第四章(第1節(jié))兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、兩自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)介兩自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)介 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)需要兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)描述其運(yùn)動(dòng)時(shí)，那當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)需要兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)描述其運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么這個(gè)系統(tǒng)就是兩個(gè)自由度系統(tǒng)。么這個(gè)系統(tǒng)就是兩個(gè)自由度系統(tǒng)。 兩自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。兩自由度系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的多自由度系統(tǒng)。 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程一般由兩個(gè)聯(lián)立的兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程一般由兩個(gè)聯(lián)立的微分方程組成。微分方程組成。 兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率及固有振型。兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率及固有振型。 在任意初始條件下的自由振動(dòng)一般由這兩個(gè)固有在任意初始條件下的自由振動(dòng)一般由這兩個(gè)固有振型疊加，只有在特殊的初始條件下系統(tǒng)才按某一個(gè)固振型疊加，只有在特殊的

2、初始條件下系統(tǒng)才按某一個(gè)固有頻率作固有振動(dòng)。有頻率作固有振動(dòng)。 強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)發(fā)生在激勵(lì)頻率，而這兩個(gè)坐標(biāo)的強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)發(fā)生在激勵(lì)頻率，而這兩個(gè)坐標(biāo)的振幅將在這兩個(gè)固有頻率下趨向最大值。共振時(shí)的振型振幅將在這兩個(gè)固有頻率下趨向最大值。共振時(shí)的振型就是與固有頻率相應(yīng)的固有振型。就是與固有頻率相應(yīng)的固有振型。兩自由度系統(tǒng)的微分方兩自由度系統(tǒng)的微分方程程 如圖如圖4.1-1(a)所示的無(wú)阻尼兩質(zhì)量所示的無(wú)阻尼兩質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，可沿彈簧系統(tǒng)，可沿光滑水平面滑動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)量光滑水平面滑動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)量m1與與m2分別用彈簧分別用彈簧k1與與k3連連至定點(diǎn)，并用彈簧至定點(diǎn)，并用彈簧k2相互聯(lián)結(jié)。相互聯(lián)結(jié)。 取取m

3、1與與m2的靜平衡的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，描述位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，描述m1與與m2位置的坐標(biāo)為位置的坐標(biāo)為x1和和x2。)(1221111xxkxkxm 2312222)(xkxxkxm 取加速度的正方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，根據(jù)牛取加速度的正方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有頓運(yùn)動(dòng)定律有 系統(tǒng)的受力如圖系統(tǒng)的受力如圖4.1-1(b)所示。所示。圖 4.1-1兩自由度系統(tǒng)的微分方兩自由度系統(tǒng)的微分方程程方程方程(4.1-1)就是圖就是圖4.1-1所示的兩自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的所示的兩自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程，為微分方程，為二階常系數(shù)線性齊次常微分方程組。二階常系數(shù)線性齊次常微分方程組。

4、 方程方程(4.1-1)可以使用矩陣形式來(lái)表示，寫(xiě)成可以使用矩陣形式來(lái)表示，寫(xiě)成移項(xiàng)得移項(xiàng)得0)0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm（ (4.1-1)1221112232220000kkkmxxkkkmxx (4.1-2)由系數(shù)矩陣組成的常數(shù)矩陣由系數(shù)矩陣組成的常數(shù)矩陣M和和K分別稱為分別稱為質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣和和剛度矩陣剛度矩陣，向量，向量x稱為稱為位移向量位移向量。 兩自由度系統(tǒng)的微分方兩自由度系統(tǒng)的微分方程程方程方程(4.1-4)為系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程。為系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程。 因?yàn)榉匠桃驗(yàn)榉匠?4.1-4)是齊次的，如果是齊次的，如果x1和和x2為方程為方程

5、(4.1-4)的一個(gè)解，那么與其相差一個(gè)常數(shù)因子的一個(gè)解，那么與其相差一個(gè)常數(shù)因子的的x1和和x2也將是一個(gè)解。也將是一個(gè)解。 設(shè)設(shè)1211212212322,kkkkkkkkk(4.1-3)則方程則方程(4.1-1)可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成002221212221211111xkxkxmxkxkxm (4.1-4) 通常感興趣的是一種特殊形式的解，也就是通常感興趣的是一種特殊形式的解，也就是x1和和x2同步運(yùn)動(dòng)的解。同步運(yùn)動(dòng)的解。 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 最早觀察到同步化現(xiàn)象的科學(xué)家最早觀察到同步化現(xiàn)象的科學(xué)家是是荷蘭的物理學(xué)家克里斯蒂安荷蘭的物理學(xué)家克里斯蒂安惠更斯惠更斯(Chri

