三方程組ppt課件

1、線性方程組線性方程組一一. 基本概念題基本概念題). ( | ) 1( 1的增廣矩陣為矩陣，求為有解，其中元非齊次線性方程組設例AAAnnAbAxn. 0| 1)()( AnnArArbAx，從而有解，故因為解. 02, 0, 0 2kzyxzkyxzykx有非零解，求若例. 4 1 0| 11211113)( 0 kkAkkAnArAx或，解得，故有，又有非零解，所以因為解. )4 , 3 , 2 , 1 ()5 , 4 , 3 , 2( ,3 3321321的通解，求，是它的三個特解，且，為的秩的系數矩陣組設四元非齊次線性方程例AxAAxTT. 0 3)(4 的基礎解系含一個向量，故，因為

2、解AxArn 0 0 )6 , 5 , 4 , 3()(2 )3 ,25, 2 ,23(2 321321的一個基礎解系，的解，從而為為或又AxAxTT.,)6 , 5 , 4 , 3()5 , 4 , 3 , 2( ,) 3 ,25, 2 ,23()5 , 4 , 3 , 2( 1RkkRkkkAxTTTT或或的通解為所以方程組二二. 求解線性方程組求解線性方程組1. 求 Ax=0 的通解或基礎解系步驟：(1) 寫出系數矩陣 A 并對其作初等行變換化為行最簡形式同時得到 r(A)，這樣也就可以確定基礎解系所含解向量的個數）；(2) 由行最簡形式確定自由未知量并寫出與原方程組同解的方程組；(3)

3、 對自由未知量賦值，求出基礎解系有幾個自由未知量，就應賦幾組值，將其視為向量組，它們是線性無關的）.2. 求 Ax=b 的通解當有解時，則，判斷是否有解及為行最簡形式，求出并用初等行變換將其化寫出增廣矩陣步驟： .)( )( ) 1 (ArArA(2) 由行最簡形式寫出同解方程組，求出 Ax=0 的基礎解系及 Ax=b 的一個特解；(3) 寫出通解.23657,112 3, 3 , 4342 4432143214314321xxxxxxxxxxxxxxx求解方程組例2365171121133110143412 A解，行變換00000000002121031101. 224 02)()( 個解向

4、量的基礎解系含對應齊次方程組，方程組有無窮多解且故AxArAr對應的同解方程組為）（* . 22, 3432431xxxxxx.)0 , 0 , 2, 3(* 0 43Txx，得特解取.) 1 , 0 , 1, 1 ( ,)0 , 1 , 2 , 1( 11 2 110 01 212143TTxxxx基礎解系為，從而導出組的，故，取. ,* 212211為任意常數方程組的通解為kkkk注：1. 在求解線性方程組時，一定要將系數矩陣或增廣矩陣化為行最簡形式，這樣有利于求解.2. 根據同解方程組（*）式寫對應齊次方程組Ax=0的基礎解系時，不要將常數加進去.三三. 特殊方程組的求解特殊方程組的求解

5、. ,)0 , 0 , 1 (1 )( 511的解求方程組，是實正交陣，且設例bAxbaaATnnij，由正交陣的定義知：又有惟一解，所以方程組為正交陣，故由于解1 . )( )( 11abAxnAraAnnij,0000013222322nnnnnaaaaaaA方程組為：. 0, 0, 12222221nnnnnnxaxaxaxax. )0 , 0 , 1 ( 為其唯一解故T. 132 032 6321321的全部解的基礎解系，并求求例nnnxxxxnxxxx. 1 01)( 321 個解向量礎解系含的基，方程組，故解nAxArnA，取因為)32( 321nnxxxx,100,010,001

6、32nxxx. 100,0103,0012 121為一個基礎解系則nn-，其全部解可表示為特解的一個是顯然 132 ,0)(1,0,* 321nTnxxxx. 1, 2 , 1,*1111niRkkkinn四四. 含參數的方程組含參數的方程組.)()( . . . . 確定參數值件法，這時依據有解的條其他情形常用初等變換一般方程組方程組化為不含參數的數值，從而將含參數的方程確定出參系數行列式等于零這一式等于零時，我們可由而當系數行列時，方程組有惟一解；即當系數行列式不為零則，其理論依據為克萊姆法列式法容易求出時更是首選行或系數行列式式法，特別當階數較小參數時，?？紤]用行列且系數中含有數，即系數

