三重積分及其計(jì)算ppt課件

1、 將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域?qū)⒍胤e分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)被積函數(shù)推廣到三元函數(shù), 就得到三重積分的定義就得到三重積分的定義.9.3 三重積分及其計(jì)算三重積分及其計(jì)算 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 三重積分的物理背景三重積分的物理背景以以(x, y, z)為體密度函數(shù)的空間物體為體密度函數(shù)的空間物體的質(zhì)量的質(zhì)量. 首先首先, 將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域 任意分成任意分成 n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域v1, v2, , vn, 其中其中vi 表示第表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域, 也也表示它的體積表示它的體積, 在每個(gè)在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)(i,

2、 i, i ), 作乘積作乘積(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和并作和 niiiiiv1),( 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí)趨近于零時(shí), 該和式的極限存在該和式的極限存在, 則稱此極限為空間物體則稱此極限為空間物體的質(zhì)量的質(zhì)量M, 即即.),(lim10 niiiiivM 當(dāng)然當(dāng)然, 在三維空間定義的函數(shù)在三維空間定義的函數(shù)u=f(x, y, z)的的“幾何幾何意義是四維空間的意義是四維空間的“曲面曲面”, 我們可以想象我們可以想象, 但無論但無論如何也無法畫出其如何也無法畫出其“圖形圖形”, 因此我們不再討論其幾因此

3、我們不再討論其幾何意義何意義. 下面我們給出三重積分的定義下面我們給出三重積分的定義:,),( dvzyxf 定義定義: 設(shè)設(shè)f(x, y, z)是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域 上的有界上的有界函數(shù)函數(shù), 將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域 任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域v1, v2, , vn, 其中其中vi 表示第表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域, 也表示也表示它的體積它的體積, 在每個(gè)在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)(i, i, i ), 作乘作乘積積 f(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí)

4、趨近于零時(shí), 該和式的極限存在該和式的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在閉區(qū)在閉區(qū)域域 niiiiivf1),( niiiiivf10),(lim 上的三重積分上的三重積分, 并記為并記為 即即 dvzyxf),(其中其中dv 稱為體積元素稱為體積元素, 其它術(shù)語與二重積分相同其它術(shù)語與二重積分相同.同樣有同樣有: 閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定可積閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定可積. 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 如果我們用三族如果我們用三族(平行于坐標(biāo)的平行于坐標(biāo)的)平面平面 x=常數(shù)常數(shù), y=常數(shù)常數(shù), z=常數(shù)常數(shù), 對空間區(qū)域進(jìn)行分割對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則

5、小區(qū)域都是長方體那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長方體. 其體積元素為其體積元素為:dv = dxdydz.三重積分可寫成三重積分可寫成: 由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)性質(zhì), 不再敘述不再敘述. dxdydzzyxfdvzyxf),(),(二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法 與二重積分類似與二重積分類似, 三重積分可化成三次積行計(jì)算三重積分可化成三次積行計(jì)算.具體可分為先單后重和先重后單兩種類型具體可分為先單后重和先重后單兩種類型.zyxo xyD(x, y)z=z1(x, y)z=z2(x, y)先單后重先單

6、后重: 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域 在在xoy面的投面的投影為閉區(qū)域影為閉區(qū)域Dxy . 在閉區(qū)域在閉區(qū)域Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)(x, y), 作垂直于作垂直于xoy面的直線面的直線穿過閉區(qū)域穿過閉區(qū)域 .穿入穿入 時(shí)的下邊界曲面方程時(shí)的下邊界曲面方程:z=z1(x, y)穿出穿出 時(shí)的上邊界曲面方程時(shí)的上邊界曲面方程:z=z2(x, y) ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF先將先將x, y看作定值看作定值, f(x, y, z)看作看作z的函數(shù)的函數(shù), 則積分則積分 為閉區(qū)域?yàn)殚]區(qū)域Dxy上的函數(shù)上的函數(shù), 可以理解為壓縮在平面薄片可以理解為壓縮在平面薄片Dxy 上的密度函

7、數(shù)上的密度函數(shù). 上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx也稱為先一后二，（也稱為先一后二，（ 先先z次次y后后x ）注意注意于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。

