機械工程測試技術(shù)-第五章ppt課件

1、2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)1第五章第五章 信號處理初步信號處理初步2重點：重點：數(shù)字信號處理的初步概念。數(shù)字信號處理的初步概念。相關(guān)分析及其應(yīng)用、功率譜分析及其應(yīng)用。相關(guān)分析及其應(yīng)用、功率譜分析及其應(yīng)用。難點：難點：信號數(shù)字化中出現(xiàn)的問題：信號數(shù)字化中出現(xiàn)的問題：采樣、混疊、截斷、泄漏和窗函數(shù)等概念。采樣、混疊、截斷、泄漏和窗函數(shù)等概念。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)3測試的目的是獲取反映被測對象狀態(tài)和特征的信測試的目的是獲取反映被測對象狀態(tài)和特征的信息。實際中有用的信息總是和各種噪聲混雜在一息。實際中有用的信息總是和各種噪聲混雜在一起，難于直接識別和利用

2、。只有分離信號和噪聲起，難于直接識別和利用。只有分離信號和噪聲并經(jīng)過必要處理和分析，消除和修正系統(tǒng)誤差之并經(jīng)過必要處理和分析，消除和修正系統(tǒng)誤差之后，才能準確提取信息中有用信息。后，才能準確提取信息中有用信息。信號處理目的信號處理目的: :（1 1分離信號和噪聲，提高信噪比。分離信號和噪聲，提高信噪比。（2 2從信號中提取有用的特征信號。從信號中提取有用的特征信號。（3 3修正測試系統(tǒng)的某些誤差如非線性誤差，修正測試系統(tǒng)的某些誤差如非線性誤差，溫度影響）。溫度影響）。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)4 信號分析信號分析Signal a

3、nalysisSignal analysis）：）： 研究信號的構(gòu)成和特征值對信號結(jié)構(gòu)無影響）。研究信號的構(gòu)成和特征值對信號結(jié)構(gòu)無影響）。信號處理信號處理Signal processSignal process）：）： 把信號經(jīng)過必要的變換，以獲得所需信息的過程把信號經(jīng)過必要的變換，以獲得所需信息的過程有可能改變信號本身結(jié)構(gòu)）。有可能改變信號本身結(jié)構(gòu)）。二者密切相關(guān)，沒明確的界限，有時作同義語。二者密切相關(guān)，沒明確的界限，有時作同義語。信號處理類型信號處理類型模擬信號處理系統(tǒng)：模擬信號處理系統(tǒng)： 由模擬濾波器、乘法器、微分放大器等實現(xiàn)模擬運由模擬濾波器、乘法器、微分放大器等實現(xiàn)模擬運算功能的電

4、路組成。作為數(shù)字信號處理的前奏。算功能的電路組成。作為數(shù)字信號處理的前奏。數(shù)字信號處理系統(tǒng)：數(shù)字信號處理系統(tǒng)： 用數(shù)學方法處理信號，通常在計算機上實現(xiàn)，也可用數(shù)學方法處理信號，通常在計算機上實現(xiàn)，也可用專用信號處理機完成。優(yōu)點：穩(wěn)定，靈敏，快速，用專用信號處理機完成。優(yōu)點：穩(wěn)定，靈敏，快速，高效，應(yīng)用廣，設(shè)備輕。高效，應(yīng)用廣，設(shè)備輕。51 1電壓幅值調(diào)理，以適宜采樣。電壓幅值調(diào)理，以適宜采樣。2 2濾波，以提高信噪比。濾波，以提高信噪比。 3 3隔離信號中的直流分量。隔離信號中的直流分量。 4 4調(diào)制信號的解調(diào)。調(diào)制信號的解調(diào)。模擬信號經(jīng)采模擬信號經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)樣、量化并轉(zhuǎn)化為二進制?；癁槎?/p>

5、進制。數(shù)字信號處理器數(shù)字信號處理器或或計算機計算機預(yù)處理預(yù)處理預(yù)處理預(yù)處理A/DA/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換x(t)y(t)A/DA/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換結(jié)果顯示結(jié)果顯示第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)字信號處理的基本步驟數(shù)字信號處理的基本步驟 圖圖5-1 數(shù)字信號處理系統(tǒng)的簡圖數(shù)字信號處理系統(tǒng)的簡圖對采集到的對采集到的數(shù)字信號進數(shù)字信號進行分析、計行分析、計算。算。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)6x(t)x(t)xq(nTS)xq(nTS)量化量化計算機計算機x(n)x(n)編碼編碼x(n)x(n)n n001001011011100100010010010010011

6、011t tx(t)x(t)xq(nTS)xq(nTS)t tq q2q2q3q3q4q4qT TS S2TS2TS 3TS3TS測試信號的數(shù)字化過程測試信號的數(shù)字化過程xS(nTS)xS(nTS)采樣采樣/ /堅持堅持t txS(nTS)xS(nTS)TSTS 2TS2TS3TS3TSTs How Long時間離散化時間離散化幅值離散化幅值離散化2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)7模模數(shù)轉(zhuǎn)換數(shù)轉(zhuǎn)換A AD D） 指模擬信號經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)換為二進制的過程。指模擬信號經(jīng)采樣、量化并轉(zhuǎn)換為二進制的過程。（1 1采樣：是將連續(xù)信號變?yōu)殡x散時間序列信號的采樣：是將連續(xù)信號變?yōu)殡x散時間序列

