函數(shù)對稱性常見表達(dá)式及相關(guān)圖像1

1、函數(shù)的對稱性常見表達(dá)式及相關(guān)圖像1自身對稱（附30例經(jīng)典基礎(chǔ)題及詳解）圖像對稱軸（中心）表達(dá)式備注軸對稱KF14x=0f(-x)=f(x)偶函數(shù)-X0工XJ11.x=af(x)=f(2a-x)O2a-s3x2VII(1LA-1-/_1_L_x=af(-x)=f(2a+x)*:xa2a+x工yzx=af(a-x)=f(a+x)y=f（x+a）為偶函數(shù)O白-KaYil1/x=af(a+mx)=f(a-mx)y=f(x):=而4(m>0)令t=mx貝Uf(a+t)=f(a-t)f(t)對稱軸t=a令t=mx=a則xq?Qafixaat-rd?x=?(m>0)y=f(mx)i3規(guī)律：兩括號

2、內(nèi)之和除以2為橫坐標(biāo)，等式右邊除以2為縱坐標(biāo)。x系數(shù)為互為相反數(shù)1、函數(shù)f(x)=?+bx+c對于任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t),則f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系為()。A. f(1)<f(2)<fB. f(2)<f(1)<f(4)C. f(4)<f<f(1)D.f(4)<f(1)<f(2)2、函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x都滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)=0有6個(gè)實(shí)根，則這6個(gè)實(shí)根之和為()。A.6B.9C.4D.33、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對任意x屬于R,f(-2x)=f(2x),則y=f(2x)圖像關(guān)于對

3、稱.y=f(x)關(guān)于對稱。4、設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對任意x6R,有f(1-2x)=f(2x),則y=f(2x)圖象關(guān)于對稱，y=f(x)關(guān)于對稱。5、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽且滿足f(x+1)=f(1-x),則y=f(x+1)的圖象關(guān)于對稱。y=f(x)圖象關(guān)于對稱。6、已知定義為R的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+s)上單調(diào)遞增.如果？<2<?,且？+?<4,則f(?)+f(?)的值()。A.恒小于0B.恒大于0C.可能為0D.可正可負(fù).17、已知函數(shù)f(x)=一。、4X+2(i)證明：函數(shù)f(X)關(guān)于點(diǎn)(;，

4、7;對稱。(2)求f(0)+f(1)+f(1)+.f(7)+f(1)的值。84o8、若函數(shù)f(x)=1+log2(3)且圖像關(guān)于(1,D對稱，是否有21-X22f(x)+f(1-x)=1,若是，寫出過程。4?21.一9、設(shè)f(x)=-2?+1,當(dāng)f(-m)=v2時(shí)，f(m)=。10、二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),又f(2)=1,f(0)=3.若f(x)在0,m上最小值為1,最大值為3,求m的取值范圍。?+1/,一一Y>1.11、已知函數(shù)f(x)=?，x1，的圖象上存在關(guān)于直線x=1對ln(?+?)xW1稱的不同兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。A. (?-1,+oo)B.

5、 (?+1,+oo)C. (-OO,?-1)D. (-巴?+1)12、已知函數(shù)f(x)(x6R)滿足f(x)=f(a-x),若函數(shù)y=|?-ax-5|與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(?,?),(?,?),(?/?粉,且S?=1?=2mJiJa=()。A.1B.2C.3D.413、已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)yJ?與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(？，?),(?,?),(?%,?%),m6?夕，則二?=1(?3=()。A.0B.mC.2mD.4m一“2?+4x+1(x<0),14、函數(shù)f(x)=2的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有?(？0)()對。A.0B.2C.3D.無數(shù)個(gè)

6、15、函數(shù)W0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2?+4x+1(xf(X)=2in?(?>0)16、已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,則下列命題：若y=f(x)為偶函數(shù),則y=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱。若y=f(x+2)為偶函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱。若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則y=f(2x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱。若f(x-2)=f(2-x),則y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱。函數(shù)y=，?-1+Vi-?是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)。其中正確的命題序號是。17、設(shè)函數(shù)f(x)=x(?4a?>?)(xR),若f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，則實(shí)數(shù)a的值為。18、已

