六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題奧數(shù)系列_第18講：最佳策略問題全國通用含解析

1、第18講最佳策略問題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)在日常生活中，競賽或爭斗性質(zhì)的現(xiàn)象隨處可見，小到下棋、做游戲，大到體育比賽、軍事較量等，人們?cè)诟傎惢驙幎分锌偸窍Ｍ约夯蜃约旱囊环侥軌颢@取勝利或獲得最好的結(jié)果，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，即分析對(duì)方可能采取的計(jì)劃，有針對(duì)性地制定自己的克敵計(jì)劃。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會(huì)取得最后的勝利。這種現(xiàn)象我們稱之為“對(duì)策現(xiàn)象”。重點(diǎn)難點(diǎn)如何制定最佳策略，要根據(jù)具體的“對(duì)策現(xiàn)象”來分析。一般來說，“對(duì)策現(xiàn)象”有三個(gè)基本要素：(1)局中人，即在一場(chǎng)競賽或爭斗中的加者，他們?yōu)榱嗽趯?duì)策中取得最后的勝利，必須制定觀對(duì)付對(duì)方的行動(dòng)計(jì)劃。局中人并不特指某一個(gè)人，而是指參

2、加競賽的各個(gè)陣營。(2)策略，是指某一個(gè)局中人的一個(gè)“自始至終貫徹”的可執(zhí)行方案，在一局對(duì)策中，各具局中人可以有一個(gè)策略，也可以有多種策略。(3)得失，在局對(duì)策中，肯定會(huì)有勝利者和失敗者，競賽的成績也會(huì)有好有差，我們稱之為得失。每個(gè)局中人在一局對(duì)策中的得失與全體局中人所采取的策略的優(yōu)劣有著直接的關(guān)系。學(xué)法指導(dǎo)解決策略問題的關(guān)鍵是怎樣尋找勝局如何把握勝局。這可以結(jié)合前面幾講中的“帶余除法和同余”、“最大與最小”等來進(jìn)行分析。經(jīng)典例題例1有一堆棋子共有2002粒，甲、乙兩人玩輪流取棋子的游戲。甲先取乙后取，并且規(guī)定每次取的棋子不能超過7粒，但不能不取。如果規(guī)定取到最后一粒棋子的人為勝者，那么甲應(yīng)如

3、何制定策略以取勝？思路剖析甲為了能取到最后一粒棋子，必須使得當(dāng)他取到倒數(shù)第二輪時(shí)，還有8粒棋子。因?yàn)榇藭r(shí)輪到乙來取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此無論乙取幾粒，甲都可以將剩下的棋子一次取凈，從而保證必勝?？梢?，“8”是個(gè)關(guān)鍵數(shù)字，一開始甲取的棋子數(shù)，應(yīng)該保證余下的棋子數(shù)是8的倍數(shù)。往后的每一輪，不管乙取多少粒(1至7粒)，甲總可以使自己所取的棋子數(shù)和乙所取棋子數(shù)和為8,從而將主動(dòng)權(quán)控制在自己手中。這樣到了最后一輪，只剩下8粒棋子，迫使乙敗，從而甲取勝。解答由于2002-8=250-2,所以一開始甲先取2粒棋子，以后的每一輪，乙如果取a(1<aW7)料棋子，甲就取(8-a)粒，從而到

4、最后一輪前，只剩下8粒棋子，而輪到乙取，無論乙取幾粒棋子，甲都可以將剩下的棋子一次取完，從而獲得勝利。例2某學(xué)校資金存款的年利息為10%,積壓資金100元，相當(dāng)于損失了10元?，F(xiàn)在學(xué)校決定在初秋時(shí)購買冬季取暖用的煤。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在正常的冬季氣溫下要消耗煤15噸，但如果冬季比較暖和，只要用煤10噸；若冬季比較寒冷，就要用煤20噸。而煤的價(jià)格是根據(jù)天氣的寒冷程度而變化的，在比較暖和、正常和寒冷的天氣下，每噸煤的價(jià)錢分別是100元，150元，200元，而在初秋時(shí)每噸煤100元，在沒有當(dāng)年冬季氣溫的長期預(yù)測(cè)下，該校在初秋時(shí)應(yīng)購進(jìn)多少噸煤最好？思路剖析注意到在初秋時(shí)若少買了煤在冬天要花更多的錢去買煤，

