八年級下2代數(shù)方程知識點及應(yīng)用題

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案代數(shù)方程化歸思想：高次化低次分式化整式無理化有理多元化一元降次的方法：因式分解，換元化整式的方法：去分母，換元化有理方程的方法：平方法，換元代入和加減消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法主要有四種：(1)直接開平方法：適用于(mx+ri)2=h(h>0)的一元二次方程。(2)配方法：適用于所有化為一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)特點的一元二次方程，用配方法解才較簡便。配方法是通過配方將一元二次方程化成(mx+n)2=h(h>0)的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。其基本步驟是：首

2、先在方程兩邊同除以二次項系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1;把常數(shù)項移到等式的右邊；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡為常數(shù)；利用直接開平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當(dāng)二次項系數(shù)不為1時，一定要化為1,然后才能方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方(3)公式法：bb24ac適用于解一般形式的一元二次方程。利用公式x=b一續(xù)(b2-4ac>0扃以解2a所有的一元二次方程。注意：當(dāng)b2-4ac>0時，方程才有實數(shù)解；當(dāng)b2-4ac<0時，原方程無實數(shù)解。(4)因式分解法：文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案適用于方程右邊是0,左邊是易于分解成兩個一次因式乘積的一

3、元二次方程。2、含字母系數(shù)的整式方程的解法3、特殊的高次方程的解法(1)二項方程axn+b=0(a#0,b¥0)的解法二項方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項方程。關(guān)于x的一元n次二項方程的一般形式是axn+b=0(a=0,b=0,n是正整數(shù))二項方程的解法及根的情況：b一般地，二項方程axn+b=0(a#0,b#0)可變形為xn=a可見，解一元n次二項方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個已知數(shù)的n次方根，運用開方運算可以求出這個方程的根。二項方程的根的情況：對于二項方程axn+b=0(a=0,b#0),當(dāng)n為奇數(shù)時，方程只有且只

4、有一個實數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時，如果ab<0,那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根互為相反數(shù)；如果ab>0,那么方程沒有實數(shù)根。(2)因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。例題解下列方程：(1)2x3+7x2-4x=0(2)x3-2x2+x-2=0解：(1)方程左邊因式分解，得x(2x2+7x-4)=0x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=0，原方程的根是x=0,x=-4,x=1注意：不要漏掉x=0這個根！2(2)方程左邊因式分解

5、，得(x3-2x2)+(x-2)=0x2(x-2)+(x-2)=0(x-2)(x2+1)=0即x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得x=2方程x2+1=0沒有實數(shù)根所以，原方程的根是x=2、可化為一元二次方程的分式方程的解法文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案1.適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程來解。解分式方程要注意驗根！例題解下列方程4x-3x-45x-512-xx-1760分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。（1）首先應(yīng)觀察各項分母，如能分解因式必須先分解因式，如本例x2-17x+60可分解因式為（x-5）（x-1

6、2）.（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例為“（x-5）（x-12）”.（3）用此整式去乘方程的每一項，便可約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解（4）最后應(yīng)檢驗，至此例可找到本例完整解在去分母的過程中要注意兩點：（1）必須注意符號的變化規(guī)律（如本例"12-x”與“x-12'的關(guān)系）；（2）用整式乘以方程的每一項，一項都不能漏.2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項與一次項相同的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的未知項呈倒數(shù)關(guān)系的，可采取倒數(shù)換元法，下面的例題中的兩個方程，分別具有這兩種特點。例題解下列方程:(1)5x1x1+6=

7、0;(2)<x+18(x22x)3(x2-1)=11x2-1x22x（1）分析：觀察方程（1）可發(fā)現(xiàn)二次項底數(shù)與一次項未知底數(shù)相同，因而，可考慮同底換元法為宜.,x22x-x2-1,2）分析：觀察方程（2）可發(fā)現(xiàn)這個方程左邊兩個分式中的x22x與x1互為倒數(shù),x-1x2x根據(jù)這個特點，可以用倒數(shù)換元法來解.由此可以看出，解分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基礎(chǔ)方法，解分式方程應(yīng)首先考慮用基本方法求解，然后再根據(jù)分式方程特點，考慮換元法，便可達到轉(zhuǎn)化的目的，找到思路.對于解題過程的每一個步驟都不能疏忽，才能正確求解.三、無理方程的解法解無理方程的基本思路是

8、把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有些特殊的無理方程，可以用“換元法”解。解無理方程一定要驗根！在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無理方程的解法。文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案1 .只有一個含未知數(shù)根式的無理方程二次根式單獨在一邊當(dāng)方程中只有一個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使這個然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) 2jx-3=x-6(2)3-J2x-3=x解：(1)兩邊平方，得4(x-3)=(x-6)2整理，得x2-16x+48=0解這個方程，得x1=4,x2=12經(jīng)檢驗，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是x=122