7、矩陣為方陣未知數個數等于方程個當等變換法一是行列式法，二是初有兩種方法確定參數：一般而言，解之前要先確定參數對含參數的方程組，求ArAr.1554, 2 , 1 2 7321321321有無窮解時求其解解、有無窮多解？并在無解、有惟一為何值時，方程組例xxxxxaxxaxxa),45)(1(5541112 aaaa原方程組的系數行列式解. 54 1 時，方程組有惟一解且故當aa. 1554, 2 , 1 2 1 321321321xxxxxxxxxa時，原方程組為當,000011101001000011102111155421111112行變換化為：對其增廣矩陣施行初等. ) 1 , 1 ,

8、0()0 , 1, 1 ( 1 為任意實數）（組解，其通解為時，原方程組有無窮多因此，當kkaTT. 1554, 01554, 55410 54 321321321xxxxxxxxxa程組為時，原方程組的同解方當,9000105545541015541055455410 行變換化為：對其增廣矩陣施行初等. 54 時，原方程組無解由此可知當a五五. 證明題證明題利用方程組的理論可以證明秩及向量組線性相關性的一些命題.)()( 0 , 8nBrArABnBA ，證明階方陣，且均為設例的解，故為方程組，則，設因為證 0 , ),( 0 11AxBABnn).(),(1Arnrn.)()( )()(

9、nBrArArnBr，從而有即. , 0 0 911是線性無關的，證明向量組，且有解向量，使線性方程組階矩陣，若存在正整數是設例kkkAAAxAknA) 1 ( , 0 , 12121kkkAA使得設有常數證, 0 222111kkkkkAAAA，有等式兩端左乘. 0 0 00 1111，所以，但，有由kkkAAA(2) , 0 ) 1 ( 0 121kkAA式，得代入將, 0 32122kkkkAAA，有等式兩端左乘. 0 . 0 03212kkA類似地可求得，故有從而有. , 1是線性無關的因此向量組kAA).()( 9AArArnmAT 階矩陣，證明為設例 . 0 0 同解與只需證明方程

10、組證AxAAxT).()( 0 0 . 0 0)()(0 0 0 AArArAxAAxAAAAAAAATTTTT同解，所以與因此，從而，則；反之，若，顯然有若六六. 應用題應用題利用方程組的理論可以解決向量間的線性表示問題及幾何中線、面關系問題.) , 3 , , 1 (,)3 , 2 , 1 , 1 (,)4 , 1 , 2 , 1 (,)5 , 0 , 3 , 1 ( 10321TTTTba設例. , ,)2(. , , ) 1 (321321線性表示不能用取何值時，式線性表示？并求出表示能用取何值時，baba, 321321332211Axxxxxxx，則有設解.,34521012311

11、1 321321xxxxA其中. , 321有解的問題是否線性表示轉化為方程組能否用從而AxbaAA34532101231111因為5210321032101111ba.200000032101111abaa. , 2 0 321線性表示不能用時，方程組無解，從而或故當aba此時性表示線可由時，方程組有解，從而，且當 . , 2 0 321ba,00000000321021010000000032101111A.) 1 , 2, 1 ()0 , 3 , 2( TTk方程組的通解為. ,)23()2( , 321321為任意常數其中線性表示為可由從而kkkk注：討論向量 能否由向量組 1, 2, 3 線性表示，并進一步求出表示式，實際上就是方程組是否有解并在有解時求出其通解的問題.例10 在直角坐標系中，三個平面的方程分別為： . 1, 1, 0kzykxzkyxkzyx 問：當k為何值時，三個平面(1)交于一點；(2)沒有交點； (3)交于一條直線。 .1, 1, 0kzykxzkyxkzyx110,111111kbzyxXkkkAbAX 2)2)(1(001110011111111