信號系統(tǒng)習(xí)題解答

1、安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院1)()()(, )(:xPxgxgExxPXEaXXX離散信號一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 a. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望axb. 方差方差:隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望aX 之差的平方的數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望22222)()0()()()(XERXEXEaXEXDXXXdxxfxgxgEdxxxfXEaXXX)()()(,)(:連續(xù)信號3.1 概率分布知識回顧概率分布知識回顧 1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院2:, 02YDXDYXDYXXDccXDccD相互獨(dú)立為常量YYYXaaXYEaYaXEX

2、YC)( 方差特性：方差特性：c. 協(xié)方差：協(xié)方差：CXY表示表示X和和Y之間相關(guān)性強(qiáng)弱的數(shù)字特性之間相關(guān)性強(qiáng)弱的數(shù)字特性d. 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)YDXDXYCXYCYX3.1 概率分布知識回顧 2隨機(jī)變量的數(shù)字特征安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院3不相關(guān)相互獨(dú)立YXXYCYEXEYXEyx,0,推論：推論：相互獨(dú)立不相關(guān)但是YXY：X,3.1 概率分布知識回顧概率分布知識回顧 3隨機(jī)變量的數(shù)字特征安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院4二、正態(tài)隨機(jī)變量二、正態(tài)隨機(jī)變量1、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù)若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)表示為表示為則稱之為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。其中則稱之為服從

3、正態(tài)分布的隨機(jī)變量。其中a和和 2分分別為其均值和方差。別為其均值和方差。)53 . 3(2)(exp21)(22axxfxf(x)a3.1 概率分布知識回顧概率分布知識回顧 4正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量 概率密度函數(shù)曲線與橫軸包圍的面積為概率密度函數(shù)曲線與橫軸包圍的面積為“1”1”習(xí)題習(xí)題15)93 . 3()()()(000 xXdxxfxXPxF-4-20 x1x26 8 1000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2P2=0.53281xp(x)2、概率、概率若隨機(jī)變量服從正態(tài)分若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，布，Xt1,并并令令t2=t1+,則相關(guān)函數(shù)則相關(guān)

4、函數(shù) 可表示為可表示為),(21ttR),(11ttR說明自相關(guān)函數(shù)依賴于說明自相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻起始時刻t1及及時間間隔時間間隔,即即自相關(guān)函數(shù)是自相關(guān)函數(shù)是t1和和的函數(shù)的函數(shù)習(xí)題2-43.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程1平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程:n維概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)維概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)對對任意正整數(shù)任意正整數(shù)n和和任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù) ti (i=1n) 和時間間隔和時間間隔 ，隨機(jī)過程隨機(jī)過程(t) ,tT的的n維概率密度函數(shù)滿足維概率密度函數(shù)滿足則稱則稱(t) ,tT為平穩(wěn)隨機(jī)過程。為平穩(wěn)隨機(jī)過程。) 12 . 3(),;,( ),;,(21212121nnnnnnt

5、ttxxxftttxxxf1、數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān)、數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān),即即 E(t)=a(t)=a， D(t)=E(t)-E(t)2=22、自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔、自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)有關(guān)，與時間起點(diǎn)無關(guān)，與時間起點(diǎn)無關(guān)，即即R(t1,t2)= R(t1,t1 + )= R( )通信系統(tǒng)中遇到的信號及噪聲通信系統(tǒng)中遇到的信號及噪聲, ,大多數(shù)可視為大多數(shù)可視為平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程機(jī)過程廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院233.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程2各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程的一個隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)樣本函數(shù)取

6、取時間時間的的平均值平均值設(shè)設(shè)x(t)為隨機(jī)過程的為隨機(jī)過程的一個樣本一個樣本,則它的則它的時間平均時間平均值值,時時間平均間平均方差和方差和時間平均時間平均自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù):2/2/2/2/2222/2/)()(1lim)()()()(1lim)()(1lim)(TTTTTTTTTdttxtxTtxtxRdtatxTatxdttxTtxa243.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程3若平穩(wěn)隨機(jī)過程若平穩(wěn)隨機(jī)過程各個各個統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值等于它的任何一個等于它的任何一個樣本對應(yīng)的樣本對應(yīng)的時間平均值時間平均值, 則稱之為具有則稱之為具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性)()( 22RRaa時間平均值統(tǒng)計(jì)平均

7、值這樣，就這樣，就不必不必作無限次觀測，再取作無限次觀測，再取統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值，而，而只要對它的只要對它的樣本樣本取取時間平均值時間平均值 就行了。給實(shí)驗(yàn)就行了。給實(shí)驗(yàn)帶來許多的方便。帶來許多的方便。253.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程4 例例3-1 設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為其中，其中，A和和 c均為常數(shù)；均為常數(shù)； 是在是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的隨機(jī)隨機(jī)變量變量。試討論。試討論 (t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘饨狻?1)先求先求 (t)的的統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAt

