曲線積分與曲面積分17261

1、第二十一章 曲線積分與曲面積分§1第一型線面積分例1 求，其中是球面與平面的交線。解法1 解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對(duì)稱性，則解法3 作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。就坐標(biāo)是，新坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)變換的一般公式為 ， 因?yàn)槠矫娴膯挝环ㄊ笧?，則它與軸的夾角余弦為。下面分兩步進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，先將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標(biāo)系；再將平面旋轉(zhuǎn)，得新坐標(biāo)系。即由旋轉(zhuǎn)公式得于是得 在這組變換下，曲線：，變?yōu)?，?注1 三種解法各具特點(diǎn)：解法1技巧性強(qiáng)，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即 寫出參數(shù)方程 套公式

2、 計(jì)算定積分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2，給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的問題，再按常規(guī)的方法計(jì)算。坐標(biāo)系下的線積分 坐標(biāo)系下的線積分 寫出參數(shù)方程 套公式 計(jì)算定積分在新的坐標(biāo)下，曲線有簡(jiǎn)單的參數(shù)方程。這個(gè)解法表明，可以適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化問題，例如作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，從而獲得簡(jiǎn)單的參數(shù)方程。§2 第二型線面積分例1 計(jì)算曲線積分，（1）是球面三角形，的邊界線，從球的外側(cè)看去，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向；（2）是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點(diǎn)看去，是順時(shí)針方向。解 （1）顯然，具有輪換對(duì)稱性，且被積表達(dá)式也具有輪換對(duì)稱性，將分為三段：

3、， （，） ：， （，）：， （，）則 或 注1 這里利用輪換對(duì)稱性使計(jì)算化簡(jiǎn)，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達(dá)式不變，積分化為上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線不變，積分化為表達(dá)式中第一項(xiàng)積分的3倍。問題1 是否可化為既是上的積分的3倍，又是表達(dá)式中第一項(xiàng)積分的3倍，即（2）曲線關(guān)于平面對(duì)稱，且方向相反同理 故 下面求曲線的參數(shù)方程。方法1 利用球面的參數(shù)方程，代入柱面方程得，于是得的參數(shù)方程， ， ， 從到方法2 利用柱面的參數(shù)方程，代入球面方程，得的參數(shù)方程， ， ， 從到不妨取方法1中的參數(shù)方程進(jìn)行計(jì)算，注2 這里利用對(duì)稱性（不是輪換對(duì)稱性），立即可知前兩項(xiàng)的積分為0。值得注意的是第二型的曲線積分與第一型的曲線積分對(duì)稱性的應(yīng)用是不同的。例如第一項(xiàng)積分，曲線關(guān)于平面對(duì)稱，且方向相反，而被積