示范教案(223向量數乘運算及其幾何意義)

1、 向量數乘運算及其幾何意義整體設計教學分析向量的數乘運算,其實是加法運算的推廣及簡化,與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算.教學時從加法入手,引入數乘運算,充分展現了數學知識之間的內在聯系.實數與向量的乘積,仍然是一個向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內容,應用相當廣泛,且容易出錯.尤其是定理的前提條件:向量a是非零向量.共線向量定理的應用主要用于證明點共線或平行等幾何性質,且與后續(xù)的知識有著緊密的聯系.三維目標1.通過經歷探究數乘運算法則及幾何意義的過程,掌握實數與向量積的定義,理解實數與向量積的幾何意義,掌握實數與向

2、量的積的運算律.2.理解兩個向量共線的等價條件,能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.3.通過探究,體會類比遷移的思想方法,滲透研究新問題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神.通過解決具體問題,體會數學在生活中的重要作用.重點難點教學重點:1.實數與向量積的意義.2.實數與向量積的運算律.3.兩個向量共線的等價條件及其運用.教學難點:對向量共線的等價條件的理解運用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學習了向量加減法運算,這一節(jié),我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣.在代數運算中,a+a+a=3a,故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法,那

3、么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算.思路2.一物體做勻速直線運動,一秒鐘的位移對應的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.推進新課新知探究提出問題已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).你能對你的探究結果作出解釋,并說明它們的幾何意義嗎?引入向量數乘運算后,你能發(fā)現數乘向量與原向量之間的位置關系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動:引導學生回顧相關知識并猜想結果,對于運算律的驗證,點撥學生通過作圖來進行.通過學生的動手作圖,讓學生明確向量數乘運算的運算律及其幾何意義.教師要引導學生特

4、別注意0·a=0,而不是0·a=0.這個零向量是一個特殊的向量,它似乎很不起眼,但又處處存在,稍不注意就會出錯,所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系.實數與向量可以求積,但是不能進行加、減運算,比如+a,-a都無法進行.向量數乘運算的運算律與實數乘法的運算律很相似,只是數乘運算的分配律有兩種不同的形式:(+)a=a+a和(a+b)=a+b,數乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等,方向相同.判斷兩個向量是否平行(共線),實際上就是看能否找出一個實數,使得這個實數乘以其中一個向量等于另一個向量.一定要切實理解兩向量共線的條件,它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行

5、等問題的有效手段.對問題,學生通過作圖1可發(fā)現,=+=a+a+a.類似數的乘法,可把a+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長度是a的長度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知,圖1=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍,這樣,3(-a)=-3a.對問題,上述過程推廣后即為實數與向量的積.我們規(guī)定實數與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作a,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)|a|=|a|;(2)當>0時,a的方向與a的方向相同;當<

6、0時,a的方向與a的方向相反.由(1)可知,=0時,a=0.根據實數與向量的積的定義,我們可以驗證下面的運算律.實數與向量的積的運算律設、為實數,那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特別地,我們有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.對問題,向量共線的等價條件是:如果a(a0)與b共線,那么有且只有一個實數,使b=a.推證過程教師可引導學生自己完成,推證過程如下:對于向量a(a0)、b,如果有一個實數,使b=a,那么由向量數乘的定義,知a與b共線.反過來,已知向量a與b共線,a0,且向量b的長度是向量a的長度的倍,即|b|=|a|,那么當a與

7、b同方向時,有b=a;當a與b反方向時,有b=-a.關于向量共線的條件,教師要點撥學生做進一步深層探究,讓學生思考,若去掉a0這一條件,上述條件成立嗎?其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識.在判斷兩個非零向量是否共線時,只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可,與這兩個向量的長度無關.在沒有指明非零向量的情況下,共線向量可能有以下幾種情況:(1)有一個為零向量;(2)兩個都為零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.討論結果:數與向量的積仍是一個向量,向量的方向由實數的正負及原向量的方向確定,大小由|·|a|確定

8、.它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小.向量的平行與直線的平行是不同的,直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點;而向量的平行既包含沒有交點的情況,又包含兩個向量在同一條直線上的情形.應用示例思路1例1 計算:(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活動:本例是數乘運算的簡單應用,可讓學生自己完成,要求學生熟練運用向量數乘運算的運算律.教學中,點撥學生不能將本題看作字母的代數運算,可以讓他們在代數運算的同時說出其幾何意義,使學生明確向量數乘運算的特點.同時向學生點出,向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向