7、知函數(shù)丫=3匚的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,-1)成中心對稱，則實(shí)數(shù)x-a-1a=o19、已知定義在R上的函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱，若f(x)=x(1-x)(x?1),則f(-2)=()A.0B.-2C.-6D.-1220、若函數(shù)f(x)=sin(3x+(|),滿足f(a+x)=f(a-x),貝Uf(a+-)6的值為()。A.3B.±1C.0D.-一2221、設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)=f(置)的所有x之和為()。A.-9B.-7C.-8D.822、若函數(shù)f(x)=1+2?廠+sinx在區(qū)間-k,k(k>0)上的值域?yàn)閙,n,2+1則m+

8、n的值是。3?夕41,23、已知函數(shù)f(x)=ln(x+，1+?)+才-在區(qū)間-k,k(k>0)上的最?+1大值為M最小值為m,則M+m=24、已知函數(shù)f(x)=(?-2x)sin(x-1)+x+1在-1,3上的最大值為M,最小值為mJ®M+m=()。A. 4B.2C.1D.025、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=-f(x),x>1時(shí)f(x)單調(diào)遞增，如果x1Vx2,x1+x2<2,且(x1-1)(x2-1)<0,則f(x1)+f(x2)的值()。A.恒小于0B.恒大于0C.可能為0D.可正可負(fù)26、已知函數(shù)g(x)=f(x)+?是奇函數(shù)，當(dāng)x&

9、gt;0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于y=x對稱，則g(-1)+g(-2)=()。A.-7B.-9C.-11D.-13727、若二次函數(shù)f(x)=a?+bx有f(x1)=f(x2)(x1不x2)則f(x1+x2)=。28、已知函數(shù)f(x)=Inx+ln(2-x),則()。A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增B. f(x)在(0,2)單調(diào)遞減C. y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D. y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱29、已知有四個(gè)命題：偶函數(shù)的圖像必定與y軸相交；偶函數(shù)的圖像必定關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像必定通過原點(diǎn)；若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，有是偶函數(shù)，則f(x)

10、=0(x6R).其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()。A.0B.1C.2D.330、？x6R,有f(x)+f(2-x)+2=0,貝U函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于()。A.直線x=1對稱B.直線x=2對稱C.點(diǎn)(1,-1)對稱D.點(diǎn)(-1,1)對稱答案1、解答：函數(shù)f(x)=x2+bx+c對于任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t),可知函數(shù)關(guān)于x=2對稱，二次函數(shù)的開口向上，因此f(2)取得最小值，則f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系為f(2)<f<f(4)。故選：B。2、解答：E. 函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x都滿足f(1+x)=f(1-x),F. .則x=1是函數(shù)圖象的對稱軸，又f(x)=

11、0有6個(gè)實(shí)根，設(shè)根由小到大排序后得xx2,x3,xx5,x6；x1+x6=2,x2+x5=2,x3+x4=2;則這6個(gè)實(shí)根之和為6.故選：A。3、解答：關(guān)于y軸對稱因當(dāng)f(-x)=f(x)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱。4、解：設(shè)t=2x,則f(1-t)=f(t),f(t)的對稱軸為t=1?"，f(x)的圖像關(guān)于x=2對稱.因f(x)關(guān)于x三對稱,令2x=2得x三,1故y=f(2x)關(guān)于x=4對稱。5、解：x=0,x=1。6、解：由f(-x)=-f(x+4)可知圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱.f(x)在區(qū)間(2,+s)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-f2)上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇

12、函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位。<2<?<4-?,且函數(shù)在(2,+s)上單調(diào)遞增，所以f(?)<f(4-?),又由f(-x)=-f(x+4),有f(4-?)=f-(?-4)=-f(?-4+4)=-f(?),.f(?)+f(?)<f(?)+f(4-?)=f(?)-f(?)=0。選A。解二：由f(-x)=-f(x+4)可知函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(2,0),由對稱性可得f(?)+f(?)=2f(生產(chǎn))，因?yàn)槔锉R<2,且函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(曳詈)<f(2)=0,故選A。7、解答:設(shè)點(diǎn)(x,y),則關(guān)于(1,-)對稱點(diǎn)為(1-x,1-?,由242f(1-

13、x)=*=4X=4+2-2-=1-不，-?所以圖像過點(diǎn)'441-X+24+2?4X2(4X+2)24X+22111(1-x,-?,所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,-)對稱。(2)由(1)得f(x)+f(1-x)=2,所以f(0)+f(1)10(8)(8)(8)(8)+f+f+f+f(8)(8)8 8)912121212故f(0)1179+f端+f(/+/+f=T8、解答:f(x)=g(x)=1?1&+iog2(11)函數(shù)向左平移2,向下平移?+110g2(1)是奇函數(shù)，關(guān)于(0,0)對稱2-X，得到的函數(shù)即f(x)=；+iog2(5)關(guān)于(1,1)對稱。21-X229、解答：4?2

