折射和反射定律、菲涅耳公式

1、1第七、八次課、折射和反射第七、八次課、折射和反射定律、菲涅耳公式定律、菲涅耳公式 一、折射和反射定律一、折射和反射定律二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式三、根據(jù)三、根據(jù)Fresnel公式討論反射波和公式討論反射波和透射波的性質(zhì)透射波的性質(zhì) 內(nèi)容內(nèi)容2一、折射和反射定律一、折射和反射定律1、折射和反射定律內(nèi)容、折射和反射定律內(nèi)容2、分析、分析內(nèi)容內(nèi)容31、折射和反射定律的內(nèi)容是：折射和反射定律的內(nèi)容是：時間頻率是不變的；反射波和折射波均在入射面內(nèi)；反射角等于入射角。折射定律折射定律：折射介質(zhì)折射率與折射角正弦之積等于入射介質(zhì)折射率與入射角正弦之積。 2、分析：分析： 圖1rtOxzOi12界面niE

2、rEikrktEtk)(exp0trkiEEiiii)(exp0trkiEErrrr)(exp0trkiEEtttt4界面兩側(cè)的總電場為： 100exp ()exp ()iriiirrrEEEEi k rtEi krt 20exp ()ttttEEEi k rt 電場的邊界條件0)(12EEn)(exp)(exp)(exp000trkiEntrkiEntrkiEntttrrriii欲使上式對任意的時間t和界面上 均成立，則必然有： rrkrkrktri(2)tri(1)可見，時間頻率是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會因折射或反射而變化；50)(rkkir0)(rkkit由于

3、可以在界面內(nèi)選取不同方向，上式實際上意味著矢量 和 均與界面的法線 平行，由此可以推知， 、 、 與 共面，該平面稱為入射面入射面。r)(irkk)(itkknikrktkncnki/1cnkr/1cnkt/2r=i (3)n2sint=n1sini (4)rkrkrktri(2)寫成標量形式，并約掉共同的位置量)2cos()2cos()2cos(ttrriikkk結(jié)論：反射波和折射波均在入射面內(nèi)反射波和折射波均在入射面內(nèi)。反射角等于入射角折射定律6二、菲涅耳公式二、菲涅耳公式1、公式的推導2、公式的另外兩種形式內(nèi)容內(nèi)容71、 Fresnel公式的推導折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳

4、播方向傳播方向之間的關(guān)系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel公式來描述。 只推導反射波、折射波和入射波的電場 的Fresnel公式。 E方法和步驟的內(nèi)旨方法和步驟的內(nèi)旨電場 是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個振動方向垂直于入射面，稱為s分量，另外一個振動方向在或者說平行于入射面，稱為p分量。E首先首先研究入射波僅含s分量和僅含p分量這兩種特殊情況。當兩種分量同時存在時，則只要分別先計算由單個分量成分的折射、反射電場；然后然后根據(jù)矢量疊加原理進行矢量相加即可得到結(jié)果。 81)、單獨存在、單獨存在s分量的分量的情形情形規(guī)定規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面

5、，向外為正，向內(nèi)為負。 圖2tOri12界面nisErsEikrktsEtkipHrpHtpH在界面上電場切向分量連續(xù)： 0)(12EEn0)(12HHnstsrsiEEE000(5) tptrpripiHHHcoscoscos000(6) 在界面上磁場的切向分量連續(xù)： 9非磁性各向同性介質(zhì)中 、 的數(shù)值之間的關(guān)系： EHEcnBH00EHtstrsrisiEnEnEncoscoscos020101(7)tptrpripiHHHcoscoscos000(6) stsrsiEEE000(5) s分量的透射系數(shù)titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)010122c

6、oscoscost sisi sitEntEnn(9)s分量的反射系數(shù)102)、單獨存在、單獨存在p分量的分量的情形情形規(guī)定規(guī)定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負。 圖3tOri12界面nipErpEikrktpEtkisHrsHtsHstsrsiHHH000(10) tptrpripiEEEcoscoscos000(11) E即： 的p分量的切向分量一致向右EkH組成右手坐標系H的正方向如圖所示EH根據(jù) 的邊界條件得：11再利用 、 的數(shù)值關(guān)系以及 、 之間的正交性，得到： EHEHititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) 010122c