6、stian Huygens 1629-1695)。根據(jù)。根據(jù)伽利略伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的鐘擺的等時(shí)性原理，他于的鐘擺的等時(shí)性原理，他于1656年把年把單擺引入了機(jī)械鐘，研制成第一個(gè)擺單擺引入了機(jī)械鐘，研制成第一個(gè)擺鐘。鐘。 1665年年2月的一天，因?yàn)樯眢w不適，他躺在家里休月的一天，因?yàn)樯眢w不適，他躺在家里休養(yǎng)。閑來(lái)無(wú)事只得盯著墻壁發(fā)呆。然而卻意外地在他自養(yǎng)。閑來(lái)無(wú)事只得盯著墻壁發(fā)呆。然而卻意外地在他自己發(fā)明的擺鐘上，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象。己發(fā)明的擺鐘上，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象。有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 墻壁上并排懸掛著的兩只鐘，這兩

7、只鐘的鐘擺竟然墻壁上并排懸掛著的兩只鐘，這兩只鐘的鐘擺竟然在按照相同的位移（拍子）擺動(dòng)！經(jīng)過(guò)連續(xù)幾個(gè)小時(shí)的在按照相同的位移（拍子）擺動(dòng)！經(jīng)過(guò)連續(xù)幾個(gè)小時(shí)的觀察之后，結(jié)果還是一樣。而且就算強(qiáng)行將其中一只鐘觀察之后，結(jié)果還是一樣。而且就算強(qiáng)行將其中一只鐘的鐘擺撥成相反位移的運(yùn)動(dòng)，不到的鐘擺撥成相反位移的運(yùn)動(dòng)，不到30分鐘，也還是恢復(fù)分鐘，也還是恢復(fù)成相同的位移。只有將一只鐘掛到另一面墻上后，兩只成相同的位移。只有將一只鐘掛到另一面墻上后，兩只鐘的位移才開(kāi)始漸漸分出不同，到最后甚至連一天的周鐘的位移才開(kāi)始漸漸分出不同，到最后甚至連一天的周期也產(chǎn)生了期也產(chǎn)生了5秒左右的差別。后來(lái)，他又通過(guò)實(shí)驗(yàn)推斷，秒

8、左右的差別。后來(lái)，他又通過(guò)實(shí)驗(yàn)推斷，這兩只鐘的同步運(yùn)動(dòng)可能是由兩只鐘之間的空氣振動(dòng)或這兩只鐘的同步運(yùn)動(dòng)可能是由兩只鐘之間的空氣振動(dòng)或者是墻壁的輕微振動(dòng)導(dǎo)致的。者是墻壁的輕微振動(dòng)導(dǎo)致的。有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 沿著彎彎曲曲的河道走進(jìn)沿著彎彎曲曲的河道走進(jìn)茂密的森林，黃昏灑下溫柔的茂密的森林，黃昏灑下溫柔的光輝，落在森林的枝杈上，一光輝，落在森林的枝杈上，一閃一閃，好像一兩星螢火蟲(chóng)的閃一閃，好像一兩星螢火蟲(chóng)的光芒。夜?jié)u漸深了，不知不覺(jué)，光芒。夜?jié)u漸深了，不知不覺(jué)，岸邊的樹(shù)林被成群的螢火蟲(chóng)，岸邊的樹(shù)林被成群的螢火蟲(chóng)，點(diǎn)成了一座星星的城堡。不過(guò)點(diǎn)成了一座星星的城堡。不過(guò)最壯觀的卻是深夜

9、的某一時(shí)刻，最壯觀的卻是深夜的某一時(shí)刻，好像在誰(shuí)一聲令下似的，所有好像在誰(shuí)一聲令下似的，所有原來(lái)此起彼伏，各自發(fā)光的螢原來(lái)此起彼伏，各自發(fā)光的螢火蟲(chóng)們，全都開(kāi)始同時(shí)明暗，火蟲(chóng)們，全都開(kāi)始同時(shí)明暗，變得整齊一致了！變得整齊一致了！ 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 除了螢火蟲(chóng)的發(fā)光之外，自然界里到除了螢火蟲(chóng)的發(fā)光之外，自然界里到處都可以發(fā)現(xiàn)同步化現(xiàn)象。由一萬(wàn)多個(gè)細(xì)處都可以發(fā)現(xiàn)同步化現(xiàn)象。由一萬(wàn)多個(gè)細(xì)胞組成的心臟搏動(dòng)器總是按照同一個(gè)的節(jié)胞組成的心臟搏動(dòng)器總是按照同一個(gè)的節(jié)奏產(chǎn)生著脈沖信號(hào)；知了每奏產(chǎn)生著脈沖信號(hào)；知了每17年都會(huì)一起年都會(huì)一起爬到地面上來(lái)進(jìn)行繁殖；秋天晚上的蟋蟀爬到地面上來(lái)進(jìn)