5、而買多了煤，則燒不完有積壓資金，會(huì)造成損失。因而買多少煤是一個(gè)策略問題。根據(jù)題意，學(xué)?，F(xiàn)在有三個(gè)策略：購買10噸、15噸、20噸。我們比較這三具策略，選擇出最佳策略。解答（1）如果學(xué)校在初秋時(shí)購買了10噸煤，則當(dāng)天天氣正常時(shí)要再購進(jìn)5噸煤，總共花費(fèi)了100X10+150X5=1750（元）；當(dāng)天氣車寒時(shí)要再購進(jìn)10噸煤，總共花費(fèi)了100X10+200x10=3000（元）。（2）如果學(xué)校在初秋時(shí)購買了15噸煤，則當(dāng)天天氣轉(zhuǎn)暖時(shí)，積壓資金為5噸煤的錢100X5=500（元），而當(dāng)天氣轉(zhuǎn)寒的時(shí)候，需要再購進(jìn)5噸煤，共花費(fèi)100X15+200X5=2500（元）。（3）如果學(xué)校在初秋時(shí)購買了20噸煤

6、，則當(dāng)天氣正常時(shí)積壓資金為100X5=500（元）；天氣轉(zhuǎn)暖時(shí)積壓資金為：100X10=1000（元）。比較上面三種策略，第一種策略的最大損失是在天氣冷的時(shí)候，比預(yù)先買20噸煤損失了（200100）X10=100X10=1000（元）。第二種策略最大的損失是在天氣冷的時(shí)候，比預(yù)先買20噸煤損失了（150100）X5=50X5=250（元）。第三種策略最大的損失是在天氣轉(zhuǎn)暖的時(shí)候，此時(shí)積壓資金為1000元，而學(xué)校資金存款的年利息為10%,相當(dāng)于損失了2年的利息，即損失了1000X10%X2=200（元）。比較上面三種策略，最佳策略是花2000元購進(jìn)20噸的煤，此時(shí)可能的損失最小。例3用一只平底鍋

7、煎餅，每次只能放兩張餅，煎熟一只餅需要2分鐘（煎熟正面反面各需要1分鐘）。那么煎三只餅至少要幾分鐘？煎n（n>2）只餅至少要幾分鐘？思路剖析煎三只餅若是一只一只地煎，要6分鐘；但是每次可以放兩只餅，可以同時(shí)煎熟兩種餅，現(xiàn)煎第三只餅，這樣共需要4分鐘，但是這兩種策略都不是最佳策略。解答煎三只餅至少需要三分鐘。因?yàn)?，第一次煎兩個(gè)餅，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，此時(shí)將第二只取出，第一只翻個(gè)面，再放入第三只。又煎了一分鐘，第一只煎好取出，第三只翻個(gè)面，再將第二只放入，再煎一分鐘，全部煎熟了煎n只餅，需要n分鐘。因?yàn)?，?dāng)n是偶數(shù)時(shí)，每煎兩個(gè)需要2分鐘，可以兩只兩只地煎；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，也可以兩只兩只地

8、煎，直到最后剩下三只餅時(shí)采用上面的方法就可以了。例4兩個(gè)人輪流在國際象棋盤的空格內(nèi)放入“相”棋（國際象棋盤為8X8的方格棋盤，共有64個(gè)格，“相”是國際象棋中的一種棋子，它的走法是沿斜線方向，格數(shù)不限，并且在它的行走路線上可攻擊其他棋）。一方持黑棋，另一方持白棋。當(dāng)任何一方放入“相”棋時(shí)，要保證不被對(duì)方已放入的“相”棋的攻擊。誰先無法放入棋子者為輸。請(qǐng)問：先放入棋子者是贏是輸？思路剖析由“相”棋的特點(diǎn)，每一“相”棋在棋盤上可以控制兩條斜路，如圖1所示，凡落入這兩條斜路上的棋都要受到攻擊。雙方在放“相”棋時(shí)必須避開對(duì)方盤的“軸對(duì)稱性”，我們可以判斷，只要后放入者有合適的策略，必定能夠取勝。解答如