9、量的線性運算.對于任意向量a、b,以及任意實數、1、2,恒有(1a±2b)=1a±2b.解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.點評:運用向量運算的運算律,解決向量的數乘.其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”.變式訓練若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.解:因3m+2n=a,m-3n=b.3×得3m-9n=3b.-得11n=a-3b.n=a-b.將代入,有m=b+3n=a+b.點評:此題可把已知條件看作向量m

10、、n的方程,通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中,利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.圖2例2 如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?活動:本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先引導學生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導學生理清思路,具體過程可由學生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術整

11、合的題材,教學中可以通過計算機作圖,進行動態(tài)演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律.圖3解:如圖3分別作向量、過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現,不論向量a、b怎樣變化,點B始終在直線上,猜想A、B、C三點共線.事實上,因為=-=a+2b-(a+b)=b,而=-=a+3b-(a+b)=2b,于是=2.所以A、B、C三點共線.點評:關于三點共線問題,學生接觸較多,這里是用向量證明三點共線,方法是必須先證明兩個向量共線,并且有公共點.教師引導學生解完后進行反思,體會向量證法的新穎獨特.例3 如圖4,ABCD的兩條對角線相交于點M,且=a,=b,你能用a、b表示和嗎?圖4

12、活動:本例的解答要用到平行四邊形的性質.另外,用向量表示幾何元素(點、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟,教學中可以給學生明確指出這一點.解:在ABCD中,=+=a+b,=-=a-b,又平行四邊形的兩條對角線互相平分,=(a+b)=a-b,=(a-b)=a-b,=a+b,=-=-a+b.點評:結合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則,將兩個向量的和或差表示出來,這是解決這類幾何題的關鍵.思路2例1 凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點分別為E、F,求證:=(+).活動:教師引導學生探究,能否構造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決,或創(chuàng)造相同起點,以建立向量

13、間關系.鼓勵學生多角度觀察思考問題.圖5解:方法一:過點C在平面內作=,則四邊形ABGC是平行四邊形,故F為AG中點.(如圖5)EF是ADG的中位線.EFDG.=.而=+=+,=(+).方法二:如圖6,連接EB、EC,則有=+,=+,圖6又E是AD之中點,有+=0,即有+=+.以與為鄰邊作EBGC,則由F是BC之中點,可得F也是EG之中點.=(+)=(+).點評:向量的運算主要從以下幾個方面加強練習:(1)加強數形結合思想的訓練,畫出草圖幫助解決問題;(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習,做到準確熟練運用.例2 已知和是不共線向量=t(tR),試用、表示.活動:教師引導學生思考,由=

14、t(tR)知A、B、P三點共線,而=+,然后以表示,進而建立,的聯系.本題可讓學生自己解決,教師適時點撥.解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.點評:靈活運用向量共線的條件.若令1-t=m,t=n,則=m·+n·,m+n=1.變式訓練1.設兩個不共線的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數、,使向量d=a+b與向量c共線？解:d=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(3-3)e2,要使d與c共線,則存在實數k使d=kc,即(2+2

15、)e1+(3-3)e2=2ke1-9ke2.由2+2=2k及3-3=-9k得=-2.故存在這樣的實數和,只要=-2就能使d與c共線.2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b滿足|a+b|=|b|,則( )A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|C.|2b|>|a+2b|D.|2b|<|a+2b|答案:C3.(2007全國高考),5 在ABC中,已知D是AB邊上一點,若=2,=+,則等于( )A.B.C.-D.-答案:A知能訓練本節(jié)練習解答:1.圖略.2.=,=.點評:本題可先畫一個示意圖,根據圖形容易得出正確答案.值得注意的是與反向.3.(1)b=2

16、a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a.4.(1)共線;(2)共線.5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2ya.6.圖略.課堂小結1.讓學生回顧本節(jié)學習的數學知識:向量的數乘運算法則,向量的數乘運算律,向量共線的條件,體會本節(jié)學習中用到的思想方法:特殊到一般,歸納、猜想、類比,分類討論,等價轉化.2.向量及其運算與數及其運算可以類比,這種類比是我們提高思想性的有效手段,在今后的學習中應予以充分的重視,它是我們學習中偉大的引路人.作業(yè)課本習題2.2 A組題11、12.設計感想1.本教案的設計流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學中的學生探究、猜想、推證等活動,引導學生畫出草圖幫助理解