10、行繁殖；秋天晚上的蟋蟀們，也好像有誰(shuí)指揮一樣，齊刷刷地奏出們，也好像有誰(shuí)指揮一樣，齊刷刷地奏出優(yōu)美動(dòng)聽(tīng)的大合唱。優(yōu)美動(dòng)聽(tīng)的大合唱。 以上現(xiàn)象存在著三個(gè)共同點(diǎn)：以上現(xiàn)象存在著三個(gè)共同點(diǎn)：(1)每個(gè)個(gè)體都在進(jìn)行各每個(gè)個(gè)體都在進(jìn)行各自不同的周期性運(yùn)動(dòng)；自不同的周期性運(yùn)動(dòng)；(2)它們的運(yùn)動(dòng)節(jié)奏在某一瞬間變得它們的運(yùn)動(dòng)節(jié)奏在某一瞬間變得一致；一致；(3)它們身上都應(yīng)該存在某種導(dǎo)致這種現(xiàn)象的媒介物它們身上都應(yīng)該存在某種導(dǎo)致這種現(xiàn)象的媒介物質(zhì)。物理學(xué)家們把這種做周期性運(yùn)動(dòng)的個(gè)體稱為質(zhì)。物理學(xué)家們把這種做周期性運(yùn)動(dòng)的個(gè)體稱為“振動(dòng)體振動(dòng)體”，把通過(guò)媒介物質(zhì)連接在一起的振動(dòng)體稱為把通過(guò)媒介物質(zhì)連接在一起的振動(dòng)體

11、稱為“耦合振動(dòng)體耦合振動(dòng)體”，又把他們同時(shí)改成同一節(jié)奏運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象叫做又把他們同時(shí)改成同一節(jié)奏運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象叫做“同步化同步化”現(xiàn)象。現(xiàn)象。 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 同步化現(xiàn)象雖然是耦合振動(dòng)體最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，同步化現(xiàn)象雖然是耦合振動(dòng)體最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，但這并不意味著耦合振動(dòng)體只能做同步運(yùn)動(dòng)。耦合振動(dòng)但這并不意味著耦合振動(dòng)體只能做同步運(yùn)動(dòng)。耦合振動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)是多種多樣的。體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)是多種多樣的。 讓我們來(lái)看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在讓我們來(lái)看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳躍的時(shí)候，兩只腳做的是袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳躍的時(shí)候，兩只腳做的是位

12、移相同的移動(dòng)。但土著人在走路時(shí)，左腳與右腳所做位移相同的移動(dòng)。但土著人在走路時(shí)，左腳與右腳所做的卻是位移相反的移動(dòng)。如果將袋鼠的跳躍看成同步化的卻是位移相反的移動(dòng)。如果將袋鼠的跳躍看成同步化的結(jié)果的話，那么土著人的走路則是反同步化的結(jié)果。的結(jié)果的話，那么土著人的走路則是反同步化的結(jié)果。有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象四只腳的動(dòng)物：四只腳的動(dòng)物： 兔子在奔跑的時(shí)候，兩只前腳兔子在奔跑的時(shí)候，兩只前腳移動(dòng)的位移相同，但兩只后腳移動(dòng)移動(dòng)的位移相同，但兩只后腳移動(dòng)的位移卻和前腳的相反。的位移卻和前腳的相反。 長(zhǎng)頸鹿，是同側(cè)的前后兩只腳長(zhǎng)頸鹿，是同側(cè)的前后兩只腳一起移動(dòng)。左前腳和左后腳一起動(dòng)，一起

13、移動(dòng)。左前腳和左后腳一起動(dòng)，右前腳和右后腳一起動(dòng)。右前腳和右后腳一起動(dòng)。 馬的走路方式有些特別，做位馬的走路方式有些特別，做位移相同移動(dòng)的是對(duì)角線上的兩只腳，移相同移動(dòng)的是對(duì)角線上的兩只腳，即左前腳和右后腳一起動(dòng)，而右前即左前腳和右后腳一起動(dòng)，而右前腳則和左后腳一起動(dòng)。腳則和左后腳一起動(dòng)。 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 大象體積龐大，走起路來(lái)更大象體積龐大，走起路來(lái)更是別具一格，四只腳移動(dòng)時(shí)分別是別具一格，四只腳移動(dòng)時(shí)分別各自相差各自相差90度的位移差。沒(méi)有一度的位移差。沒(méi)有一只腳做的是相同位移的移動(dòng)。只腳做的是相同位移的移動(dòng)。 四只腳動(dòng)物可以看作是四只腳動(dòng)物可以看作是“四個(gè)振動(dòng)體耦