9、(2)原萬程可變形為3x=V2x3兩邊平萬，得(3-x)=2x-3整理，得x2-8x+12=0解得x1=2,x2=6經(jīng)檢驗，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22 .有兩個含未知數(shù)根式的無理方程當(dāng)方程中有兩個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使一個二次根式單獨在一邊，另外一個二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) vx2-2-v2x+1=0(2)&+2=0解：(1)原方程可變形為Vx2-2=J2x+1兩邊平方，得x2-2=2x+1整理，得x2-2x-3=0解得x1=-1,x2=3經(jīng)檢驗，x=-1是增

10、根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是x=33 .適宜用換元法解的無理方程如果無理方程中，二次根式里面的未知項和二次根式外面的未知項相同，可以使用換元法來解。例題解方程2Vx22x+4=3x26x+4練習(xí)1.在方程3x2-5+,'X2-1=°中，使用換元法，則原方程化為關(guān)于y的方程是二0沒有實數(shù)解.xm312.當(dāng)m=時，關(guān)于x的分式方程x2-x-6x+2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案答案：4或-63 .若關(guān)于x的方程J2xJx+a=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是答案：a>-226x4.用換元法解方程lx+1J5=0時，可設(shè)=y,這時原方程變21答案：x1n-J>5 .方

11、程VX00的根是；Jx=x的根是；=-x的根是答案：0；0和1；06 .無理方程<x2+6a=x的根為土石,則a的值為答案：3±J3112ab1一廠二12-2二一二7 .若a,b都是正實數(shù)，且aba+b,則ab答案：28 .若a+b=1，且a：b=2:5,貝U2a-b=.答案：79.當(dāng)a=時，方程=0無實數(shù)根答案：-2,111x-.8x-二10 .若x，則x答案：土211 .下列方程中既不是分式方程，也不是無理方程的有（）2x=3A.x-1B.2xx2-、353x-5二x3E%2乂+中3丫=%521x-3x-=0C.xD.2xx=3x-22答案：A12x212 .方程2(x-3

12、)3(x3)(x-3)4(x-3)的最簡公分母是(一,一、一一_2A.24(x+3)(x-3)B.(x+3)(x-3)C.24(x+3)(x-3)2D.12(x+3)(x-3)2答案：D13 .觀察下列方程，經(jīng)分析判斷得知有實數(shù)根的是（）文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案32=03=0A.x-3B.x1x(x3)二0C.x2D.-x2x-1答案:168,2一二114.如果xx那么x的值是（A.1B.-1C.D.4答案：A15.方程2xt4x+1=1的解是（A.0B.2C.0D.1,答案：B2xx16.設(shè)y=x2+x+1,則方程2-2x+x可變形為A.y2-y-2=0C.y2+y-2=0B.y2+y+2=0D.y

13、2-y+2=0答案：A17.若Ji-4a+4a2=1-2aa的取值范圍是（A.全體實數(shù)B.a>0D.AU-V18.已知,則相等關(guān)系成立的式子是V=A.RSSUB.SURSSUR-S19.關(guān)于R-SD.SU答案：Bxx的方程2x的根是（A.x=aB.x=-aC.x1=a；x2=-aD.x1=a;x2=a答案：D20.一個數(shù)和它的算術(shù)平方根的4倍相等，那么這個數(shù)是（A.0B.16C.0或16D.4）或16答案：C文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案x11x51=ZT21. x-x3x3x-3；解3(x+1)(x1)=x(x+5),3x+3x+1=x2+5x,x2+3x-4=0,(x+4)(x-1)=0.x1=-

14、4,x2=1經(jīng)檢驗知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.22. Jx+5-V2x-7=2.23.4-9x22x-41x-6c=+c22.24. x十x2x-1x4；1 6x-17L3-二-2"25. x-11-xx+x+1；x23x-4=026. x-1x-1文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【應(yīng)用題知識講解】一、列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟有：(1)審題.弄清題中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量與未知量之間有哪些關(guān)系，有些應(yīng)用題還需通過畫示意圖來幫助我們分析.(2)設(shè)未知數(shù)，列出相關(guān)代數(shù)式.設(shè)未知數(shù)分為直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，可根據(jù)題目的需要采取適當(dāng)?shù)脑O(shè)法.(3)找等量關(guān)系列方程(組).(

15、4)解方程(組).(5)檢驗.一要檢驗所得的未知數(shù)的值是不是方程的解，二要檢驗所得的未知數(shù)的值是否符合題意.(6)寫出答案.二、應(yīng)用題通常可根據(jù)不同的文字表述分為如下幾種類型，每種類型常用到一些基本等量關(guān)系式，歸納如下：(1)行程問題：路程=速度x時間，順流逆流航行問題中：順流速度力臺速十水速，逆流速度=M速-水速；(2)工程問題：工作總量=工作效率X工作時間(3)百分率問題：新數(shù)=基數(shù)x(1土百分率)(4)存款利率問題：利息=本金x利率x所存期數(shù)，本息和=本金+利息=本金X(1+利率X所存期數(shù))(5)商品利潤問題：利潤=成本價(或買入價)x禾潤率，銷售價=成本價+禾1潤=成本價X(1+利潤率

