定積分的應(yīng)用： 平面圖形面積

1、xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線xy22 和直線和直線4 xy所圍所圍成的圖形的面積成的圖形

2、的面積. 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy練習(xí)練習(xí):求拋物線21xy在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1 ,(2xxM則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,3

3、3x0)( xS且為最小點(diǎn) . 故所求切線為34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一極小點(diǎn)在是因此xSx 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).例例 3 3 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積. 解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsinc

4、os由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA 二、極坐標(biāo)系情形)( r解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A解解 dadA22)

5、cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡(jiǎn)化有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）三、小結(jié)邊界方程邊界方程參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方直角坐標(biāo)方程程21d)()(tttttAd)(212AxxfxfAbad)()(21思考題思考題 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn))3 , 2(，且，且)(

6、xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分

7、得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 , 2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 4 4、 計(jì)算計(jì)算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用_作變量較為簡(jiǎn)捷作變量較為簡(jiǎn)捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習(xí)習(xí) 題題6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點(diǎn)點(diǎn) ),(2a

8、aA，0 a，則則當(dāng)當(dāng) a_ _ _時(shí)時(shí)，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點(diǎn)及其在點(diǎn))3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2