9、右圖所示，在棋盤上建立一條對(duì)稱軸(黑粗實(shí)線)，無論先放棋子的人將棋子放在什么位置，后放棋子的人都可以將棋子放在其對(duì)稱的位置上，并且不被攻擊，這樣就能保證：(1)只要先放棋子的人能夠在棋盤上放入棋子，后放入棋子的人就一定可以在棋盤上放入棋子。(2)后放入的棋子與先放入的棋子在一條水平線上，所以不會(huì)受到先放入棋子在一條水平線上，所以不會(huì)受到先放入的棋子的攻擊。如此擺放下去，必定是先放入棋子的人找不到放棋的位置，從而認(rèn)輸。二一圖2例5這是兩人競賽。方法是：在如圖3所示的井字方格內(nèi)填寫符號(hào)，先填一方畫后填一方畫“X”誰能夠先使三個(gè)或三個(gè)“X”排在一條直線上(水平或豎直或成45度角的直線)，誰就獲勝。那

10、么，為了取勝，第一個(gè)應(yīng)畫在哪里？相應(yīng)地，第一個(gè)“X”又應(yīng)畫在哪里？試分析勝負(fù)的情況如何？思路剖析我們來看這九個(gè)格子所經(jīng)過的直線的總數(shù)：中心一格一一4條；角上一項(xiàng)一一3條；邊上一格一一2條。為了能盡快連成一條直線，先填者必須選擇所經(jīng)過的直線的總數(shù)最多的格數(shù)，而后填者也要盡量選擇所經(jīng)過的直線總數(shù)最多的格數(shù)。解答第一個(gè)應(yīng)該畫在正中的位置，第一個(gè)“X”應(yīng)該畫在角上。但是一般情況下，如果雙方都掌握了其中的奧秘，此競賽便成了和局。不過，一般先填的一方稍占優(yōu)勢(shì)，后填都有稍有不慎便有可能落敗。而若先填的亂填一通，后填的一方又掌握其中的奧秘，便有可能乘機(jī)取勝。例6某加油站每次只能對(duì)一輛車進(jìn)行加油。加滿一輛大卡車

11、的油需要7分鐘；加滿一輛三卡車的油需要5分鐘；加滿一輛小汽車的油需要4分鐘?，F(xiàn)在有一輛大卡車、一輛三輪卡車、一輛小汽車同時(shí)來到加油站加油。問加油站應(yīng)該怎樣安排這三輛車的加油順序，才能使總共需要的時(shí)間(包括加油及等候的時(shí)間)最?。克悸菲饰鲇捎谶@個(gè)加油站一次只能對(duì)一輛車進(jìn)行加油，因此當(dāng)三輛車一起來的時(shí)候，就會(huì)發(fā)生兩輛車要等候的情況。由于各輛車加油的時(shí)間是固定的，因此要盡量節(jié)省時(shí)間，只有盡量減少等候的時(shí)間。如果安排大卡車先加油，那未其他兩輛車都必須等候7分鐘；而如果安排小汽車先加油，那未其他兩輛車都只須等4分鐘。顯然，小汽車先加油可節(jié)省等候時(shí)間。同樣道理，第二輛加油的應(yīng)該是三輪卡車，最后才給大卡車加

12、油。解答為了節(jié)省時(shí)間，這三輛車加油的順序應(yīng)該是：小汽車、三輪卡車、大卡車，這是最佳的策略。當(dāng)小汽車加油時(shí)，其他兩輛車各等候4分鐘，當(dāng)三輪卡車加油時(shí)，大卡車等候5分鐘；直到大卡車加完油，總共用時(shí)間為4+(4+5)+(4+5+7)=4+9+16=29(分鐘)。答：最節(jié)省的時(shí)間是29分鐘。例7三堆火柴分別有2001根、2002根、2003根。甲、乙兩人輪流從中取出火柴。規(guī)則是：每人每次只能人其中的一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走，呆以任意選擇，誰取完最后一堆的最后一根誰就獲勝。如果甲先取，要保證獲勝，他應(yīng)該制定怎樣的策略？思路剖析我們首先來看兩種特殊的情況：(1)只有兩堆火柴若兩堆火柴數(shù)目相