8、Etac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc3.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程5自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1212122212122221210221( ,) ( ) ()cos()cos()cos()cos()221cos()cos()2222cos()02cccccccR t tEttE AtAtAEttttAAttttdAtt)(cos2),(221RAttRc令令t2 t1 = ，得到，得到可見，可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，無關(guān)，只與時間間隔只與時間間隔 有關(guān)，所以有關(guān)，所以

9、 (t)是廣義平穩(wěn)過程。是廣義平穩(wěn)過程。3.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程6 (2) 求求 (t)的樣本時間平均值的樣本時間平均值220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa比較統(tǒng)計(jì)平均與時間平均，有比較統(tǒng)計(jì)平均與時間平均，有因此，因此，隨機(jī)相位隨機(jī)相位余弦波是余弦波是各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)的。的。283.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程7平穩(wěn)隨機(jī)過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程的自自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)：實(shí)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(

10、)具有如下特性：具有如下特性：R( )是是 的偶函數(shù)；的偶函數(shù)；)()()()()(),(2121ttERttEttR改寫成：R(0)=E2(t)(t)=s 是是該隨機(jī)過程該隨機(jī)過程的的平均功率平均功率)()( RR| R( ) | R(0)； 上界為上界為R(0)：無無時差時差則則相關(guān)性最強(qiáng)相關(guān)性最強(qiáng)R( )=E2(t) 該隨機(jī)過程的該隨機(jī)過程的直流功率直流功率；統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與時)()(,)()()()()(lim)(lim2tttEtEtEttER293.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程8)()()()()0(22tDtEtERRR(0)- R( ) 隨機(jī)過程的隨機(jī)過程的交流功率交流功率;平穩(wěn)過程

11、的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度對于任意的對于任意的確定功率信號確定功率信號f (t)，其功率譜密度為，其功率譜密度為TfFmi lfPTTf2)()(式中，式中，F(xiàn)T ( f )是是f (t)的的截短函數(shù)截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的所對應(yīng)的頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)303.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程9對于平穩(wěn)隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 (t) :把把f (t)當(dāng)作是當(dāng)作是 (t)的一個的一個樣本樣本TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(某一樣本的功率譜密度某一樣本的功率譜密度不能不能作為過程的功率譜密度。作為過程的功率譜密度。隨機(jī)過程隨機(jī)過程的功率譜密度的功率譜密度應(yīng)看作是對所有應(yīng)看作是對所

12、有樣本樣本的功率譜的功率譜的的統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均，故，故 (t)的功率譜密度可以定義為的功率譜密度可以定義為:功率譜性質(zhì)：功率譜性質(zhì)：0)(, 0)(. 1PfP或非負(fù)性，)()(. 2fPfP偶函數(shù)雙邊帶與單邊帶功率譜. 30)(2)(ffPfP，雙邊帶單邊帶安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院313.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程10維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系)()(RP d)(21)(d)()(jjePReRPR R( ( ) )的傅里葉變換等于該隨機(jī)過程的功率譜密度的傅里葉變換等于該隨機(jī)過程的功率譜密度維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個

13、非常重要的工具，它是聯(lián)系非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域頻域和和時域時域兩種分析方法兩種分析方法的基本關(guān)系式的基本關(guān)系式安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院323.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程11例例：判斷：判斷隨機(jī)相位隨機(jī)相位正弦波正弦波 (t)=sin( ct+ )是否平穩(wěn)隨機(jī)是否平穩(wěn)隨機(jī)過程。并求該隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)過程。并求該隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù). 21)(p解：解： (t)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)0d21)sin(d )()()(2020tpttEac平穩(wěn)隨機(jī)過程條件平穩(wěn)隨機(jī)過程條件：數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān), ,自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔 有關(guān)有關(guān)

14、方差：方差：DX(t)=EX2(t) -EX(t)2=R(0)-EX(t)2可不做為條件可不做為條件其中，其中， c c為常數(shù)，為常數(shù)， 是在區(qū)間是在區(qū)間(0(0，2 2 ) )上上均勻分布均勻分布的隨的隨機(jī)變量。機(jī)變量。333.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程12cccccccccddtttttEttRcos21)cos(2121)cos(2121d)22cos()cos(2121d21)sin()sin()()(),(20202020 ( (t t) )的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與自相關(guān)函數(shù)只與 有關(guān)有關(guān)。所以是平穩(wěn)隨機(jī)過程所以是平穩(wěn)隨機(jī)過程。安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院

15、343.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程13)(2)(2cos21)()(ccjcjdedeRP當(dāng)然由當(dāng)然由R( )該隨機(jī)過程的該隨機(jī)過程的平均功率平均功率為為R(0)=0.5)()(R：P由習(xí)題習(xí)題5安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院353.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程14-高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程定義定義njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程(t) ,tT的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布）分布均服從均服從正態(tài)分布

