有限元分析教案(共90頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 有限元法概述在機(jī)械設(shè)計(jì)中，人們常常運(yùn)用材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等理論知識(shí)分析機(jī)械零構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題。但對(duì)一些復(fù)雜的零構(gòu)件，這種分析常常就必須對(duì)其受力狀態(tài)和邊界條件進(jìn)行簡(jiǎn)化。否則力學(xué)分析將無(wú)法進(jìn)行。但這種簡(jiǎn)化的處理常常導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，有時(shí)甚至失去了分析的意義。所以過(guò)去設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和類比占有較大比重。因?yàn)檫@個(gè)原因，人們也常常在設(shè)計(jì)中選擇較大的安全系數(shù)。如此也就造成所設(shè)計(jì)的機(jī)械結(jié)構(gòu)整體尺寸和重量偏大，而局部薄弱環(huán)節(jié)強(qiáng)度和剛度又不足的設(shè)計(jì)缺陷。近年來(lái)，數(shù)值計(jì)算機(jī)在工程分析上的成功運(yùn)用，產(chǎn)生了一門全新、高效的工程計(jì)算分析學(xué)科有限元分析方法。該方法徹底改變了

2、傳統(tǒng)工程分析中的做法。使計(jì)算精度和計(jì)算領(lǐng)域大大改善。§1.1 有限元方法的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀和將來(lái)一， 歷史有限元法的起源應(yīng)追溯到上世紀(jì)40年代（20世紀(jì)40年代）。1943年R.Courant從數(shù)學(xué)的角度提出了有限元法的基本觀點(diǎn)。50年代中期在對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)的分析中，誕生了結(jié)構(gòu)分析的矩陣方法。1960年R.W.Clough在分析彈性力學(xué)平面問(wèn)題時(shí)引入了“Finite Element Method”這一術(shù)語(yǔ)，從而標(biāo)志著有限元法的思想在力學(xué)分析中的廣泛推廣。60、70年代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，極大地促進(jìn)了有限元法的發(fā)展。具體表現(xiàn)在：1）由彈性力學(xué)的平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間、板殼問(wèn)題。2）由靜力平衡問(wèn)題穩(wěn)

3、定性和動(dòng)力學(xué)分析問(wèn)題。3）由彈性問(wèn)題彈塑性、粘彈性等問(wèn)題。二， 現(xiàn)狀現(xiàn)在有限元分析法的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)由開始時(shí)的固體力學(xué)，擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁力學(xué)等多個(gè)傳統(tǒng)的領(lǐng)域。已經(jīng)形成了一種非常成熟的數(shù)值分析計(jì)算方法。大型的商業(yè)化有限元分析軟件也是層出不窮，如：SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program）美國(guó)安世軟件公司的ANSYS大型綜合有限元分析軟件美國(guó)航天航空局的NASTRAN系列軟件除此以外，還有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。三， 將來(lái)有限元的發(fā)展方向最終將和CAD的發(fā)展相結(jié)合。運(yùn)用“四個(gè)化”可以概括其今后的發(fā)展趨

4、勢(shì)。那就是：可視化、集成化、自動(dòng)化和網(wǎng)絡(luò)化。§1.2 有限元法的特點(diǎn)機(jī)械零構(gòu)件的受力分析方法總體說(shuō)來(lái)分為解析法和數(shù)值法兩大類。如大家學(xué)過(guò)的材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等就是經(jīng)典的解析力學(xué)分析方法。在這些解析力學(xué)方法中，彈性力學(xué)的分析方法在數(shù)學(xué)理論上是最為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊环N分析方法。其解題思路是：從靜力、幾何和物理三個(gè)方面綜合考慮，建立描述彈性體的平衡、應(yīng)力、應(yīng)變和位移三者之間的微分方程，然后考慮邊界條件，從而求出微分方程的解析解。其最大的有點(diǎn)就是，嚴(yán)密精確。缺點(diǎn)就是微分方程的求解困難，很多情況下，無(wú)法求解。數(shù)值方法是一種近似的計(jì)算方法。具體又分為“有限差分法”和“有限元法”?！坝邢薏罘址ā笔菍⒌玫降奈?/p>

5、分方程離散成近似的差分方程。通過(guò)對(duì)一系列離散的差分方程求解，得到最終的力學(xué)問(wèn)題近似解。其優(yōu)點(diǎn)就是：計(jì)算簡(jiǎn)單收斂性好。缺點(diǎn)是：計(jì)算程序無(wú)法標(biāo)準(zhǔn)化，在不能獲得整個(gè)問(wèn)題的微分方程時(shí)，該方法不能運(yùn)用。由于其是將微分方程轉(zhuǎn)為差分方程，所以它是一種數(shù)學(xué)近似?！坝邢拊ā钡幕舅枷刖褪恰跋确趾蠛稀被蛘摺盎麨榱?，又積零為整”。與有限差分不同，它是在力學(xué)模型上進(jìn)行近似處理，也就是（分塊近似）。具體做法：把連續(xù)體模型轉(zhuǎn)為由有限個(gè)單元組成的離散體模型，離散體模型之間通過(guò)一些節(jié)點(diǎn)聯(lián)系。對(duì)于每一個(gè)離散體個(gè)體選擇簡(jiǎn)單的函數(shù)近似表示其中的物理變化規(guī)律（如位移等），運(yùn)用力學(xué)方程推導(dǎo)單元的平衡方程組，然后集合所有的方程組形成

6、表征整體結(jié)構(gòu)的方程組，引入邊界條件，求取最后問(wèn)題的解。優(yōu)點(diǎn)：概念清晰、易于學(xué)習(xí)理解，適用性強(qiáng)，便于電算化。缺點(diǎn)：計(jì)算精度受單元?jiǎng)澐值挠绊戄^大。§1.3 有限元分析的一般過(guò)程為了能夠了解有限元分析的全貌，我們就一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，來(lái)分析一下有限元分析的三個(gè)過(guò)程：結(jié)構(gòu)離散化、單元分析、整體分析。一， 結(jié)構(gòu)離散化在該階段中，要完成把連續(xù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的力學(xué)模型。處理的好壞，直接影響到最后分析結(jié)果的正確與否、計(jì)算的精度和計(jì)算的效率。根據(jù)模型的傳力特性和分析的目標(biāo)，正確選擇單元類型。通常單元分為：一維單元、二維單元和三維單元。所謂一維單元就是指所求物理量?jī)H隨一個(gè)坐標(biāo)變量而變化的單元。如桁

7、架、平面剛架和空間剛架單元。一維單元：桿單元、梁?jiǎn)卧?。二維單元：三角形單元、四邊形單元（平面類問(wèn)題）三維單元：四面體單元、六面體單元等（空間問(wèn)題）計(jì)算精度和計(jì)算效率：取決于單元?jiǎng)澐值男螤睢⒋笮『头植紶顩r。通常單元愈多、愈密集，計(jì)算精度愈高，但計(jì)算效率愈低。有限元分析工作就是要在精度和效率兩者之間做到有機(jī)的統(tǒng)一。二， 單元分析進(jìn)行單元分析的目的是為了到處表征單元力學(xué)特性的“單元?jiǎng)偠染仃嚒?。一般說(shuō)來(lái)該過(guò)程有三種方法：1， 直接法。2， 虛功原理法（變分法）。3， 加權(quán)余數(shù)法。直接法概念淺顯，易于理解物理含義。變分法需要泛函的數(shù)學(xué)知識(shí)，其推導(dǎo)過(guò)程具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念。加權(quán)余數(shù)法適用于泛函不存在的應(yīng)用范

