2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)ppt課件

1、3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式coscossinsinsincoscossinsincoscossintantan1tantantantan1tantancoscossinsin思索：在公式思索：在公式T(T()中，中，能否是任意角？能否是任意角？提示：從公式的推導(dǎo)過程來看提示：從公式的推導(dǎo)過程來看, ,要使公式成立要使公式成立, ,角角，以及以及不能等于不能等于k+ (kZ),k+ (kZ),因此因此,不能為任意角不能為任意角. .2【知識點(diǎn)撥】【知識點(diǎn)撥】1.1.解讀兩角和與差的正切公式解讀兩角和與差的正切公式(1)(1)公式成立

2、的條件公式成立的條件角角，以及以及不能等于不能等于k+ (kZ),k+ (kZ),且且tantan1(tantan1(或或tantan-1).tantan-1).(2)(2)公式的結(jié)構(gòu)特征公式的結(jié)構(gòu)特征公式公式T(T()的右側(cè)為分式形式的右側(cè)為分式形式, ,其中分子為其中分子為tantan與與tantan的和或差的和或差, ,分母為分母為1 1與與tantantantan的差或和的差或和. .(3)(3)公式的符號規(guī)律公式的符號規(guī)律符號變化規(guī)律可簡記為符號變化規(guī)律可簡記為“分子同分子同, ,分母反分母反”. .22.2.兩角和的正切公式的常用變形形式兩角和的正切公式的常用變形形式(1)tan+

3、tan=tan(+)(1-tantan).(1)tan+tan=tan(+)(1-tantan).(2)1-tantan =(2)1-tantan =(3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+).(3)tan+tan+tantantan(+)=tan(+).(4)tantan=(4)tantan=tantan.tantantan1.tan()類型類型 一一 兩角和與差的正切公式的簡單應(yīng)用兩角和與差的正切公式的簡單應(yīng)用 【典型例題】【典型例題】1.1.已知已知tan+tan=2tan+tan=2，tan(+)=4tan(+)=4，則，則tantantantan等于等于 ( ) (

4、 )A.2 B.1 C. D.4A.2 B.1 C. D.42.2.3.3.求值：求值：tan 75tan 75. .121tan75_.1tan75【解題探究】【解題探究】1.1.在在T(+)T(+)中，中，tantantantan如何用如何用tan(+)tan(+)和和tan+tantan+tan來表示？來表示？2.2.為了利用公式為了利用公式, ,“1 1可以怎樣代換可以怎樣代換? ?3.753.75可以由哪兩個特殊角來表示？可以由哪兩個特殊角來表示？探究提示：探究提示：1.tantan=1-1.tantan=1-2.1=tan452.1=tan45. .3.753.75=45=45+3

5、0+30. .tantan.tan【解析】【解析】1.1.選選C. C. 由于由于所以所以tantan=tantan=2.2.答案：答案：3.3.tantan2tan4,1tan tan1tan tan 1.21tan75tan45tan753tan 4575.1tan751tan45 tan753 33tan45tan30tan75tan 453023.1tan45 tan30 【拓展提升】利用公式【拓展提升】利用公式T(T()化簡求值的兩點(diǎn)說明化簡求值的兩點(diǎn)說明(1)(1)分析式子結(jié)構(gòu)，正確選用公式形式分析式子結(jié)構(gòu)，正確選用公式形式. .T(T()是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一

6、，是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一，因此在應(yīng)用時先從所化簡因此在應(yīng)用時先從所化簡( (求值求值) )式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換用、逆用還是變形用，并注意整體代換. .(2)(2)化簡求值中要注意化簡求值中要注意“特殊值的代換和應(yīng)用特殊值的代換和應(yīng)用. .當(dāng)所要化簡當(dāng)所要化簡( (求值求值) )的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1 1”“ ”時，時，要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如“ ”“ ”，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條件，

7、從而可以進(jìn)行化簡和求值件，從而可以進(jìn)行化簡和求值. .1tan 3tan433【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】 等于等于( )( )A.-1 B.1 C. D.A.-1 B.1 C. D.【解析】選【解析】選A.A.3tan10513tan1053333tan105tan 60tan 105tan451.1tan 60 tan10513tan105 類型類型 二二 給值求值給值求值 【典型例題】【典型例題】1.1.已知已知，為銳角，為銳角， 則則tantan的值的值為為( )( )2.2.若若a=tan 20a=tan 20，b=tan 60b=tan 60，c=tan 100c=tan 100，那么

8、那么3.3.知知 那么那么41costan53 ，113135A. B. C. D.39159111_.abbccatan()2,tan()2 2,123tan()_.4 【解題探究】【解題探究】1.1.如何與如何與-建立聯(lián)系？建立聯(lián)系？2.2.若若+=+=，則，則tantan與與tantan存在什么關(guān)系？存在什么關(guān)系？3.+- 3.+- 與已知角與已知角 兩角存在怎樣的關(guān)系？兩角存在怎樣的關(guān)系？探究提示：探究提示：1.=-(-).1.=-(-).2.tan=tan(-)=-tan.2.tan=tan(-)=-tan.3.3.4123，()().4123 【解析】【解析】1.1.選選B.B.因

