§19 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、上頁下頁結束返回首頁常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x0lim0yx設設x=x0+Dx 則當則當Dx0時時 xx0 因而因而 yf(x0+x)f(x0)yf(x0+x)f(x0) 0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義間斷點間斷點2sin ,arcsin ,tan ,arctan ,1ln(1) ,1 ,cos1,2(1)1.xxxxxxxxxxxexxxxx+復習復習上頁下頁結束返回首頁可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點跳躍型跳躍型無窮型無窮型第二類間斷點第二類間斷

2、點oyx0 xoyx0 xoyx0 x下頁oyx振蕩型振蕩型一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.9 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性上頁下頁鈴完畢返回首頁上頁下頁結束返回首頁一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性v定理定理1 1 設函數(shù)設函數(shù)f(x)和和g(x)在點在點x0連續(xù)連續(xù) 則函數(shù)則函數(shù) 在點在點x0也連續(xù)也連續(xù) f(x)g(x) f(x)g(x)()(xgxf(當0)(0 xg時) 例例1 因為因為sin x和和cos x都在區(qū)間都在區(qū)間(- +)內連續(xù)內連續(xù) 所以所以tan x和和cot x在它們的定義域內是

3、連續(xù)的在它們的定義域內是連續(xù)的 三角函數(shù)三角函數(shù) sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定義的區(qū)間內都是連續(xù)的在其有定義的區(qū)間內都是連續(xù)的 首頁首頁上頁下頁結束返回首頁二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性v定理定理2 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間Ix上單調增加上單調增加(或減少或減少)且連續(xù)且連續(xù) 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)x f 1(y)在區(qū)間在區(qū)間Iy y|y f(x) x Ix上也上也是單調增加是單調增加(或減少或減少)且連續(xù)的且連續(xù)的 所以它的反函數(shù)所以它的反函數(shù)y=arcsin x 在區(qū)間在區(qū)間-1 1上也是連續(xù)的

4、上也是連續(xù)的下頁下頁 例例2 例 2 由于 ysin x 在區(qū)間2 ,2上單調增加且連續(xù) 同樣同樣 y=arccos x 在區(qū)間在區(qū)間-1 1上是連續(xù)的上是連續(xù)的 y=arctan x 在區(qū)間在區(qū)間(- +)內是連續(xù)的內是連續(xù)的 y=arccot x 在區(qū)間在區(qū)間(- +)內是連續(xù)的內是連續(xù)的上頁下頁結束返回首頁 反三角函數(shù)arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它們的定義域內都是連續(xù)的下頁二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性v定理2 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間Ix上單調增加上單調增加(或減少或減少)且連續(xù)且連續(xù) 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)x f 1(y)在

5、區(qū)間在區(qū)間Iy y|y f(x) x Ix上也上也是單調增加是單調增加(或減少或減少)且連續(xù)的且連續(xù)的 所以它的反函數(shù)y=arcsin x 在區(qū)間-1 1上也是連續(xù)的 例2 例 2 由于 ysin x 在區(qū)間2 ,2上單調增加且連續(xù) 即： 單調連續(xù)的函數(shù)有單調連續(xù)的反函數(shù).上頁下頁結束返回首頁v定理定理3 3 下頁下頁 設函數(shù)設函數(shù)yfg(x)由函數(shù)由函數(shù)yf(u)與函數(shù)與函數(shù)ug(x)復合復合而成而成 gfDxU)(0 若0)lim0uxgxx( 而函數(shù) yf(u)在0u連續(xù) 則 意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換

6、換xu 例如例如,xxx + + 11sinlim求求,11,sinxxuuy + + 視為視為xxx + + 11limsinesin 0000lim ( )lim()lim( )uxxxxuf ufgxxf ugf上頁下頁結束返回首頁注注: : (1)把定理中的把定理中的xx0換成換成x 可得類似的定理可得類似的定理(2)定理的結論也可寫成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx 提示提示: :93lim23xxx61 函數(shù)uy在點61u連續(xù) 例例3 例 3 求93lim23xxx 解 93lim23xxx93lim23xxx61 解解 下頁下頁93lim23xxx93lim23xx

7、x6193lim23xxx93lim23xxx61 932xxy是由uy與932xxu復合而成的 v定理定理3 3 設函數(shù)設函數(shù)yfg(x)由函數(shù)由函數(shù)yf(u)與函數(shù)與函數(shù)ug(x)復合復合而成而成 gfDxU)(0 若0)lim0uxgxx( 而函數(shù) yf(u)在0u連續(xù) 則 0000lim ( )lim()lim( )uxxxxuf ufgxxf ugf上頁下頁結束返回首頁 設函數(shù)設函數(shù)y fg(x)由函數(shù)由函數(shù)y f(u)與函數(shù)與函數(shù)u g(x)復合而成復合而成 U(x0) Df o g 若函數(shù)若函數(shù) u g(x) 在點在點 x0 連續(xù)連續(xù) 函數(shù)函數(shù) y f(u)在點在點u0 g(x0

8、)連續(xù)連續(xù) 則復合函數(shù)則復合函數(shù)y fg(x)在點在點x0也連續(xù)也連續(xù) 下頁下頁v定理定理4 4 注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情況的特殊情況. .v定理定理3 3 設函數(shù)設函數(shù)yfg(x)由函數(shù)由函數(shù)yf(u)與函數(shù)與函數(shù)ug(x)復合復合而成而成 gfDxU)(0 若0)lim0uxgxx( 而函數(shù) yf(u)在0u連續(xù) 則 0000lim ( )lim()lim( )uxxxxuf ufgxxf ugf上頁下頁結束返回首頁 設函數(shù)設函數(shù)y fg(x)由函數(shù)由函數(shù)y f(u)與函數(shù)與函數(shù)u g(x)復合而成復合而成 U(x0) Df o g 若函數(shù)若函數(shù) u g(x) 在點