8、圍。本教材將運(yùn)用虛功原理方程結(jié)合彈性力學(xué)和材料力學(xué)中的知識(shí)來(lái)推求幾種常見單元的單剛計(jì)算公式?，F(xiàn)在先看一個(gè)簡(jiǎn)單的階梯軸的軸向拉伸問(wèn)題例：如圖所示的變截面直桿，受拉力P，運(yùn)用有限元方法分析其變形。取任意單元，長(zhǎng)度為l，面積為A，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的軸向位移和其位置坐標(biāo)成正比，即u=a0+a1x其中a0、a1為待定系數(shù)。由于桿的兩個(gè)端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1、2是單元上的點(diǎn)，所以它們應(yīng)該滿足上述方程。節(jié)點(diǎn)1，x1=0，u1=a0+a1×0=a0節(jié)點(diǎn)2，x2=l，u2=a0+a1×l a1=(u2-u1)/l將求出的結(jié)果帶入方程并整理，就得：式中：N1、N2是形函數(shù) N形函數(shù)矩陣 e節(jié)點(diǎn)位移向量由位移

9、與應(yīng)變的關(guān)系知道：將上面推出的位移表達(dá)式代入，可得： 上式中的B稱為應(yīng)變矩陣或幾何矩陣。運(yùn)用材料力學(xué)中的虎克定律，可以將應(yīng)變和應(yīng)力聯(lián)系起來(lái)。單向應(yīng)力狀態(tài)的虎克定律為 ××其中S稱為應(yīng)力矩陣。利用虛功方程可以建立力與位移之間的關(guān)系，也就是單剛方程。在后面我們將會(huì)推導(dǎo)出它的一般形式如下：式中：Fe為單元節(jié)點(diǎn)力向量，對(duì)我們這個(gè)例子應(yīng)為U1 U2T。 Ke為單元?jiǎng)偠染仃?。后面將推?dǎo)出它的計(jì)算公式為D矩陣是彈性矩陣。對(duì)于一維單元來(lái)說(shuō)，就是E。所以我們這兒討論的例題：求得單剛矩陣，也就完成了單元分析。總結(jié)單剛矩陣推導(dǎo)的步驟，應(yīng)該分為四步：1） 假定單元內(nèi)位移變化的近似規(guī)律，即選擇位移模

10、式。2） 運(yùn)用幾何關(guān)系，推求位移與應(yīng)變的關(guān)系。3） 應(yīng)用物理規(guī)律，把應(yīng)變與應(yīng)力聯(lián)系起來(lái)。4） 運(yùn)用虛功方程的力與位移關(guān)系，求出單剛矩陣。單元分析是整個(gè)有限元分析的核心。不同的單元因?yàn)槠淞W(xué)特性不同，而具有不同的單元?jiǎng)偠染仃嚕覀冞@本教材就是要學(xué)習(xí)幾種常用單元矩陣的推導(dǎo)和計(jì)算。了解各種單元的力學(xué)特性，為以后選擇單元類型打好基礎(chǔ)。三， 整體分析1， 由各單元?jiǎng)偠染仃嚱M集成整個(gè)結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。 整個(gè)結(jié)構(gòu)有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，首先將單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)充為3X3的矩陣，移動(dòng)各元素使之與單剛矩陣中的元素位置相對(duì)應(yīng)，如下： 然后直接相加。2， 把各單元的節(jié)點(diǎn)力向量組集成總的節(jié)點(diǎn)載荷向量。3， 根據(jù)邊界條件，修改總剛度矩

11、陣，獲得總剛方程組。邊界條件修改之前的總剛方程：修改以后（采用置“0，1”法）4， 求解方程組，得出總的節(jié)點(diǎn)位移向量。解得的解是：有了節(jié)點(diǎn)位移，再回代到前面單元推導(dǎo)過(guò)程中的公式×和××，就可以求得每個(gè)單元的應(yīng)變和應(yīng)力了。從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們了解了有限元法求解力學(xué)問(wèn)題三大步驟中的內(nèi)容，想必很多同學(xué)會(huì)說(shuō)，這樣復(fù)雜，如果運(yùn)用材料力學(xué)的知識(shí)，我還來(lái)得快些。但是大家不要忘記，有限元的計(jì)算很多都是編程完成，而且現(xiàn)在很多的商業(yè)軟件都已經(jīng)完成了很多的工作。我們學(xué)習(xí)有限元主要是了解它的原理，并對(duì)常見單元的力學(xué)特性有所了解，這樣對(duì)于以后運(yùn)用有限元起到幫助作用。所以下面章節(jié)的內(nèi)容，就

12、是圍繞這個(gè)主題展開。要達(dá)到這個(gè)目的，我們還必須學(xué)習(xí)必要的彈性力學(xué)知識(shí)。對(duì)彈性力學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也對(duì)我們以后把握問(wèn)題的本質(zhì)有幫助。第二章 平面問(wèn)題平面問(wèn)題在力學(xué)研究的課題中屬?gòu)椥粤W(xué)的范疇。該類問(wèn)題不僅本身具有典型性，而且在機(jī)械零構(gòu)件的分析中，也是應(yīng)用得非常廣泛。所以這類問(wèn)題也稱之為經(jīng)典的力學(xué)問(wèn)題。我們知道，實(shí)際的機(jī)械零構(gòu)件都是具有三維空間尺寸的物體，理應(yīng)作為三維對(duì)象處理，但是當(dāng)物體的幾何形狀和受力狀態(tài)處于某些特定的情況下，近似地簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題，不僅可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算的工作量，而且其精度也完全能夠滿足所要求。如：直齒圓柱齒輪可在垂直與孔軸線的截平面內(nèi)作平面應(yīng)力分析就足以了解整個(gè)齒輪的受力狀態(tài)；大壩的

13、橫斷面可作平面應(yīng)變分析來(lái)了解整個(gè)大壩受力情況等。本章是全書的重點(diǎn)，在這里不僅介紹彈性力學(xué)的基本知識(shí)。還將系統(tǒng)地講解有限元的基本概念、原理和方法。是學(xué)習(xí)以后各章節(jié)的基礎(chǔ)。§2.1 外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移外力、應(yīng)力、應(yīng)變和位移的概念在材料力學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，由于這些概念在彈性力學(xué)、有限元法中具有和在材料力學(xué)中不同的規(guī)定，彈性力學(xué)中的規(guī)定和有限元法是完全相同的，所以在這里我們將按照彈性力學(xué)的習(xí)慣表達(dá)方法把他們集中的加以闡述。一， 外力外界作用在物體上的作用力，可以分為兩大類：1） 體積力分布在物體體積內(nèi)的力。如：重力、慣性力和磁性力等。單位體積的體力在坐標(biāo)軸上的分量X、Y、Z，稱為體力分量。