16、)【例題講解】1 .某校辦工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一季度產(chǎn)量為25件，通過技術(shù)革新，二、三季度產(chǎn)量都比前一季度增長一個相同的百分率，這樣到第三季度時三個季度共生產(chǎn)91件產(chǎn)品，求增長的百分率.2 .A、B兩地相距900千米，甲、乙兩車分別由A、B兩地同時出發(fā)相向而行，它們在途中C處相遇，相遇后甲再過4小時到達B地，乙再過16小時到達A地,求A、B距離及兩車速度.分析：據(jù)題意可找出以下兩個等量關(guān)系：(1)相遇時兩車所走的路程之和為900千米(路程關(guān)系)(2)兩車從出發(fā)到相遇所經(jīng)過的時間相等(時間關(guān)系)根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組.3 .某項工程，若甲單獨做2天后，剩下部分由乙去做，則乙還需要做的天數(shù)

17、等于甲單獨做完此項工程的天數(shù)；若乙單獨做2天后，剩余的工程由甲去做，則甲還需3天完成.問甲、乙單獨完成此工程各需多少大？文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案4 .甲、乙兩店以同樣價格進同一種貨物，甲店以20%勺利潤加價出售，共獲利12000元，乙店以10%勺利潤加價出售，十分暢銷，在相同時間，銷售量乙店比甲店多100件，因而總利潤比甲店多4000元，問甲、乙兩店各售出多少件？每件的售價各多少元？5 .一桶內(nèi)裝滿了純農(nóng)藥液體，從中倒出5升后用水加滿，然后再倒出5升液體,再用水加滿，這時桶內(nèi)純農(nóng)藥是原來的16,求該桶的容積.25分析：由于題目中給出的桶一開始裝滿純農(nóng)藥液體，所以該桶的容積就是一開始的純農(nóng)藥液體量，不妨

18、設(shè)該桶的容積為x升，則第一次倒出5升后，桶內(nèi)的純農(nóng)藥量變?yōu)椋▁-5）開，此時用水加滿，桶內(nèi)就不再是純農(nóng)藥液體，純農(nóng)藥的濃度變?yōu)槭?5X100%第二次倒出的5升中含純農(nóng)藥量為5X（工藝X100%.xx說明：解應(yīng)用題所得的解不僅要適合列出的方程，同時還要考慮符合應(yīng)用題的實際.6 .某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月用電量不超過A度，那么這個月只要交10元用電費，如果超過了A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超出部分還要按每度0.01A元交費.（1）該廠某戶居民2月份用電90度,超過了規(guī)定的A度,則超過部分應(yīng)交電費元（用A表示）（2）下表是這戶居民三、四月用電情況和交費情況:月份用電量交

19、電費總數(shù)三月80度25元四月45度10元根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A度是多少?分析：這是一道與日常生活密切相關(guān)的圖表信息類應(yīng)用題，這種類型的問題是近幾年中考中較熱門的問題，值得同學(xué)們關(guān)注.文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【練習(xí)】一、選擇題：（每小題4分，計20分）1 .某件上衣標(biāo)價為132元，若降價以9折出售，仍可獲利10%則該上衣的進貨價是（）A108元B、105元C、106元D、118元2 .為慶祝建國五十三周年，國慶期間某商場的電視一律按原價九折銷售（即降價10%,若要使銷售總收入不變，那么銷售量應(yīng)增加（）1112A8B、9C、10D、113 .要在規(guī)定日期內(nèi)完成一項工程，如甲隊獨做，剛好按期完成；如

20、乙隊獨做，則要超過規(guī)定時間3天才能完成；甲乙兩隊合作兩天，剩下的工程由乙隊獨做，則剛好按期完成，那么求規(guī)定日期為x天的方程是（）.2x-2/23一=1一=A、xx+3B、xx+3C、2*xx-3二12.上xx-3二14.某商店銷售一批皮衣，一月份的每件利潤是售出價的20%春節(jié)前后為了搞促銷，二月份該商場在買入價不變的情況下，將每件皮衣的售出價調(diào)低了10%結(jié)果銷售量比一月份增加120%那么二月份的利潤之比為（）A、5:3B、11:9C、11:10D、25:275.商店購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元，現(xiàn)為了擴大銷售量，將每件的售價降低x%售，但要求賣出一件商品所獲利潤是降價前所獲禾I潤的90%則x等于（）A10B、4C、2D、1.8二、列方程（組）解應(yīng)用題：（每小題4分，計20分）1.A、B兩地間的路程為150千米，甲、乙兩車分別從AB兩地同時出發(fā)，相向而行，2小時相遇.相遇后，兩車各以原來速度繼續(xù)行駛，甲車到達B后立即原路返回，返回時的速度是原來速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車同時到達A地,求甲車和乙車的速度.文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案2.裝配車間原計劃在若干天內(nèi)裝配出44臺機床，最初3天是按計劃進行的，以后為了趕進度，每天多裝配2臺，因此提前2天且超額4臺完成了任務(wù)，問原計劃