13、同，那么誰先拿誰就輸。因?yàn)橄饶没鸩竦娜藷o論選擇哪一堆拿走多少根，對(duì)方只需要在另一堆拿走相同數(shù)量的火柴，總使剩下的兩堆火柴的數(shù)目一樣，最終迫使先拿火柴的人拿光其中的一堆火柴，而他自己就拿光另一堆火柴，即他可以拿到最后一根火柴。若兩堆火柴的數(shù)目不同，那么誰先拿就誰贏。先拿火柴的人只要將較多的一堆火柴中拿走比另一堆多出的火柴，使剩下的兩堆火柴數(shù)目相同，即將問題轉(zhuǎn)化為的情形，從而他取勝。(2)假設(shè)三堆火柴的數(shù)目分別為1根、2根、3根，這種情形下誰先拿誰就輸。因?yàn)闊o論先拿的人如何取火柴，對(duì)方都可使之變?yōu)樯厦娴那樾?。這種情形我們稱之為“必輸形”。必輸形的特點(diǎn)是：兩堆為奇數(shù)，一堆為偶數(shù)，并且一堆奇數(shù)與一堆偶

14、數(shù)的和為另一堆奇數(shù)。現(xiàn)在回到原題上來，先取的甲要想辦法使這三堆火柴形成“必輸形”，這樣形成之后輪到乙取了，從而甲有必勝的把握。解答甲先從2001根的那一堆中取走2000根，這樣剩下的三堆分別為：1根、2002根、2003根，這是個(gè)必輸形（兩奇一偶并且1+2002=2003）。這樣不論后拿人如何拿火柴，必定破壞了必輸形的特征，再輪到甲時(shí)，甲可以再制造出新的“必輸形”，直到出現(xiàn)“1,2,3”情形，從而取得勝利。例8有m個(gè)減號(hào)“”號(hào)排成一行，甲、乙兩人輪流將減號(hào)“”改成加號(hào)“+”，每次只能改其中的一個(gè)或者是相鄰的兩個(gè)，但不能不改，誰將最后剩下的減號(hào)“一”改為加號(hào)“+”誰就獲勝。如果甲先改，請(qǐng)問甲是否

15、有必勝的策略？思路剖析我們先從簡單的情況入手來尋找獲勝的策略。若m=1,甲必勝；若m=2時(shí)，甲可以改相鄰的兩個(gè)減號(hào)“”，也必勝；若m=3,甲可以改第2個(gè)減號(hào)“”為“+”，這時(shí)剩下的兩上減號(hào)“一”不相鄰且關(guān)于加號(hào)“+”對(duì)稱，無率乙改哪一個(gè)，甲可以改最后一個(gè)，甲必勝；若m=4,甲可以改2、3個(gè)關(guān)于中間的兩個(gè)加號(hào)“+”對(duì)稱，無論乙如何改，甲都必勝。依此類推，甲有必勝的策略。解答甲可以制定下面的策略，從而穩(wěn)操勝券。當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，甲先將中間的一個(gè)“一”改為加號(hào)“+”，并以此為對(duì)稱中心，以后無論乙將哪一側(cè)的一個(gè)或相鄰的兩個(gè)減號(hào)“一”改為“+”，甲都可以將另一側(cè)與乙所改的一個(gè)或相鄰的兩個(gè)對(duì)稱的減號(hào)”改為加號(hào)