14、符號(hào)規(guī)定為沿坐標(biāo)軸正向的為正，沿負(fù)向的為負(fù)。2） 面力作用在物體表面的力。如輪壓、水壓等。它又可細(xì)分為集中力與分布力。面力在坐標(biāo)軸上的投影，表示為X、Y、Z。符號(hào)沿正軸為正，負(fù)軸為負(fù)。二， 應(yīng)力彈性體受到外力作用后，內(nèi)部產(chǎn)生的抵抗變形的內(nèi)力。以彈性體中P點(diǎn)為定點(diǎn)的微單元體來(lái)考察。所謂微單元體，就是圖中PA、PB、PC的邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz。以下簡(jiǎn)稱這樣的微單元體為微元體。微元體每個(gè)面上的應(yīng)力都可以分解為三個(gè)應(yīng)力分量。以圖中紅面為例，分別是x、xy、xz。應(yīng)力命名的規(guī)則：以應(yīng)力所在面垂直的坐標(biāo)軸為第一個(gè)下標(biāo)，應(yīng)力指向?yàn)榈诙聵?biāo)。如果下標(biāo)相同就用一個(gè)下標(biāo)表示。符號(hào)規(guī)定：正面上的應(yīng)力與坐標(biāo)軸同

15、向?yàn)檎?，反之為?fù)。負(fù)面上的應(yīng)力與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎?。反之為?fù)。所謂正面就是面的外法向與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?。反之為?fù)面。作用在兩個(gè)相互垂直的面上，并且垂直與該兩面交線的剪應(yīng)力互等。即：xy=yx；yz=zy；xz=zx如此以來(lái)，代表P點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量應(yīng)有6個(gè)，它們是：三， 位移任一點(diǎn)的位置移動(dòng)用u、v、w表示它在坐標(biāo)軸上的三個(gè)投影分量。符號(hào)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，反之為?fù)。四， 應(yīng)變彈性體內(nèi)各點(diǎn)的位移在受力后一般是不相同的。各點(diǎn)之間距離的改變，從而使物體形狀發(fā)生變化，即所謂的變形。而物體的形狀總可以用它各部分的長(zhǎng)度和角度表示。長(zhǎng)度的改變稱為正應(yīng)變，角度的改變稱為剪應(yīng)變。以微元體三個(gè)棱邊的線伸長(zhǎng)和角度

16、的變化，就分別有和6個(gè)應(yīng)力分量相對(duì)應(yīng)的6個(gè)應(yīng)變分量，即：為與前面符號(hào)規(guī)定一致，這里對(duì)剪應(yīng)變的符號(hào)規(guī)定如下：正應(yīng)變伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變使直角變小為正，變大為負(fù)。§2.2 兩類平面問(wèn)題前面我們講過(guò)，實(shí)際受力物體都是三維的空間物體，作用在其上的外力，通常也是一個(gè)空間力系，其應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移也都是x、y、z三個(gè)變量的函數(shù)。但是當(dāng)所考察的物體具有某種特殊的形狀和特殊的受力狀態(tài)時(shí)，就可以簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題處理。彈性力學(xué)中的平面問(wèn)題有兩類。一， 平面應(yīng)力問(wèn)題當(dāng)物體的長(zhǎng)度與寬度尺寸，遠(yuǎn)大于其厚度（高度）尺寸，并且僅受有沿厚度方向均勻分布的、在長(zhǎng)度和寬度平面內(nèi)的力作用時(shí)，該物體就可以簡(jiǎn)化為彈

17、性力學(xué)中的平面應(yīng)力問(wèn)題。我們分析以下其應(yīng)力特征。當(dāng)z=±t/2時(shí)，有z=0、zx=0、zy=0。由于板較?。ㄏ鄬?duì)于長(zhǎng)度和寬度尺寸），外力沿板厚又是均勻分布的，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)連續(xù)的假定（彈性力學(xué)中的基本假定），所以可以認(rèn)為，整個(gè)板的各點(diǎn)均有z=0、zx=0、zy=0。如此以來(lái)，描述空間問(wèn)題的6個(gè)應(yīng)力分量也就變?yōu)榱?個(gè)，即而且這些應(yīng)力分量?jī)H是x、y兩個(gè)變量的函數(shù)。二， 平面應(yīng)變問(wèn)題當(dāng)物體是一個(gè)很長(zhǎng)、很長(zhǎng)的柱形體，其橫截面沿長(zhǎng)度方向保持不變，物體承受平行于橫截面且沿長(zhǎng)度方向均勻分布的力時(shí)，該問(wèn)題就可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題處理。分析其應(yīng)力特征。假定其長(zhǎng)度方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，那么任一橫截面都可以看作是物體

18、的對(duì)稱面，如此則有該面上的點(diǎn)都有w=0，也就是橫截面上的所有點(diǎn)都不會(huì)發(fā)生Z方向的位移。由這一點(diǎn)可以推出也就有z=0、zx=0、zy=0。和平面應(yīng)力相比較，平面應(yīng)變是z=0，那么是否也就有z=0呢？可能有同學(xué)想=E，當(dāng)然也就有z=0，這是錯(cuò)誤的。平面應(yīng)變狀態(tài)下z0的。雖然不等于零，但它也不是一個(gè)獨(dú)立的變量了，它由x、y的大小而決定。如此以來(lái)，獨(dú)立的應(yīng)力分量同平面應(yīng)力問(wèn)題一樣也是3個(gè)：三， 兩類問(wèn)題的比較1， 幾何特征平面應(yīng)力 厚度長(zhǎng)度、寬度平面應(yīng)變 厚度長(zhǎng)度、寬度 為便于說(shuō)明可講上述長(zhǎng)度看作為厚度2， 受力特征外力都必須在其面內(nèi)且不沿厚度方向變化3， 應(yīng)力特征平面應(yīng)力 z=0、zx=0、zy=0

19、。z0自由變形（無(wú)約束）平面應(yīng)變 z0但不是自變量、zx=0、zy=0。z=0總以上比較可以看出，平面應(yīng)力是真正的2維（平面）應(yīng)力狀態(tài)，而平面應(yīng)變卻不是，而是3維應(yīng)力狀態(tài)，只不過(guò)z不是獨(dú)立變量而是隨橫截面平面應(yīng)力分量而定。獨(dú)立變化的應(yīng)力分量只有3個(gè)，類似于平面應(yīng)力狀態(tài)。§2.3 平衡微分方程彈性力學(xué)求解問(wèn)題是從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面綜合考慮的。所以我們首先微元體應(yīng)該滿足的平衡條件平衡微分方程。我們以平面問(wèn)題為例推導(dǎo)，看看它應(yīng)該具有什么形式。首先對(duì)平面問(wèn)題的微元體進(jìn)行受力分析圖，如左所示。物體靜力平衡的條件是：Fx(y)=0；M=0。先看Fx=0展開化簡(jiǎn)得同理可求得Fy=0滿足得

20、條件，由M=0，列出方程如下：化簡(jiǎn)后得：略去微量項(xiàng)，可得：。這就是前面所將的剪應(yīng)力互等。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，微元體的前后面還有正應(yīng)力z，不過(guò)它們是互等的。對(duì)于推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果，沒(méi)有任何影響。所以平面問(wèn)題的平衡微分方程就是：寫成矩陣形式§2.4 幾何方程考察平衡微分方程，其中具有三個(gè)未知變量x、y、xy，而只有兩個(gè)方程，方程具有無(wú)數(shù)個(gè)解。表明僅從靜力學(xué)關(guān)系無(wú)法求解該方程。我們必須從其它方面尋求幫助。彈性體在受到外力后，會(huì)發(fā)生位移和形變，從幾何上描述彈性體各點(diǎn)位移于應(yīng)變之間的關(guān)系，就是彈性力學(xué)中的又一個(gè)重要方程幾何方程。仍然取截面的微元體ABCD，AB、CD邊長(zhǎng)為dx、dy，厚度為“1”。位