8、的三次積分?；畏e分的步驟化三次積分的步驟投影，得平面區(qū)域投影，得平面區(qū)域穿越法定限，穿入點(diǎn)穿越法定限，穿入點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)下限，穿出點(diǎn)上限上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法oxyzDxy dvzyxf),(例例1: 將三重積分將三重積分 化成三次積分化成三次積分, 其中其中 為長方體為長方體, 各邊界面平行于坐標(biāo)面各邊界面平行于坐標(biāo)面. 解解: 將將 投影到投影到xoy面得面得Dxy ,它是一個(gè)矩形它是一個(gè)矩形: c y d, a x b,在在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)(x, y)作平行于作平行于z 軸的直線軸的直線, 交邊界曲面

9、于兩點(diǎn)交邊界曲面于兩點(diǎn), 其其豎坐標(biāo)為豎坐標(biāo)為l 和和m(l m).abcd(x,y)ml dvzyxf),( xyDmlddzzyxf ),(.),( mldcbadzzyxfdydx例例2: 計(jì)算計(jì)算, xdxdydz平面平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. Dxyxyzo其中其中 是三個(gè)坐標(biāo)面與是三個(gè)坐標(biāo)面與 解解: 畫出畫出 在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 Dxy: 0 y 1x, 0 x 1,平行于平行于z 軸直線穿過的下曲面為軸直線穿過的下曲面為z=0, 上曲面為上曲面為z=1xy, 有有 0 z 1xy. x+y+z=1x+y=1 xdxdydz yxxxdzdy

10、dx101010 xdyyxxdx1010)1(.241 102)1(21dxxxzxy 除了上面介紹的先單后重法除了上面介紹的先單后重法(切條法切條法)外外, 利用先利用先重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分. 先重后單先重后單, 就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分. 先重后單先重后單: D(z)xyzoc1c2 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 介于兩平行平面介于兩平行平面z=c1, z=c2(c1c2)之間之間, 用任一平行用任一平行且介于此兩平面的平面去截且介于此兩

11、平面的平面去截 , 得區(qū)得區(qū)域域D(z), c1zc2. dvzyxf),(.),()(21 zDccdxdyzyxfdz那么那么 易見易見, 若二重積分容易計(jì)算時(shí)若二重積分容易計(jì)算時(shí), 特別是被積函數(shù)特別是被積函數(shù)f(x, y, z)與與x, y無關(guān)時(shí)無關(guān)時(shí), 則二重積分的結(jié)果就是則二重積分的結(jié)果就是D(z)的的面積面積, 因而因而, 用截面法較為方便用截面法較為方便. ,)(21 ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值. (4) 最后計(jì)算單積分最后計(jì)算單積分 ,),()( zDdxdyzyxf(3) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 的函數(shù)的函數(shù)F(z); 其結(jié)果為其結(jié)果為 z 截面法的一般步驟

12、截面法的一般步驟: (1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸向某軸(例如例如 z 軸軸)投影投影, 得投影得投影區(qū)間區(qū)間c1, c2; (2) 對對zc1, c2用過用過 z 軸且平行軸且平行xoy面的平面去面的平面去截截, 得截面得截面D(z); . 1:,2222222 czbyaxdvz 例例5: 計(jì)算計(jì)算 ,1:)(222222czbyaxzD 解解: 易見易見介于介于z = c 和和 z = c 之間之間, 而而 . 1)1()1(:)(22222222 czbyczaxzDzyxo或或故故 )(22zDccdxdydzzdvz cdzczzab0222)1(2 ccdzczzab)1(

13、222 .1543abc . 1,:,22 zyxzdxdydz )(10zDdxdydzdxdydz .210 zdz 122yxDdzdxdydxdydzxy 例例6: 計(jì)算計(jì)算 解一解一: 先重后單先重后單. 介于介于z = 0 和和 z = 1之間之間, D(z): x2 + y2 z. 解二解二: 先單后重先單后重. 將將 投影到投影到xoy面得投影區(qū)域面得投影區(qū)域: Dxy: x2 + y2 1. 平行于平行于z 軸的直線穿過軸的直線穿過 的下曲面為的下曲面為z=x2+y2, 上上曲面為曲面為z=1, 因此有因此有 x2+y2 z 1. 1020)1(42rdrrd xyDdxdy