7、信號的過程。過程。（2 2截斷：將采樣得到的離散時間序列乘以窗函數(shù)，截斷：將采樣得到的離散時間序列乘以窗函數(shù)，使之成為有限時間序列的過程。使之成為有限時間序列的過程。（3 3量化：是把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橛邢迋€有效量化：是把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橛邢迋€有效數(shù)字的數(shù)的過程。數(shù)字的數(shù)的過程。（4 4編碼：將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程。編碼：將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)8第二節(jié)第二節(jié) 信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題 一一 概述以計算一個模擬信號的頻譜為例）概述以計算一個模擬信號的頻譜為例）采樣采樣圖圖5-2 5-2 原模擬信號及其幅

8、頻譜原模擬信號及其幅頻譜圖圖5-3 采樣函數(shù)及其幅頻譜采樣函數(shù)及其幅頻譜Ts采樣間隔采樣間隔1/Ts=fs采樣頻率采樣頻率圖圖5-4 采樣后信號及其幅頻譜采樣后信號及其幅頻譜若若fm1/2Tsfm-fm 采樣：就是用一個等時距的周期脈沖序列采樣：就是用一個等時距的周期脈沖序列s(t)去乘去乘x(t)，Ts 采樣間隔；采樣間隔；1/Ts=fs 采樣采樣頻率；頻率；2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)9圖圖5-5 時窗函數(shù)及其幅頻譜時窗函數(shù)及其幅頻譜T：窗寬窗寬圖圖5-6 有限長離散信號及其幅頻譜有限長離散信號及其幅頻譜N=T/Ts ：序列長度：序列長度截斷截斷截斷：就是再乘一個窗口函數(shù)

9、矩形），截斷：就是再乘一個窗口函數(shù)矩形），T 為窗寬；為窗寬；N=T/Ts 所截取的時間序列數(shù)所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)序列長度）；據(jù)點數(shù)序列長度）；2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)10離散頻率序列離散頻率序列)1()(nTnffDf=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T圖圖5-8 DFT5-8 DFT后的頻譜及其時域函數(shù)后的頻譜及其時域函數(shù)圖圖5-7 5-7 頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)N點的離散頻率序列點的離散頻率序列離散頻率序列：就是離散傅立葉變換；離散頻率序列：就是離散傅立葉變換；2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)11 計算

10、機按照一定算法計算機按照一定算法離散傅立葉變換離散傅立葉變換(Discrete Fourie Transform)將將N點長的離散時間序列點長的離散時間序列x(t)s(t)w(t)變換為變換為N點的離散頻率序列，并輸出。點的離散頻率序列，并輸出。 輸出離散頻率序列的頻率間距輸出離散頻率序列的頻率間距 f = 1/T。 頻域采樣函數(shù)是頻域采樣函數(shù)是 計算機實際輸出是：計算機實際輸出是： (5-1) 頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化，把其時域函數(shù)周頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化，把其時域函數(shù)周期化了。期化了。 上述處理過程的每一個步驟：采樣、截斷、上述處理過程的每一個步驟：采樣、截斷、DFT計計算都會引

11、起失真或誤差。算都會引起失真或誤差。)1()(nTnffD)()()()()(PfDfWfSfXfX2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)12二二 時域采樣、混疊和采樣定理時域采樣、混疊和采樣定理長度為長度為 T 的連續(xù)信號的連續(xù)信號x(t)，采樣得到的離散時間序列為，采樣得到的離散時間序列為 x(n)=x(nTs)=x(n/fs) n=0,1,2,N-1 (5-2)Ts采樣間隔；采樣間隔；N序列長度，序列長度，N=T/Ts；fs采樣頻率采樣頻率采樣間隔太小，其數(shù)字序列就長，效率低；采樣間隔太小，其數(shù)字序列就長，效率低；采樣間隔太大，可能丟掉有用的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。采樣間隔太大，可能

12、丟掉有用的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。圖圖5-95-9混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)13圖圖5-4 采樣后信號及其幅頻譜采樣后信號及其幅頻譜rsTrfXsTrsTrfsTfXfSfXfSfXtstxr)sTr(fsTfSn)snT(ts(t)(1)(1)()()()()()()(1)(2sf2sf2fs2fsf1f2f1混疊必定出現(xiàn)在混疊必定出現(xiàn)在 f=fs/2 左右兩側(cè)的頻率處，左右兩側(cè)的頻率處，稱為折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分稱為折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分 f1 和低于折疊頻率的低頻成分和低于折疊頻率的低頻成分 f2，它們之，它們之間的關(guān)系是間的關(guān)系是 (