21、移u、v都是x、y的函數(shù)，即u(x,y)、v(x,y)，偏導(dǎo)數(shù)、表示位移分量u、v沿坐標(biāo)軸x的變化率，偏導(dǎo)數(shù)、表示位移分量u、v沿坐標(biāo)軸y的變化率，設(shè)A點(diǎn)的位移為u、v，那么B點(diǎn)的位移就是： 同理的D點(diǎn)的位移分量 由于角在位移和形變很微小的情況下非常小，所以ABAB”線段AB位移后的總伸長(zhǎng)量為AB-AB=AB”-AB=uB-uA=-u=，同理可得剪應(yīng)變由、兩個(gè)角度組成由于，所以，同理可得綜合以上幾何方程，并將它們寫成矩陣形式：由以上方程可以看出，當(dāng)彈性體的位移分量確定以后，由幾何方程可以完全確定應(yīng)變，反過(guò)來(lái)，已知應(yīng)變卻不能完全確定彈性體的位移。這是因?yàn)槲矬w產(chǎn)生位移的原因有兩點(diǎn)：1） 變形產(chǎn)生的

22、位移。2） 因運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移。因此彈性體有位移不一定有應(yīng)變，有應(yīng)變就一定有位移。§2.5 物理方程描述彈性體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的方程，我們稱之為物理方程，也叫材料的本構(gòu)方程。彈性力學(xué)通常研究的是各向同性材料，在三維應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。當(dāng)彈性體處于小變形條件下，正應(yīng)力只會(huì)引起微元體各棱邊的伸長(zhǎng)或縮短，而不會(huì)影響棱邊之間角度的變化，剪應(yīng)力只會(huì)引起角度的變化而不會(huì)引起各棱邊的伸長(zhǎng)或縮短。因此運(yùn)用力的疊加原理、單向虎克定律和材料的橫向效應(yīng)（泊松效應(yīng)），我們就可以很容易的推導(dǎo)出材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的虎克定律，也就是通常所說(shuō)的廣義虎克定律。式中，E材料線彈性模量 G材料剪切彈性模量 材料橫向

23、收縮系數(shù)，即泊松系數(shù)。三者不是獨(dú)立的。具有以下關(guān)系：這些參數(shù)都是材料的固有屬性系數(shù)，可以通過(guò)查材料手冊(cè)獲得。如：鋼材的彈性模量E196206GPa之間，通常取2.1×105MPa，0.240.28之間，也取為0.3進(jìn)行計(jì)算，G79GPa。將以上空間問(wèn)題的物理方程運(yùn)用到平面問(wèn)題，其形式如下：1） 平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程前面分析已知，平面應(yīng)力問(wèn)題有z=0、zx=0、zy=0。所以：從以上物理方程，也論證了我們前面說(shuō)的z0的結(jié)論，但由于它是由x和y方向應(yīng)力產(chǎn)生的附加無(wú)約束變形，所以通常不予以考慮。在有限元分析中更多的是運(yùn)用應(yīng)變表示的應(yīng)力關(guān)系，所以我們將上式變形一下：以上方程的矩陣表達(dá)形式為

24、： 簡(jiǎn)記為：式中：、為該問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變向量。 D為彈性矩陣。它是一個(gè)對(duì)稱矩陣，且只與材料的彈性常數(shù)有關(guān)。2） 平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程因?yàn)閦=0所以由空間物理方程的第三式得：，代入（1）、（2）式得同理變型為應(yīng)變表示應(yīng)力的形式：矩陣形式：也可簡(jiǎn)記為平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣不同于平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣，比較可以發(fā)現(xiàn)只需將平面應(yīng)力問(wèn)題彈性矩陣D中的材料常數(shù)E換為E/(1-2)，換為/(1-)就得到了平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣。其實(shí)彈性矩陣的這種轉(zhuǎn)換方法，是彈性力學(xué)中將平面應(yīng)力結(jié)果，轉(zhuǎn)換到平面應(yīng)變問(wèn)題結(jié)論的一般方法。因?yàn)樵趦煞N平面問(wèn)題的描述方程中（平衡微分方程、幾何方程和物理方程），只有物理方程是不同的。

25、§2.6 邊界條件求解彈性力學(xué)問(wèn)題實(shí)際就是在確定邊界條件下，求解8個(gè)基本方程（平面問(wèn)題而言），以確定8個(gè)未知變量。所以從數(shù)學(xué)的角度看，就是求解偏微分方程的邊值問(wèn)題。邊界條件的給出通常是各式各樣的。大體可以分為三類：1， 第一類邊值問(wèn)題給定物體的體力和面力條件，確定彈性體的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。此類問(wèn)題邊界以力的形式給出，所以也稱為應(yīng)力邊界條件。我們可以來(lái)考察一下應(yīng)力邊界的一般形式： 是在S面上給出的力的分量。平面問(wèn)題如左圖所示，設(shè)陰影部分的微元體弧長(zhǎng)為ds，厚度為單元厚度“1”，其法線與X軸的夾角為，由陰影部分微元體的平衡條件可以推出：化簡(jiǎn)后得： 此即為平面問(wèn)題應(yīng)力邊界方程。2， 第二類邊

26、值問(wèn)題給出彈性體的體力和物體表面各點(diǎn)得位移條件，確定彈性體得應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。由于以位移給出已知得邊界條件，所以也稱為位移邊界問(wèn)題。一般得位移邊界條件為： 在Su面上。3， 第三類邊值問(wèn)題給定彈性體得體力和一定邊界上得面力，其余邊界上的位移，確定其應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。由于邊界以力和位移兩種形式給出，所以也稱為混合邊界問(wèn)題。針對(duì)不同的邊界條件，彈性力學(xué)求解的方法也有所不同。§2.7 彈性力學(xué)的解題方法（解析法）1， 應(yīng)力法由于第一類問(wèn)題的邊界條件以應(yīng)力形式給出，所以以應(yīng)力作為基本的未知量的求解過(guò)程，就是人們通常所說(shuō)的應(yīng)力法。由于平衡方程中有三個(gè)未知量，而只有兩個(gè)平衡微分方程，必須找出另外一個(gè)

27、包含應(yīng)力分量的方程，才能求得方程解?？紤]到彈性體變形前是一個(gè)連續(xù)體，變形后也應(yīng)是連續(xù)體的基本假設(shè)，所以要求微元體的變形一定要協(xié)調(diào)，才能使變形前、后，不會(huì)發(fā)生裂縫、重疊等現(xiàn)象。要使變形協(xié)調(diào)，就要研究幾何方程。前面介紹的平面問(wèn)題幾何方程如下： 分別對(duì)x、y、求y、x的二階偏導(dǎo)，然后相加：上式表明三個(gè)應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的連續(xù)性條件，我們稱之為形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）。通過(guò)物理方程，使上述的形變協(xié)調(diào)方程換成應(yīng)力表示的形式，使之與平衡微分方程就構(gòu)成了應(yīng)力法中需要求解的方程組。具體我們來(lái)看看：1） 利用物理方程消去相容方程中的形變分量（以平面應(yīng)力為例）2） 利用平衡微分方程，消去上述公式中的剪應(yīng)力 式對(duì)X

