閉環(huán)極點法是以系統(tǒng)左平面共軛復(fù)極點到原點斜率的倒數(shù)的絕對值β來

1、閉環(huán)極點法是以系統(tǒng)左平面共軛復(fù)極點到原點斜率的倒數(shù)的絕對值 來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法， 越大，系統(tǒng)就越穩(wěn)定。在存在減幅振蕩的時候，能較好的描述和量化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若一個閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)出現(xiàn)減幅振蕩，系統(tǒng)的閉環(huán)傳輸函數(shù)必然會出現(xiàn)左平面共軛復(fù)數(shù)根s = ±j ，階躍響應(yīng)會出現(xiàn)一個衰減指數(shù)項，形式是K × exp(t) × sin(t) , 可以看作一個衰減的指數(shù)項乘以一個正常的sin 函數(shù)?，F(xiàn)在以圖 1 的常見二級運放為例， 說明如何在 spectre中運用閉環(huán)極點法來分析運放的穩(wěn)定性， 在這里只調(diào)整電容的值來改變運放的穩(wěn)定性 , 對運放進行閉環(huán) AC 和 pole-z

2、ero分析，再 print pole-zero summary就可以看到零極點了。下面先把圖表公式全部列出來，然后再進行具體分析。圖 1常見二級運放實數(shù)極點共軛復(fù)極點左平面單調(diào)指數(shù)減幅（穩(wěn)定）減幅震蕩（可能不穩(wěn)定,視情況而定）右平面單調(diào)指數(shù)增幅（不穩(wěn)定）增幅震蕩（不穩(wěn)定）注釋： :比例因子， / 的絕對值PM:相位裕度： 閉環(huán)極點的實部，可以由spectre仿真得到： 閉環(huán)極點的虛部，可以由spectre仿真得到公式 1：u(t)= K1+K2 × exp(t) × sin(t) , 是減幅震蕩的衰減因子 , 是減幅震蕩的頻率公式 2 ： T= 2 ， T 是減幅震蕩的周期

3、公式 3： = -1 / , 為時間常數(shù)圖 2 PM=45度時的階躍響應(yīng)圖 3 PM=45度時的極點分布首先來分析 PM=45 的情況，階躍響應(yīng)和閉環(huán)極點如圖2 和圖 3 所示，系統(tǒng)出現(xiàn)了左平面上的共軛復(fù)根, 時域上出現(xiàn)了減幅振蕩。肉眼能分辨的震蕩包括三個上凸，兩個下凹，最后一個上凸不很明顯，合共2.5 個振蕩周期 T,這可以說明什么呢？其實一旦出現(xiàn)減幅振蕩，理論上再過10 年，振蕩也不會變?yōu)? ，但無論是考慮到噪聲也好，波形軟件能夠到達的精度也好，減幅振蕩一旦衰減到一定的程度，例如1%， 就能夠認為振蕩消失了?？梢試L試計算下經(jīng)過一個振蕩周期波形能衰減到多少。這里經(jīng)過的時間為t=2.5T，由公

4、式1和公式2 及 =0.36可得 t=2.5T=2.5×0.36 ×2×=5.7× , 就是說指數(shù)項經(jīng)過5.7 的衰減變?yōu)樵瓉淼膃xp(×5.7×)=0.3% ,這說明指數(shù)衰減到約0.3%后，減幅震蕩就消失了。圖 4 PM=60 度時的階躍響應(yīng)圖5 PM=60度時的極點分布接著來看PM=60 的情況 (圖 4 和圖 5)，=0.8,剛好比PM=45 的 =0.36 兩倍稍微大一點，這說明同樣要衰減到震蕩消失 ,例如同樣經(jīng)歷5.7 后衰減到0.3%，PM=45的振蕩周期理論上應(yīng)該為PM=60 的 2.2 倍。我們看圖4 來驗證這一點，

5、PM=60 時有一個過沖的上凸和一個不明顯的下凹，合共一個振蕩周期，而PM=45 的情況下震蕩了 2.5 個周期。圖 6 PM=67度時的階躍響應(yīng)圖 7 PM=67度時的極點分布圖 8 PM=68度時的階躍響應(yīng)圖 9 PM=68度時的極點分布如圖 8 所示，在開始的半個周期內(nèi)（上凸的那一段），就已經(jīng)被衰減到零了，還來不及開始下半周期(下凹)的振蕩。下面可以按 PM=45 的情況為標準，振蕩剛好為 0.5T 的 理論上應(yīng)該大概是 PM=45 時候的 5 倍，那就是 0.36×5=0.18 ,以 PM=68 的情況和圖 D1 和 D2 為例子，實際的 =1.45 , 說明由于其它極點的影

6、響，振蕩周期太少的話，振蕩的波形變得較難辯認，這種相互間比例計算誤差變大。圖 10 完全沒有振蕩時的階躍響應(yīng)圖 11 完全沒有振蕩時的極點分布最后，當(dāng) PM調(diào)為 74 時，由圖 10 和圖 11 可以看出，閉環(huán) AC也沒有了共軛復(fù)極點，對應(yīng)的階躍響應(yīng)也沒有了過沖和減幅振蕩。所以產(chǎn)生了減幅振蕩和不穩(wěn)定并不是等同的，在我的理解里，穩(wěn)定等同于沒有振蕩或者衰減得很快的減幅振蕩。相位裕度和穩(wěn)定性并沒有完全的對應(yīng)關(guān)系。如表1 所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是和閉環(huán)極點位置直接關(guān)連的。用系統(tǒng)開環(huán)的波特圖曲線和相位裕度去推導(dǎo)閉環(huán)的零極點分布，去分析穩(wěn)定性，能有百分百確定的結(jié)果嗎？這是相位裕度的一個局限的方面 .從表 2

