第1-4課時函數(shù)問題的題型與方法

1、A.y=-x2+l(x0)+4(x1)，也可能x=-1(-1匕1).依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù).于是決定本題選D.說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵.由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當然成了函數(shù)概念復(fù)習中的重要課題.系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法1 .求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍.它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練.這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字例2.已知函數(shù)fx定義域為(0,2)，求下列

2、函數(shù)的定義域:(W2)+23;(2)y=2(J)+122分析：x的函數(shù)f(x)是由U=x與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量.由于f(x),f(u)是同一個函數(shù)，故為已知0vuv2，即Ovxv2.求x的取值范圍.解：(1)由0vX2v2,得:-:II,所師)的定義域為(Qo)U曲-6挖51oKxj2.所以所求的定義忌為(hQ).說明：本例是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域.關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法.是二種類型的綜合.求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定

3、義域，后面還會涉及到.2 .求函數(shù)值域的基本類型和常用方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的.其類型依解析式的特點分可分三類:(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些運算而得函數(shù)的值域.3 .求函數(shù)解析式舉例例3.已知xyv0,并且4x2-9y2=36.由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)?如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由.分析：4x2-9y2=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當然不能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xyv0呢？囂或解昭00瓦0.4因為二36,故y二所以y=F(x)二彳一4(x3)4(x

4、0且al,2-ax0.使loga(2-ax)在0,1上是x的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為y=logau,u=2-ax，其中u=2-ax在a0時為減函數(shù)，所以必須a1;0,1必須是y=loga(2-ax)定義域的子集.解法一：因為f(x)在0,1上是x的減函數(shù)，所以f(0)f(1),即loga2loga(2-a).所以|201a0且al,因此u=2-ax在0,1上是減函數(shù)，y=logau應(yīng)為增函數(shù)，得a1,排除A,C,再令2_玄二3則y二呃(2錢)的定X城為(8,總)，回1不是該區(qū)間的子集*故排除D，選B.說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概

5、念清楚，推理正確.3. 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用例6.甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛.分析：（1）難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本X全程運輸時間，而全程運輸時間=（全程距離）+平均速度）就可以解決.解（1）由己知汽車從甲葩到乙地所用時間為仝全程運輸成本為VS.3S

6、小用勺、y=a*-+bva*-=S（-+bi）.VVV故所求函數(shù)及其定義域為-:-:7；.I,V分祈（2）依題熬*b,嘟是正數(shù)，故有y二S（?+劉2$廟，v但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm/h，所以（2）的解決需要分情況i寸論.當百a時.顯釀韶為中二論函數(shù)的增減性來解決.解（2）依題意$,務(wù)此嘟是正數(shù)，故郁（？+曲）2$廟.v當且僅當-=bv,EPv=J|時，上式中等號成立，若逅心時，則當“彳洌全程運輸成本y最小*?當卜瞅可以通過討若什時任馭巧%心缶,則aSb(va-Vj)+AsSbv2+甘立-V=S(bviV3-a).由于v1v20,v2-v10,并且r1昵+土S00陽掲處吧心詬心

7、o,所以S(bvj-a)2時，即x-20時，Ia廠仗-2)仗+1)=宀12二仗巧才當XV2時，即x-2v0時，1gy=-(x-2)(x+1)二/+x+2=,0y=10|lgx|=10lgx=x;當Ovxv1時，lgxv0,y=勒=10桔所以V二盟1,0x0)或向右(av0)平移|a個單位而得到；函數(shù)y=f(x)+b(b豐的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b0)或向下(bv0)平移|b|個單位而得到.(2)伸縮變換函數(shù)y=Af(x)(A0,Am1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(A1)或縮短(0vAv1)成原來的A倍，橫坐標不變而得到.函數(shù)y=f(3x)(0,

8、3工的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長(03g(x)或f(x)vg(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點認識是十分有益的；方程、不等式從另一個側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具.例10.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為()A.(0，1)B.(1，2)C.(2,3)D.(3,+R)分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2).它們的交點橫坐標X。，顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了.實際上這是要比較x0與2的大小.當x=2時，Igx=lg2,3-x=1.