28、求偏導(dǎo)，式對(duì)y求偏導(dǎo)，然后兩者相加代入相容方程，化簡(jiǎn)對(duì)于平面應(yīng)變而言，運(yùn)用前面講過(guò)的物理方程的轉(zhuǎn)換方法，只需將上式中的代以/(1-)就可以了。3） 最終求解的方程組平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題三個(gè)微分方程，三個(gè)未知變量，再考慮邊界條件，即可求得。如果是單連體（只具有唯一的封閉邊界）的對(duì)象，滿足了以上方程組后就是實(shí)際的解。但對(duì)于多連體（具有多個(gè)封閉邊界）的對(duì)象，中還包含有待定系數(shù)，這些待定系數(shù)會(huì)導(dǎo)致位移的解出現(xiàn)多值性。所以對(duì)于多連體的問(wèn)題，還應(yīng)考慮位移的單值條件，才能最終確定。該部分的內(nèi)容可以參見徐芝綸編的簡(jiǎn)明彈性力學(xué)教程中圓環(huán)受均布?jí)簯?yīng)力的情況（P87）2， 位移法位移法主要針對(duì)第二類邊界條件問(wèn)題

29、求解。解題步驟：1）改寫物理方程使之成為應(yīng)變表示應(yīng)力的形式2）應(yīng)用幾何方程表示以上得到公式中的應(yīng)變3）將它們代入平衡微分方程經(jīng)整理最后得到的位移法求解平面應(yīng)力問(wèn)題方程為：兩個(gè)未知量，兩個(gè)方程，再加以邊界條件即可求得問(wèn)題的解。以上介紹的解析法中，應(yīng)力法和位移法是求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方法。但都需要解聯(lián)立的偏微分方程組。求解過(guò)程中的數(shù)學(xué)難度，常常導(dǎo)致這種求解是無(wú)法進(jìn)行的。由于應(yīng)力法在體力為常量的情況下可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為求解一個(gè)單獨(dú)的微分方程的問(wèn)題，所以應(yīng)力法在解析法中相對(duì)應(yīng)用較多。但即使這樣，在應(yīng)力法中，也常常采用逆解法或半逆解法。§2.8 常體力情況下應(yīng)力法的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)及實(shí)例分析我們

30、前面講述了彈性力學(xué)的三大方程，及應(yīng)用這三大方程的應(yīng)力法和位移法解題步驟。但是也說(shuō)了要求解這些聯(lián)立的偏微分方程在數(shù)學(xué)上是存在很大難度的。很多情況下，根本無(wú)法進(jìn)行。那么彈性力學(xué)如何在實(shí)際中進(jìn)行應(yīng)用，它們和我們前面學(xué)過(guò)的材料力學(xué)區(qū)別究竟在哪里？我們將通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，一方面了解如何應(yīng)用這些彈性力學(xué)的方程求解問(wèn)題，另一方面加深對(duì)力學(xué)概念的理解，建立力學(xué)分析問(wèn)題的直觀感覺，為建立有限元模型打好基礎(chǔ)。我們知道在大多數(shù)情況下，我們分析的對(duì)象，體力是常數(shù)，它不隨x、y坐標(biāo)變化。如此以來(lái)，前面講解的第三個(gè)方程（應(yīng)力表示的相容方程），就可以簡(jiǎn)化為了： 簡(jiǎn)記為：以上方程稱為拉普拉斯微分方程，數(shù)學(xué)上也稱之為調(diào)和方程，

31、滿足調(diào)和方程的函數(shù)稱之為調(diào)和函數(shù)，及這里的。是拉普拉斯算子。這樣以來(lái)常體力情況下的應(yīng)力法方程就是：以上方程都不含有材料常數(shù)E、，所以平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩類問(wèn)題具有相同的方程，這表明：在單連體問(wèn)題中，只要邊界相同、受同樣的分布外力，應(yīng)力分布與材料無(wú)關(guān)；也與是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變的狀態(tài)無(wú)關(guān)。以上結(jié)論的意義：彈性力學(xué)平面解答的應(yīng)用范圍加寬。為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供了理論依據(jù)（光彈實(shí)驗(yàn)）下面我們考察平衡方程：其解由其次微分方程的通解，加上任意一組特解組成。特解我們可以很容易找到。如： 所以現(xiàn)在關(guān)鍵是找其次方程的通解。由第一個(gè)方程，可得：，由數(shù)學(xué)微分理論，該式是一個(gè)函數(shù)全微分的充要條件。所謂全微分就是有一個(gè)函

32、數(shù) 且 同理由第二式可得： 由剪應(yīng)力公式又知存在一個(gè)函數(shù)，可以使 故： 由于應(yīng)力與函數(shù)存在這樣的關(guān)系，因此函數(shù)即是應(yīng)力函數(shù)。我們用應(yīng)力函數(shù)來(lái)表示相容方程：上式表明是重調(diào)和函數(shù)。前面講過(guò)在彈性力學(xué)中，常用逆解法和半逆解法。所謂逆解法就是設(shè)定各種滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，運(yùn)用x、y與的關(guān)系，求得應(yīng)力分量，再考察其滿足何種邊界條件，從而知曉這樣的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問(wèn)題。所謂半逆解法就是根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力關(guān)系，設(shè)定部分應(yīng)力分量為何種形式的函數(shù)，從而確定應(yīng)力函數(shù)，在運(yùn)用應(yīng)力函數(shù)求出所有的應(yīng)力分量，根據(jù)邊界條件確定應(yīng)力分量應(yīng)具有的最終形式。下面我們來(lái)看一個(gè)半逆解法的例子。運(yùn)用逆解法求簡(jiǎn)支梁受均布載

33、荷的應(yīng)力分布。由材料力學(xué)知，彎曲應(yīng)力主要由彎矩M引起，剪應(yīng)力由剪力引起，而擠壓應(yīng)力由分布載荷q引起?，F(xiàn)在q為不隨x變化的常量。因此我們?cè)O(shè)y不隨x坐標(biāo)變化，即，因此 我們對(duì)x積分：上式中f1(y)、f2(y)是待定函數(shù)。由于應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，所以： 代入到式中考察上式可以看出它是一個(gè)x的二次方程，所以一般情況下只有兩個(gè)根。也就是說(shuō)只有兩個(gè)位置能夠滿足上式。但我們對(duì)相容方程的要求是絕對(duì)滿足。也就是要求在整個(gè)梁的范圍內(nèi)都滿足。所以只有該方程的系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)全部為零。即： 公式中的A.、B、CK都是待定系數(shù)。公式、中分別省掉了常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)。這是由于f1(y)和f2(y)分別是應(yīng)力函數(shù)

34、中x的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的原因，這樣處理不會(huì)對(duì)應(yīng)力分量產(chǎn)生影響。最后求出的應(yīng)力函數(shù)為：由應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，可以求出各個(gè)應(yīng)力分量：由于以上求得的應(yīng)力分量滿足了平衡方程和相容方程，所以只需根據(jù)邊界確定AK的系數(shù)，就求得了該問(wèn)題的解。根據(jù)對(duì)稱性，知道為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以有E=F=G=0通常梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的深度，因此上下邊界是主要邊界，它們必須滿足。 將它們代入的表達(dá)式，并且考慮E=F=G=0以上四個(gè)方程解四個(gè)未知數(shù)，求得： B=0 將他們代回到應(yīng)力分量的表達(dá)式中，也就有：左右兩個(gè)邊界，由于前面已經(jīng)考慮了對(duì)稱性，所以這個(gè)僅考慮優(yōu)邊界。沒(méi)有水平力。要x=l時(shí)，x=0，考察x的表達(dá)式，除非q=0。而