7、oscoscostpipi ptiEntEnn(13) 公式(8)、(9)、(12)、(13)稱為Fresnel公式公式： titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) itipiprpnnnEEtcoscoscos221100(13) p分量的透射系數(shù)p分量的反射系數(shù)122、公式的另外兩種形式titipiprpnnnnEErcoscoscoscos212100101202coscoscoscoscostpiipi ptitn

8、EtnnE(14) (15) 令： isncos11(16) tsncos22(17) titisisrsnnnnEErcoscoscoscos212100(8)tiisisrsnnnEEtcoscoscos221100(9)ititpiprpnnnnEErcoscoscoscos212100(12) 010122coscoscostpipi ptiEntEnn(13) 將它們變形 ipncos11(18) tpncos22(19) 13于是得Fresnel公式的公式的另外一種形式：sssssisrsEEr212100ssssisrsEEt211002pppppiprpEEr212100010

9、122coscostppipi ppptEtE(20)(21)(22)(23)14利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成如下的形式： )sin()sin(titisr)tan()tan(titipr)sin(sincos2titist)sin()sin(sincos2ititiipt(24)(25)(26)(27)15三、根據(jù)三、根據(jù)Fresnel公式討論反射波和公式討論反射波和透射波的性質(zhì)透射波的性質(zhì)1. n1n2的情況的情況 內(nèi)容內(nèi)容161. n1t 。(1)、反射和透射系數(shù)的變化：圖4tptsrprsn2/n1=2.0 1)、兩個透射系數(shù)ts和tp都隨著入射角i增大而單調(diào)單調(diào)降低降低

10、，即入射波越傾斜，透射波越弱，并且在正向規(guī)定下，ts和tp都大于零。 172)、rs始終小于零，其絕對值隨著入射角單調(diào)增大。根據(jù)正方向規(guī)定可知，在界面上反射波電場的s分量振動方向始終與入射波s分量相反。 位相躍變位相躍變( (半波損失半波損失) ) )sin()sin(titisr負號寫成在界面上任何一點，反射波s分量與入射波s分量間都有一個的位相差別。 圖4n2/n1=2.0 exp()i|exp()ssrri00exp ()isi siEEi k rt 0000exp ()|exp ()rsi ssri ssrEEri krtEri krt 位相躍變位相躍變 srprstpt這樣，位相差相

11、當于電磁波(光)傳播半個波長的距離，所以該現(xiàn)象又可稱為半波損失半波損失。 0exp ()ri krt 2|rkrr |2r18圖4n2/n1=2.0 srprstpt3)、對于rp，它的代數(shù)值隨著入射角i單調(diào)增大，但是經(jīng)歷了一個由負到正的變化。 )tan()tan(titipri=特定值B ，rp=0 布儒斯特布儒斯特定律定律利用折射定律 121nntgB90iB布儒斯特角布儒斯特角 (28) 如果平面波以布儒斯特角入射，則不論入射波的電場振動如何，反射波不再含有p分量，只有s分量； 如果平面波以布儒斯特角入射，反射角與折射角互為余角，所以rtkk19、當i較小時， rp0，但因它們的正向規(guī)定

12、基本相反，所以實際上仍有Eip和Erp的主要成分相反向；因此說，n1n2時，反射波電場方向總與入射波電場方向相反或接近相反。 圖3tOri12界面nikrktpEtkisHrsHtsHipErpErpE20i =0的情形是一個特殊的情況，稱為正入射正入射。這時，折射角t=0，由Fresnel公式容易算出在正入射時s和p分量的差別消失，用r0和t0分別表示正入射時的反射和透射系數(shù)，則有： 21210nnnnr(29) 21102nnnt(30) (29)、 (30)兩式可以看出，兩媒質(zhì)折射率的差別越大，r0的絕對值越大，而t0值越小。從圖4可以看出，四條曲線在i =0處的斜率都是零，所以公式(2