9、為因為是銳角，是銳角，cos=cos=故故所以所以 tan=tan tan=tan-(-)-(-)= =45，33sintan ,54 ，tantan13.1tan tan92.2.由于由于所以所以tan20tan20+tan100+tan100=tan120=tan120(1-tan20(1-tan20tan100tan100) )，即即tan20tan20+tan100+tan100=tan120=tan120-tan120-tan120tan20tan20tan100tan100, ,又又tan120tan120=-tan60=-tan60, ,所以所以tan20tan20+tan100

10、+tan100+tan60+tan60=tan60=tan60tan20tan20tan100tan100，所以所以即即答案：答案：1 1tan 20tan 100tan 201001tan 20 tan 100 ，tan 20tan 100tan 601,tan 60 tan 20 tan 1001111.abbcca3. 3. 由于由于故故答案：答案：()()4123 ， tan()tan()()4123tan()tan()1231tan() tan()12322 22.122 2 2【互動探究】【互動探究】 在題在題1 1中，若中，若sin= sin= 其他條件不變，其他條件不變，則則t

11、antan應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？【解題指南】由角【解題指南】由角是銳角以及是銳角以及sin= sin= 先求出先求出tantan的的值，然后利用值，然后利用tan=tantan=tan-(-)-(-)求出求出tantan的值的值. .【解析】因為【解析】因為是銳角，是銳角，sin=sin=故故所以所以tan=tantan=tan-(-)-(-)45，45，45，34costan,53 ，tantan3.1tan tan【拓展提升】給值求值問題的兩種變換【拓展提升】給值求值問題的兩種變換(1)(1)式子的變換：分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合兩角和與差式子的變換：分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合兩角和與差

12、的三角函數(shù)公式，通過變形，建立與待求式間的聯(lián)系以實現(xiàn)的三角函數(shù)公式，通過變形，建立與待求式間的聯(lián)系以實現(xiàn)求值求值. .(2)(2)角的變換：首先從已知角間的關(guān)系入手，分析已知角和待角的變換：首先從已知角間的關(guān)系入手，分析已知角和待求角間的關(guān)系，如用求角間的關(guān)系，如用=-(-)=-(-)、2=(+)+(-)2=(+)+(-)等關(guān)系，把待求的三角函數(shù)與已知角的三角函數(shù)巧妙地建立等關(guān)系，把待求的三角函數(shù)與已知角的三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系，從而求值等量關(guān)系，從而求值. .【變式訓(xùn)練】若【變式訓(xùn)練】若tantan tan(-)=-1 tan(-)=-1，則，則tantan的值的值為為_【解析】由于【解

13、析】由于 且且tan=tan=所以所以解得解得答案：答案：tantantan1,1tan tan 17，1tan7111tan7 ，4tan.3 4317，類型類型 三三 給值求角問題及綜合應(yīng)用給值求角問題及綜合應(yīng)用 【典型例題】【典型例題】1.1.已知已知tantan，tantan是方程是方程x2+3 x+4=0 x2+3 x+4=0的兩根，的兩根，且且 則則+的值為的值為( )( )A. B. C. A. B. C. 或或 D. D.無法確定無法確定2.2.已知已知tan(-)= tan= tan(-)= tan= ，(0,)(0,)，則則2-=_.2-=_.3.3.在在ABCABC中，中

14、，tanA= tanB=-2tanA= tanB=-2，則角，則角C=_.C=_.32222 ， ，323233 12，17 ，13，【解題探究】【解題探究】1.1.二次方程二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0中，根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系？中，根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系？2.2-2.2-能用已知角能用已知角-與與直接表示嗎？若不能，可以怎直接表示嗎？若不能，可以怎么辦？么辦？3.3.在在ABCABC中，中，A A，B B，C C三個角有什么關(guān)系？三個角有什么關(guān)系？探究提示：探究提示：1.1.2.2.不能，可以先求不能，可以先求=(-)+=(-)+，再求，再求2-.2-.3.A+B+C=.3.

15、A+B+C=.1212bcxx,x x.aa 【解析】【解析】1.1.選選B.B.由已知得由已知得,tan+tan=,tan+tan=tantan=4tantan=4，所以，所以tantan0 0，tantan0,0,又又所以所以-+0,0,所以所以+=+=3 3,tantantan()3.1tantan 0,022 ，2.32.2.又又(0,),(0,),所以所以(0, ).(0, ).而而tan= (0,)tan= (0,)，所以，所以( ),( ),所以所以2-(-,0)2-(-,0)，2-=2-=答案：答案：tantan1tantan,1tantan3 411tantan32tan 2

16、tan 1,111tan tan()132 1,7,23.4343.3.所以所以tanC=1,C(0,)tanC=1,C(0,)，故，故C=C=答案：答案：12tanAtanB3tan AB1,11tanAtanB123 .44【互動探究】若將題【互動探究】若將題1 1中的方程改為中的方程改為 其余條件其余條件不變，則不變，則+的值是的值是( )( )A. B. C. A. B. C. 或或 D. D.【解題指南】由【解題指南】由tantan與與tantan的和與積，先判斷的和與積，先判斷tantan與與tantan的符號，再進(jìn)一步限定角的符號，再進(jìn)一步限定角，的取值范圍的取值范圍2x3x20