9、在點 x0 連續(xù)連續(xù) 函數(shù)函數(shù) y f(u)在點在點u0 g(x0)連續(xù)連續(xù) 則復合函數(shù)則復合函數(shù)y fg(x)在點在點x0也連續(xù)也連續(xù) 下頁v定理4 例如,), 0()0,(1內內連連續(xù)續(xù)在在 + + xu,),(sin內內連連續(xù)續(xù)在在 + + uy.), 0()0,(1sin內內連連續(xù)續(xù)在在 + + xy上頁下頁結束返回首頁 sin u 當當-u+時是連續(xù)的時是連續(xù)的 例例4 例例 4 討論函數(shù)xy1sin的連續(xù)性 解解 函數(shù)xy1sin是由 ysin u 及xu1復合而成的 x1當x0 和 0 x+時是連續(xù)的 解解內是連續(xù)的內是連續(xù)的 根據(jù)定理 4 函數(shù)x1sin在無限區(qū)間( 0)和(0

10、 +) 上頁下頁結束返回首頁三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性v結論結論v 基本初等函數(shù)在它們的定義域內都是連續(xù)的基本初等函數(shù)在它們的定義域內都是連續(xù)的v 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的下頁)1, 0(. 3 aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在+)1, 0(log. 4 aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在+1. 三角函數(shù)三角函數(shù) 2. 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 在其定義域內是連續(xù)的在其定義域內是連續(xù)的. xy冪冪函函數(shù)數(shù). 5xaalog ,uay .log xua ,), 0(內連續(xù)內連續(xù)

11、在在 + +,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) )定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.上頁下頁結束返回首頁例 8 求xxax)1 (loglim0+ 例例6 例例5 例 7 求xxx11lim20+ 解解 xxx11lim20+) 11() 11)(11(lim2220+xxxxx02011lim20+xxx解解 xxax)1 (loglim0+xaxx10)1 (loglim+aealn1log 解解 解解 xxx11lim20+) 11() 11)(11(lim2220+xxxxx 02011lim20+xxx xxax)1 (lo

12、glim0+xaxx10)1 (loglim+aealn1logxxax)1 (loglim0+xaxx10)1 (loglim+aealn1log 下頁v利用連續(xù)性求極限舉例特別地特別地. 1)1ln(lim0 + +xxx221112xx+或上頁下頁結束返回首頁例例 證明證明.1)1(lim0 + + xxx證證為為實實數(shù)數(shù)） (,1)1(yx令令 + + ,1)1(yx+ + + + 則則),1ln()1ln(yx+ + + + 從而從而. 0,0yx時時當當xyxxxx00lim1)1(lim + +)1ln()1ln(yx+ + + )1ln(lim)1ln(limyyxxoyox+

13、 + + . 特別地特別地. 11)1(lim10 + +nxxnx, 1)1ln()1ln( + + +yx 即即上頁下頁結束返回首頁 例例7 求求令a x-1=t 解 xaxx1lim0 xaxx1lim0attatln)1 (loglim0+attatln)1 (loglim0+ 則x=log a(1+t) x0時t0 于是 v利用連續(xù)性求極限舉例另解:axaeaxxaaxxxlnln11)0(0lnln 時時axaxlnlnlim 原式原式特別地特別地. 11lim0 xexx例 9 求xaxx1lim0 =ln a上頁下頁結束返回首頁考慮考慮: 求求.)21 (limsin30 xx

14、x+解解:原式ex0lim)21ln(sin3xx+ex0limx36e說明說明: 假假設設,0)(lim0 xuxx則有+)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxx+e)()(lim0 xuxvxxx2上頁下頁結束返回首頁的的連連續(xù)續(xù)性性。討討論論函函數(shù)數(shù)例例 0,21010sin)(42xxexxxxxfx；是初等函數(shù)，處處連續(xù)是初等函數(shù)，處處連續(xù)）上，）上，解：在（解：在（xxxfsin)(0 續(xù)；續(xù)；也是初等函數(shù)，處處連也是初等函數(shù)，處處連）上，）上，在（在（xexfx21)(02 + +122lim21lim)(lim00200 +

15、 + + +xxxexfxxxxx處處，在在點點1sinlim)(lim00 xxxfxx),0(1)(lim0fxfx 在在定定義義域域上上處處處處連連續(xù)續(xù)。)(xf練習上頁下頁結束返回首頁.)(lim)(lim,)(lim,0)(lim5)(lim00000BxvxxxvxxxxxxAxuxuBxvAxuxx ）（則則設設例例BABxuxvxxxvxxtxuxvxvAeeeexueexuxuxxxvxxxuxvxx lnlimlim)(ln)()()(ln)()()(0limln)(0)(ln)(000lim)(lim,)(及及四四則則運運算算連連續(xù)續(xù)性性由由解解：1sinlimsin10

16、sinsin10sinsin10100)sin1(lim)sin1(lim)sin1(lim)sin1(lim exxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例如如，練習上頁下頁結束返回首頁小結小結連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個定理; 兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性.上頁下頁結束返回首頁,)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù) .反之是否成立? 作業(yè)作業(yè)P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .思考題思考題上頁下頁