14、yx)1 (22.2 (用極坐標(biāo)用極坐標(biāo), 用對稱性用對稱性) 所以所以, 所以所以, 此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法, 這種方這種方法也具有一定的普遍性法也具有一定的普遍性, 這就是我們將要介紹的柱坐這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法標(biāo)系下的計(jì)算法. zzryrx sincosr),(rPxyzo),(zyxM三、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法三、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法 設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn), 并設(shè)點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在在xoy面上的面上的投影投影P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為r, , 則這樣的三個(gè)數(shù)則這樣的三個(gè)數(shù)r, , z 就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)

15、的柱面坐標(biāo). 規(guī)定規(guī)定: 0r+, 0 2, z+.直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的變換公式直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的變換公式: 三重積分三重積分在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算 zx0yzMrz r =常數(shù)常數(shù) 圓圓 柱柱 面面 z =常數(shù)常數(shù) 垂直垂直z軸的平面軸的平面 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , z) 柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面 zx0yzMr r =常數(shù)常數(shù) 圓圓 柱柱 面面 z =常數(shù)常數(shù) 垂直垂直z軸的平面軸的平面動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , z) 柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面 =常數(shù)常數(shù) 過過z軸的半平面軸的半平面 xz y0 drrrddz平面平面z柱面坐標(biāo)下的體積元

16、素柱面坐標(biāo)下的體積元素 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成面圍成:半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及r+dr的圓柱面的圓柱面; 平面平面z及及z+dz;xz y0 drrrddz底面積底面積:rdrd:rdrd dz平面平面z+dz.柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成面圍成:半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及r+dr的圓柱面的圓柱面; 平面平面z及及z+dz;xz y0 drrrddz底面積底面積: : rdrdrdrddz.dv柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面

17、圍成面圍成:半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及r+dr的圓柱面的圓柱面; 平面平面z及及z+dz;所以所以: dv = rdrddz. dvzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf所以所以 然后再把它化為三次積分來計(jì)算然后再把它化為三次積分來計(jì)算. 積分次序一般是先積分次序一般是先z次次r后后 . 積分限是根據(jù)積分限是根據(jù) z, r, 在積分區(qū)域中的變化范圍來在積分區(qū)域中的變化范圍來確定確定.解解: 積分區(qū)域積分區(qū)域 為一圓錐面與平面為一圓錐面與平面z=1圍成圍成. 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 投影到投影到xoy面得面得Dxy: x2 + y2 1. . 1:,)(2

18、2222 zyxdvzyx 1221020222)()(rrdzzrdrddvzyx 例例1:計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分: 圓錐面圓錐面 22yxz 柱面坐標(biāo)方程為柱面坐標(biāo)方程為z=r. 則積分限為則積分限為: 0 2 , 0 r 1, r z 1. .103)343(21043 drrrr 注注: 若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體, 圓錐體圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí)或旋轉(zhuǎn)體時(shí), 通常總是考慮使用柱坐標(biāo)來計(jì)算通常總是考慮使用柱坐標(biāo)來計(jì)算.所以所以 ,22dvyxez 22yxz 例例2: 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 面面 z=1, z=2 和圓錐面和圓錐面 圍成的區(qū)域圍成的區(qū)

19、域. 其中其中 是由平是由平 解解: 確定變量確定變量 z, r, 的變化范圍的變化范圍. r, 的范圍容易定出的范圍容易定出: 0 2, 0r 2.z 呢呢? 當(dāng)當(dāng)0 r 1時(shí)時(shí), 1 z 2;當(dāng)當(dāng)1 r 2時(shí)時(shí), r z 2. 作圖作圖! 由圖可以看出由圖可以看出: dvyxez 22221211020 rzzrdzredrrdzredrd .2)()(222122edreeeer 所以所以, 四、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法四、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法 設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn), 則點(diǎn)則點(diǎn)M可用三個(gè)有次可用三個(gè)有次序的數(shù)序的數(shù)r, , 來確定來確定, 其中其中 r 為原點(diǎn)為原