17、 ，623233 3【解析】選【解析】選A.A.由題意，由題意，tan+tan= tantan=-2tan+tan= tantan=-2，所以所以tantan與與tantan一正一負(fù)，不妨設(shè)一正一負(fù)，不妨設(shè)tantan0 0，tantan0 0，那么那么 所以所以又又所以所以+3，0022 ， ，22 ，tantan33tan.1tan tan123 .6 【拓展提升】給值求角問題的步驟及選取函數(shù)的原則【拓展提升】給值求角問題的步驟及選取函數(shù)的原則(1)(1)給值求角問題的步驟給值求角問題的步驟求所求角的某個三角函數(shù)值求所求角的某個三角函數(shù)值. .確定所求角的范圍確定所求角的范圍( (范圍討論

18、的過大或過小，會使求出的角范圍討論的過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解不合題意或漏解) )，根據(jù)范圍找出角，根據(jù)范圍找出角. .(2)(2)選取函數(shù)的原則選取函數(shù)的原則已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù). .已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是(0, )(0, )，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是(0,)(0,)，選余弦較好；若角的范圍是選余弦較好；若角的范圍是( )( )，選正弦較好，選正弦較好. .2,2 2 【變式訓(xùn)練】在【變式訓(xùn)練】在ABCABC中，中，則角則角C C

19、等于等于( )( )【解析】選【解析】選A.A.由題意由題意tanA+tanB= (1-tanAtanB)tanA+tanB= (1-tanAtanB)，故故tan(A+B)=tan(A+B)=又又A+B+C=A+B+C=，所以所以tanAtanB33tanAtanB，2A. B. C. D.33643tanAtanB31tanAtanB ，tanC3C.3，【易錯誤區(qū)】給值求角問題中忽略角的范圍致誤【易錯誤區(qū)】給值求角問題中忽略角的范圍致誤 【典例】【典例】(2019(2019杭州高一檢測杭州高一檢測) ) 已知已知tan= (1+m)tan= (1+m)， (tantan+m)+tan=0

20、 (tantan+m)+tan=0，且，且，都是銳角，那么都是銳角，那么+=_.+=_.33【解析】由已知可得【解析】由已知可得tan= (1+m)tan= (1+m)，tan= tantantan= tantan上式兩邊分別相加得：上式兩邊分別相加得：tan+tan= (1-tantan)tan+tan= (1-tantan)，所以所以又因為又因為所以所以0 0+,所以所以+=+=答案：答案：333m.3tantantan3.1tan tan 0,0,22 .33【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【防范措施】【防范措施】1.1.明確角的范圍明確角的范圍在求解給值求角問題時，要根據(jù)已知條件明確所要求的角

21、的在求解給值求角問題時，要根據(jù)已知條件明確所要求的角的范圍，根據(jù)所求角的三角函數(shù)值才能準(zhǔn)確把握所求的角范圍，根據(jù)所求角的三角函數(shù)值才能準(zhǔn)確把握所求的角. .如本如本例中由已知得出例中由已知得出0 0+，在此范圍內(nèi)，在此范圍內(nèi)tan(+)=tan(+)=的角只有一個的角只有一個. .32.2.明確三角函數(shù)名稱的選擇明確三角函數(shù)名稱的選擇在給值求角的題目中，需由已知條件先求出此角的某個三角在給值求角的題目中，需由已知條件先求出此角的某個三角函數(shù)值，如本例中由已知都與正切值有關(guān)，故對函數(shù)值，如本例中由已知都與正切值有關(guān)，故對+求其求其正切值正切值. . 【類題試解】已知【類題試解】已知tan=3ta

22、n=3，tan=2tan=2，,( ),( )，則則+=_.+=_.【解析】【解析】因為因為,( ),( )，所以，所以+(0,)+(0,)，所以，所以+=+=答案：答案：0,2tantan32tan1.1tan tan1 3 2 0,23.4341.1.與與 相等的是相等的是( )( )A.tan 66A.tan 66 B.tan 24 B.tan 24C.tan 42C.tan 42 D.tan 21 D.tan 21【解析】選【解析】選B.B.原式原式1 tan211 tan21tan 45tan 21tan(4521 )tan 24 .1 tan 45 tan 212.2.已知已知，為任意角，則下列等式：為任意角，則下列等式：sin(+)=sincos+cossin.sin(+)=sincos+cossin.cos(+)=coscos-sinsin.cos(+)=coscos-sinsin.cos( )=-sin.cos( )=-sin.tan(-)=tan(-)=其中恒成立的等式有其中恒成立的等式有( )( )A.2A.2個個 B.3 B.3個個 C.4 C.4個個 D.1 D.1個個2tantan.1tan tan【解析】選【解析】選B.B.中中，均為任意角，但是中需要滿均為任意角，但是中需要滿足正切函數(shù)的定義域，還要滿足分母不為