曲線積分與曲面積分17261

1、第二十一章 曲線積分與曲面積分§1第一型線面積分例1 求，其中是球面與平面的交線。解法1 解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對稱性，則解法3 作坐標旋轉(zhuǎn)。就坐標是，新坐標是，旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為 ， 因為平面的單位法矢為，則它與軸的夾角余弦為。下面分兩步進行旋轉(zhuǎn)，先將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標系；再將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標系。即由旋轉(zhuǎn)公式得于是得 在這組變換下，曲線：，變?yōu)?，?注1 三種解法各具特點：解法1技巧性強，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即 寫出參數(shù)方程 套公式

2、 計算定積分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2，給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的問題，再按常規(guī)的方法計算。坐標系下的線積分 坐標系下的線積分 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積分在新的坐標下，曲線有簡單的參數(shù)方程。這個解法表明，可以適當?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作坐標旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡單的參數(shù)方程。§2 第二型線面積分例1 計算曲線積分，（1）是球面三角形，的邊界線，從球的外側(cè)看去，的方向為逆時針方向；（2）是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點看去，是順時針方向。解 （1）顯然，具有輪換對稱性，且被積表達式也具有輪換對稱性，將分為三段：

3、， （，） ：， （，）：， （，）則 或 注1 這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達式不變，積分化為上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線不變，積分化為表達式中第一項積分的3倍。問題1 是否可化為既是上的積分的3倍，又是表達式中第一項積分的3倍，即（2）曲線關于平面對稱，且方向相反同理 故 下面求曲線的參數(shù)方程。方法1 利用球面的參數(shù)方程，代入柱面方程得，于是得的參數(shù)方程， ， ， 從到方法2 利用柱面的參數(shù)方程，代入球面方程，得的參數(shù)方程， ， ， 從到不妨取方法1中的參數(shù)方程進行計算，注2 這里利用對稱性（不是輪換對稱性），立即可知前兩項的積分為0。值得注意的是第二型的曲線積分與第一型的曲線積分對稱性的應用是不同的。例如第一項積分，曲線關于平面對稱，且方向相反，而被積