14、合在一起四個(gè)振動(dòng)體耦合在一起的系統(tǒng)的系統(tǒng)”嗎？事實(shí)上，四個(gè)振動(dòng)體組成的系統(tǒng)的基本運(yùn)嗎？事實(shí)上，四個(gè)振動(dòng)體組成的系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)模式，確實(shí)與所提到的那四種走路方式一模一樣。動(dòng)模式，確實(shí)與所提到的那四種走路方式一模一樣。 可是動(dòng)物們?yōu)槭裁磿?huì)按照耦合振動(dòng)體的方式來(lái)行可是動(dòng)物們?yōu)槭裁磿?huì)按照耦合振動(dòng)體的方式來(lái)行走呢？雖說(shuō)現(xiàn)在關(guān)于這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有定論。生物學(xué)家們走呢？雖說(shuō)現(xiàn)在關(guān)于這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有定論。生物學(xué)家們認(rèn)為，掌管運(yùn)動(dòng)的腦神經(jīng)網(wǎng)認(rèn)為，掌管運(yùn)動(dòng)的腦神經(jīng)網(wǎng)(由數(shù)突連接起來(lái)的神經(jīng)細(xì)由數(shù)突連接起來(lái)的神經(jīng)細(xì)胞胞)看起來(lái)更接近看起來(lái)更接近“耦合振動(dòng)體耦合振動(dòng)體”一些。有推測(cè)認(rèn)為，一些。有推測(cè)認(rèn)為，正是腦神經(jīng)網(wǎng)的動(dòng)力學(xué)

15、特性，使得動(dòng)物走起路來(lái)才會(huì)表正是腦神經(jīng)網(wǎng)的動(dòng)力學(xué)特性，使得動(dòng)物走起路來(lái)才會(huì)表現(xiàn)出振動(dòng)體的特點(diǎn)?，F(xiàn)出振動(dòng)體的特點(diǎn)。有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 1998年匈牙利的物理學(xué)家塔馬年匈牙利的物理學(xué)家塔馬斯斯維塞克在布達(dá)佩斯音樂(lè)學(xué)院舉行維塞克在布達(dá)佩斯音樂(lè)學(xué)院舉行的一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)上意外地發(fā)現(xiàn)了同步化的一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)上意外地發(fā)現(xiàn)了同步化的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 演出相當(dāng)成功，落幕后觀眾們熱烈的掌聲長(zhǎng)達(dá)演出相當(dāng)成功，落幕后觀眾們熱烈的掌聲長(zhǎng)達(dá)3分分鐘之久，而維塞克博士便在這里發(fā)現(xiàn)了有趣的東西。音鐘之久，而維塞克博士便在這里發(fā)現(xiàn)了有趣的東西。音樂(lè)會(huì)剛一結(jié)束，觀眾們雷鳴暴雨般的掌聲響起，然而過(guò)樂(lè)會(huì)剛一結(jié)束，觀眾們雷鳴

16、暴雨般的掌聲響起，然而過(guò)了一段時(shí)間之后，觀眾們的熱烈的掌聲顯然同步化了，了一段時(shí)間之后，觀眾們的熱烈的掌聲顯然同步化了，變成了同一種節(jié)奏的拍手。為了答謝觀眾們的熱情，演變成了同一種節(jié)奏的拍手。為了答謝觀眾們的熱情，演奏者重新走上臺(tái)來(lái)謝幕，這時(shí)的掌聲又突然之間失去了奏者重新走上臺(tái)來(lái)謝幕，這時(shí)的掌聲又突然之間失去了剛才的節(jié)奏，雨點(diǎn)般瘋狂地響起。在最后長(zhǎng)達(dá)剛才的節(jié)奏，雨點(diǎn)般瘋狂地響起。在最后長(zhǎng)達(dá)3分鐘的分鐘的鼓掌聲中，狂熱的掌聲和同步的掌聲依次交替出現(xiàn)。鼓掌聲中，狂熱的掌聲和同步的掌聲依次交替出現(xiàn)。 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 在那之后，維塞克博士便在音樂(lè)廳的屋頂上安裝了在那之后，維塞克

17、博士便在音樂(lè)廳的屋頂上安裝了一個(gè)麥克風(fēng)，用以記錄下每場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的掌聲情況，并進(jìn)一個(gè)麥克風(fēng)，用以記錄下每場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的掌聲情況，并進(jìn)行分析。他發(fā)現(xiàn)音樂(lè)會(huì)結(jié)束后，持續(xù)的鼓掌聲中，狂熱行分析。他發(fā)現(xiàn)音樂(lè)會(huì)結(jié)束后，持續(xù)的鼓掌聲中，狂熱的掌聲與同步的掌聲一般會(huì)交替出現(xiàn)的掌聲與同步的掌聲一般會(huì)交替出現(xiàn)6 7回。更神奇的回。更神奇的是，這種交替并不是逐漸發(fā)生的，而是瞬間性的突然從是，這種交替并不是逐漸發(fā)生的，而是瞬間性的突然從一種模式轉(zhuǎn)向另一種模式。物理學(xué)者稱這種現(xiàn)象為一種模式轉(zhuǎn)向另一種模式。物理學(xué)者稱這種現(xiàn)象為“相相變變”?？駸岫鵁o(wú)規(guī)則的鼓掌有助于表達(dá)自己激動(dòng)而振奮?？駸岫鵁o(wú)規(guī)則的鼓掌有助于表達(dá)自己激動(dòng)而振奮的