16、正態(tài)分布，則稱它為，則稱它為正態(tài)正態(tài)過程過程或高斯過程?；蚋咚惯^程。n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中式中363.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程15-高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程式中式中 |B| 歸一化歸一化協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的行列式，即的行列式，即|B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的的代數(shù)余因子代數(shù)余因子11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 373.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程16-高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 如果高斯隨機(jī)過程在如果高斯隨機(jī)過程在不同時刻不同時

17、刻的取值是不相的取值是不相關(guān)的，即對所有關(guān)的，即對所有 j k，有有bjk =0，則，則),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相不相關(guān)關(guān)的，那么它們也是的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。100010001B則其概率密度可以簡化為則其概率密度可以簡化為安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院383.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程17-高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程3、通過線性系統(tǒng)的高斯隨機(jī)過程，輸出仍是高斯、通過線性系統(tǒng)的高斯隨機(jī)過程，輸出

18、仍是高斯過程過程高斯隨機(jī)過程有以下重要性質(zhì)高斯隨機(jī)過程有以下重要性質(zhì)：1、是廣義平穩(wěn)（、是廣義平穩(wěn)（均值、方差與時間無關(guān)，自相關(guān)只與時間間隔均值、方差與時間無關(guān)，自相關(guān)只與時間間隔有關(guān)有關(guān)）也是狹義平穩(wěn)）也是狹義平穩(wěn)2、隨機(jī)變量之間互不相關(guān)、隨機(jī)變量之間互不相關(guān)RX(t1,t2)=0 等價(jià)于等價(jià)于 隨機(jī)隨機(jī)變量相互獨(dú)立變量相互獨(dú)立:P(x1,x2)= P(x1) P(x2)數(shù)學(xué)期望和方差與數(shù)學(xué)期望和方差與時間時間無關(guān)；無關(guān)；自相關(guān)函數(shù)只與自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔時間間隔有關(guān)有關(guān)安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院393.3 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程18-高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程通信系統(tǒng)中某些通信系統(tǒng)中

19、某些噪聲噪聲統(tǒng)計(jì)特性符合高斯隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性符合高斯隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。這些噪聲稱之為過程的統(tǒng)計(jì)特性。這些噪聲稱之為“高斯噪高斯噪聲聲”。各維概率分布函數(shù)都服從正態(tài)分布的隨機(jī)過程。又各維概率分布函數(shù)都服從正態(tài)分布的隨機(jī)過程。又稱正態(tài)隨機(jī)過程。稱正態(tài)隨機(jī)過程。403.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1 1平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸入確定信號確定信號vi(t)，線性系統(tǒng)輸出，線性系統(tǒng)輸出vo(t)為為vi(t) 與與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積。的卷積。 dthvthtvtviio)()()(*)(線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)vi (t)vo(t)

20、輸入輸入隨機(jī)過程隨機(jī)過程i(t) ，線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程，線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程o(t) 為輸入隨機(jī)過程為輸入隨機(jī)過程i(t) 與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的卷的卷積。積。 dththttiio)()()(*)()f ()f ()f (0iVHV413.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2 21 1、輸出隨機(jī)過程的、輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望dhaatEi)()(由信號分析知：由信號分析知： )0()()(0aHdethadthatEtjo得：得：輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間 t 無關(guān)。無關(guān)。等于等于輸入隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望乘以輸入

21、隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望乘以H(0)。 dhtEdhtEtEiio)()()()(理解：理解：平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是該過程中的平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是該過程中的直流分量直流分量,線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸出的直流分量輸出的直流分量等于等于輸入輸入直流分量直流分量乘以乘以系統(tǒng)的系統(tǒng)的直流增益直流增益H(0) 。423.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3 32 2、輸出隨機(jī)過程的、輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) ddttEhhdthdthEttEttRiiiiooo)()()()()()()()()()(),(21212121得：得：輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)只與輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

22、只與時間差時間差有關(guān)，有關(guān)，所以，當(dāng)輸入隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)時，輸出亦然。所以，當(dāng)輸入隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)時，輸出亦然。)()()()(12oiRddRhhtt )()()(),(:12122121)()()( ttRttEttRiiiiiddttRhh得輸入隨機(jī)過程的平穩(wěn)性433.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)43 3、輸出隨機(jī)過程的功率譜密度、輸出隨機(jī)過程的功率譜密度 deRhhdddeddRhhdeRPjjjiioo)()()()()()()()() ()()(deRdehdehjjji功率譜密度功率譜密度P(w)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)R( )()()(*iPHH)()(