16、“+”，從而甲必定是最后將減號(hào)”改為加+”，并以此為對(duì)+”，甲都可以選號(hào)“+”的人；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，甲先將中間的兩個(gè)減號(hào)“一”改為加號(hào)“稱中心，以后無論乙在哪一側(cè)將一個(gè)或相鄰的兩上減號(hào)”改為加號(hào)“擇在另一側(cè)與乙所改的對(duì)稱的減號(hào)“一”改為加號(hào)“+”，從而甲必勝。點(diǎn)津策略是有許多種的，但是最佳策略只有一個(gè)，在解題中，有針對(duì)地利用前面所掌握的一些基本知識(shí)來解題。有一些基本方法，如對(duì)稱法是在最佳策略中有很好的應(yīng)用，比如例題4和例題8。同時(shí)，對(duì)一些難以入手的問題，不妨從比較簡單的問題來著手，從而觀察到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解題，不妨從比較簡單的問題來著手，從而觀察到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解題。解題時(shí)注意：你所

17、選擇的策略是不是最佳的，是不是對(duì)本方最為有利的，這可以通過和別的策略相互比較來評(píng)定優(yōu)劣。發(fā)散思維訓(xùn)練1 .甲、乙兩個(gè)人按自然數(shù)順序輪流報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1個(gè)或2個(gè)數(shù)，但不能不報(bào)。例如，甲報(bào)1,乙就接著報(bào)2或2、3;而甲也可以報(bào)1、2,乙接著報(bào)3或3、4。這樣連續(xù)報(bào)下去，誰報(bào)出100,誰就獲勝。甲要怎樣才能獲勝？先報(bào)還是后報(bào)？2 .在黑板上寫下數(shù)1,2,3,4,，100,101,甲先擦掉其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)。如此輪流下去，直到最后只剩下兩個(gè)數(shù)為止，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互素，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互素，則乙勝。按此規(guī)則，請(qǐng)為甲制定一個(gè)必勝策略。3 .有2002個(gè)空格排成一行，第一

18、格中放入一枚棋子，每次可向前移動(dòng)3格或6格，由甲乙兩人交替走，以先到最后一格者為勝，問先走勝還是后走勝？如何取勝？4 .車間內(nèi)有5臺(tái)機(jī)器同時(shí)出了故障，從第1臺(tái)到第5臺(tái)的修復(fù)時(shí)間依次是15、8、29、7、10分鐘。每臺(tái)機(jī)器停產(chǎn)一分鐘都將造成10元的經(jīng)濟(jì)損失。如何安排修復(fù)順序，使經(jīng)濟(jì)損失最少？最少要損失多少元？5 .有66噸煤要從煤場(chǎng)運(yùn)到發(fā)電廠，大卡車的載重量是5噸，耗油量是10升；小卡車的載重量是2噸，耗油量是5升。如果要使總耗油量最少，應(yīng)該如何安排大小卡車。6 .社辦廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：制造一公斤甲種產(chǎn)品要花1個(gè)勞動(dòng)日，用原料5公斤。制造1公斤乙種產(chǎn)品要花2個(gè)勞動(dòng)日，用與甲同樣的原料3公斤。假如甲

19、種產(chǎn)品每公斤利潤為700元，乙種產(chǎn)品每公斤利潤600元，并且社辦廠只有750公斤原料，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品只允許花220個(gè)勞動(dòng)日，試問：甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少公斤時(shí)，才能使社辦廠獲利最大？鐳“比柞證后再有誓息!弓參考答案發(fā)散思維訓(xùn)練1 .解：甲必須先報(bào)數(shù)，并且先報(bào)1;以后乙若報(bào)1個(gè)數(shù)，則甲就報(bào)2個(gè)數(shù)，乙若報(bào)2個(gè)數(shù)，甲就報(bào)1個(gè)數(shù)，依次類推，當(dāng)甲報(bào)數(shù)“97”后，無論乙如何報(bào)數(shù)，甲都可以報(bào)到數(shù)“100”。2 .解：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互素的，只要利用這一基本知識(shí)，甲就能夠獲勝。首先，甲可以擦去1,這時(shí)還有100個(gè)數(shù)，我們把它們分成50組：(2,3),(4,5),(6,7),，(98,99),(100,101);這樣，無論乙擦去哪一個(gè)數(shù)，甲都可以擦去與此數(shù)同一組的另一個(gè)數(shù)，依此下去，最后剩下的將是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)。由于相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互素的，所以甲必然獲勝。3 .解：先走者勝。如甲先走，他可以把棋子向前移動(dòng)3格。以