9、由于Ig2v1,因此x02，從而判定X。(2,3)，故本題應(yīng)選C.說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算X。的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷例11.一次函數(shù)f(x)=kx+h(k豐0)若mvn有f(m)0,f(n)0，則對于任意x(m,n)都有f(x)0，試證明之；(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：若a,b,cR且|a|v1,|b|v1,|c|v1,則ab+bc+ca-1分析：問題實質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k豐0)x(m,n).若區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意x(m

10、,n)都有f(x)0.之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的.因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手.(1) 證明：當k0時，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是增函數(shù)，mvxvn,f(x)f(m)0;當kv0時,函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是減函數(shù),mvxvn,f(x)f(n)0.所以對于任意x(m,n)都有f(x)0成立.(2) 將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1.則f(a)=(b+c)a+bc+1.當b+c=0時,即b=-c,f(a)=bc+1=-c2+1.因為|c|v1,所以f(a)=-c2+10.當b+cO時，f(x)=(b+c)x

11、+bc+1為x的一次函數(shù).因為|b|v1,|c|v1,f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0,f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)0.由問題對于|av1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+仁ab+ac+bc+10.說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”.把證明ab+bc+ca-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+10,由于式子ab+bc+ca+1中，a,b,c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1,問題轉(zhuǎn)化為在|a|v1,|b|v1,|c|v1的條件下證明f(a)0.(也可構(gòu)造f(x)=(a+c)x+ac+1,證明

12、f(b)0)。例12.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x,yR都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1) 求證f(x)為奇函數(shù)；(2) 若f(k3-x)+f(3x-9x-2)v0對任意xR恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明.(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yR),令x=y=0,代

13、入式，得f(O+O)=f(O)+f(O)，即f(0)=0.令y=-x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有O=f(x)+f(-x).即卩f(-x)=-f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù).(2)解：f(3)=log230,即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由f(x)是奇函數(shù).f(k)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),k3x0對任意xR成立.令t=3x0，問題等價于t2-(l+k)t+20對任意t0恒成立.1+k令f(t)二宀(1+k)t+2,其對稱軸x=-*當乎0時,對任意敲立O當甘0即k0符合題意

14、；=(1+k/-4X20.解得kJ+2旋綜上所述當k0恒成立.對二次函數(shù)f(t)進行研究求解.本題還有更簡捷的解法：分離系數(shù)由k3x2V2-l,即u的最小值為2逐-1,要使對圧R不等竝。沖厲恒成立，只要使k2血4上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎.(川)、強化訓(xùn)練2b.g(t)=()t2D.g(t)=costf(2x,y)=0的曲線是1.對函數(shù)f(x)=3xaxb作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是()a.g(t)=logt2_2C.g(t)=(t1)2.方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程ByCD3.已知命題p：函數(shù)y=log0.5(x2+2x+a

15、)的值域為R,命題q:函數(shù)y=(52a)x是減函數(shù)。若p或q為真命題,A.a1B.a24.方程lgx+x=3的解所在的區(qū)間為A.(0,1)B.(1,2)p且q為假命題，則實數(shù)C.1a2a的取值范圍是D.a2C.(2,3)D.(3,+5.如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對于任意實數(shù)t，都有f(2+t)=f(2t)，那么()A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)m(x21)對滿足|m|w2勺一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。16. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項的和為Sn，已知a3=12,S120,S130。 .求公差d的取值范圍；

16、.指出S1、S2、S12中哪一個值最大，并說明理由。(1992年全國高考)17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)/BAC=0,PA=AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。18. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanAtanCA=2+.3，又知頂點C的對邊c上的高等于4.3,求厶ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。19.設(shè)f(x)=Ig1*2*，如果當x(-,1時f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍。20.已知偶函數(shù)f(x)=cosvsinxsin(xv)+(tan二2)sinxsinv的最小值是0，求f(x)的最大值及此時x的集合.321.已知

17、xwR，奇函數(shù)f(x)二x(I)求字母a,b,c應(yīng)滿足的條件；(n)設(shè)x0_1,f(x。)_1，且滿足2-ax-bxc在1,：)上單調(diào).ff(X。)=X。，求證:f(Xo)=Xo.(V)、參考答案不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項B,C,D均縮小了f(x)的定義域，故A。先作出f(x,y)=0關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又x,y)=0即為f(-(X-2),y)=0，即由f(-x,y)=0向右平移2個單位。故選C。命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)x22xa的判別式二4-4a_0,從而a_1；命題q為真時，5-2a1=a2。