13、f1+f2)/2=fs/2。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)14抗混疊濾波預(yù)處理后，若采樣頻率抗混疊濾波預(yù)處理后，若采樣頻率fs 大于帶限信號大于帶限信號最高頻率最高頻率 fh 的的 2 倍，即倍，即 (5-5) 就不會發(fā)生混疊。實際上考慮高于截止頻率就不會發(fā)生混疊。實際上考慮高于截止頻率fc有過有過渡帶，采樣頻率渡帶，采樣頻率fs常選用常選用(34)fc。hfsTsf21 圖圖5-10 5-10 不產(chǎn)生混疊的條件不產(chǎn)生混疊的條件采樣定理，也稱香農(nóng)采樣定理，也稱香農(nóng)Shannon定理定理2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)15三三 量化和量化誤差量化和量化誤差(Quan

14、tization error) 若采樣點的電平落在兩相鄰量化之間，就必須若采樣點的電平落在兩相鄰量化之間，就必須含入到相近的一個量化電平上。一般認為，量含入到相近的一個量化電平上。一般認為，量化誤差化誤差(n) 為為( )( )( )量化電平量化電平實踐實踐nxnxnex/2-x/2-x/2(n) x/22022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)16可認為可認為(n)在在x/2之間等概率分布。之間等概率分布。 那么那么 x.xx方差方差標準差標準差x均方均方值值均均值值x概率密度概率密度29032012212201設(shè)設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)為轉(zhuǎn)換器位數(shù)為b，允許的動態(tài)工作范圍，允許的動態(tài)工作范圍

15、D (5V，010V)，相鄰量化電平之間差為，相鄰量化電平之間差為 (5-6)12bDx-x/2(n) 20221TtTttTtwT( ( ) ) 2sin222sin222fTcTfTfTTfWT 特點：主瓣寬度約為矩形窗特點：主瓣寬度約為矩形窗的的2 2倍，但旁瓣低且不會出倍，但旁瓣低且不會出現(xiàn)負值。現(xiàn)負值。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)23 特特 點：旁瓣明顯降低，有點：旁瓣明顯降低，有抑制泄漏的作用，但主瓣較抑制泄漏的作用，但主瓣較寬，致使頻率分辨能力較差。寬，致使頻率分辨能力較差。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)24（四）、指數(shù)窗（四）、指數(shù)窗 特點：

16、無旁瓣，主瓣很寬，其頻率分辨力低。特點：無旁瓣，主瓣很寬，其頻率分辨力低。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)25常用窗函數(shù)常用窗函數(shù)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)26五五 頻域采樣、時域周期延拓和柵欄效應(yīng)頻域采樣、時域周期延拓和柵欄效應(yīng)頻域采樣頻域采樣頻率離散化，無疑是將時域信號頻率離散化，無疑是將時域信號“改造成周期信號。相當于在時域中將窗內(nèi)改造成周期信號。相當于在時域中將窗內(nèi)的信號波形在窗外進行周期延拓。的信號波形在窗外進行周期延拓。采樣就是采樣就是“摘取采樣點上對應(yīng)的函數(shù)值，如摘取采樣點上對應(yīng)的函數(shù)值，如透過柵欄的縫隙看景，不全面，此現(xiàn)象稱之為透過柵欄的縫隙

17、看景，不全面，此現(xiàn)象稱之為柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)picket-fence effectpicket-fence effect） 。擋住或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有擋住或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以至于整個處理失去意義。特征的成分，以至于整個處理失去意義。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)27六六 頻率分辨率、整周期截斷頻率分辨率、整周期截斷TTTTNffsss1/1u 從從DFTDFT的原理看，譜線落在某頻率的原理看，譜線落在某頻率f0f0處的條件處的條件是：是：u 考慮到考慮到 f=1/Tf=1/T，簡諧信號的周期，簡諧信號的周期T0=1/f0T0=1/f0

18、，因此因此u即，只有截取的信號長度即，只有截取的信號長度T T正好等于信號周期的正好等于信號周期的整數(shù)倍時，才能使分析譜線落在簡諧信號的頻率整數(shù)倍時，才能使分析譜線落在簡諧信號的頻率上。上。整數(shù)整數(shù) ff0整數(shù)整數(shù) T0Tu 頻率采樣間隔頻率采樣間隔f f也是頻率分辨率的指標。此也是頻率分辨率的指標。此間隔越小，頻率分辨率越高。利用間隔越小，頻率分辨率越高。利用DFTDFT變換時：變換時：2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)28離散傅立葉變換的圖解推演離散傅立葉變換的圖解推演t( )tx0f( )fX0t( )tnsT0sT/10sT/1( )fnf( )( )( )ttxtxn10

19、tf( )( )( )ffXfXn10sT/1sT/1mfmfmfmftf00( )tu( )fU2/T2/T)a)b( )( ) ( )tutxtx120tf( )( )( )fUfXfX120sT/1sT/1mfmf( )tk0fT/10t( )tkf( )( )( )ffXfXk230N( )( )( )ttxtxn230Nt)c)d)e)f)ga)a)模擬信號及其傅立葉變換模擬信號及其傅立葉變換b)b)采樣信號及其傅立葉變換采樣信號及其傅立葉變換 c)c)離散信號及其傅立葉變換離散信號及其傅立葉變換 d)d)矩形窗函數(shù)及其傅立葉變矩形窗函數(shù)及其傅立葉變換換 e)e)矩形窗函數(shù)采樣信號及