20、點(diǎn)O與點(diǎn)與點(diǎn)M間的距間的距離離, 為有向線段為有向線段OM與與 z 軸正向的夾角軸正向的夾角, 為從為從 z 軸軸正向來看自正向來看自 x 軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP 的夾的夾角角, 這里這里P 為點(diǎn)為點(diǎn)M在在 xoy 面上的投影面上的投影, 這樣的三個(gè)數(shù)這樣的三個(gè)數(shù) r, , 就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo).xyzoPr),(zyxM ABCx=OAy=OBz=OC OM=r. cossinsincossinrzryrx=OMsin cos =OMsin sin =OMcos=OPcos =OPsin 所以所以 規(guī)定規(guī)定: 0 r 0) 所圍的立體所圍的

21、立體. 解一解一: 用球坐標(biāo)用球坐標(biāo). ,cos ar ,4 .20,40,cos0: ar平面平面 z=a x2+y2=z2 drrddIa 4cos003420sin da)0cos(51sin255403 .105a aradzrrdrdI2020 adrrar03)(2 54254aaa .105a 解二解二: 用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo). x2+y2=z2 z=r, 所以所以, : r z a, 0 r a, 0 2 . ,2a,4 .20,40,20: ar22yxz 例例4: 求曲面求曲面x2+y2+z22a2與與 立體體積立體體積. 所圍成的所圍成的 解解: 由錐面和球面圍成由錐面和球面

22、圍成. 采用球面坐標(biāo)采用球面坐標(biāo). 由由x2+y2+z2=2a2 r = 22yxz 由三重積分的性質(zhì)知由三重積分的性質(zhì)知: 所求立體的體積所求立體的體積V為為: adrrdd202020sin4 4033)2(sin2 da.)12(343a dvV 注注: 若積分區(qū)域?yàn)榍蝮w若積分區(qū)域?yàn)榍蝮w, 球殼或其一部分被積函數(shù)球殼或其一部分被積函數(shù)呈呈x2+y2+z2的形式的形式,而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比較簡單方程比較簡單, 通常采用球坐標(biāo)通常采用球坐標(biāo)補(bǔ)充補(bǔ)充: 利用對稱性簡化三重積分計(jì)算利用對稱性簡化三重積分計(jì)算 使用對稱性時(shí)應(yīng)注意使用對稱性時(shí)應(yīng)注意: 1.積

23、分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性;2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性. 一般地一般地, 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域 關(guān)于關(guān)于xoy平面對稱平面對稱, 且被積且被積函數(shù)函數(shù)f(x, y, z)是關(guān)于是關(guān)于 z 的奇函數(shù)的奇函數(shù), 即即f(x, y, z)= f(x, y, z),則三重積分為零則三重積分為零; 若被積函數(shù)若被積函數(shù)f(x, y, z)是關(guān)于是關(guān)于 z 的偶的偶函數(shù)函數(shù),即即f(x, y, z)=f(x, y, z), 則三重積分為則三重積分為 在在xoy平平面上方的半個(gè)閉區(qū)域上的三重積分的兩倍面上方的半個(gè)閉區(qū)域上的

24、三重積分的兩倍.“你對稱你對稱, 我奇偶我奇偶”. 六、小結(jié)六、小結(jié): :三重積分換元法三重積分換元法: 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo), 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo). (1) 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素: dv = rdrddz;(2) 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素: dv = r2sindrdd ; (3) 對稱性簡化運(yùn)算對稱性簡化運(yùn)算.; 0),( dvzyxf思考題思考題: 假設(shè)假設(shè) 為為R3中關(guān)于中關(guān)于xoz面對稱的有界閉區(qū)域面對稱的有界閉區(qū)域, f(x, y, z)為為 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 那么那么當(dāng)當(dāng)f(x, y, z)關(guān)于關(guān)于 為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí), ,),(2),(1 dvzyxfdvzyxf當(dāng)當(dāng)f(x, y, z)關(guān)于關(guān)于 為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí), 其中其中1為為 在在xoz