18、情緒，而有節(jié)奏的掌聲則可以使人感覺(jué)和其他觀眾融的情緒，而有節(jié)奏的掌聲則可以使人感覺(jué)和其他觀眾融為一體，比較有安全感。維塞克博士認(rèn)為，音樂(lè)會(huì)上的為一體，比較有安全感。維塞克博士認(rèn)為，音樂(lè)會(huì)上的觀眾們?cè)谶@兩種情感之間左右不定，所以才會(huì)不斷的交觀眾們?cè)谶@兩種情感之間左右不定，所以才會(huì)不斷的交替使用兩種不同的鼓掌方式。替使用兩種不同的鼓掌方式。 有趣的有趣的“同步化同步化” 現(xiàn)象現(xiàn)象 為什么螢火蟲(chóng)、蟋蟀等能夠這樣不約而同地按照為什么螢火蟲(chóng)、蟋蟀等能夠這樣不約而同地按照同樣的節(jié)奏發(fā)光、鳴叫或者產(chǎn)生脈沖呢？他們是怎樣實(shí)同樣的節(jié)奏發(fā)光、鳴叫或者產(chǎn)生脈沖呢？他們是怎樣實(shí)現(xiàn)這樣驚人的同步的呢？其實(shí)，從物理學(xué)的角

19、度來(lái)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)這樣驚人的同步的呢？其實(shí)，從物理學(xué)的角度來(lái)實(shí)現(xiàn)自然界各種各樣同步化現(xiàn)象的模型化，長(zhǎng)久以來(lái)一直是自然界各種各樣同步化現(xiàn)象的模型化，長(zhǎng)久以來(lái)一直是物理學(xué)家們最大的夢(mèng)想。隨著非線性動(dòng)力學(xué)研究的發(fā)展，物理學(xué)家們最大的夢(mèng)想。隨著非線性動(dòng)力學(xué)研究的發(fā)展，以及計(jì)算機(jī)計(jì)算性能的飛速提高（使得計(jì)算量龐大的非以及計(jì)算機(jī)計(jì)算性能的飛速提高（使得計(jì)算量龐大的非線性方程的求解最終成為可能），這個(gè)至今還貼著神秘線性方程的求解最終成為可能），這個(gè)至今還貼著神秘封條的同步化現(xiàn)象又一次成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，物理學(xué)封條的同步化現(xiàn)象又一次成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，物理學(xué)家們已經(jīng)摒住了呼吸，開(kāi)始凝神傾聽(tīng)大自然的節(jié)奏，相家們已經(jīng)摒住

20、了呼吸，開(kāi)始凝神傾聽(tīng)大自然的節(jié)奏，相信不久的將來(lái)，他們一定能給我們一個(gè)滿意的回答。信不久的將來(lái)，他們一定能給我們一個(gè)滿意的回答。兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解 在同步運(yùn)動(dòng)的情況下，比值在同步運(yùn)動(dòng)的情況下，比值x2/x1必定與時(shí)間無(wú)關(guān)，必定與時(shí)間無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)也就是說(shuō)x1和和x2對(duì)對(duì)時(shí)間有相同的依賴關(guān)系時(shí)間有相同的依賴關(guān)系。 用用f(t)表示表示x1和和x2對(duì)時(shí)間的依賴部分，則其所求得的對(duì)時(shí)間的依賴部分，則其所求得的解可以寫(xiě)成解可以寫(xiě)成式中常數(shù)式中常數(shù)u1和和u2起振幅的作用。起振幅的作用。 將方程將方程(4.1-5)代入方程代入方程(4.1-4)，得得)(),(221

21、1tfuxtfux(4.1-5) 002221212221211111tfukuktfumtfukuktfum (4.1-6)兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解 2222212111212111umukukumukuktftf (4.1-7) 因?yàn)橐驗(yàn)閙1，m2，k11，k12，k21，k22，u1和和u2全部是實(shí)常數(shù)，全部是實(shí)常數(shù)，所以所以必為實(shí)常數(shù)。必為實(shí)常數(shù)。又由方程又由方程(4.1-7)，得得為使方程為使方程(4.1-8)有振動(dòng)解，有振動(dòng)解，可以證明可以證明必須為正實(shí)數(shù)，必須為正實(shí)數(shù)，令令=2。如果同步運(yùn)動(dòng)可能的話，那么對(duì)時(shí)間的依賴是。如果同步運(yùn)動(dòng)可能的話，那么對(duì)