18、若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為1a0),貝V2+2=_，解出x=2,再用萬能公式，選A;21+x1+x5ss利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)Sp=Sq=m,=乂，則(,p).(卩,q)、np+qpq(x,p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x=0，則答案：0；255設(shè)cosx=t,t-1,1，則a=tt1-,1,所以答案：一，1；44.設(shè)高h,由體積解出h=2：3，答案：246；4一人16.設(shè)長X,則寬一，造價y=4X120+4XX80+X801760答案：1760。XX運用條件知：丄5二f(1)=

19、2，且f(n)f2f(2),廠ff2(3)f(6)f2(4)f(8)f(1)f(3)f(5)f2f(2)+2f2f(6)+2f(8)=16f(1)f(3)f(5)f-.依題意可知.vb-4ac0，從而可知NX(_1,0)，所以有a1.選2.f(23.4.5.6.7.&9.101112132r2b-4ac0b4acf(-1)=a-bc.0=b：ac，又a,b,c為正整數(shù)，取c=1，貝VcAcax1x2-1ia222a1b=a_b，所以a_b-4ac=4a=a4，從而a_5，所以b.4ac_20,又b0所以2二a1A=24ac0故a1.即為所求.22f(x)=lg(ax2x1)的值域域是R=u二a

20、x2x1能取遍一切正實數(shù).av0時不合題意；a=0時，u=2x+1,u能取遍一切正實數(shù)；a0時，其判別式=224xax1戸解得0va1所以當0a時f(x)的值域是R.15. 分析：此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x21)m-(2x1)0在-2,2上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)=(x21)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的If(2)：0值在-2,2內(nèi)恒為負值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。lf(2)0解：問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x21)m(2x1)0在-2,2恒成立，設(shè)f(m)=22f

21、(2)=2(X-1)-(2x-1)：0(x1)m(2x1),貝V2J(-2)=2(x-1)-(2x-1)m(x21)的解集是-2,2時求m的值、關(guān)于x的不等式2x1m(x21)在-2,2上恒成立時求m的范圍。一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。16. 分析：問利用公式an與Sn建立不等式，容易求解d的范圍；問利用Sn是n的二次函數(shù)，將Sn中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時Sn取最大值的函數(shù)最值問題。解：由a3=a1+2d=12,得

22、到a1=122d,所以512 =12a1+66d=12(122d)+66d=144+42d0,513 =13a1+78d=13(122d)+78d=156+52d0、an0，即鄰項變號：由da2a13,由S13=13a7：:0得a7:0，由S12=6(a6+a7)0得a60。所以，在S1、S2、S12中，S6的值最大。17分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值,從而設(shè)定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。解：在PB上任取一點M,作MD丄AC于D,MH丄AB于H,設(shè)MH=x，貝UMH丄平面ABC,AC丄HD。/MD2=x2+(2rx)sin0=(sin2+1)

23、x24rsin2rsin2024r2sin2001sin202224rsin0=(sin0+1)x21+sinB&汁A即當x=經(jīng)哄時，MD1+sin202rsin0取最小值丫1+sin20為兩異面直線的距離。說明：本題巧在將立體幾何中異面直線的距離”變成求異面直線上兩點之間距離的最小解：由題設(shè)可知，不等式1+2x+4xa0在x(-g,1上恒成立,值”并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言后，再建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。18.分析：已知了一

24、個積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解。解：由A、B、C成等差數(shù)列，可得B=60由厶ABC中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,得tanA+tanC=tanB(tanAta-nC1)=V3(1+3)設(shè)tanA、tanC是方程x2(.3+3)x+2+汀3=0的兩根，解得x1=1,x2=2+、.3n5n設(shè)A0在x(-g,1上恒成立的不等式問題。即g(-)=(-)2+-+a0,得222們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、相互轉(zhuǎn)化。其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，一般地，我將問題進行11在解決不等式(一)2x+()X2211法”：設(shè)t=()x,t，則有224-中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用20.解：f(x)=cosTinx(sinxcosrcosxsinr)+(tanv2)sinxsinv=sinHosx+(tant12)sinxsinv因為f(x)是偶函數(shù)，所以對任意xR，都有f(x)=f(x),即sintcos(x)+(tan2)sin(x)sin:=sinxosx+(tanv2)sinxsinv,