20、其矩形窗函數(shù)采樣信號及其傅立葉變換傅立葉變換 f)f)頻域采樣函數(shù)及其傅立葉頻域采樣函數(shù)及其傅立葉逆變換逆變換 g)g)離散信號傅立葉變換離散信號傅立葉變換 離散傅立葉變換步驟：離散傅立葉變換步驟：1 1時域采樣時域采樣2 2時域截斷時域截斷3 3頻域采樣頻域采樣時域采樣引起頻域周期化時域采樣引起頻域周期化頻域采樣引起時域周期化頻域采樣引起時域周期化當窗函數(shù)的寬度當窗函數(shù)的寬度TT時，時，sincsinc函數(shù)就變成函數(shù)就變成 函數(shù)。函數(shù)。由于由于T T不夠?qū)拵碚`差從不夠?qū)拵碚`差從而產(chǎn)生波紋和泄漏而產(chǎn)生波紋和泄漏信號時域、頻域的離散化信號時域、頻域的離散化導致時域、頻域的周期化導致時域、頻域

21、的周期化2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)29待變換時域信號待變換時域信號時域采樣：時域采樣：Ts 采樣間隔；采樣間隔；1/Ts=fs 采樣頻率；采樣頻率； T 為窗寬；為窗寬；N=T/Ts 所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)序列長度）所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)序列長度）f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T輸出離散頻率序列的頻率間距輸出離散頻率序列的頻率間距 f = 1/T折疊頻率，高于折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分折疊頻率的高頻成分 f1 和低于折疊頻率的低頻成分和低于折疊頻率的低頻成分 f2，它們之間的關(guān)系是它們之間的關(guān)系是 (f1+f2)/2=fs/2hfsTsf

22、21 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)30第三節(jié)第三節(jié) 隨機信號隨機信號 一一 概述概述隨機信號隨機信號不能用確定數(shù)學公式描述，不能預(yù)測其不能用確定數(shù)學公式描述，不能預(yù)測其未來瞬時值，任何一次觀察結(jié)果不能代未來瞬時值，任何一次觀察結(jié)果不能代表全部，其值變動服從統(tǒng)計規(guī)律。表全部，其值變動服從統(tǒng)計規(guī)律。樣本函數(shù)樣本函數(shù)對隨機信號按時間歷程所作的各次長時對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄稱為樣本函數(shù)，記為間觀測記錄稱為樣本函數(shù)，記為xi(t)。樣本記錄樣本記錄樣本函數(shù)在有限時間區(qū)間上的部分稱為樣本函數(shù)在有限時間區(qū)間上的部分稱為樣本記錄。樣本記錄。),(),(),()(21 t

23、xtxtxtxi 將集合中所有樣本將集合中所有樣本函數(shù)對同一時刻函數(shù)對同一時刻titi的觀測值取平均稱的觀測值取平均稱為為titi時刻的集時刻的集合平均。（隨機過合平均。（隨機過程的平均）程的平均） 按單個樣本按單個樣本的時間歷程的時間歷程進行平均的進行平均的計算稱為計算稱為該樣本的該樣本的時間平均。時間平均。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)31x(t)=x1(t), x2(t), x3(t), ,xn(t), 圖圖5-1 5-1 隨機過程與樣本函數(shù)隨機過程與樣本函數(shù) 任意時刻任意時刻ti的統(tǒng)的統(tǒng)計特征參數(shù)都相計特征參數(shù)都相同的隨機過程。同的隨機過程。 在平穩(wěn)隨機在平穩(wěn)隨機過程中

24、，若過程中，若任一單個樣任一單個樣本函數(shù)的時本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計間平均統(tǒng)計特征等于該特征等于該過程集合平過程集合平均統(tǒng)計特征均統(tǒng)計特征2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)32隨機過程分類隨機過程分類: （1平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程其統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間其統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間而變化的隨機過程。而變化的隨機過程。 （2非平穩(wěn)隨機過程非平穩(wěn)隨機過程與上述相反則為非平穩(wěn)與上述相反則為非平穩(wěn)隨機過程。隨機過程。 （3各態(tài)歷經(jīng)隨機過程各態(tài)歷經(jīng)隨機過程在平穩(wěn)隨機過程中，若在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)

25、于該過程集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機過程叫各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。隨機過程叫各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)33 工程中很多隨機信號具有各態(tài)歷經(jīng)性，即工程中很多隨機信號具有各態(tài)歷經(jīng)性，即使不嚴格遵守各態(tài)歷經(jīng)性，也按各態(tài)歷經(jīng)隨機使不嚴格遵守各態(tài)歷經(jīng)性，也按各態(tài)歷經(jīng)隨機過程處理。也就是說在測試工作中常以一個或過程處理。也就是說在測試工作中常以一個或幾個有限長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程。幾個有限長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程。以時間平均來估計集合平均。以時間平均來估計集合平均。 在測試中確定性信號一般是在一定條件下出在測試中確定性信號一般是在一定條件下出現(xiàn)的特殊

