ch多維隨機(jī)變量PPT課件

1、3.1 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布一、 多維隨機(jī)變量1.1.定義定義( (p41)p41)將將n n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n構(gòu)構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)n n維向量維向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )稱為稱為n n維隨機(jī)變量。維隨機(jī)變量。一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量XR1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描

2、述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律第1頁(yè)/共54頁(yè)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 二二. . 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)00, yx00,yyxxyx幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：第2頁(yè)/共54頁(yè)對(duì)于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2,

3、 y1)(x1, y2)第3頁(yè)/共54頁(yè)分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：且0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)歸一性 對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,第4頁(yè)/共54頁(yè) (2)單調(diào)不減 對(duì)任意y R, 當(dāng)x1x2時(shí)， F(x1, y) F(x2 , y)； 對(duì)任意x R, 當(dāng)y1y2時(shí)， F(x, y1) F(x , y2). );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 (3)右連續(xù) 對(duì)任

4、意xR, yR, 第5頁(yè)/共54頁(yè)(4)矩形不等式 對(duì)于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)。第6頁(yè)/共54頁(yè)例 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為)3()2(),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0X2,0YY211010 xdydxYXP第13頁(yè)/共54頁(yè)求：求：(1)(1)常數(shù)常數(shù)A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)

5、；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。 其它, 00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例 設(shè)解(1)由歸一性6 A101032)32()1)(1 (6) 1 , 1 ()2(eedxdyeFyx(23 )0 0( , )1xyf x y dxdyAedxdy 第14頁(yè)/共54頁(yè)(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域落在三角形區(qū)域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。解dxdyeD

6、YXPDyx)32(6),(303220)32(6dyedxxyx671e第15頁(yè)/共54頁(yè)3. 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布(p45) 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱則稱(X, Y)在區(qū)域在區(qū)域D上上(內(nèi)內(nèi)) 服從均勻分布。服從均勻分布。 其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易見(jiàn)，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布，對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G，有第16頁(yè)/共54頁(yè)例例 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上的均勻分布，上的均勻分布，(1)(1)求求(X,Y

7、)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、 20、| |1，則稱，則稱(X, Y) 服從參服從參數(shù)為數(shù)為 1, 2, 1, 2, 的的二維正態(tài)分布，可記為二維正態(tài)分布，可記為 ),(),(222121NYX(2)二維正態(tài)分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為(P101),e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 第18頁(yè)/共54頁(yè)分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x

8、2, , Xn xn)稱為的n維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1, X2, , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。nnnbxabxaxxD,.:,.111DnnndxdxxxfDXXP.),.,x(.1211定義定義 n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非負(fù)的如果存在非負(fù)的n n元函數(shù)元函數(shù)f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使對(duì)任意的使對(duì)任意的n n元立方體元立方體第19頁(yè)/共54頁(yè)定義定義 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值為的全部可能取值為R Rn n上的上的有限或

9、可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )為為n n維維離散型的，稱離散型的，稱PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )為為n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。則稱則稱(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )為為n n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )為為(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn

10、n) )的概率密度。的概率密度。第20頁(yè)/共54頁(yè)求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 othersyxeyxfy00),(例例 隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（X X，Y Y）的概率密度為）的概率密度為xyD答答: PXPX 0=00=011011edyedxXPxy000000000yydyedxyYPyxyy第21頁(yè)/共54頁(yè)FY(y)F (+, y) PYy 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù). )y,x(Flimy )y,x(Flimx 3.2 3.2 邊緣分布與獨(dú)立性邊緣分布與獨(dú)立性一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù)F

11、X(x)F (x, +) PXx稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè)(某些)低維分量的分布。第22頁(yè)/共54頁(yè)例 已知(X,Y)的分布函數(shù)為 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)與FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第23頁(yè)/共54頁(yè)二、邊緣分布律二、邊緣分布律若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 則稱 PXxipi. ，i1, 2, 為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律； 1jijp 1ii

12、jpPY yjp.j ，j1, 2, 為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。第24頁(yè)/共54頁(yè)例 已知(X,Y)的分布律為xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求X、Y的邊緣分布律。解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故關(guān)于X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5第25頁(yè)/共54頁(yè)三、邊緣密度函數(shù)三、邊緣密度函數(shù)為為(X, Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。的邊緣密度函數(shù)。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(設(shè)(X, Y)f (x, y), (x, y

