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1、 一階線性方程與常數變易法習題及解答求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數.解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以

2、 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設函數(t)于t上連續(xù)，(0)存在且滿足關系式(t+s)=(t)(s)試求此函數。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 當時 即 ,) (2) 當時 = = =于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時 1=c=1故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解

3、之差必為相應的齊線性方程（）之解； （2）若是（）的非零解，而是（）的解，則方程（）的通解可表為，其中為任意常數.（3）方程（）任一解的常數倍或任兩解之和（或差）仍是方程（）的解.證明： （） （）（1） 設，是（）的任意兩個解則 （1） （2）（1）-（2）得 即是滿足方程（）所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（）的一個解。于是 得故是（）的一個解。2）現證方程（4）的任一解都可寫成的形式設是的一個解則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設，是（）的任意兩個解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數也就是滿足方程（）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；（6） 曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項；解：設為曲線上的任一點，則過點曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以，方程的通解

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