35、這和已知條件相違背。所以在這個(gè)邊界上我們只能要求部分滿足。運(yùn)用圣維南原理運(yùn)用等效力系代替它。（這樣產(chǎn)生的誤差只在力作用點(diǎn)附近較大）。運(yùn)用的等效力系就是合成力系為平衡力系： 合力等于0 合力矩等于0由第一個(gè)條件得K=0，（奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為零）；由第二個(gè)條件得可以證明剪應(yīng)力的合力為-ql。即最終求得的結(jié)果，加以整理：由于厚度為“1”，此時(shí)其慣性矩，靜矩（計(jì)算見圖）任意一點(diǎn)的彎矩剪力所以上式中的應(yīng)力分量可以改寫為：各項(xiàng)應(yīng)力的分布x第一項(xiàng)為主應(yīng)力項(xiàng)，與材料力學(xué)中的結(jié)果完全一致。第二項(xiàng)為應(yīng)力修正項(xiàng)。當(dāng)L/h4時(shí)，僅占主項(xiàng)的1/60；當(dāng)L/h=2時(shí)，僅占主項(xiàng)的1/15。所以對(duì)于深梁的工程構(gòu)件不容

36、忽視第二項(xiàng)的影響。§2.8 虛功方程從前一節(jié)深梁的例子，我們可以看到，彈性力學(xué)解析求解的過(guò)程是非常復(fù)雜的。這樣的求解對(duì)實(shí)際工程情況說(shuō)來(lái)，很多情況根本是不可能的。所以長(zhǎng)期以來(lái)，技術(shù)人員就一直探求數(shù)值求解的方法。有限元法是其中最成功的方法。為分析單元特性和簡(jiǎn)化分析過(guò)程，我們還需了解單元的能量關(guān)系。因?yàn)樵诹W(xué)上，很多時(shí)候從能量的角度分析，可以大大簡(jiǎn)化分析的過(guò)程。一， 應(yīng)變能的概念有材料力學(xué)知，彈性體在受到外力作用發(fā)生變形的過(guò)程中，彈性體內(nèi)部會(huì)存儲(chǔ)變形勢(shì)能應(yīng)變能。在單向應(yīng)力場(chǎng)中，單位體積的應(yīng)變能的計(jì)算可以表示為：對(duì)于平面問(wèn)題，有三個(gè)應(yīng)力分量和與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量。由于在小變形情況下，正交力系互

37、不影響，由力的疊加原理，所以該種情況的應(yīng)變能為：其中： 整個(gè)彈性體的應(yīng)變能：上式也表示應(yīng)力在應(yīng)變上所做的總功。二， 虛功原理和虛功方程在理論力學(xué)中，我們?cè)?jīng)學(xué)到一個(gè)虛功原理，也稱虛位移原理。其基本思想就是：假定加在物體上一個(gè)可能的、任意的、微小的位移，在平衡條件下，物體的約束反力所做虛功應(yīng)等于外力所做虛功。因?yàn)槟芰勘仨毷睾恪Ｔ谶@里所說(shuō)的可能的虛位移是指位移必須滿足的約束條件。任意的是指位移的方向和類型是隨意的。把這一原理運(yùn)用到現(xiàn)在的彈性體中，衡量彈性體應(yīng)滿足的平衡能量關(guān)系就是：假定加在彈性體上一個(gè)可能的、任意的、微小的位移，在平衡條件下，彈性體內(nèi)的應(yīng)變能應(yīng)等于外力所做虛功。同樣是因?yàn)槟芰勘仨毷?/p>

38、恒。運(yùn)用這一原理，我們可以推到有限元中廣泛用到的虛功方程。假定彈性體發(fā)生、的虛位移，則由幾何方程得： 現(xiàn)考察彈性體微元體和邊界處微元體上的力所做虛功：內(nèi)部微元體上的力所做虛功左面的應(yīng)力虛功右面的應(yīng)力虛功左、右兩面上的虛功之和（略去高階微量，并考慮）同理得剪應(yīng)力的虛功之和體力X的虛功同樣的考慮Y方向的以及以及體力Y的虛功，然后疊加成內(nèi)部微元體上的虛功如下：邊界上的微元體設(shè)斜邊中點(diǎn)處的虛位移、，形心處的應(yīng)力為、那么在直角邊上的應(yīng)力和位移均有一個(gè)負(fù)的增量，如圖所示，虛功計(jì)算為：（略去了高階微量）同理的dy直角邊上的剪應(yīng)力虛功為：代入已有的幾何關(guān)系：，斜面上面力的虛功體積力的虛功同樣的方法求得另一面上

39、正應(yīng)力與剪應(yīng)力的虛功，全部相加即得斜邊微元體上的虛功之和為：支反力處的虛位移為零，所以支反力不做功，將dw1+dw2，并對(duì)整個(gè)體積積分，可以得到整個(gè)彈性體內(nèi)的總虛功：根據(jù)平衡微分方程和靜力邊界條件，上式的第一、第二項(xiàng)都是零，所以彈性體的總虛功為：根據(jù)能量守恒，它應(yīng)與外力的虛功相等由于該等式引入了平衡方程和邊界方程，所以上式虛功方程等價(jià)于靜力平衡條件（內(nèi)部和邊界微元體）。不同之處在于它是一種能量的表示形式。為了便于有限元中方便運(yùn)用，引入廣義力和物理方程，虛功方程變形為：綜合以上推到過(guò)程，虛功方程表達(dá)的物理概念就是：“若彈性體處于平衡狀態(tài)，那么外力在虛位移上作的虛功應(yīng)等于應(yīng)力在應(yīng)變上作的虛應(yīng)變功，

40、或者說(shuō)等于虛應(yīng)變能”。§2.9 平面問(wèn)題單元?jiǎng)澐钟邢拊ㄔ谄矫鎲?wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，才采用三角形單元和四邊形單元、或者矩形單元，三角形單元的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單且對(duì)結(jié)構(gòu)的不規(guī)則邊界逼近好，而矩形單元卻更能反映實(shí)際彈性體內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變變化。這兩點(diǎn)我們會(huì)逐漸向大家說(shuō)明。所以一般說(shuō)來(lái)，有限元分析，單元?jiǎng)澐值拿芏群蛦卧N類選取，對(duì)計(jì)算結(jié)果起重要作用。一般單元?jiǎng)澐衷矫芗?，結(jié)果越精確。單元多也導(dǎo)致求解的線性方程組階數(shù)增高，要求計(jì)算機(jī)的內(nèi)存也更大，計(jì)算的時(shí)間也越長(zhǎng)，分析的效率就越低。解決這一矛盾的方法就是在應(yīng)力集中區(qū)域單元?jiǎng)澐置芗恍?，?yīng)力變化梯度小的位置，劃稀疏些，這樣就能兼顧精度與效率的關(guān)系。一般的原則是：1

41、） 根據(jù)結(jié)構(gòu)的受力和支承特點(diǎn)，按對(duì)稱和反對(duì)稱的性質(zhì)，簡(jiǎn)化分析模型，以減少計(jì)算分析的規(guī)模。2） 合理布局單元的密集程度，以使計(jì)算結(jié)果精度高而計(jì)算量小。3） 在同一單元內(nèi)，單元的特性數(shù)據(jù)和材質(zhì)數(shù)據(jù)應(yīng)保持一致。4） 集中載荷的作用點(diǎn)和載荷密度突變處應(yīng)有節(jié)點(diǎn)。5） 在欲知道應(yīng)力狀態(tài)、內(nèi)力情況和位移值的位置應(yīng)有節(jié)點(diǎn)。6） 單元的選取欲分析的目標(biāo)密切相關(guān)。模型的單元?jiǎng)澐趾煤螅阉械膯卧凸?jié)點(diǎn)按一定的規(guī)律和順序進(jìn)行編號(hào)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角、柱面和球面），以方便確定各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。§2.10 節(jié)點(diǎn)位移、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷彈性體在承受外力作用后，其內(nèi)力的傳遞實(shí)際是通過(guò)單元之間的邊界來(lái)實(shí)現(xiàn)的。但我們