13、9)、(30)還可以用來估計小i(15)處的系數(shù)。例如，對于n2/n1=1.5，r0=-0.2，t0=0.8，在i =10時，直接由Fresnel公式計算可得到：rs=-0.2041，rp=-0.1959，ts=0.7969，tp=0.7973，可見它們分別與r0和t0接近。4)、i =0和和90的情況的情況圖4n2/n1=2.0 srprstpt對于n2/n1=2.0，r0=-0.33，t0=0.67i =90的情形也是一個特殊的情況，此時，rs=-1，rp=1。ts=tp=0，這表示電磁波僅僅在界面上掠過，并未真正進入第二媒質(zhì)里因此稱這種入射為掠入射掠入射。這些數(shù)值畫出了圖4各曲線的終點。

14、 21(2)、反射率和透射率的變化波的橫截面面積與投射在界面上的面積存在著關(guān)系 12As2001|2siisEcnI(31) Wis=IisA0cosi (32) 2001|2sttsEcnIWts=ItsA0cost AtAitiA02001|2srrsEcnIWrs=IrsA0cosr=IrsA0cosi 定義：定義：s分量的分量的反射率反射率Rs為為Wrs與與Wis之比；之比；s分量的分量的透射率透射率Ts為為Wts與與Wis之比之比。22于是有： 2|sisrsisrssrIIWWR212|coscoscoscossitistsitistsstnnIIWWT(33) (34) 類似地，

15、當入射波只含有p分量的時，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp： 2|piprpiprpprIIWWR(35) 212|coscoscoscospitiptpitiptpptnnIIWWT(36) 將Fresnel公式代入上面四式，即可分別得到Rs、Rp、Ts、Tp與入射角i的函數(shù)關(guān)系。 23圖6TpTsRpRs Rs與Ts之間、Rp 與Tp之間均存在互補關(guān)系，即：Rs+Ts=1 (37)Rp+Tp=1 (38)這表明，在界面處，入射波的能量全部轉(zhuǎn)換為反射波和折射波的能量。條件：界面處沒有散射、吸收等能量損失界面處沒有散射、吸收等能量損失。24當入射波同時含有s分量和p分量時，由于兩個分量的

16、方向互相垂直，所以在任何地點、任何時刻都有： 222|ipisiEEE從而有： Ii=Iis+Iip Wi =Wis+ Wip類似地，有：Wr =Wrs+ WrpWt =Wts+ Wtp可以定義反射率R和透射率T為： irWWR itWWT 注意：入射光波的入射光波的s分量分量(p分量分量)只對折射率、反射率的只對折射率、反射率的s分量分量(p分分量量)有貢獻有貢獻如果入射波中s和p分量的強度比為，Wis= Wip，則有： 11psRRR11psTTT即R和T分別是Rs、Rp和Ts、Tp的加權(quán)平均。 但是仍然有： R+T=1 25正入射時，s分量和p分量的差異消失。若用R0和T0表示此時的反射

17、率和透射率，則有： 22121200)(nnnnrR221222120120)(4nnnntnnT利用這兩個等式可以估算非正入射但是入射角很小(in2的情形的情形 這種情形即由光密媒質(zhì)光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì)光疏媒質(zhì)的情形。由折射定律可知，ic兩種情況來討論。 1)、當ic時此時t90，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和n1n2的情形完全相同。27圖7rprstpts|tp|ts|-|rp|rs|n1/n2 =1.5結(jié)論結(jié)論a)、反射系數(shù)rs、rp和n1n2的情形相反，說明s分量不再存在位相躍變；b)、sinc=tanB=n2/n1，所以必然是Bn2還是n1c時1

18、12221222cos(1 sin)() sin1ttinin(40) (41) 復數(shù)形式的反射系數(shù) 1212coscosiininnin2121coscosiininnin (42) (43) 因為i始終是實參量，形式上有：sint1，t在實數(shù)范圍內(nèi)不存在，可以將有關(guān)參量擴展到復數(shù)領(lǐng)域。 12sinsintinni 212221 1sin)(inn1212coscoscoscositsitnnrnn1212coscoscoscostiptinnrnn|exp()srsri|exp()prpri29)exp(|coscos2121rssiisirinninnr)exp(|coscos1212r

