二重積分的計(jì)算法

1、第二節(jié)二重積分的計(jì)算方法教學(xué)目的：利用直角坐標(biāo)系把二重積分化為二次積分教學(xué)重難點(diǎn)：將積分區(qū)域用不等式組表示教法:講授課時(shí):4僅僅依靠二重積分的定義及其性質(zhì)，不可能對一般的二重積分進(jìn)行計(jì) 算。本節(jié)介紹一種二重積分的計(jì)算方法，這種方法是把二重積分化為兩次單 積分(即兩次定積分)來計(jì)算。一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分我們首先來考慮直角坐標(biāo)系下面積元素d。的表達(dá)形式。在二重積分的定義中對區(qū)域D的分割是任意的，極限lim之f&, n. )Ao都存在，那么對 Lo i=11 11于區(qū)域進(jìn)行特殊分割該極限也應(yīng)該存在。因此，在直角坐標(biāo)系下，我們用平 行于X軸和y軸的兩族直線把區(qū)域D分割成許多小區(qū)域(圖

2、104)。除靠 區(qū)域D邊界曲線的一些小區(qū)域外，其余的都是小矩形區(qū)域。當(dāng)這些小區(qū)域 的直徑的最大者九一0時(shí)，這些靠區(qū)域D邊界的不規(guī)則的小區(qū)域的面積之和 趨于0。因此，第i個(gè)小矩形區(qū)域Ao i的面積Ao . = Ax . Ayk。因此，直角坐標(biāo)系下面積元素do = dxdy。于是二重積分的直角坐標(biāo)形式為JJ f (羽 y)do =JJ f (x, y)dxdy。DD由二重積分的幾何意義知道，如果f (x, y) > 0，JJ f (x, y)do的值等于一D個(gè)以D為底、以曲面z = f (x, y)為頂?shù)那斨w的體積。下面我們用定積分 的微元法來推導(dǎo)二重積分的計(jì)算公式。若積分區(qū)域D可用不等

3、式組表示為a < x < bM(x) < y <92(x)如圖105,選x為積分變量，x e a , b,任取小區(qū)間1x , x + dx u a , b。在x軸上分別過點(diǎn)x、x + dx作垂直于x軸的平面，設(shè)A(x)表示過點(diǎn)x垂 直x軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積，則小薄片的體積近似等于以 A(x)為底、dx為高的柱體的體積，即體積元素dV = A (x) dx該截面是一個(gè)以區(qū)間91(x),92(x)為底邊、以曲線z = f (x, y)( x固定)為曲 邊的曲邊梯形，因此12A(x)=192(x) f (x, y)dy 91(x)所以1f f (x, y)do

4、=bA(x)dx =b 92(x)f (x, y)dy dx，aa 9 (x)D1即ff f (x, y)d0 =fb f92(x)f (x, y)dydx。(1)Da 91(x)由此看到，二重積分的計(jì)算可化為兩個(gè)二次積分來計(jì)算。第一次積分時(shí)，把 x看作常數(shù)，對變量y積分；第二次是對變量x積分。這種先對一個(gè)變量積 分，然后再對另一個(gè)變量積分的方法，稱為累次積分(或二次積分)。公式(1)也稱為先積y后積x的累次積分公式，通常寫成ff f (x, y) do=fbdxf92(x)f (x, y)dy。 a 9 ( x ) D1同理，若積分區(qū)域D可用不等式組表示為c < y < d忖 i

5、( y ) < x <V 2( y)則二重積分ff f (x, y)do可化為先x后y的累次積分Dff f (x, y)do =fd dy心2(y)f (x, y)dx。 c v. (y) D1以后我們稱圖106所示的積分區(qū)域(有兩條邊垂直于x軸)為X型區(qū) 域，圖107所示的積分區(qū)域(有兩條邊垂直于y軸)為丫型區(qū)域。把二重 積分化為累次積分的關(guān)鍵，是根據(jù)所給出的積分區(qū)域D，定出兩次積分的 上下限。計(jì)算二重積分的一般步驟是第一步在平面直角坐標(biāo)下，畫出積分區(qū)域D的圖形；第二步 根據(jù)區(qū)域D的圖形，判斷它是哪種類型的區(qū)域，然后將區(qū)域D 用不等式組表示出來；第三步根據(jù)上述的不等式組，將二重積