22、時(shí)間的依賴是簡(jiǎn)諧函數(shù)，方程簡(jiǎn)諧函數(shù)，方程(4.1-8)唯一可能的解為唯一可能的解為為了使方程為了使方程(4.1-6)有解，必須有有解，必須有0)()(tftf (4.1-8)sin()(tCtf(4.1-9)式中式中C為一任意常數(shù)，為一任意常數(shù)， 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率，為初為初相位角。常數(shù)相位角。常數(shù)C, , 由初始條件決定。由初始條件決定。 兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解 另一方面，由方程另一方面，由方程(4.1-7)還可以得到還可以得到方程方程(4.1-10)是以是以u(píng)1和和u2為未知數(shù)的兩個(gè)聯(lián)立的齊次代數(shù)為未知數(shù)的兩個(gè)聯(lián)立的齊次代數(shù)方程組，其中方程

23、組，其中2起參數(shù)作用。起參數(shù)作用。 002222212121211211umkukukumk(4.1-10) 方程方程(4.1-10)具有非零解的條件為具有非零解的條件為u1和和u2的系數(shù)行列的系數(shù)行列式等于零，即式等于零，即0det)(2222211212112mkkkmk(4.1-11)(2)稱為特征行列式，稱為特征行列式，它是它是2的二次多項(xiàng)式。的二次多項(xiàng)式。 兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解固有頻率固有頻率 展開(kāi)方程展開(kāi)方程(4.1-11)，并考慮，并考慮k12=k21，得到，得到方程方程(4.1-12)稱為特征方程或頻率方程，稱為特征方程或頻率方程，它是它是2

24、的二次方程，其根為的二次方程，其根為0)()(212221121122214212kkkkmkmmm(4.1-12)21112221222121mmkmkm212122211221112221421mmkkkmmkmkm(4.1-13)式中式中1和和2唯一地決定于振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，唯一地決定于振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率。1為為第一階固有頻率第一階固有頻率，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為基基頻；頻；2為為第二階固有頻率第二階固有頻率。兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解振型振型由式由式(4.1-13)可見(jiàn)可見(jiàn)“ ”“ ”號(hào)后面的項(xiàng)要小于前面的項(xiàng)，號(hào)

25、后面的項(xiàng)要小于前面的項(xiàng)，于于 是是 和和 都是正數(shù)。都是正數(shù)。2122因?yàn)橐驗(yàn)?122232212211)(kkkkkkkk 只有兩種振型的同步運(yùn)動(dòng)是可能的，它們分別以只有兩種振型的同步運(yùn)動(dòng)是可能的，它們分別以固有頻率固有頻率1和和2來(lái)顯示其特征，當(dāng)系統(tǒng)按其中任一固有來(lái)顯示其特征，當(dāng)系統(tǒng)按其中任一固有頻率振動(dòng)時(shí)，任何瞬時(shí)各點(diǎn)位移之間具有一定的相對(duì)比頻率振動(dòng)時(shí)，任何瞬時(shí)各點(diǎn)位移之間具有一定的相對(duì)比值。值。 對(duì)于齊次問(wèn)題，只可能確定比值對(duì)于齊次問(wèn)題，只可能確定比值 和和 ，使整個(gè)系統(tǒng)具有使整個(gè)系統(tǒng)具有確定的振動(dòng)形態(tài)。確定的振動(dòng)形態(tài)。)1(1)1(2/uu)2(1)2(2/uu 用用 和和 表示對(duì)應(yīng)

26、于表示對(duì)應(yīng)于1的值，用的值，用 和和 表表示對(duì)應(yīng)于示對(duì)應(yīng)于2的值。的值。1 , ，2 , 。 )1(1u)1(2u)2(1u)2(2u)1(1u)1(2u)2(1u)2(2u兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解振型振型 將將 代入方程代入方程(4.1-10)，有有21 012121112111ukumk 12121111112kmkuu 012221221121umkuk 22122211112mkkuu求得求得(4.1-14a)22122121212111)1(1)1(21mkkkmkuur兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解振型振型 將將 代入方程代

27、入方程(4.1-10)，有有22 022122112211ukumk 12122112122kmkuu 022222222121umkuk 22222212122mkkuu22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur(4.1-14b)求得求得兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解振型振型成對(duì)的常數(shù)成對(duì)的常數(shù) 和和 與另一對(duì)常數(shù)與另一對(duì)常數(shù) 和和 可以確定當(dāng)系可以確定當(dāng)系統(tǒng)分別以頻率統(tǒng)分別以頻率1和和2進(jìn)行同步簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)呈現(xiàn)的形狀，進(jìn)行同步簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)呈現(xiàn)的形狀，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的固有振型固有振型( (或主振型或主振型) )。 )1(1u)1(2u)2(1u