14、1f(x)=：1-2?仔2若f(-m尸甚，則f(-m)=2(2-?即1(2-?-2?)+1=1(2?-2-?)-2?+1,2?)+2?+1=v2,2?=/-1,則f(m)=；(2?-2-?)-2?+1=1-；(2-?-2?)+2?=1-(v2-1)=2-v2故答案為：2-v2o解二：由于g(x)=1(2?-2-?)-2?初奇函數(shù)，所以f(x)=；(2?-2-?)-2?+1圖像可由g(x)圖像向上平移1個(gè)單位得到。因此函數(shù)f(x)圖像關(guān)于(0,1)對稱。所以f(-m)+f(m)=2,故f(m)=2-v2o1110、解答： 二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x), 拋物線的對稱軸方程為：x

15、=2. 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,2上有單調(diào)性。 .f(2)=1,f(0)=3,.f(x)min=K2)=1,f(2)<f(0), 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間(-°°,2上有單調(diào)遞減f(0)=3,.f(4)=f(0)=3.f(x)在0,m上最小值為1,最大值為3, .2?n?4。m的取值范圍是2,4。葉11、解答：當(dāng)x>1時(shí),f(x)=?-+1=x+1?設(shè)f(x)在(1,+8)上的圖象關(guān)于x=1的對稱圖象為g(x),貝Ug(x)=f(2-x)=2-x+1(x<1),2-?由題意可知f(x)與g(x)在(-8,1)上有公共點(diǎn)。g(x)在(-8,1) f(x)

16、在(1,+8)上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減，12又f(x)=ln(x+a)在(-00,1)上單調(diào)遞增， .g(1)<f(1),即2<ln(1+a),解得a>?-1.故選：A。12、解答：.f(x)=f(a-x),.f(x)的圖象關(guān)于直線x=別稱，?.一.又y=|?-ax-5|的圖象關(guān)于直線x=2對稱，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x=?寸稱，2?.?+?+?+?=20=2nr)解得a=4.當(dāng)m奇數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)有m1個(gè)兩兩對稱，另一個(gè)交點(diǎn)在對稱軸上，.?+?+?+?%=?；&+；?=2m解得a=4。故選：D。13、解：函數(shù)f(x)(x6R)滿足f(-x)=2-f(

17、x),即為f(x)+f(-x)=2,可得f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，函數(shù)y=T，即y=1+1?的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，則交點(diǎn)(?,?),(?,?),(?,?乃成對出現(xiàn),且每一對關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，則有2?=1(?+?劣=(?+?)+(?+?)+(?"?)=0+mX2=m2故選B。1314、解答:函數(shù)f(x)=2?+4x+1(x<0)(2一、?,?(?>0)'.二作出函數(shù)y=f(x)圖象,再作出y=2?+4x+1位于y軸右側(cè)的圖象，使得恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分關(guān)于原點(diǎn)對稱，發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖像與y=?羽圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，.,滿足條件的對稱點(diǎn)有兩對，2?+4

18、x+1(x<函數(shù)f(x)=20)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)故選：B。?制?A0)解二：一2?+4x+1(x<0)一一一一.由題中條件可知：f(x)=,兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)?(?10)對稱時(shí)，橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，設(shè)圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)中一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)(x>0),則：可知：2?-4x+1=-g?,所以：方程x>0解的個(gè)數(shù)即為對稱點(diǎn)的對數(shù)，令g(x)=2?-4x+1,h(x)=-所以，方程解的個(gè)數(shù)即為g(x)與h(x)在y?2軸右側(cè)的父點(diǎn)數(shù)，g(x)min=g(1)=-1<h(1)=-,兩函數(shù)圖像如e下圖:14所以，有兩個(gè)交點(diǎn)，即：有兩對對稱點(diǎn)。故本題正確答案為B。1