23、2iPH輸入功輸入功率譜率譜443.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)5 5)()()(:2ioPHP即得：得：輸出隨機(jī)過程的功率譜等于輸入隨機(jī)過程的功輸出隨機(jī)過程的功率譜等于輸入隨機(jī)過程的功率譜與率譜與系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模值平方模值平方的乘積。的乘積。)(H2)(H理解：理解： 代表系統(tǒng)的電壓代表系統(tǒng)的電壓( (或電流或電流) )的增益頻率的增益頻率特性，特性， 實(shí)際上就是系統(tǒng)的實(shí)際上就是系統(tǒng)的功率增益頻率特性功率增益頻率特性)()0()3()()()2()()()() 1 (:)(222tERRPPHPoooooio求解步驟方差輸出隨機(jī)過程交流功率所以：所以：高斯隨

24、機(jī)過程通過線性系統(tǒng)時，輸出仍是高高斯隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)時，輸出仍是高斯隨機(jī)過程，只是數(shù)字特征和功率譜有所變化。斯隨機(jī)過程，只是數(shù)字特征和功率譜有所變化。習(xí)題習(xí)題6,7,9,10-16453.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例題例題10、設(shè)、設(shè)RL低通濾波器如下圖所示，當(dāng)輸入一個均值為低通濾波器如下圖所示，當(dāng)輸入一個均值為0，功率譜，功率譜密度為密度為n0/2的高斯白噪聲時，求：的高斯白噪聲時，求：（1）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的自相關(guān)函數(shù)；的自相關(guān)函數(shù)；（2）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的方差。的方差。解：解：(1)輸入過程功率譜密度為：輸入過程功率譜密度為：LR輸入

25、端輸出端2)(0nPiLjRRH)(2202220224)(2)()()(LRLRLRnLRRnHPPioLRoeLRnR4)(0LR低通濾波器的傳遞函數(shù)為：低通濾波器的傳遞函數(shù)為：所以輸出噪聲的功率譜密度為：所以輸出噪聲的功率譜密度為：由維納由維納-辛欽關(guān)系，其自相關(guān)函數(shù)：辛欽關(guān)系，其自相關(guān)函數(shù)： 463.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)例題例題10、設(shè)、設(shè)RL低通濾波器如下圖所示，當(dāng)輸入一個均值為低通濾波器如下圖所示，當(dāng)輸入一個均值為0，功率譜，功率譜密度為密度為n0/2的高斯白噪聲時，求：的高斯白噪聲時，求：（1）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的自相關(guān)函數(shù)；的自相關(guān)函數(shù)

26、；（2）輸出噪聲）輸出噪聲no(t)的方差。的方差。LR輸入端輸出端LRoeLRnR4)(0LRntERoo4)()0(022(2)輸入過程均值為輸入過程均值為0，所以輸出噪聲均值也為，所以輸出噪聲均值也為0，其方差為：，其方差為： 0)0(0HtEo473.4 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)6 6輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布因?yàn)閺姆e分原理看，因?yàn)閺姆e分原理看，kkkkihttk)()(lim)(000dthti)()()(0 i(t)是高斯型的是高斯型的,上式右端的每一項(xiàng)在任一時刻上式右端的每一項(xiàng)在任一時刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。上都是一個高斯隨機(jī)變量。

27、可以表示為：可以表示為： 則輸出過程在任一時刻則輸出過程在任一時刻上得到的隨機(jī)變量就是上得到的隨機(jī)變量就是無限多個無限多個高斯隨機(jī)變量之和高斯隨機(jī)變量之和由概率論理論得知，這個由概率論理論得知，這個“和和” 也是高斯隨機(jī)也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，注意，輸入輸入與與輸出輸出高斯過程數(shù)字特征高斯過程數(shù)字特征期望、方差期望、方差不同不同.如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是的輸出過程也是高斯型高斯型的。的。 3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程1帶寬帶寬 f 遠(yuǎn)小于其中心頻率遠(yuǎn)小于其中心頻率

28、 fc 的隨機(jī)過程的隨機(jī)過程f(f)0fc-fc ft(t)包絡(luò)包絡(luò): :隨機(jī)緩慢變化隨機(jī)緩慢變化頻率頻率:近似為中心頻率近似為中心頻率fc0)(,)(cos)()(tatttatc窄帶隨機(jī)過程表示式窄帶隨機(jī)過程表示式a (t) 隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)包絡(luò), (t) 隨機(jī)相位隨機(jī)相位, c 中心角頻率中心角頻率a (t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變化緩慢的多的變化緩慢的多3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程小捉小蟲小捉小蟲50同相和正交分同相和正交分量量變化相對于變化相對于載波載波cos ct的的變化緩慢的多變化緩慢的多3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程2中心頻率為中心頻率為 fc，帶寬為，帶寬為 f。如果。如果 f B時時:窄帶白噪聲窄帶白