42、把結(jié)構(gòu)離散化后，如果單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，可以看成為其內(nèi)力的傳遞通過(guò)單元與單元之間的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行傳遞。對(duì)于平面問(wèn)題而言，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有位移和力兩個(gè)未知量，這兩個(gè)量又都是x、y的函數(shù)，注意平面問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)是不能傳遞力矩的，為什么？一， 節(jié)點(diǎn)位移對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元而言，因有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移都有x，y兩個(gè)分量，所以一共有6個(gè)自由度。單元節(jié)點(diǎn)位移向量可表示為：二， 節(jié)點(diǎn)力所謂節(jié)點(diǎn)力，就是單元對(duì)節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)對(duì)單元作用的力，它是彈性體內(nèi)部的作用力，也就是我們常說(shuō)的內(nèi)力。和上面相同的道理，節(jié)點(diǎn)力向量為：三， 節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷是指作用在節(jié)點(diǎn)上的外力，包括：直接作用在節(jié)點(diǎn)上的外力經(jīng)等效處理后，移植到節(jié)點(diǎn)上的等效力。

43、可用Xi、Yi.表示。由力平衡條件知，節(jié)點(diǎn)要保持平衡，那么作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)內(nèi)力的合力。即：，所有的節(jié)點(diǎn)載荷向量表示為§2.11 三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式和形函數(shù)彈性結(jié)構(gòu)受外載荷后，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化規(guī)律，一般都是很復(fù)雜的。很難找到一個(gè)函數(shù)來(lái)描述整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化規(guī)律。但當(dāng)把整個(gè)結(jié)構(gòu)離散以后，在一個(gè)相當(dāng)小的單元內(nèi)部，卻可以用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似描述單元內(nèi)部位移的這種變化規(guī)律。而不致造成很大的誤差。這就好比一條復(fù)雜的曲線，用一個(gè)函數(shù)很難描述，但在把這條曲線分段以后，對(duì)于每一條分段曲線，卻可以用直線或拋物線來(lái)描述。一， 三角形單元的位移模式設(shè)單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移分量u、v

44、是其位置坐標(biāo)x、y的線性函數(shù)，則： a1a6是待定系數(shù)。改寫方程組成為矩陣的形式：?jiǎn)卧娜齻€(gè)頂點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)已知，分別為、和，因?yàn)樗鼈円彩菃卧系狞c(diǎn)，所以應(yīng)該滿足以上假定的位移變化規(guī)律。代入上式： 解以上6個(gè)方程，求得6個(gè)待定系數(shù)。 同理得 順序輪換，A是三角形的面積在單元節(jié)點(diǎn)的順序號(hào)i,j,m必須是按逆時(shí)針排列，否則系數(shù)行列式是負(fù)值，而三角形的面積為負(fù)值，是不合理的。求得的6個(gè)系數(shù)可以用以下矩陣表示：二， 形函數(shù)將所求得的6個(gè)待定系數(shù)代入位移模式表達(dá)式中：令 順序輪換就有上式就是假定位移模式下導(dǎo)出的單元內(nèi)任一點(diǎn)位移表達(dá)式。該式的數(shù)學(xué)意義就是單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以由單元節(jié)點(diǎn)的某種形式插值得

45、到，其中的插值基函數(shù)就是Ni、Nj、Nm。對(duì)于我們目前假定的位移模式是線性函數(shù)，所以得出的插值基函數(shù)也是類似的線性函數(shù)。由此可以看出，插值基函數(shù)具有反映單元位移變化形態(tài)的特征，所以也稱之為位移形態(tài)函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)。N就是形函數(shù)矩陣。三， 形函數(shù)的性質(zhì)單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1。在單元的三個(gè)頂點(diǎn)處，有 i節(jié)點(diǎn)處 j節(jié)點(diǎn)處 m節(jié)點(diǎn)處 以上這些，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行證明。四， 位移模式收斂性的分析由于位移模式的選取是人為假定的，這種假定只能近似模擬單元內(nèi)位移的變化規(guī)律，由于單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)是以假定的位移模式展開的，那么這種假定的位移模式能否使有限元數(shù)值解收斂與精確解，在很大程度上就

46、取決于所選的位移模式，通過(guò)數(shù)學(xué)證明，可以找出位移模式滿足收斂性的幾個(gè)條件：A）完備性1） 位移模式必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)。將u、v的表達(dá)式代入幾何方程，得：因?yàn)橄禂?shù)a2a6都是常數(shù)，所以上面的應(yīng)變分量也是常量。這也表明所選的位移模式中包含有彈性體的常應(yīng)變狀態(tài)。在上面的表達(dá)式中不含x、y的變量，說(shuō)明單元的應(yīng)變是常量，這也表明這種單元是一種常應(yīng)力單元。2） 位移模式必須包含單元的剛體位移。彈性體位移一般包含兩個(gè)部分，即變形位移和沒(méi)有彈性變形的剛體位移。那么作為模擬單元位移狀態(tài)的位移模式，也就應(yīng)該能同時(shí)反映這兩部分的位移。在中已經(jīng)證明了彈性應(yīng)變的變形，下名說(shuō)明他也包含有剛體位移的特征。改寫位移表達(dá)

47、式如下：當(dāng)時(shí)，由知，所以上式： *我們?cè)賮?lái)看看一個(gè)點(diǎn)作剛體位移的運(yùn)動(dòng)方程。點(diǎn)M先轉(zhuǎn)到M1，再由M1移到M2，如左圖所示： *比較上面的*和*式，可以看出，由此得出在三角形線性位移模式中，也包含了單元的剛體位移。B）協(xié)調(diào)性3） 位移模式必須能夠反映位移的連續(xù)性。在彈性力學(xué)求解問(wèn)題時(shí)，曾經(jīng)講到過(guò)變形協(xié)調(diào)方程，也說(shuō)過(guò)它是彈性體變形后仍保持連續(xù)和不發(fā)生撕裂、侵入缺陷的條件。那么位移模式的選取，也應(yīng)該保證單元之間不出現(xiàn)撕裂和侵入的缺陷。由于上面假定的位移模式是線性函數(shù)，而兩點(diǎn)就能決定一條直線。由于相鄰單元的公共邊界上的位移由與之相連的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)插值獲得，而相鄰的單元具有兩個(gè)公共的節(jié)點(diǎn)，所以通過(guò)這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所

48、得的插值值，不可能出現(xiàn)不同。也就是不可能出現(xiàn)下圖a和圖b的情況。以上三個(gè)條件是選取位移模式必須考慮的。完備形條件是收斂的必要條件；協(xié)調(diào)條件是充分條件。在有限元中，滿足完備條件的的單元是完備單元，滿足協(xié)調(diào)條件的是協(xié)調(diào)單元。§2.12 （三節(jié)點(diǎn)三角形）單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)上一節(jié)我們已經(jīng)建立了三角形單元的位移插值模式，并求得了形函數(shù)的方程，這樣就完成了單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移由單元節(jié)點(diǎn)位移表示（插值）的工作，接下來(lái)運(yùn)用我們已學(xué)過(guò)的一系列知識(shí)，我們就可以完成單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)了。一， 推導(dǎo)過(guò)程1） 由位移插值函數(shù)導(dǎo)出單元應(yīng)變的單元節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)式將代入上式，可得：如按分塊矩陣記憶，那么： 其中 i=