26、情況，或者是忽略了信號的隨機性部現(xiàn)的特殊情況，或者是忽略了信號的隨機性部分，實際中測試信號總是受到環(huán)境噪聲污染的，分，實際中測試信號總是受到環(huán)境噪聲污染的，故研究隨機信號具有普遍意義。故研究隨機信號具有普遍意義。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)34二隨機信號的主要特征參數(shù)二隨機信號的主要特征參數(shù)各態(tài)歷經(jīng)隨機信號主要特征參數(shù)：各態(tài)歷經(jīng)隨機信號主要特征參數(shù)： （1均值、方差和均方值均值、方差和均方值 （2概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) （3自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) （4功率譜密度函數(shù)功率譜密度函數(shù)（一均值（一均值x、方差、方差2x和均方值和均方值2x 1均值均值x （1-62）T觀測時間觀測

27、時間; x (t)樣本函數(shù)樣本函數(shù);均值均值x表示信號的常表示信號的常值分量值分量2方差方差2x （1-63）描述隨機信號的波動分量，它是描述隨機信號的波動分量，它是 x(t) 偏離均值偏離均值 x 的平方的均值，方差的正平方根叫標準偏差的平方的均值，方差的正平方根叫標準偏差 x。 TTxdttxTu0)(1limdttxTTxTx022)(1lim2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)353均方值均方值2x 描述隨機信號的強度，它是描述隨機信號的強度，它是 x (t) 平方平方的均值，即的均值，即 （1-64）均方值的正平方根稱為均方根值均方值的正平方根稱為均方根值rms4均值均值x

28、、方差、方差2x和均方值和均方值2x的關(guān)系的關(guān)系 （1-65）（當）（當x= 0 時，時， ）5集合平均，集合平均， t1 時刻的均值時刻的均值x , t1和均方值和均方值2x , t1為為 （1-66） （1-67）M樣本記錄總數(shù)樣本記錄總數(shù); i樣本記錄序號樣本記錄序號; t1觀察時刻觀察時刻TTxdttxT022)(1lim22x2 xx2x2 xMiiMtxtxM11,)(1lim1122,111lim()Mx tiMixtM 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)36（二概率密度函數(shù)（二概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)表示信號幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概表示信號幅值落在指定區(qū)間

29、內(nèi)的概率。見圖率。見圖1-22所示，所示，圖圖1-22 1-22 概率密度函數(shù)的計算概率密度函數(shù)的計算 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)37x(t) 值落在值落在 (x, x+x) 區(qū)間內(nèi)的時間為區(qū)間內(nèi)的時間為 Tx （1-68）當樣本函數(shù)的記錄時間當樣本函數(shù)的記錄時間T時，時，Tx / T的比值就是的比值就是x(t)的幅值落在的幅值落在(x, x +x) 區(qū)間內(nèi)的概率，即區(qū)間內(nèi)的概率，即 （1-69）幅值概率密度函數(shù)幅值概率密度函數(shù)p(x)為為 （1-70）概率密度函數(shù)提供了隨機信號幅值分布的信息，不概率密度函數(shù)提供了隨機信號幅值分布的信息，不同的隨機信號有不同的概率密度圖形。

30、圖同的隨機信號有不同的概率密度圖形。圖1-23是四是四種常見的隨機信號假設(shè)種常見的隨機信號假設(shè)x =0的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)圖形。當不知道所處理的隨機數(shù)據(jù)服從何種分布時，圖形。當不知道所處理的隨機數(shù)據(jù)服從何種分布時，可用統(tǒng)計概率分布圖來估計概率密度函數(shù)。可用統(tǒng)計概率分布圖來估計概率密度函數(shù)。 niinxttttT121xxxtxxPxprx)(lim)(0TTxxtxxPxTrlim)(2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)38圖圖1-23 1-23 四種隨機信號四種隨機信號a)a)正弦函數(shù)初始相角為隨機量）正弦函數(shù)初始相角為隨機量） b) b)正弦函數(shù)加隨機信號正弦函數(shù)加隨機信

31、號c)c)窄帶隨機信號窄帶隨機信號 d) d)寬帶隨機信號寬帶隨機信號通過概率密度函數(shù)的圖通過概率密度函數(shù)的圖形特征可以定性的判斷形特征可以定性的判斷原信號中是否含有周期原信號中是否含有周期成分，若原信號中周期成分，若原信號中周期成分越多，則成分越多，則p(x)-xp(x)-x曲曲線的線的“馬鞍形現(xiàn)象就馬鞍形現(xiàn)象就越明顯。越明顯。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)39第四節(jié)第四節(jié) 相關(guān)分析及應(yīng)用相關(guān)分析及應(yīng)用 通常兩個變量之間若存在一一對應(yīng)的確定關(guān)系，則通常兩個變量之間若存在一一對應(yīng)的確定關(guān)系，則稱兩者之間存在著函數(shù)關(guān)系。而當兩個隨機變量之稱兩者之間存在著函數(shù)關(guān)系。而當兩個隨機變量