28、)2(2u可以表示為下列矩陣形式可以表示為下列矩陣形式(1)(1)(1)11(1)121uuru u(4.1-15a)(2)(2)(2)11(2)221uuru u(4.1-15b)式中式中 和和 稱為稱為振型向量或模態(tài)向量振型向量或模態(tài)向量。 為為第一第一階固有振型階固有振型， 為第二階固有振型。為第二階固有振型。 (1)u(2)u(1)u(2)u兩自由度系統(tǒng)的特點(diǎn)（總結(jié)）兩自由度系統(tǒng)的特點(diǎn)（總結(jié)） 固有振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)。固有振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 固有頻率和固有振型只決定于系統(tǒng)本身的固有頻率和固有振型只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無(wú)關(guān)。物理性質(zhì)，而與初始條件無(wú)關(guān)。 對(duì)于一個(gè)給定的

29、系統(tǒng)，以固有頻率作振動(dòng)對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，以固有頻率作振動(dòng)的振型形狀是一定的，但其振幅則不是唯一的。的振型形狀是一定的，但其振幅則不是唯一的。 兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率1和和2，相應(yīng)地存在兩個(gè)固有振型相應(yīng)地存在兩個(gè)固有振型 和和 。 (1)u(2)u兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解 回到方程回到方程(4.1-5)和和(4.1-9)，可以分別得出對(duì)，可以分別得出對(duì)應(yīng)應(yīng)1和和2的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程(1)(1)(1)11111(1)121( )( )( )sin()( )xttf tCtrxt xu (4.1-16a)(2)(2)(2)12222(

30、2)221( )( )( )sin()( )xttf tCtrxt xu(4.1-16b)式式(4.1-16)給出了兩自由度系統(tǒng)的兩階固有振動(dòng)。給出了兩自由度系統(tǒng)的兩階固有振動(dòng)。式中常數(shù)式中常數(shù) 和和 已分別并入已分別并入C1和和C2中，中，f1(t)和和f2(t)為為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于1， 和和2， 兩種同步運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)兩種同步運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)間的依賴。間的依賴。 )1(1u)2(1u(1)u(2)u兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解兩自由度系統(tǒng)的微分方程的求解 在一般情況下，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將通過(guò)兩個(gè)固有振在一般情況下，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將通過(guò)兩個(gè)固有振型的疊加求得，即型的疊加求得，即 在一般情況下，兩自由度系統(tǒng)的自由

31、振動(dòng)是兩種在一般情況下，兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩種不同頻率的固有振動(dòng)的疊加，其結(jié)果通常不再是簡(jiǎn)諧振不同頻率的固有振動(dòng)的疊加，其結(jié)果通常不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)。(1)(2)1112221( )( )( )11sin()sin()x txtxtCtCtrr (4.1-17)式中常數(shù)式中常數(shù)C1和和C2以及相角以及相角1和和2由初始條件確定。由初始條件確定。 在特殊的情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)會(huì)按某一個(gè)固在特殊的情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)會(huì)按某一個(gè)固有頻率作固有振動(dòng)，其結(jié)果是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。有頻率作固有振動(dòng)，其結(jié)果是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型（例（例4.1-

32、1） 例例4.1-1 在前述圖在前述圖4.1-1a所示的系統(tǒng)中，設(shè)所示的系統(tǒng)中，設(shè)m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振試求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。型。 解：解：振動(dòng)的微分振動(dòng)的微分方程為方程為0)0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm（ (a)設(shè)設(shè))sin()(11tXtx)sin()(22tXtx(b)代入振動(dòng)微分方程組，得代入振動(dòng)微分方程組，得0)0)(22232122211221XmkkXkXkXmkk（(c)例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型（例（例4.1-1）代入代入m1=m, m

33、2=2m, k1=k2=k, k3=2k，得得上式具有非零解的條件為上式具有非零解的條件為X1和和X2的系數(shù)行列式等于零，的系數(shù)行列式等于零，即即02302221212XmkkXkXXmk(d)0232)(222mkkkmk(e)得特征方程得特征方程0572)(22422kmkm(f)固有頻率為固有頻率為12,1.5811kkmm(g)例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型（例（例4.1-1）將將 代入式代入式(d) ，有，有21將將 代入式代入式(d) ，有，有22 02302122111121121XmkkXkXXmk(h)得得 1)(222111121k

34、mmkkkmkXXr(i) 02302222221222122XmkkXkXXmk(j)得得 5 . 0)25(222221222kmmkkkmkXXr(k)例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型（例（例4.1-1）故根據(jù)故根據(jù)(4.1-15)得到的系統(tǒng)的固有振型為得到的系統(tǒng)的固有振型為(1)(1)(2)(2)1111 , 10.5uu uu在第一階主振型中，兩個(gè)質(zhì)量以相同的振幅作同向運(yùn)動(dòng)；在在第一階主振型中，兩個(gè)質(zhì)量以相同的振幅作同向運(yùn)動(dòng)；在第二階主振型中，兩質(zhì)量以振幅比第二階主振型中，兩質(zhì)量以振幅比1:0.5反向運(yùn)動(dòng)；注意到第反向運(yùn)動(dòng)；注意到第二階固有振型