49、i, j, m矩陣B稱為應(yīng)變矩陣，或稱為幾何矩陣。由以上計(jì)算公式知，它與單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，但不隨點(diǎn)的坐標(biāo)變化，就是說(shuō)在這一單元內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變是相同的。2） 求得單元應(yīng)力的單元節(jié)點(diǎn)位移的表達(dá)式將幾何矩陣代入單元的物理方程，就有：彈性矩陣D是由材料常數(shù)組成的矩陣。令S=DB，代入平面應(yīng)力的物理方程，就有也可以寫成分塊矩陣的形式 i= i, j, m3） 用虛功方程導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚕▎蝿偩仃嚕┨摴Ψ匠碳俣▎卧暮穸葹閠，上式改寫為單元的虛功方程形式，虛應(yīng)變也可以用幾何方程表示 代入上式由于虛位移元素是常量，所以可以提到積分號(hào)以外，并與左邊的消去（為什么？）。于是上式變?yōu)椋毫?，虛功方程就成為了單剛?/p>

50、程由于B、D都是不含有x，y的常數(shù)矩陣，所以雙重積分實(shí)際就是對(duì)面積積分了。 A是三角形面積將前面求得的應(yīng)變矩陣和彈性矩陣代入，然后作矩陣乘法。就得到我們要求得的矩陣計(jì)算公式。我們?cè)谶@里采用分塊矩陣的方法記憶。 r,s=i,j,m注意以上是平面應(yīng)力狀態(tài)的單剛矩陣，如果是平面應(yīng)變問(wèn)題呢？二， 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嘖e表示單元抵抗變形的能力。它與通常的彈簧剛度系數(shù)k的物理意義本質(zhì)相同，只不過(guò)Ke是一個(gè)6×6階的矩陣。共有36個(gè)元素。這是因?yàn)槿切蔚墓?jié)點(diǎn)力向量和節(jié)點(diǎn)位移向量都為6的緣故。1） 物理意義分塊矩陣Kij表示的物理含義是：節(jié)點(diǎn)j處產(chǎn)生單位位移，而節(jié)點(diǎn)i、m被約束，此時(shí)在節(jié)

51、點(diǎn)i處產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。我們寫出它的4個(gè)分量元素：在上面的矩陣中，元素的第一個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)力的節(jié)點(diǎn)，第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)位移的節(jié)點(diǎn)。上標(biāo)“1”表示水平分量，“2”表示豎直分量。而且上標(biāo)和下標(biāo)的關(guān)系是對(duì)應(yīng)的。也就是說(shuō)第一個(gè)下標(biāo)對(duì)應(yīng)第一個(gè)上標(biāo)；第二個(gè)下標(biāo)對(duì)應(yīng)第二個(gè)上標(biāo)。如此就有：就表示節(jié)點(diǎn)j處產(chǎn)生豎直單位位移，在節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)生的水平方向的節(jié)點(diǎn)力。2） 單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣這一點(diǎn)可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明如下：?jiǎn)卧仃嚨膶?duì)稱性，從物理學(xué)角度反映出的道理就是，“功的互等”。也就是在節(jié)點(diǎn)j處產(chǎn)生某一位移引起節(jié)點(diǎn)i處的節(jié)點(diǎn)力，應(yīng)等于在節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)生相同位移引起節(jié)點(diǎn)j處的節(jié)點(diǎn)力。3） 單元?jiǎng)偠染仃囍械脑刂慌c單

52、元的材料性質(zhì)、幾何形狀、尺寸大小有關(guān)，而與單元的位置無(wú)關(guān)。單元?jiǎng)偠染仃囍胁缓衋i、aj、am，上節(jié)對(duì)位移模式收斂性分析中，曾經(jīng)說(shuō)明了a1、a4分別表示單元的平移分量，而由上式知單元的平移運(yùn)動(dòng)與ai、aj、am有關(guān)，而Ke又與ai、aj、am無(wú)關(guān)，所以說(shuō)它不隨坐標(biāo)軸的平動(dòng)而變。4） 單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?，即從力學(xué)的角度理解單元的剛度方程，當(dāng)給定位移時(shí)，可以求得力；當(dāng)給定力時(shí)，卻不能求得位移。因?yàn)镵e不存在逆矩陣，在單元沒(méi)有給出任何約束的情況下，除有應(yīng)變的可能性外，還同時(shí)有剛體位移的可能性。所以方程無(wú)解。§2.13 載荷的節(jié)點(diǎn)移置前面對(duì)于有限元模型的分析時(shí)，曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，單元之間的力傳遞

53、是通過(guò)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行的。所以不在節(jié)點(diǎn)上的力，必須按靜力等效原則，把它們移置到節(jié)點(diǎn)上。靜力等效原則：原載荷在任何虛位移上所做的虛功，與移置到節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷所做的虛功相等。這種處理方法，和我們前面講到的圣維南原理相同。它們只會(huì)影響模型局部的應(yīng)力分布，而不會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力。下面根據(jù)力的類型，分類說(shuō)明處理的方法。1） 集中力的移置如圖所示的受力示意圖，M處的力為，移置后的節(jié)點(diǎn)載荷為，虛功相等就是：，所以有由于我們現(xiàn)在一直局限于單元的載荷移置，所以上式中的R應(yīng)記為Re。如果將它寫成分量的形式：從上面公式可以清楚的看到，載荷移置結(jié)果與單元位移模式密切相關(guān)。2） 體力移置體積力密度為，將單元中微元體的體力看

54、作集中力，那么3） 面力的移置設(shè)在單元的一個(gè)邊界上作用有分布力，面力的密度為，將微面積tds上的面力也看作是集中力，則有以上面力，體力的積分運(yùn)算較為復(fù)雜，在線性模式下，可按照理論力學(xué)中靜力學(xué)平行力分解的原理，直接求得等效的節(jié)點(diǎn)載荷：均質(zhì)等厚的三角形單元，受W的體力，則三個(gè)節(jié)點(diǎn)分別受到的節(jié)點(diǎn)載荷。 i、j邊受到集度為q的均布面力載荷，則i、j邊節(jié)點(diǎn)受到的等效節(jié)點(diǎn)載荷。 i、j邊受到線性分布的面力，i處集度為零，j處集度為q其合力為，那么i處的節(jié)點(diǎn)載荷為，j處的載荷為。這些簡(jiǎn)單的規(guī)則，對(duì)于今后實(shí)際中的應(yīng)用，可以提高效率。§2.14 整體分析該過(guò)程是將離散分離的各個(gè)單元組集成離散的結(jié)構(gòu)物，從而建立模型的總剛方程。一， 總剛方程和總剛矩陣的組集1， 總剛度矩陣的組集原則A， 整個(gè)離散結(jié)構(gòu)變形后，各個(gè)單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接。即環(huán)繞某個(gè)節(jié)點(diǎn)的n個(gè)單元，在節(jié)點(diǎn)i處具有相同的位移。數(shù)學(xué)公式的描述：