7、上可以看出，對于衰減振蕩， 的值越大， 系統(tǒng)就越傾向于穩(wěn)定，因為衰減因子越大，振蕩衰減得越快，而振蕩頻率 越高，在衰減的過程中振蕩的次數(shù)就越多,就越不穩(wěn)定。對于 exp(t) × sin(t)這個指數(shù)正弦項，假設(shè)經(jīng)過 5 個 的衰減，振蕩消失。將 變?yōu)樵瓉淼氖?，由?變?yōu)樵瓉淼氖种?，所以衰減的時間也變?yōu)槭种?，衰減過程中振蕩的周期次數(shù)也變?yōu)樵瓉淼氖种弧＜僭O(shè)將 增大十倍，同樣的 5 個 時間內(nèi)，振蕩的周期次數(shù)增加到原來的十倍。所以 和 的值對穩(wěn)定性的影響是等價的 , 系統(tǒng)走向穩(wěn)定，或者不穩(wěn)定，取決于 與 的比值 在產(chǎn)生了減幅振蕩時 , 和穩(wěn)定性的關(guān)系還可以從另為一個方面證明

8、。其實這個 就是 s 平面極點到坐標原點斜率 slope 絕對值的倒數(shù)。打開拉扎維書上 P458 , 圖 15.37 二型鎖相環(huán)的根軌跡。在K 增大時，極點沿著軌跡圓向左移動slope 的絕對值不斷減少，同時穩(wěn)定性不斷增加，這個可以從對應(yīng)的P457 頁的波特圖可以看出。 給大家留個思考問題，圖 15.37 的上半圓的曲線上升部分， 與 都在增加，穩(wěn)定性為什么會增強？上半圓的曲線下降部分， 與 都在減少，穩(wěn)定性為什么會繼續(xù)增強？ 開始感到有點意思了吧。就像相位裕度 45 度和 60 度一樣 ，我認為，閉環(huán)系統(tǒng)存在左平面上的共軛復(fù)極點時，只要=0.36 就接近一般概念上的相位裕度 45 度的穩(wěn)定性

9、 , =0.8 就接近一般概念上的相位裕度 60 度的穩(wěn)定性 , 要達到更高的穩(wěn)定性，需要更高的 值。若是閉環(huán)系統(tǒng)不存在共軛復(fù)極點，則階躍響應(yīng)應(yīng)沒有過沖和減幅振蕩。在存在減幅震蕩時，這種方法對穩(wěn)定性的描述是較線性的，例如一般概念上的相位裕度60 度比 45 度要穩(wěn)定，但是到底穩(wěn)定多少？曲線會平滑多少？15 度？相位裕度分析只能給出大概的穩(wěn)定性變化方向，不能線性的量化這個穩(wěn)定性。 值就可以較線性的量化這個穩(wěn)定性，這里指出，一般概念上的PM=60 （=0.8）的穩(wěn)定性約是PM=45 （=0.36）的兩倍 ?；叵肫鹄s維書上提到過一般PM=45 就可穩(wěn)定，但考慮到工藝角等變化推薦PM=60 度，那就

10、是說，拉雜維推薦把穩(wěn)定性增強一倍來適應(yīng)這些工藝角等的變化。若在設(shè)計中覺得PM=60 度太奢侈，可以嘗試著選擇=0.6 等值。對比表 1 ，可以思考下 PM=67 和 PM=68 的情況，相位裕度只差1 度，但 值從 1.19 變化到 1.45 , 和電容從 1p變化到 1.2p 的比例基本一致，那個能更好的反映穩(wěn)定性？還有， PM=60 和 PM=67 的階躍波形圖 4 和圖 6 相差很小，相位裕度和 值卻相差很多。當(dāng)你設(shè)計一個運放，把運放的相位裕度改善很多，但在時域階躍仿真的時候卻發(fā)現(xiàn)波形變化很小，并感到迷惑的時候，查看 值可以省下你的眼力，再不用盯著屏幕上的波形去辨認出那些小變化。當(dāng)你要在

11、衰減振蕩3，4 次的情況下多次調(diào)節(jié)電路的穩(wěn)定性，并做出階躍檢驗的時候，會體會到 的好處的，那就是不用每一次仿真之后都要比較那些波形。下面是總結(jié)三種仿真方法的優(yōu)缺點相位裕度分析優(yōu)點 ： 能反映開環(huán)系統(tǒng)零極點，帶寬，增益變化 ,輸出阻抗等對穩(wěn)定性的直接影響 ,對調(diào)節(jié)電路最有幫助缺點 :和穩(wěn)定性沒有完全的對應(yīng)關(guān)系 ，大多時候能行閉環(huán)極點法優(yōu)點 ： 揭示閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的本質(zhì)，和穩(wěn)定性有完全的對應(yīng)關(guān)系，能較線性地量化存在減幅震蕩時的穩(wěn)定性缺點 : 不能反映開環(huán)系統(tǒng)零極點，帶寬，增益變化等對穩(wěn)定性的直接影響電路時域階躍仿真優(yōu)點 ： 最接近和最能反映真實電路的性能，包括大信號特性，和穩(wěn)定性有最完全的對應(yīng)關(guān)系缺點 :不能反映開環(huán)系統(tǒng)零極點，帶寬，增益變化等對穩(wěn)定性的直接影響,