35、具有一個(gè)零位移的點(diǎn)，這種始終保持不動(dòng)的點(diǎn)二階固有振型具有一個(gè)零位移的點(diǎn)，這種始終保持不動(dòng)的點(diǎn)稱為稱為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。圖 4.1-2例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)固有頻率及振型（例（例4.1-1）第一階主振型第一階主振型第二階主振型第二階主振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-2） 例例4.1-2 求圖求圖4.1-3所示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和所示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。已知兩圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為固有振型。已知兩圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1和和I2，軸，軸段的扭轉(zhuǎn)剛度為段的扭轉(zhuǎn)剛度為k 。 解：

36、解：設(shè)設(shè)1與與2分別表示圓盤分別表示圓盤I1與與I2的角位移，則軸的角位移，則軸的相對(duì)轉(zhuǎn)角為的相對(duì)轉(zhuǎn)角為2-1，因此軸對(duì)圓盤的彈性扭矩為，因此軸對(duì)圓盤的彈性扭矩為k(2-1)，方向如圖方向如圖4.1-3b所示。所示。圖 4.1-3例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-2） 分別列出兩圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方程，即振動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)分別列出兩圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方程，即振動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程組振動(dòng)微分方程組1 1212 221()()IkIk移項(xiàng)可得移項(xiàng)可得1 112221200IkkIkk設(shè)設(shè)1122sin()sin()tt例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)

37、振動(dòng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-2）特征方程為特征方程為0)(22212kIkIk或者或者0)(221421IIkII代入扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程組，得代入扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程組，得0)(2112kIk0)(2221Ikk故根為故根為2212121 20,IIkI I例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-2）相應(yīng)的振幅比相應(yīng)的振幅比1121)1(1)1(21kIkr21122)2(1)2(22IIkIkr這里出現(xiàn)一個(gè)根為零根，相應(yīng)的振幅比為這里出現(xiàn)一個(gè)根為零根，相應(yīng)的振幅比為1，即，即 1= 2

38、。這表明圓盤以同樣的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)，軸段相。這表明圓盤以同樣的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)，軸段相對(duì)無(wú)變形，整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)剛體進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)無(wú)變形，整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)剛體進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以振動(dòng)系統(tǒng)沒(méi)有扭振。所以振動(dòng)系統(tǒng)沒(méi)有扭振。例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型例題：求解兩自由度系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-2） 當(dāng)扭振的頻率為當(dāng)扭振的頻率為2時(shí)，相應(yīng)的固有振型如圖時(shí)，相應(yīng)的固有振型如圖4.1-4所示，圓盤所示，圓盤I1與與I2恒沿相反方向運(yùn)動(dòng)，軸上有一個(gè)截面恒沿相反方向運(yùn)動(dòng)，軸上有一個(gè)截面始終保持不動(dòng)，這個(gè)截面稱為始終保持不動(dòng)，這個(gè)截面稱為節(jié)面節(jié)面。圖 4.1-4節(jié)面至圓盤節(jié)面至圓盤I1與與I

39、2的距離為的距離為 21122121,IIlIlIIlIl節(jié)面的位置正好把軸段按兩圓節(jié)面的位置正好把軸段按兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的反比例分成兩段，盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的反比例分成兩段，即即 1221IIll如果設(shè)想把軸系在節(jié)面處截?cái)啵⒓右怨潭?，就如果設(shè)想把軸系在節(jié)面處截?cái)?，并加以固定，就可以把系統(tǒng)看成兩個(gè)以同一頻率，按相反方向扭振的單可以把系統(tǒng)看成兩個(gè)以同一頻率，按相反方向扭振的單自由度系統(tǒng)。自由度系統(tǒng)。 例題：車體振動(dòng)固有頻率及振型例題：車體振動(dòng)固有頻率及振型（例（例4.1-3） 例例4.1-3 只考慮車體的上下與俯仰振動(dòng)，把車輛簡(jiǎn)只考慮車體的上下與俯仰振動(dòng)，把車輛簡(jiǎn)化為兩自由度系統(tǒng)。已知車體質(zhì)量為化為兩自由度系統(tǒng)。已知車體質(zhì)量為m，繞質(zhì)心回轉(zhuǎn)半，繞質(zhì)心回轉(zhuǎn)半徑為徑為，前軸與質(zhì)心的距離為，前軸與質(zhì)心的距離為l1，后軸與質(zhì)心的距離為后軸與質(zhì)心的距離為l2，前輪懸掛剛度為前輪懸掛剛度為k1，后輪懸掛剛度為，后輪懸掛剛度為k2。試確定車輛質(zhì)試確定車輛質(zhì)心