19、ppiipirinninnr(42) (43) 首先討論|rs|、|rp|反射系數(shù)的模值|rs|、|rp|仍然可以理解為反射波和入射波對應分量的振幅比；此時， |rs|=|rp|=1，因而Rs=Rp=R=1；所以當ic時，入射波的能量全部返回到n1媒質(zhì)里，這種現(xiàn)象稱為全反射全反射或者全內(nèi)全內(nèi)反射反射。 圖7rstp|tp|-|rp|rs|n1/n2 =1.5|ststpr30即當入射波發(fā)生全反射時，反射波中的s分量的位相躍變?yōu)椋?)cosarctan(212irsnn)cosarctan(21irpnn(44) (45) 它們可以理解為反射波和入射波對應分量在界面處的位相躍變。|exp()ss

20、rsrri|exp()pprprri(42) (43) 接下來討論 和rsrpp分量的位相躍變?yōu)椋?s分量和p分量的位相躍變之差為： 221cos2cot()sinirsrpinarcn(46) 反切函數(shù)取主值反切函數(shù)取主值Fresnel最早設(shè)計了消色差波片的Fresnel棱鏡，用來改變?nèi)肷洳ǖ钠駪B(tài)。這項試驗的成功，說明s分量和p分量的位相躍變之差確實存在。31|rs|=|rp|=1，發(fā)生全反射。似乎光疏媒質(zhì)中不存在任何折射電磁波；但是當把ts、tp的Fresnel公式推廣到復數(shù)域進行計算，將會發(fā)現(xiàn)ts、tp都不等于零，亦即光疏媒質(zhì)內(nèi)有折射光波；從右圖7也可直觀看出， ts、tp都不等于零，

21、說明光疏媒質(zhì)內(nèi)有折射光波。這個折射光波有其自身的特殊性質(zhì)，這種性質(zhì)使折射波不能深入地進入光疏媒質(zhì)內(nèi)。 接下來我們進行分析。圖7rstp|tp|-|rp|rs|n1/n2 =1.5|ststpr321、光疏媒質(zhì)內(nèi)的電磁波倏逝波(瞬逝波) )(exptrkiEEttotxzOtksincostttttkrkxkz21()cositnkn)sin(exp)/(sinexp)sin(expexp)exp()sin(exp21212221212txkiznnkEtxkiknnzEtiknnizxkiEEiiiitoiiitoiiitot(47) 倏逝波或瞬逝波 21sintiiinkrxkizkn212

22、221 1sin)(inn122122cos() sin1tiniin 2211()()iinnkiiknn 332、倏逝波的性質(zhì) 1222221exp(sin)exp (sin)ttoiiiinEEkzi xktn仍然是，沒有改變；說明光波的時間頻率不隨環(huán)境改變。 振幅21exptoinEzkn特點：折射波的振幅隨著z(即隨著波深入光疏媒質(zhì)內(nèi)部)的增大而作指數(shù)衰減，等振幅面與界面平行。 位相位相的空間分布上只與x有關(guān)，所以等相面與x軸垂直，并且沿著x方向傳播，與一維波的位相表達式類似，這個波的波長是： iiiiksinsin2*(48) 倏逝波的位相速度是： *0|sinsinidiiidxdtk(49) 是光密媒質(zhì)中入射波的速度。因為存在x方向上的分量，所以這個倏逝光波已經(jīng)不是橫波。34下面，定量估計一下倏逝波的衰減情況2222211(sin)iiinnAkknn 在n2/n1=1/1.5的情況下，衰減系數(shù)值如右表：122222211expexp(sin)toitoiinnEzkEkznn 定義為振幅的衰減系數(shù) 振幅第二媒質(zhì)中深度z處的波振幅與界面處振幅之比 35可見，全反射時的折射波隨著向光疏媒質(zhì)深入而很快減弱，這也是倏逝波倏逝波或瞬逝波瞬逝波命名的原因，因而這種波有的參考書上稱為衰逝波衰逝波。倏