6、分化為累次積分;第四步計(jì)算累次積分。圖 1口-6圖 107例 1 計(jì)算 JJ(1 -x-2y)do ,其中 D 是由 = 1 , % = 3 , y = -1 , y = 1 所 D圍成的區(qū)域。一般地，如果積分區(qū)域D是由% = a，% = b，y = c，y = d( a < b，c < d) 所圍成的矩形區(qū)域，則W f(x, y)dO = JbdxJd f(x, y)dy = Jd dy Jbf (%, y)dx。a cc aD例2計(jì)算JJxydo，其中D是由直線y = 1、% = 2及y = %所圍成的閉 D區(qū)域。上面兩個(gè)例子說明，積分次序的變更對于二重積分計(jì)算關(guān)系不大。但 有

7、時(shí)由于積分區(qū)域D的形狀關(guān)系，一種次序遠(yuǎn)較另一種簡便。例3試將JJ f (%, y)dO化為兩種不同次序的累次積分。其中，D是由 Dy = %， y = 2 - %和%軸所圍成的閉區(qū)域。例3中，如果先積y后積%，需要計(jì)算兩個(gè)累次積分；如果先積%后積 y，只需要計(jì)算一個(gè)累次積分。因此，在化二重積分為累次積分時(shí)，為了計(jì) 算簡便，根據(jù)積分區(qū)域D的形狀，選擇恰當(dāng)?shù)睦鄞畏e分的次序。例4計(jì)算JJ(% + y)do，其中D是由拋物 D線y 2 = %及直線y = % - 2所圍成的閉區(qū)域。解首先畫出積分區(qū)域D的圖形10 11，邊界曲線的交點(diǎn)(1，-1)、(4, 2)。由圖 可見，將區(qū)域D用Y型區(qū)域的不等式組表

8、示較 簡單，即于是0(% + y) dc =2 f y+ 2 (% + y) dx dy-1 y2D=f2 ( x 2 + xy) ly+2 dy-1 2y231-=f2 (o y2 + 4y + 2- y4 -y3)dy-1 22=(2 y3 + 2y 2 + 2y -1 y5 - 4 y 4)l-1=9H20如果先積y后積x，應(yīng)如何計(jì)算這個(gè)二重積分呢？請讀者思考，并寫 出累次積分。例5計(jì)算ff迎%d。，其中D是由y = %及y = % 2所圍成的閉區(qū)域。 xD解 首先畫出積分區(qū)域D。它既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域。如果先積%后積y，因?yàn)閒 sin%dx不是初等函數(shù)，所以求不出結(jié)果。因 %此只

9、能先積y后積%，將積分區(qū)域表示成Y型區(qū)域的不等式組0 < % < 1“°%2 < y < %于是sin %sin % ,JJd。= f1 f %0dy dxD X0 %2 %=f1 (1 - %) sin xdx0=-f1 (1 - %) d cos %0=-(1 - %)cos % l1 -f1 cos xdx 00=1 - sin 1 °綜上所述，積分次序的選擇，不僅要考慮積分區(qū)域的形狀，而且要考 慮被積函數(shù)的特點(diǎn)。在能夠計(jì)算二重積分的前提下，要使計(jì)算盡量簡單。、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、變換公式按照二重積分的定義有JJ f (x, y)do =

10、 lim £fi,Hi)Aoi t- t-t,D、f 0 i=1現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式。用以極點(diǎn)0為中心的一族同心圓r =常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線0 =常數(shù)，將D剖分成個(gè)小閉區(qū)域。人人，-Ao.-工x 除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域i的面積可如下計(jì)算1八 1 八 1 _八Ao = _(r + Ar)2A0 一_r2A0 = _(2r + Ar)ArA0i 2 i i i 2 i i 2 i i i ir+(r+Ar)a必。=亍 Ar a。2i i i i i其中,r i表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。（數(shù)學(xué)上可以證明：包含邊界點(diǎn)的那些小閉區(qū)域所對應(yīng)項(xiàng)之和的極限為

11、 零，因此，這樣的一些小區(qū)域可以略去不計(jì)）在小區(qū)域AOi上取點(diǎn)（ri，0 i乙設(shè)該點(diǎn)直角坐標(biāo)為（:i，Hi）,據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系有己 i=r cos®7于是=lim f f ( r - cos 0 ., r - sin 6. ) r . A r. A®.A" II 1I 1 I I入-0 i=1lim f f 化 i,ni)Ao i0 i=1 i i i即JJ f (x, y)do = ff f (r cos0, r sin 0)rdrd0DDJJ f (x, y) d°DJJ f (x, y) dxdy由于也常記作D,因此，上述變換公式也可以寫成

12、更富有啟發(fā)性的形式JJ f (x, y) dxdy = JJ f (r cos0, r sin 0) rdrd 0 DD(1)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式，其中,rdrd 0就是極坐標(biāo)中的面積元素。(1)式的記憶方法：x f r cos 0)JJ f (r cos0, r sin 0) rdrd0 DJJ f (x, y)dxdy / yf r sin0 dA dxdy rdrd2、極坐標(biāo)下的二重積分計(jì)算法極坐標(biāo)系中的二重積分，同樣可以化歸為二次積分來計(jì)算。a«e«p 叫(6) < r < 2(0) 其中函數(shù)%(0)心2(6)在