13、) R2, 則稱 (p48)(p48) 為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱易知N( 1, 2, 12, 22, )的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N( 1, 12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N( 2, 22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。第26頁(yè)/共54頁(yè)例例 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常數(shù)）求常數(shù)c;(2)c;(2)求關(guān)于求關(guān)于X X的邊緣概率密度的邊緣概率密度解解:(1)由歸一性由歸一性1021xxcdydx6 cdyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622xxxdyxx第2

14、7頁(yè)/共54頁(yè)例例 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上的均勻分布，上的均勻分布， 求關(guān)于求關(guān)于X X的和關(guān)于的和關(guān)于Y Y的邊緣的邊緣概率密度概率密度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(第28頁(yè)/共54頁(yè)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義定義 稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,cdab,cd，有，有 paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即事件即事件aXaX bb與事件與事件cYcY dd獨(dú)立，則稱

15、隨機(jī)獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量變量X X與與Y Y獨(dú)立。獨(dú)立。定理定理 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立的充分必要條件獨(dú)立的充分必要條件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 第29頁(yè)/共54頁(yè)定理定理 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維是二維連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，X X與與Y Y獨(dú)立獨(dú)立的充分必要條件的充分必要條件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定理定理 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維是二維離散型離散型隨機(jī)變量，其分布律隨機(jī)變量，其分布律為為P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi, i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2

16、,.，則，則X X與與Y Y獨(dú)立的充分獨(dú)立的充分必要條件必要條件是對(duì)任意是對(duì)任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i . .P P j j 。由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X X與與Y Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)分布，再看是否對(duì)(X,Y)(X,Y)的每一對(duì)可能取值的每一對(duì)可能取值點(diǎn)點(diǎn), ,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可第30頁(yè)/共54頁(yè)例 已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為x1200.15 0.151ab且知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。例例 甲乙約定甲乙約定

17、8:008:00 9:009:00在某地在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待多等待1515分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩人能見(jiàn)面的概率人能見(jiàn)面的概率。第31頁(yè)/共54頁(yè)定義. 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,.Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1 k0, 則稱同理，對(duì)固定的i, pi. 0, 稱,.2 , 1,|.|jppxXyYPPiijiji j為X xi的條件下，Y的條件分布律;第37頁(yè)/共54頁(yè)例 設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化成蟲的

18、概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.第38頁(yè)/共54頁(yè)二 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度定義. 給定y，設(shè)對(duì)任意固定的正數(shù)0，極限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，則稱此極限為在條件條件下X的條件分布函數(shù).記作|)|(|yYxXPyxFYX可證當(dāng) 時(shí) 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX第39頁(yè)/共54頁(yè)若記 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3.3)知,當(dāng) 時(shí)， . )|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(|yfyxfxyxFyxfYYXYX類似定義，當(dāng) 時(shí)0)(xfX)(),(

19、)|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY第40頁(yè)/共54頁(yè)例 已知(X,Y)的概率密度為其它01421),(22yxyxyxf(1)求條件概率密度)|(|xyfXY(2)求條件概率31|31XYPxy1解:dyyxfxfX),()(othersxydyxx011421122第41頁(yè)/共54頁(yè)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 則 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(

20、X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj)或第42頁(yè)/共54頁(yè) 例 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且均服從0-1 分布，其分布律均為 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。第43頁(yè)/共54頁(yè)(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)2qpqpq2p011201110001VW0 10 1 22q000pq22p第44頁(yè)/共54頁(yè)

21、二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)二、多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 則可先求Y的分布函數(shù): y)X,.,X( gPyYP)y(Fn1Y ;.),.,(.11),.,(1nnyxxgdxdxxxfn.dy)y(dF)y(F)y(fYYY 然后再求出Y的密度函數(shù):第45頁(yè)/共54頁(yè)2、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 或.),(),()(dxxzxdyyyzfzf

22、Zz x+y=z x+y z 若X與Y相互獨(dú)立，則ZXY的密度函數(shù) .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(fYXYXZ 或第46頁(yè)/共54頁(yè)例 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1, X2，., Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則),(21211iniiniiiniiiaaNXa第47頁(yè)/共54頁(yè)例 卡車裝運(yùn)水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從2)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問(wèn)最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過(guò)0.05.解:設(shè)最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥的重量.則05. 020001niiXP由題意,令)5 . 2 ,50(21nnNXnii05. 0)5 . 2502000(120001nnXPnii95. 0)5 . 2502000(nn查表得645. 15 . 2502000nn39 n第48頁(yè)/共54頁(yè)YX (2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。.),(|)(dyyyzfyzfZy G1 0 x G2特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，上