPVBxPVlxBPVVTTTTTTTT)()(rPVVT20第七章第七章間接平差間接平差3、基本向量的協(xié)因數(shù)矩陣間接平差中，基本向量為觀測(cè)向量L，參數(shù)向量 ，改正數(shù)向量V和觀測(cè)值的平差值向量 。令 =XLL

23、VXLZ0111111LPBBNEPBBNPBNELPBBNEPBBNPBNETbbTbbTbbTbbTbbTbb第七章第七章間接平差間接平差由協(xié)因數(shù)傳播律得：TbbTbbbbLLTbbTbbTbbLLLVLXLLLVVVVXLVLXVXXXXLLLLVXLLLZZBPBNEBPBNPBNEQPBBNEPBBNPBNEQQQQQQQQQQQQQQQQQ111111第七章第七章間接平差間接平差展開(kāi)得：于是：TbbbbTbbTbbLLLLTbbTbbbbTbbTbbLLTbbbbLLZZBBNBNBBNBBNQQBBNBNNBNBBNQBBNBNQQ111111111110000ttttttXXXXXXXXXXXXX