13、76;平上連續(xù)。則。.八中2(0LJJ f (r cos0 , r sin 0)rdrd0 = J d0 J f (r cos0 , r sin 0)rdrDa4(0)【情形二】積分區(qū)域D為下述形式中(0 )三0顯然,這只是情形一的特殊形式* 1、(即極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界 上)。故P隼(T0)JJ f (r cos 0 , r sin 0 ) rdrd 0 = J d0 J f (r cos 0 , r sin 0 )rdrDa 0【情形三】積分區(qū)域D為下述形式顯然，這類區(qū)域又是情形二的一種變形(極點(diǎn)包圍在積分區(qū)域D的內(nèi)部),D可剖分成D1與D 2,而D1:0 <6<k ,0 &l

14、t; r <(6) D2: k<0< 2兀,0 < r <(6)D :0 <0< 2兀,0 < r <(0)故則中JJ f (r cos 0, r sin 0)rdrd 0 = J d0 J f (r cos 0, r sin 0)rdrD00由上面的討論不難發(fā)現(xiàn)，將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)鍵之處在于：將積分區(qū)域D用極坐標(biāo)變量r ,0表示成如下形式a<0<P , 1(0) < r <9 2(0)JL乙下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來表示?！纠?】將下列區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示1 D1: x2 + y

15、2 < 2 yD.: R < x < R, R < y < R +. R2 - x22 、2,3、D3 : |x| +|y| <1十先畫出區(qū)域的簡圖，據(jù)圖確定極角的最大變化范圍a,B X再過a, 內(nèi)任一點(diǎn)0作射線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩交點(diǎn), 將它們用極坐標(biāo)表示，這樣就得到了極徑的變化范圍即1(e ),中2(0 )?！窘?】用極角射線去掃描區(qū)域，得到& 的轉(zhuǎn)角為0,笈在0,汨內(nèi)作一射線 穿過區(qū)域西，與邊界有兩個(gè)交點(diǎn),這兩點(diǎn) 的極徑長為r =的=0將直角坐標(biāo)方程看? +?2 = 2y化極坐 標(biāo)方程(r cos 0)2 + (rsin 0)2 = 2r

16、 sin 6, r2 = 2rsin 9,從而有 r= 2()= 2sinS 故 : 0 <, 0< r < 2sin 3解2£從;轉(zhuǎn)到手可以掃描完整個(gè)的區(qū)域y=五化成極坐標(biāo)方程rsin 0= A , r = sin &y = R + Jk 2黃之化成極坐標(biāo)方程(y - R)2 + 笈 2 = R2x2 +y2 2Ry&COS02 + ,就口劭2 = 2/就口日，r 2 = 2 7?r sin T 27?sin0故 D2: -<9<- f -<r <2R044 sin 0中工（0） = 2R皿目解3D 0 <<-

17、, 0<r < . . 12sin 0+ cos 0< & <. 0 < r < -2sin - cos先 <6<,0<r< -2sin 8 + cos <& <2,G<r<2cos & - sin &解：D:Q<0<2tt , 0<r<z=d00 c2第 122=J _(1 金一白)d& =-e-a )0 2注：本題不能利用直角坐標(biāo)下二重積分計(jì)算法來求其精確值。+8I = J利用此題結(jié)果可求出著名概率積分°設(shè)馬=（工,月|1+/w/?2

18、,工之口，之0S=(x,y)0<x<R<y<RD2=(xJy)x2+y2顯然，口匚S u以而被積函數(shù)滿足e -X2y2 > °,從而以下不等式JJ e-x2-y2dxdy < JJ e-x2-y2dxdy < JJe-x2-y2dxdy成立，再利用例二的結(jié)果有77 兀、jj e -x 2 - y 2 dxdy - (1 - e -r 2)D1兀jj e -x2 - y 2 dxdy= _ (1 - e -2r2)D2jj e - x 2 - y 2 dxdy - j dx j e - x 2 - y 2 dy - j e - x 2 dx j e - y 2 dyS(Re - x 2 10dx J0、 dyJ(Re - x 210dx Jje0)-x2 dxJ(R一、R e - x 2 dxl0 J于是不等式可改寫成下述形式兀Rf+s 兀(1 -e-R2)< j ex2dx冗<. (1 - e-2 R2)(+sc 丫j e-x2dx+sI = j e- x 2 dx =03、使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則 (1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧，直線段)；(2)、