32、之間具有某種關(guān)系，隨著一個變量數(shù)值的確定間具有某種關(guān)系，隨著一個變量數(shù)值的確定 ，另，另一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率統(tǒng)計規(guī)律，這時稱兩個隨機變量存在著相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計規(guī)律，這時稱兩個隨機變量存在著相關(guān)關(guān)系。 一兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)一兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)圖圖5-145-14表示由兩表示由兩個隨機變量個隨機變量 x x 和和 y y 組成的數(shù)組成的數(shù)據(jù)點分布情況。據(jù)點分布情況。0 xy0 xya) x與與y 無關(guān)無關(guān)b) 線性關(guān)系線性關(guān)系圖圖5-14 兩隨機變量的相關(guān)性兩隨機變量的相關(guān)性2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)40

33、變量變量 x x 和和 y y 之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù) xy xy 表示：表示：yxyxxyyxE)(（5-165-16） 離散離散:延續(xù)延續(xù): niixnxE11式中式中E數(shù)學期望數(shù)學期望x隨機變量隨機變量 x 的均值的均值 x = E x y隨機變量隨機變量 y 的均值的均值 y = E y x隨機變量隨機變量 x 的標準差的標準差 2x=E (x x )2 y隨機變量隨機變量y 的標準差的標準差 2y=E (y y )2 T0)(1limdttxTxET各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)隨機過程隨機過程用柯西用柯西許瓦茲不等式許瓦茲不等式 E (x-x)(y-y) 2 E (

34、x-x) 2 E E (x-x)(y-y) 2 E (x-x) 2 E (y-y) 2 (y-y) 2 （5-175-17）故知故知:xy 1:xy 12022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)41xy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy當數(shù)據(jù)點分布越接近于一條直線時，當數(shù)據(jù)點分布越接近于一條直線時，xy xy 的絕對值的絕對值越接近越接近1 1，x x 和和 y y 的線性相關(guān)性程度越好，將這樣的線性相關(guān)性程度越好，將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才越有意義。的數(shù)據(jù)回歸成直線才越有意義。xy xy 的正付號表示的正付號表示一變量隨另一變量增加而增加或減少。一變量隨另一變量增加而增加或減少。當

35、當xy xy 接近零時，則認為接近零時，則認為 x x 和和 y y 之間完全無關(guān)。之間完全無關(guān)。但仍可能存在某種非線性的相關(guān)關(guān)系甚至函數(shù)關(guān)系。但仍可能存在某種非線性的相關(guān)關(guān)系甚至函數(shù)關(guān)系。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)42在任何在任何t =ti t =ti 時辰，從兩個樣本上分別得到兩個量時辰，從兩個樣本上分別得到兩個量值值x(ti) x(ti) 和和x(ti+)x(ti+)，而且，而且x(t)x(t)和和x(t+)x(t+)具有相具有相同的均值和標準差。假如把同的均值和標準差。假如把 簡寫簡寫成成 ，那么有，那么有 假設(shè)假設(shè) x(t) 是某各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的一個樣本記錄。

36、是某各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的一個樣本記錄。x(t+) 是是x(t) 時移時移后的樣本記錄，見圖后的樣本記錄，見圖5-15。)()(txtx)(x201)()(lim)(xTxxTTxdttxtx二信號的自相關(guān)函數(shù)二信號的自相關(guān)函數(shù)0tx(t)0tx(t+)titi圖圖5-15 自相關(guān)自相關(guān)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)43將分子展開并注意到將分子展開并注意到 xTTdttxT0)(1limxTTdttxT0)(1lim從而從而 2021)()(lim)(xTxTTxdttxtx（5-185-18） 定義各態(tài)歷經(jīng)隨機信號自相關(guān)函數(shù)定義各態(tài)歷經(jīng)隨機信號自相關(guān)函數(shù) 為為 )(xRTTxdt

37、txtxTR0)()(1lim)(（5-195-19） 那那么么 22)()(xxxxR（5-205-20） 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)44顯然，顯然， 和和 均隨均隨而變化，且兩者成線性而變化，且兩者成線性關(guān)系。關(guān)系。 如果隨機過程均值如果隨機過程均值 ，那么，那么 0 x2)()(xxxR自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1由式由式5-20有有 22)()(xxxxR（5-21） 由于由于 ，所以，所以 1xy2222)(xxxxxR（5-22） )(xR)(x（2 2自相關(guān)函數(shù)在自相關(guān)函數(shù)在= 0= 0時為最大值，并等于該隨時為最大值，并等于該隨機信號的均方值機信號的