19、5、解答：在函數(shù)f(x)=-2-上任取一點(diǎn)A(a,b),ln?由題意，則該點(diǎn)的關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)B(-a,-b)在函數(shù)f(x)=2?+4x+1上,故b=,-b=2?-4a+1,ln?，2=-2?+4a-1,(a>0),ln?令g(x)=,h(x)=-2?2+4x-1(x>0),分別畫出相對應(yīng)的圖象，由圖象可知交點(diǎn)只有一個(gè)，16、解答:15對于,y=f(x)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，y=f(x+2)的圖象可由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位得到，則所得圖象關(guān)于x=-2對稱，則錯(cuò)；對于,若y=f(x+2)為偶函數(shù),則f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對稱，而y=f(x)的圖象可由f

20、(x+2)的圖象向右平移2個(gè)單位得到，則有關(guān)于直線x=2對稱，則對；對于，若函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則f(2x+1)的圖象關(guān)于x=0對稱，而y=f(2x)的圖象可由f(2x+1)向右平移1個(gè)單位得到，則所得圖象關(guān)于x=1對稱，則對；2對于，若f(x-2)=f(2-x),即為f(x)=f(-x),則f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，則錯(cuò)；對于,y=V?2?-1+V1-?=0(x=±l)是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)。則錯(cuò)。故答案為：。17、解答：f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，.f(-x)+f(x)=0,即-x(?+a?釣+x(?+a?

21、)=0,故(？咨？-?)(1-a)=0,故a=1;16故答案為：118、解答：由題意y=-x-=-1+-x-a-1x-a-1又函數(shù)y=J的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,-1)成中心對稱x-a-1.a+1=4,解得a=3故答案為3。19、解答：由題意知函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱， f(-2)=f(4), .f(x)=x(1-x)(x?1), f(-2)=f(4)=4(1-4)=-12,故選臭滿足條件20、解答：對于任意的x6R,函數(shù)f(x)=sin(3x+d)f(a+x)=f(a-x),函數(shù)關(guān)于x=a對稱，x=a時(shí)函數(shù)取得最值,.3a+(|)=k；t+：,k6Z,f(a+6尸sin(3a+|+(|)=si

22、n(k兀+：+2)=0;故選：C。21、解答:f(x)為偶函數(shù),.(2x)=f(-2x),.當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù),17又滿足f(2x)=f(2x=x+或-2x=x+4等)，x+4x+1x+4'可得,2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,兩個(gè)方程都有解。.xi+x2=7或&+4=-9，x1+x2+x3+x4=-8,故選Co22、解答：f(x)=1+2；+sinx,貝Uf(-x)=1+sinx=1+-sinx,2?汨2-?+12?41.f(x)+f(-x)=1+4+sinx+1+sinx=4,2?初2?+1即f(x)-2+f(-x)-2=0,設(shè)g(x)=f(x)

23、-2,則g(x)+g(-x)=f(x)-2+f(-x)-2=0二函數(shù)g(x)在奇函數(shù)。f(x)在區(qū)間-k,k(k>0)上的值域?yàn)閙,n, 當(dāng)f(x)取得最大值n時(shí),g(x)也取得最大值g(x)max=n-2,f(x)取得最小值m時(shí),g(x)也取得最小值g(x)min=m-2,:函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)g(x)在區(qū)間-k,k(k>0)上的最大值和最小值互為相反數(shù)，即g(x)max+g(x)min=n-2+m2=0,即m+n=4.故答案為：4x+Vl+?3?衿1。23、解答:18設(shè)g(x)=ln(x+V1+?)則g(x)+g(-x)=ln(x+V1+?)+ln(-x+V1+

24、?)=ln(1+?-1)=0,.g(x)是奇函數(shù)，設(shè)h(x)=條1,則h(x)=慌；=3-高，h(x)為單調(diào)遞減函數(shù)。f(x)在x=k時(shí)取最大值，x=-k時(shí)取最小值， .M=f(k),N=f(-k), M+N=f(k)+f(-k)=3-J；+3-5=4?+i?+i故答案為：4。24、解答：.f(x)=(?-2x)sin(x-1)+x+1=(x-1)2-1sin(x-1)+x-1+2令g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1),而g(2-x)=(x-1)2sin(1-x)-sin(1-x)+(1-x),.g(2-x)+g(x)=0,則g(x)關(guān)于(1,0)中心對稱，則f(x)在-1,3上關(guān)于(1,2)中心對稱。M+m=4.故選：A。25、解答：.f(2-x)=-f(x), 函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱 當(dāng)x>1時(shí),f(x)單調(diào)遞增，.當(dāng)x<1時(shí),f(x)單調(diào)遞增，/x1+x2<2,且(x1-1)(x2-1)<