38、均方值 2x 2x 20)()(1lim)0(xTTxdttxtxTR（5-5-2323） 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)45（3 3當當足夠大或足夠大或時，時，x(t) x(t) 和和x(t+)x(t+)不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無關(guān)。不存在內(nèi)在聯(lián)系，彼此無關(guān)。 0)(x（4自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即)()(xxRR（5-5-2424） （5 5周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號幅值有關(guān)，而丟失了原數(shù)，其幅值與原周期信號幅值有關(guān)，而丟失了原信號的相位信息。信號的相位信息。 2)(xxR2022年4月2

39、8日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)46Rx()02x2x2x+2x2x+2x2x -2x圖圖5-16 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)47例例5-15-1求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) x (t) = x0 sin (t+) x (t) = x0 sin (t+)的自相關(guān)的自相關(guān)函數(shù)。初相角函數(shù)。初相角為一隨機變量。為一隨機變量。TTTxdtttxTdttxtxTR002000)(sin)sin(1)()(1lim)(式中式中 為正弦為正弦函數(shù)周期函數(shù)周期20T令令 那那么么 ，于是，于是 tddt 20202020)sin(sin2)sin(sin2)(dxd

40、xRx解：此正弦函數(shù)是一個零均值的各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，其解：此正弦函數(shù)是一個零均值的各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，其平均值可用一個周期內(nèi)平均值表示。該函數(shù)的自相關(guān)函平均值可用一個周期內(nèi)平均值表示。該函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為數(shù)為: 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)48由由 2sinsincos()cos()可見正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個余弦函數(shù)，可見正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個余弦函數(shù)，在在=0 =0 時具有最大值，它不隨時具有最大值，它不隨的增加而衰的增加而衰減至零。保留了原正弦信號的幅值和頻率信息，減至零。保留了原正弦信號的幅值和頻率信息，而丟失了相位信息。而丟失了相位信息。 上式為上式為2020)

41、cos()2)cos(21(2)(dxRx)cos(22)cos(212)(2020 xxRx2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)49（1 1由于由于x= 0 x= 0； 2202xx22)(xxxR（2 2） TxTxRxdttxT02022)0(2)(1lim（4 4） )()(cos2)(20 xxRxR（5 5） 丟失相位信息。丟失相位信息。 cos2)(20 xRx性質(zhì)討論：性質(zhì)討論：)cos(22)cos(212)(2020 xxRx)sin()(0txtx2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)500tRx()0tx(t)0tRx()0tx(t)0tx(t)0tR

42、x()0tx(t)0tRx()圖圖5-17 四種典型信號的自相關(guān)函數(shù)四種典型信號的自相關(guān)函數(shù)正弦波正弦波正 弦 波 加正 弦 波 加隨機噪聲隨機噪聲窄 帶 隨 機窄 帶 隨 機噪聲噪聲寬 帶 隨 機寬 帶 隨 機噪聲噪聲信號中含有周期成分，信號中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在其自相關(guān)函數(shù)在很大很大時都不會衰減，并具有時都不會衰減，并具有明顯周期性。明顯周期性。不包含周期成分，不包含周期成分，當當稍大時稍大時Rx()0。窄帶隨機噪聲的窄帶隨機噪聲的 Rx ()有較慢衰有較慢衰減特性。減特性。寬帶隨機噪聲的寬帶隨機噪聲的 Rx()很快衰減為很快衰減為零。零。自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手

43、段自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)51例：自相關(guān)分析測量轉(zhuǎn)速例：自相關(guān)分析測量轉(zhuǎn)速TTxydtt y t xTR0)( ) (1lim) (理想信號理想信號干擾信號干擾信號實測信號實測信號自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)提取周期性轉(zhuǎn)速成分提取周期性轉(zhuǎn)速成分自相關(guān)分析的主要應(yīng)用：自相關(guān)分析的主要應(yīng)用：用來檢測混淆在干擾信號用來檢測混淆在干擾信號中的確定性周期信號成分。中的確定性周期信號成分。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)52三信號的互相關(guān)函數(shù)三信號的互相關(guān)函數(shù) 兩個各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的隨機信號兩個各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的隨機信號 x(t)和和

44、 y(t)的互的互相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)Rxy()定義為定義為 1010lim( ) () () () lim( )()=TxyTxyTx yxyxyTxyTTxyxtytd tExyxtytd t （5-255-25） 由式由式5-165-16） 0 xy2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)53當時移當時移足夠大或足夠大或時，時，x(t)x(t)和和 y(t) y(t)互不相互不相關(guān)，關(guān)， yxxyR)(yxyxRxy()最大變動量范圍在最大變動量范圍在 之間，即之間，即yxyxxyyxyxR) ( )()00( )sin()sinxtxty tyt （5-265-26） 假設(shè)假設(shè) x(

45、t) 和和 y(t) 兩信號是同頻率的周期信號或者兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的周期成分，那么，即使包含有同頻率的周期成分，那么，即使，互，互相關(guān)函數(shù)也不收斂并出現(xiàn)該頻率的周期成分。如相關(guān)函數(shù)也不收斂并出現(xiàn)該頻率的周期成分。如果兩信號含有頻率不等的周期成分，則兩者不相果兩信號含有頻率不等的周期成分，則兩者不相關(guān)。關(guān)。結(jié)論：結(jié)論： 同頻相關(guān)，異頻無關(guān)。同頻相關(guān)，異頻無關(guān)。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)54例例 5-2 5-2 設(shè)有兩個周期信號設(shè)有兩個周期信號 000000000001()l i m()()1si n()si n()1()cos2()cos()2TxyT

46、TTRxtytdtTxtytdtTxytdtT式中：式中：- x(t) 相對相對 t = 0 的相位角的相位角 j - x(t)與與 y(t)的相位差的相位差試求其互相關(guān)函數(shù)試求其互相關(guān)函數(shù) Rxy() 解：因為信號是周期信號解：因為信號是周期信號,可用一個周期可用一個周期T0 代替整個代替整個歷程歷程 T00000)cos()( 2)cos21(TdttTy x2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)552;0Tddtt令令 20000)cos()2cos(1)21()(dTyxRxy)cos(22)cos(22000000yxTTyx)sin(10txx由此可見，兩個均值為零，且具有

47、相同頻率的周由此可見，兩個均值為零，且具有相同頻率的周期信號，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩個信號的圓期信號，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩個信號的圓頻率頻率，對應(yīng)的幅值，對應(yīng)的幅值 x0 x0和和y0y0以及相位差以及相位差j j 的信息。的信息。 2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)56例例5-3 5-3 若兩個周期若兩個周期 信號圓頻率不信號圓頻率不等等, , )sin(20tyyTTdttytxT02010)(sin)sin(1lim試求其互相關(guān)函數(shù)試求其互相關(guān)函數(shù) 1010lim ( )()()()lim( )()=TxyTxyTxyxyxyTxyTTxyx ty tdtExyx t

48、y tdt 0)(xyR根據(jù)正余弦函數(shù)的正交性，可知根據(jù)正余弦函數(shù)的正交性，可知 tt可見，兩個非同頻周期信號是不相關(guān)的?？梢?，兩個非同頻周期信號是不相關(guān)的。 解：解：2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)57第五章作業(yè) 教科書175頁，思考題與習題 5-1 5-2 5-3 下次課交作業(yè)2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)58互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1 1互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù) 證明：證明： 1010lim( )()()()lim( )()=TxyTxyTx yxyxyTxyTTxyxtytd tExyxtytd t 令令+ 1()lim ( )(

49、)Tx yTRxt ytd tT tt令令 1()l i m()() ()Tx yy xTRy tx td tRT )()(xyxyRR可見可見 )()(yxxyRR2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)59Rxy()0 xyxyxy xy +xy+xy x y - x y -xyxy圖圖5-19 互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)0 0 （2圖中表明圖中表明=0 時呈現(xiàn)最大值，時移時呈現(xiàn)最大值，時移0 反映反映 x(t) 和和 y(t) 之間的滯后時間。之間的滯后時間?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的性質(zhì)，使它在工程應(yīng)用中有重要價互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，使它在工程應(yīng)用中有重要價值。它是在噪聲背景下提取有用信息的

50、一個非常值。它是在噪聲背景下提取有用信息的一個非常有效的手段。有效的手段。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)60相關(guān)濾波：例如在線性系統(tǒng)中測振。根據(jù)頻率相關(guān)濾波：例如在線性系統(tǒng)中測振。根據(jù)頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才能是由保持性，只有和激振頻率相同的成分才能是由激振而引起的響應(yīng)，而其它成分是干擾。因此激振而引起的響應(yīng)，而其它成分是干擾。因此將激振信號與所測得的響應(yīng)信號進行互相關(guān)將激振信號與所測得的響應(yīng)信號進行互相關(guān)=0不用時移），就可得到由激振引起的響應(yīng)不用時移），就可得到由激振引起的響應(yīng)的幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響的幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響 。這。這種

51、處理方法叫相關(guān)濾波?；ハ嚓P(guān)技術(shù)廣泛應(yīng)用種處理方法叫相關(guān)濾波?；ハ嚓P(guān)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各種測試中。于各種測試中。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)61可調(diào)延遲可調(diào)延遲相相 關(guān)關(guān) 器器Rxy()y(t)x(t)鋼帶鋼帶速度速度vd透鏡透鏡光電池光電池0Rxy()dd圖圖5-20 鋼帶運動速度的非接觸測量鋼帶運動速度的非接觸測量例子：圖例子：圖5-20是測定熱軋鋼帶運動速度的示意圖。是測定熱軋鋼帶運動速度的示意圖。鋼帶表鋼帶表面反射面反射光經(jīng)透光經(jīng)透射鏡聚射鏡聚焦在相焦在相距距 d 的的兩個光兩個光電池上。電池上。反射光反射光強度的強度的波動，波動，通過光通過光電池轉(zhuǎn)電池轉(zhuǎn)變?yōu)殡娮優(yōu)殡娦盘?，信號，再進行再進行相關(guān)處相關(guān)處理。理。2022年4月28日星期四機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)62圖圖5-215-21是確定深埋地下的